【计算天天练】第8讲 绝对值的非负性与应用 2025—2026学年苏科版数学七年级上册（江苏省适用）

第8讲 绝对值的非负性与应用 ( 正 ) ( 栏 ) ( 订 )第一课时：0+0=0模型 1.已知|a-3|+|b+5|=0， 求：（1）a+b的值； （2）|a|+|b|的值． 2.若|2x-4|与|y-3|互为相反数，求3x-y的值． 3.若|a-3|+|b-2|=0，求a和b的值． 4.若|x-1|+|y+2|=0，求（x-1）（y+2）的值． 5.已知|a+3|+|b-5|=0，x，y互为相反数，求3（x+y）-a+2b的值． 6.|a+5|+|b-2|+|c+4|=0，求的值． 7.已知a是最大的负整数的相反数，|b+4|=2，且|c-5|+|d+3|=0， （1）写出a、b、c、d的值． （2）计算a-b-c+d的值． ( 正 ) ( 栏 ) ( 订 )第二课时：最值问题 1.求|x-3|+|x+1|的最值． 2.已知|x|=3，|y|=2， （1）当xy＜0时，求x+y的值； （2）求x-y的最大值． 3.已知y=|2x+6|+|x-1|+4|x+1|，求y的最小值． 4.先阅读，后探究相关的问题 【阅读】|5-2|表示5与2差的绝对值，也可理解为5与2两数在数轴上所对应的两点之间的距离； |5+2|可以看作|5-（-2）|，表示5与-2的差的绝对值，也可理解为5与-2两数在数轴上所对应的两点 之间的距离． （1）如图，先在数轴上画出表示点2.5的相反数的点B，再把点A向左移动1.5个单位，得到点 C，则点B和点C表示的数分别为 和 ，B，C两点间的距离是 ； （2）数轴上表示x和-1的两点A和B之间的距离表示为 ；如果|AB|=3，那么x为 ； （3）若点A表示的整数为x，则当x为 时，|x+4|与|x-2|的值相等； （4）要使代数式|x+5|+|x-2|取最小值时，相应的x的取值范围是 ． 5.同学们都知道，|4-（-3）|表示4与-3之差的绝对值，实际上也可理解为4与-3两数在数轴上 所对的两点之间的距离．试探索： （1）求|4-（-3）|= ； （2）若|x-3|=4，则x= ； （3）找出所有符合条件的整数x，使得|x+2|+|x-4|=6这样的整数是 ； （4）由以上探索猜想对于任何有理数x，|x-2|+|x-8|是否有最小值？如果有，写出最小值；如果 没有，请说明理由． ( 正 ) ( 栏 ) ( 订 )6.认真阅读下面的材料，完成有关问题：材料：在学习绝对值时，我们已了解绝对值的几何意 义，如|5-3|表示5、3在数轴上对应的两点之间的距离；又如|5+3|=|5-（-3）|，所以|5+3|表 示5、-3在数轴上对应的两点之间的距离． 因此，一般地，点A，B在数轴上分别表示有理数a，b，那么A，B之间的距离（也就是线段AB 的长度）可表示为|a-b|． 因此我们可以用绝对值的几何意义按如下方法求|x-1|+|x-2|的最小值；|x-1|即数轴上x与1对应 的点之间的距离，|x-2|即数轴上x与2对应的点之间的距离，把这两个距离在同一个数轴上表示 出来，然后把距离相加即可得原式的值． 设A、B、P三点对应的数分别是1、2、x． 当1≤x≤2时，即P点在线段AB上，此时|x-1|+|x-2|=PA+PB=AB=1； 当x＞2时，即P点在B点右侧，此时|x-1|+|x-2|=PA+PB=AB+2PB＞AB； 当x＜1时，即P点在A点左侧，此时|x-1|+|x-2|=PA+PB=AB+2PA＞AB； 综上可知，当1≤x≤2时（P点在线段AB上），|x-1|+|x-2|取得最小值为1． 请你用上面的思考方法结合数轴完成以下问题： （1）满足|x+3|+|x-4|＞7的x的取值范围是 ． （2）求|x+1|-|x-2|的最小值为 ，最大值为 ． 7.数轴上两点间的距离等于这两点所对应的数的差的绝对值．例：如图所示，点A、B在数轴上 分别对应的数为a、b，则A、B两点间的距离表示为|AB|=|a-b|． 根据以上知识解题： （1）若数轴上两点A、B表示的数为x、-1， ①A、B之间的距离可用含x的式子表示为 ； ②若该两点之间的距离为2，那么x值为 ． （2）|x+1|+|x-2|的最小值为 3，此时x的取值是 ； （3）已知（|x+1|+|x-2|）（|y-3|+|y+2|）=15，求x-2y的最大值 和最小值 ． 8.根据绝对值的几何意义解答： ①当|x-1|+|x-2|取得最小值时，x的取值范围是 ，最小值是 ； ②当|x-1|+|x-2|+|x-3|取得最小值时，x的取值范围是 ，最小值是 ； ③当|x-1|+|x-2|+|x-3|+…+|x-98|+|x-99|取得最小值时，x的取值范围是 ，最小值是 ④当|x-1|+|x-2|+|x-3|+…+|x-98|+|x-99|+|x-100|取得最小值时，x的取值范围是 ， 最小值是 ． ( 正 ) ( 栏 ) ( 订 )第三课时：数轴化简求值 1.有理数a、b、c的位置如图所示，化简式子：|b|+|a-c|+|b-c|-|a-b|．． 2.有理数a、b、c在数轴上的位置如图： （1）判断正负，用“＞”或“＜”填空：b-c 0，a+b 0，c-a 0． （2）化简：|b-c|+|a+b|-|c-a|． 3.“数形结合”是一种重要的数学方法．如在化简|a|时， 当a在数轴上位于原点的右侧时，|a|=a； 当a在数轴上位于原点时，|a|=0； 当a在数轴上位原点的左侧时，|a|=-a． 试用这种方法解决下列问题． （1）当a=1.5，b=-2.5时，= ； （2）请根据a、b、c三个数在数轴上的位置 ①求的值． ②化简：|a-b|-2|a+b|+|b+c|． 4.已知a、b、c在数轴上的位置如图所示，化简：|2a|-|a+c|-|1-b|+|-a-b| ( 正 ) ( 栏 ) ( 订 )第四课时：阅读理解型 1.在解决数学问题的过程中，我们常用到“分类讨论”的数学思想，下面是运用分类讨论的数学 思想解决问题的过程，请仔细阅读，并解答问题． 【提出问题】三个有理数a，b，c满足abc＞0，求的值． 【解决问题】解：由题意，得a，b，c三个有理数都为正数或其中一个为正数，另两个为负数． ①a，b，c都是正数，即a＞0，b＞0，c＞0时，则=1+1+1=3； ②当a，b，c中有一个为正数，另两个为负数时， 不妨设a＞0，b＜0，c＜0，则=1+（-1）+（-1）=-1． 综上所述，值为3或-1． 【探究拓展】请根据上面的解题思路解答下面的问题： （1）已知a，b是不为0的有理数，当|ab|=-ab时，则的值是 ； （2）已知a，b，c是有理数，当abc＜0时，求的值； （3）已知a，b，c是有理数，a+b+c=0，abc＜0，求的值． 2.对于一个数x，我们用（x]表示小于x的最大整数，例如：（2.6]=2，（-3]=-4． （1）填空：（10]= ．（-2019]= ，（]= ； （2）若a，b都是整数，且（a]和（b]互为相反数，求代数式a-（a+b）×3+b的值； （3）若|（x]|+|（x-2]|=6，求x的取值范围． 3.阅读下面的例题：我们知道|x|=2，则x=±2 请你那么运用“类比”的数学思想尝试着解决下面两个问题． （1）|x+3|=2，则x= ； （2）5-|x-4|=2，则x= ． 第五课时：误差最小 ( 正 ) ( 栏 ) ( 订 ) 1.已知零件的标准直径是100mm，超过标准直径长度的数量（mm）记作正数，不足标准直径长 度的数量（mm）记作负数，检验员某次抽查了五件样品，检查结果如下： （1）指出哪件样品的大小最符合要求； （2）如果规定误差的绝对值在0.18mm之内是正品，误差的绝对值在0.18～0.22mm之间是次品， 误差的绝对值超过0.22mm是废品，那么这五件样品分别属于哪类产品？ 2.某家企业生产瓶装食用调和油，根据质量要求，净含量（不含包装）可以有0.0021升的误差， 现抽查6瓶食用调和油．超过规定净含量的部分记作正数，不足规定净含量的部分记作负数， 结果如下（单位：升）：+0.0019，-0.0022，+0.0018，-0.0015，+0.0024，-0.0009． 请问这6瓶食用调和油中有几瓶符合要求？请用绝对值的知识说明理由． 3.工厂加工一批比赛用乒乓球，按国际比赛规定要求乒乓球的直径标准为40mm，但是实际生产 的乒乓球直径可能会有一些偏差，以下是该工厂加工的20个乒乓球的直径检验记录：（“+”表示 超出标准，“-”表示不足标准．） （1）其中偏差最大的乒乓球直径是 mm； （2）这20个乒乓球平均每个球的直径是多少mm？ （3）若误差在“±0.25”以内的球可以作为合格产品，若误差在“±0.15mm”以内的球可以作 为良好产品，这些球的合格率是70%，良好率是 ． 第一课时：0+0=0模型 参考答案 1.解：∵|a-3|+|b+5|=0， ∴a-3=0，b+5=0， ∴a=3，b=-5， （1）a+b=3+（-5）=-2； （2）|a|+|b|=|3|+|-5|=3+5=8． 2.解：根据题意得，|2x-4|+|y-3|=0， 所以，2x-4=0，y-3=0， 解得x=2，y=3， 则3x-y=3×2-3=3． 3.解：∵|a-3|+|b-2|=0， ∴a-3=0，b-2=0， ∴a=3，b=2． 4.解：∵|x-1|+|y+2|=0， ∴x-1=0，y+2=0， ∴（x-1）（y+2）=0． 5.解：∵|a+3|≥0，|b-5|≥0且|a+3|+|b-5|=0， ∴|a+3|=0，|b-5|=0 即：a+3=0，b-5=0， ∴a=-3，b=5 又∵x、y互为相反数， ∴x+y=0， ∴原式=3×0-（-3）+2×5=13． 6.解：∵|a+5|+|b-2|+|c+4|=0， ∴a+5=0，b-2=0，c+4=0， 解得a=-5，b=2，c=-4， a， 即的值是5． 7.解：（1）∵a是最大的负整数的相反数， ∴a=1， ∵|b+4|=2， ∴b+4=2或b+4=-2， ∴b=-2或b=-6， ∵|c-5|+|d+3|=0， ∴c-5=0，d+3=0， 解得c=5，d=-3， 所以，a=1，b=-2或-6，c=5，d=-3； （2）a-b-c+d=1-（-2）-5+（-3） =1+2-5-3 =-5， 或a-b-c+d=1-（-6）-5+（-3） =1+6-5-3 =-1， 所以，a-b-c+d的值为-5或-1． 第二课时：最值问题 参考答案 1.解法一：（1）当x≤-1时，原式=3-x-x-1=2-2x， 由于x≤-1，所以2-2x≥4， （2）当-1＜x＜3时，原式=3-x+x+1=4， （3）当x≥3时，原式=x-3+x+1=2x-2， 由于x≥3，所以2x-2≥4， 综上所述，|x-3|+|x+1|≥4， 因此|x-3|+|x+1|有最小值，最小值为4． 解法二：如图：|x-3|+|x+1|所表示的意义为数轴上表示数x的点到表示数3和-1点的距离的和， 由图形可知，当-1≤x≤3时，这个距离之和最小，最小值为3-（-1）=4． 2.解：由题意知：x=±3，y=±2， （1）∵xy＜0， ∴x=3，y=-2或x=-3，y=2， ∴x+y=±1， （2）当x=3，y=2时，x-y=3-2=1； 当x=3，y=-2时，x-y=3-（-2）=5； 当x=-3，y=2时，x-y=-3-2=-5； 当x=-3，y=-2时，x-y=-3-（-2）=-1， 所以x-y的最大值是5 3.解：令2x+6=0，x-1=0，x+1=0， 解得：x=-3，x=1，x=-1． 当x＜-3时，则y=-2x-6-x+1-4x-4=-7x-9，则没有最小值； 当-3≤x≤-1时，则y=2x+6-x+1-4x-4=-3x+3，则最小值为6； 当-1≤x＜1时，则y=2x+6-x+1+4x+4=5x+11，则最小值为6； 当x≥1时，则y=2x+6+x-1+4x+4=7x+9，则最小值为16； 故y的最小值为6． 4.解：（1）如图，点B为所求点．B点表示的数-2.5，C点表示的数1，BC的距离是1-（-2.5）=3.5； （2）数轴上表示x和-1的两点A和B之间的距离表示为|x-（-1）|， 如果|AB|=3，那么x为-4，2； （3）若点A表示的整数为x，则当x为-1，时，|x+4|与|x-2|的值相等； （4）要使代数式|x+5|+|x-2|取最小值时，相应的x的取值范围是-5≤x≤2， 故答案为：-2.5，1 ，3.5 ；|x-（-1）|，-4，2；-1；-5≤x≤2． 5.解：（1）|4-（-3）|=7； 故答案是：7； （2）|x-3|=4可理解为：在数轴上，某点到3所对应的点的距离为4，则x=7或x=-1； 故答案是：7或-1； （3）式子|x+2|+|x-4|=6可理解为：在数轴上，某点到2所对应的点的距离和到-4所对应的点的距离之和为6， 所以满足条件的整数x可为-2，-1，0，1，2，3，4， 故答案为：-2，-1，0，1，2，3，4． （4）有最小值．最小值为6， 理由是：∵|x-2|+|x-8|理解为：在数轴上表示x到2和8的距离之和， ∴当x在2与8之间的线段上（即2≤x≤8）时：即|x-2|+|x-8|的值有最小值，最小值为8-2=6． 6.解：（1）由|x+3|+|x-4|=|x-（-3）|+|x-4|，在数轴上表示-3和4两点， 当x＜-3时，|x+3|+|x-4|=-x-3+4-x=-2x+1＞7； 当-3≤x≤4时，|x+3|+|x-4|=x+3+4-x=7； 当x＞4时，|x+3|+|x-4|=x+3+x-4=2x-1＞7； 故当x＜-3或x＞4时|x+3|+|x-4|＞7． （2）|x+1|-|x-2|=|x-（-1）|-|x-2|， 当x＜-1，|x+1|-|x-2|=-x-1-（2-x）=-x-1-2+x=-3； 当-1≤x≤2，|x+1|-|x-2|=x+1+x-2=2x-1，此时当x=2时，取得最大值3，当x=-1时，取得最小值-3； 当x＞2时，|x+1|-|x-2|=x+1-x+2=3； 故|x+1|-|x-2|的最小值为-3，最大值为3． 故答案为：（1）x＜-3或x＞4；（2）-3，3． 7.解：（1）①A、B之间的距离可用含x的式子表示为|x+1|； ②依题意有|x+1|=2，x+1=-2或x+1=2， 解得x=-3或x=1． 故x值为-3或1． （2） |x+1|+|x-2|的最小值为3，此时x的取值是-1≤x≤2； （3）∵（|x+1|+|x-2|）（|y-3|+|y+2|）=15， ∴-1≤x≤2，-2≤y≤3， ∴x-2y的最大值为2-2×（-2）=6，最小值为-1-2×3=-7． 故x-2y的最大值6，最小值-7． 故答案为：|x+1|；-3或1；3，-1≤x≤2；6，-7． 8.解：①当|x-1|+|x-2|取得最小值时，x的取值范围是1＜x＜2，最小值是1； ②当|x-1|+|x-2|+|x-3|取得最小值时，x的取值范围是x=2，最小值是2； ③当|x-1|+|x-2|+|x-3|+…+|x-98|+|x-99|取得最小值时，x的取值范围是x=50， 最小值是2×（1+2+3+4+…+48+49）=2450； ④当|x-1|+|x-2|+|x-3|+…+|x-98|+|x-99|+|x-100|取得最小值时，x的取值范围是50＜x＜51， 最小值是2×（0.5+1.5+…+49.5）=2500． 故答案为：1＜x＜2，1；x=2，2；x=50，2450；50＜x＜51，2500． 第三课时：数轴化简求值 参考答案 1.解：由数轴可得：b＞0，a-c＜0，b-c＞0，a-b＜0， 故：|b|+|a-c|+|b-c|-|a-b|=b+c-a+b-c-（b-a）=b． 2.解：（1）由图可知，a＜0，b＞0，c＞0且|b|＜|a|＜|c|， 所以，b-c＜0，a+b＜0，c-a＞0； 故答案为：＜，＜，＞； （2）|b-c|+|a+b|-|c-a|=（c-b）+（-a-b）-（c-a）=c-b-a-b-c+a=-2b． 3.解：（1）∵a=1.5，b=-2.5， ∴a＞0，b＜0， ∴=1+1=2， 故答案为：2； （2）①由数轴上a，b，c的位置可得：|a|=a，|b|=-b，|c|=-c， 故原式==1-1-1=-1． ②由数轴上a，b的位置可得：a-b＞0，a+b＜0，b+c＜0， 故原式=a-b+2（a+b）-（b+c）=3a-c． 4.解：∵a、c在原点的左侧，a＜-1， ∴a＜0，c＜0， ∴2a＜0，a+c＜0， ∵0＜b＜1， ∴1-b＞0， ∵a＜-1， ∴-a-b＞0 ∴原式=-2a+（a+c）-（1-b）+（-a-b）=-2a+a+c-1+b-a-b=-2a+c-1． 故答案为：-2a+c-1． 第四课时：阅读理解型 参考答案 1.解：（1）a，b是不为0的有理数， 当|ab|=-ab时，a＞0，b＜0，或a＜0，b＞0， 当a＞0，b＜0时，＝1−1＝0； 当 a＜0，b＞0时，＝−1+1＝0． 故答案为：0． （2）abc＜0， ∴a、b、c都是负数或其中一个为负数，另两个为正数， ①当a、b、c都是负数，即a＜0，b＜0，c＜0时，则：=-1-1-1=-3； ②a、b、c有一个为负数，另两个为正数时，设a＜0，b＞0，c＞0，则=-1+1+1=1 综上所述，值为3或-1． （3）∵a，b，c为三个不为0的有理数，且a+b+c=0得，a+b=-c，c+a=-b，b+c=-a． a、b、c有一个为负数，另两个为正数时， 设a＜0，b＞0，c＞0， =1-1-1=-1． 2.解：（1）根据（x]表示的意义得，（10]=9，（-2019]=-2020，（]=0， 故答案为：9，-2020，0； （2）∵a，b都是整数， ∴（a]=a-1，（b]=b-1，而（a]和（b]互为相反数， ∴a-1+b-1=0， 即a+b=2， 因此a-（a+b）×3+b=a-3a-3b+b=-2（a+b）=-4， 答：代数式a-（a+b）×3+b的值为-4； （3）当原点在大数的右侧时，有（x]=-2，此时，-2＜x≤-1， 当原点在小数的左侧时，有（x]=4，此时，4＜x≤5， 故x的取值范围为-2＜x≤-1或4＜x≤5． 3.解：（1）因为）|x+3|=2，则x=-5或-1； （2）因为5-|x-4|=2，可得：|x-4|=3， 解得：x=1或7； 故答案为：（1）-5或-1（2）1或7 第五课时：误差最小 参考答案 1.解：（1）第4件样品的大小最符合要求． （2）因为|+0.1|=0.1＜0.18， |-0.15|=0.15＜0.18， |-0.05|=0.05＜0.18． 所以第1、2、4件样品是正品； 因为|0.2|=0.2， 0.18＜0.2＜0.22， 所以第3件样品为次品； 因为|+0.25|=0.25＞0.22， 所以第5件样品为废品． 2.解：∵|+0.0019|=0.0019＜0.0021， |-0.0022|=0.0022＞0.0021， |+0.0018|=0.0018＜0.0021， |-0.0015|=0.0015＜0.0021， |+0.0024|=0.0024＞0.0021， |-0.0009|=0.0009＜0.0021， ∴这6瓶食用调和油中有4瓶符合要求． 3.解：（1）其中偏差最大的乒乓球直径是40mm+0.5mm=40.5mm， 故答案为：40.5mm； （2）这20个乒乓球平均每个球的直径是40+（1×（-0.4）+2×（-0.2）+1×（-0.1）+11×0+3×0.3+2×0.5）=40.05mm；（3）这些球的合格率是×100%=70%，良好率是×100%=60%， 故答案为：70%，60%． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$