山东省泰安市2024-2025学年高二下学期7月期末考试数学试题

试卷类型：A 高二年级考试 数学试题 2025.07 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。 如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡 上。写在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的。 1.已知全集U={x∈Z-2<x-1≤4，集合A={xeNx2-4x<0},则集合CA中元素 的个数为 A.2 B.3 C.4 D.5 2.已知随机变量X-N(2,σ2)，若P(x≥-1)=0.7，则P(2≤x≤5)= A.0.2 B.0.3 C.0.4 D.0.7 3.已知x<0,则x+4-4有 A.最大值0 B.最小值0 C.最大值-8 D.最小值-8 4.已知命题p:函数f(x)=x-a在[1,3]上是单调函数，命题q:函数g(x)=log2(x2-8x+a) 的定义域为R,若命题p与q有且只有一个为真命题，则实数a的取值范围为 A.[-4,1]U[3,4] B.(-4,1]U[3,4) C.(-9,-4)U(4,+∞) D.(-∞，-4]U[4,+∞) 5.已知A,B是两个随机事件，P(A)>0,P(B)>0,则下列结论一定成立的是 A.P(BA)P(A B)=1 B.P(AB)=P(A)P(B) C.P(B)≤P(BA) D.P(AB)≤P(BA) 高二数学试题第1页（共4页） 。夸克扫描王 极速扫描，就是高效 ▣6 6.小明设置六位数字的手机密码时，计划将自然常数e≈2.71828…的前6位数字2,7,1， 8,2,8进行某种排列得到密码，若排列时要求相同数字不相邻，且相同数字之间只有一 个数字，则小明可以设置的不同密码种数为 A.24 B.16 C.12 D.10 7.函数fe)=n(F+I-的大致图象为 Vx2+1-x 8.已知正实数m,np满足3”+3=3”+3，n=1og,124+ 2 1g4'P+logap=9 ,则 m,n,p的大小关系为 A.n<m<p B.p<n<m C.p<m<n D.n<p<m 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题 目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.下列说法中正确的是 A.如果由一组样本数据(x1,y),(x2,y2,…(x,y)得到的经验回归方程是y=x+a, 那么经验回归直线至少经过点(x1,y),(x2,y2),…(x,y)中的一个 B.在回归分析中，可用决定系数R的值判断模型的拟合效果，R越大，模型的拟合效 果越好 C.残差图是一种散点图，若残差点比较均匀地落在以横轴为对称轴的水平的带状区域 中，说明模型选择比较合适，而且带状区域的宽度越窄，模型拟合的精度越高 D.以模型y=ce“去拟合一组数据时，为了求出回归方程，设z=lny,求得线性回归方程 为z=0.3x+4,则c,k的值分别是e和0.3 10.已知（2 -2√：y的展开式中，第三项与第十一项的二项式系数相等，则下列选项 正确的是 A.n=14 B.所有项系数的和为1 C.二项式系数最大的项为第6项 D.有理项共有3项 高二数学试题第2页（共4页） 。夸克扫描王 极速扫描，就是高效 ▣6 ∫3-2，x<1 1.已知函数e)=了任一，1≤x≤4则下列选项正确的是 A.若函数g(x)=f(x+1),则g(x)的定义域为(-∞，3] B.函数f(x)的值域为(-2,1) C.若直线y=x+1与函数f(x)的图象有且只有4个公共点，则实数k的取值范围为 D.函数f(x)的所有零点之和为6+41og2 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.已知f(x)是定义在R上且周期为2的奇函数，当0<x<1时，f(x)=2,则f(2)月 13.若随机变量X-B(10,0.4),则当P(X=k)取最大值时，正整数k的值是 14.已知lnx≤ae+lna对任意x∈(0，+∞)恒成立，则实数a的取值范围是 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(13分) 2025年1月，一股来自东方的“神秘力量”一国产AI大模型DeepSeek引发硅谷震 动，并迅速走红全球，它向全球用户免费开源，用卓越性能和较低的算力成本引起国内外 关注，令许多海外网友直呼“实力惊人”.如今，DeepSeek在各行各业的应用越来越广泛， 逐步成为我们解决问题的好参谋，好助手，为了了解不同学历人群对DeepSeek的使用情 况，随机调查了100人，得到如下数据： 是否经常使用 学历 经常使用 不经常使用 合计 本科及以上 30 20 50 本科以下 25 25 50 合计 55 45 100 (1)根据小概率值a=0.05的独立性检验，能否认为学历与DeepSeek的使用情况有 关？ (2)为了进一步了解DeepSeek的使用情况，从经常使用的人群中用分层随机抽样的方 法抽取11人，并从这11人中抽取3人进行座谈，求抽到的3人中本科及以上学历的人数X 的分布列及数学期望 n(ad-be) 附：X=0a+ba+ec+db+d" =a+b+c+d 0.10 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 高二数学试题第3页 (共4页) ▣▣ 。夸克扫描王 极速扫描，就是高效 ▣6 16.(15分) 已知函数fe)=女+am2+br+2在x=1处有极值9 (1)求实数a,b的值； (2)求f(x)在[-1,3]上的最值 17.(15分) 已知函数f(x)=lg(10+1)-mx为偶函数. (1)求实数m的值： (2)求方程f(x)=1g(4×10+2)的根； (3)若函数g)-fe)-2-a在xe(-0)上有零点，求实数a的取值范围. 18.(17分) 已知函数f(x)=nx-x+ --t,l∈R. (1)若f(x)≥0，求t的取值范围； (2)若t=1,g(x)=f(x)-e+x2 ()求gx)在x=】处的切线方程； (i)若方程g(x)=m有两个不同的实根x1,x2,且x2>x1,meR, 证明-x1<2m+e+。 .1 19.(17分) 为备战全国机器人大赛，某高校机器人甲队和乙队进行练习赛，比赛规则为：①每局 比赛胜者得1分，负者得0分，没有平局；②总共进行奇数局比赛；③全部比完后，分数高 者获胜.假设每局比赛甲队获胜的概率都是p(0<p<1),各局比赛之间的结果互不影响. (①)当)=子时，若两队共进行3局比赛，设甲队得分减去乙队得分的差为X,现在规 定：若X≥1，则甲队可额外获得一次特殊训练机会，求甲队获得一次特殊训练机 会的概率； (2)若两人共进行2m+1(neN*)局比赛，当p=号且n≥2时，记事件A,表示“在前2m-1 局比赛中甲赢了k(k=0,1,2,…,2-1)局”，事件B表示“甲最终获胜”，求 P(BA.-1),P(BAn)的值； (3)若甲队在进行2n-1(n∈N*)局比赛时获胜的概率记为P.,在进行2n+1局比赛时 获胜的概率记为P,在进行2m+3局比赛时获胜的概率记为P.,已知2<p<1, 试判断P。+P。+2与2P.,的大小关系，并说明理由 高二数学试题第4页（共4页） ▣g口 。夸克扫描王 极速扫描，就是高效 ▣6高二数学试题参考答案 第 页 （共5页） 高 二 年 级 考 试 数学试题参考答案及评分标准 一、单项选择题： 题 号 答 案 1 B 2 A 3 C 4 A 5 D 6 B 7 B 8 D 二、多项选择题： 题 号 答 案 9 BCD 10 BD 11 ABD 三、填空题： 12. - 2 13. 4 14. [ 1e , + ∞ ) 四、解答题： 15.（13分） 2025.07 解：（1）零假设为H0：“学历与Deep Seek的使用情况无关”，根据表中数据，计算得到 χ 2 = 100 (30 × 25 - 20 × 25 )255 × 45 × 50 × 50 = 100 99 ≈ 1.010 < 3.841 ……………………… 4分 根据小概率值α = 0.05的χ 2独立性检验，没有充分证据推断H0不成立， 因此可以认为H0成立，即学历与Deep Seek的使用情况无关……………… 6分 （2）由题意可知，在抽取的11人中，本科及以上学历的有6人 本科以下学历的有5人 方法一：随机变量X的所有可能取值为0，1，2，3 P (X = 0 ) = C35 C311 = 233 P (X = 1 ) = C16C25 C311 = 411 P (X = 2 ) = C26C15 C311 = 511 P (X = 3 ) = C36 C311 = 433 ……………………………………………………… 10分 X的分布列为： ………………… 11分 ∴ E (X ) = 0 × 233 + 1 × 4 11 + 2 × 5 11 + 3 × 4 33 = 18 11……………………… 13分 X P 0 2 33 1 4 11 2 5 11 3 4 33 1 高二数学试题参考答案 第 页 （共5页） 方法二：X服从超几何分布，X的分布列为 P (X = k ) = Ck6C3 - k5 C311 ，k = 0,1,2,3……………………………………………… 11分 ∴ E (X ) = 3 × 611 = 18 11 …………………………………………………… 13分 16.（15分） 解：（1）f '( x ) = x2 + 2ax + b ∵ f ( x )在 x = 1处有极值 103 ∴ ì í î ï ï f (1 ) = 103 f '(1 ) = 0 ………………………………………………………………… 2分 即{a + b = 12a + b + 1 = 0解得 {a = -2b = 3 ……………………………………………… 5分 经检验，符合题意 ∴ a = -2,b = 3 ……………………………………………………………… 6分 （2）由（1）可知，f '( x ) = x2 - 4x + 3 = ( x - 1 )( x - 3 ) 令 f '( x ) = 0，解得 x = 1或x = 3 ……………………………………………… 8分 当 x变化时，f '( x ), f ( x )的变化情况如下表所示 …… 13分 ∴当 x = 1时，f ( x )有最大值 103 …………………………………………… 14分 当 x = -1时，f ( x )有最小值- 103 ………………………………………… 15分 17.（15分） 解：（1）由题知，f ( x )的定义域为R ∵ f ( x )为偶函数 ∴ f ( -x ) = f ( x )………………………………………………………………… 1分 ∴ lg (10-x + 1 ) + mx = lg (10x + 1 ) - mx 整理得 (2m - 1 ) x = 0 ∴ m = 12 ……………………………………………………………………… 4分 x f '( x ) f ( x ) -1 - 103 ( -1,1 ) + 单增 1 0 10 3 (1,3 ) - 单减 3 2 2 高二数学试题参考答案 第 页 （共5页） （2）由（1）可知，f ( x ) = lg (10x + 1 ) - 12 x ∴方程 f ( x ) = lg (4 × 1012 x + 2 )可化为 lg (10x + 1 ) - 12 x = lg (4 × 10 1 2 x + 2 ) ∴ lg 10x + 1 4 × 1012 x + 2 = 12 x = lg 10 1 2 x ∴ 10x + 1 4 × 1012 x + 2 = 1012 x 整理得3 × 10x + 2 × 1012 x - 1 = 0 …………………………………………… 7分 令 t = 1012 x，则 t > 0，不等式可化为3t2 + 2t - 1 = 0 解得 t = -1（舍）或 t = 13 ∴ 1012 x = 13 ∴ x = -2lg3 ∴方程的根为-2 lg 3 ………………………………………………………… 9分 （3）g ( x ) = lg (10x + 1 ) - x - a ∵ g ( x )在 ( -∞,0 )上有零点 ∴ a = lg (10x + 1 ) - x在 ( -∞,0 )上有解 设h ( x ) = lg (10x + 1 ) - x, x ∈ ( -∞,0 ]，则 h'( x ) = 10x ln 10(10x + 1 )ln 10 - 1 = -1 10x + 1 < 0 ∴ h ( x )单调递减 ∴当x ∈ ( -∞,0 )时, h ( x ) > h (0 ) = lg 2 ∴ a ∈ (lg 2, + ∞ ) …………………………………………………………… 15分 18.（17分） 解：（1）∵ f ( x ) ≥ 0 ∴ t ≤ ln x - x + ex x 设h ( x ) = ln x - x + ex x ，则 h'( x ) = 1 x - 1 + ( x - 1 )ex x2 = ( x - 1 )(ex - x ) x2 ………………………………… 3分 设 s ( x ) = ex - x, x ≥ 0，则 s'( x ) = ex - 1 ≥ 0 ∴ s ( x )单调递增 ∴ s ( x ) ≥ s (0 ) = 1 3 高二数学试题参考答案 第 页 （共5页） ∴当x ∈ (0, + ∞ )时,ex - x > 1 > 0 ∴当0 < x < 1时，h'( x ) < 0, h ( x )单调递减，当 x > 1时，h'( x ) > 0，h ( x )单调递增 ∴ h ( x ) min = h (1 ) = e - 1 ∴ t ≤ e - 1 …………………………………………………………………… 6分 （2）（i）当 t = 1时，g ( x ) = x ( ln x - x + ex x - 1 ) - ex + x2 = x ln x - x ∴ g'( x ) = ln x 又g ( 1 e ) = - 2 e ，g'( 1 e ) = -1 ∴ g ( x )在 x = 1 e 处的切线方程为 y + 2 e = -( x - 1 e ) 即 y = -x - 1 e ………………………………………………………………… 9分 （ii）由（i）可知，g'( x ) = ln x ∴ g ( x )在 (0,1 )上单调递减，在 (1, + ∞ )上单调递增 ∵ g ( x ) = m有两个不同实根 x1 , x2且 x1 < x2 ∴ 0< x1 < 1 < x2 设φ ( x ) = g ( x ) - ( -x - 1 e ) = x ln x + 1 e ,0 < x < 1，则 φ'( x ) = 1 + ln x 令φ'( x ) > 0，解得 1 e < x < 1，令φ'( x ) < 0，解得0 < x < 1 e ∴ φ ( x )在 (0, 1 e )上单调递减，在 ( 1 e ,1 )上单调递增 ∴ φ ( x ) ≥ φ ( 1 e ) = 0 ∴ g ( x ) ≥ -x - 1 e 在（0，1）上恒成立 ……………………………………… 13分 设 y = m与直线 y = -x - 1 e 的交点横坐标为 x1 '，则 -x1' - 1e = g ( x1 ) ≥ -x1 - 1 e ∴ x1' ≤ x1 ∵ g (e ) = 0, g'(e ) = 1 ∴ g ( x )在 (e,0 )处的切线方程为 y = x - e 设 y = m与直线 y = x - e的交点的横坐标为 x2'，同理可证：x2 < x2' ∵ x1' = -m - 1e , x2' = m + e ∴ x2 - x1 < x2' - x1' = (m + e ) - ( -m - 1e ) = 2m + e + 1 e ∴ x2 - x1 < 2m + e + 1e …………………………………………………… 17分 4 高二数学试题参考答案 第 页 （共5页） 19.（17分） 解：（1）P (X ≥ 1 ) = P (X = 1 ) + P (X = 3 ) = C23 ( 23 )2 × 1 3 + ( 2 3 )3 = 20 27 ∴甲队获得一次特殊训练机会的概率为 2027………………………………… 4分 （2）P (B | An - 1 ) = 13 × 1 3 = 1 9 P (B | An ) = 13 × 1 3 + C12 × 1 3 × 2 3 = 5 9 …………………………………………… 8分 （3）由全概率公式得 Pn + 1 = Cn - 12n - 1 pn - 1 (1 - p )n p2 + Cn2n - 1 pn (1 - p )n - 1 [1 - (1 - p )2 ] + [ Pn - Cn2n - 1 pn (1 - p )n - 1 ] …………………………………………………………………………………… 10分 = Pn + Cn - 12n - 1 pn - 1 (1 - p )n p2 - Cn2n - 1 pn (1 - p )n - 1 (1 - p )2 = Pn + Cn - 12n - 1 pn + 1 (1 - p )n - Cn2n - 1 pn (1 - p )n + 1 = Pn + Cn2n - 1 pn (1 - p )n (2p - 1 ) ∴ Pn + 1 - Pn = Cn2n - 1 pn (1 - p )n (2p - 1 ) …………………………………… 13分 当 1 2 < p < 1时，Pn + 1 - Pn > 0 Pn + 2 - Pn + 1 Pn + 1 - Pn = Cn + 12n + 1 pn + 1 (1 - p )n + 1 (2p - 1 ) Cn2n - 1 pn (1 - p )n (2p - 1 ) = Cn + 12n + 1 p (1 - p ) Cn2n - 1 = (2n + 1 )! (n + 1 )!n! p (1 - p ) (2n - 1 )! n!(n - 1 )! = (2n + 1 )2n(n + 1 )n p (1 - p ) = 4n + 2 n + 1 p (1 - p ) …………… 15分 < 4p (1 - p ) < 4 [ p + (1 - p )2 ]2 = 1 ∵ Pn + 1 - Pn > 0, ∴ Pn + 2 - Pn + 1 < Pn + 1 - Pn ∴ Pn + Pn + 2 < 2Pn + 1 ………………………………………………………… 17分 5