精品解析：宁夏中卫市2025届高三高考第三次模拟考试数学试卷

2025年中卫市高考第三次模拟考试 数学 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将答题卡交回. 一、选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分.每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确的答案涂到答题卡上. 1. 已知集合，若，则（ ） A. 或3 B. 0 C. 3 D. 【答案】C 【解析】 【分析】由集合相等的含义得，求解并验证互异性即可. 【详解】， ，解得或， 当时，， 不满足集合中元素的互异性，舍去. 当时，， 此时，满足题意. 综上，. 故选：C. 2. 在复平面内，复数对应的向量，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据复数的向量表示得到，再根据复数的减法运算和复数模的公式即可得到答案. 【详解】由题意得，∴， 故选：D． 3. 已知命题，，则为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】D 【解析】 【分析】含有量词的命题的否定，只需要改量词，否定结论即可. 【详解】命题，的否定为，， 故选：D． 4. 某学校为弘扬中华民族传统文化，举行了全校学生全员参加的“诗词比赛”.满分分，得分分及以上为“优秀”.比赛的结果是：高一年级优秀率约是，高二年级优秀率约是，高三年级优秀率约是.其中高一、高二、高三年级人数比为，那么全校“优秀率”约是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用全概率公式计算即可. 【详解】高一年级优秀率约是，高二年级优秀率约是，高三年级优秀率约是， 其中高一、高二、高三年级人数比为， 根据全概率公式可得：全校“优秀率”为. 故选：C. 5. 若直线：与直线：平行，则（ ） A. 4 B. 1 C. 1或-4 D. -1或4 【答案】D 【解析】 【分析】根据直线一般方程的平行关系求的值，并代入检验即可. 【详解】依题意得，， 得， 解得或， 若时，直线与直线平行，符合题意； 若时，直线与直线平行，符合题意； 综上所述：或． 故选：D 6. 如图所示，在正方形铁皮上剪下一个扇形和一个直径为4的圆，使之恰好围成一个圆锥，则圆锥的高为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长得，求得，进而由可求得圆锥的高. 【详解】由图知，扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长，圆锥底面圆的半径为， 设扇形半径为，则有，解得，因此圆锥的母线长为， 所以圆锥的高. 故选：D 7. 已知函数在上单调递增，则的取值范围是（   ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由正弦函数的单调性结合题意可得. 【详解】由题意可得， 即， 令，可得， 因为函数在上单调递增， 所以，解得， 所以的取值范围是. 故选：B 8. 已知函数，若正数m，n满足，则的最小值为（ ） A. 3 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据函数解析式可得，据此得出，再由“1”的技巧及基本不等式得解. 【详解】因为， 所以， 所以， 所以由可得，即， 由， 则， 当且仅当，即时，等号成立. 故选：D 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知直线和圆，则（ ） A. 直线l恒过定点（2，0） B. 存在k使得直线l与直线垂直 C. 直线l与圆O相交 D. 若，直线l被圆O截得的弦长为 【答案】BCD 【解析】 【分析】A选项，化为点斜式可以看出直线恒过的点，B选项两直线斜率存在且垂直，斜率乘积为-1，从而存在满足题意，C选项直线过的定点在圆的内部，故可以判断C选项；当时，先求圆心到直线的距离，再根据垂径定理求弦长 【详解】直线，即，则直线恒过定点，故A错误； 当 时，直线与直线垂直，故B正确： ∵定点（-2，0）在圆O：x2+y2=9内部，∴直线l与圆O相交，故C正确： 当时，直线l化为，即x+y+2=0，圆心O到直线的距离，直线l被圆O截得的弦长为，故D正确， 故选：BCD. 10. 已知等差数列的前项和为，若，，则下列结论正确的是（ ） A. 数列是递增数列 B. C. 当取得最大值时， D. 【答案】CD 【解析】 【分析】设出公差，利用等差数列求和公式得到，，，，从而对选项一一判断，得到答案. 【详解】ABD选项，设的公差为， ，故， ，故， 所以，且，，即是递减数列，AB错误，D正确. C选项，由于是递减数列，，，故当取得最大值时，，C正确. 故选：CD 11. 若m，n分别是函数，的零点，且，则称与互为“零点相邻函数”.已知与互为“零点相邻函数”，则a的取值可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】由题可得有唯一零点1，然后由“零点相邻函数”定义可得存在，使，且为零点.据此令，则值域即为a范围，由此可判断选项正误. 【详解】定义域为，， 则在上单调递增，注意到，则有唯一零点1. 定义域为R，由“零点相邻函数”定义， 存在，使，且为零点. 若，，这显然不可能. 则，. 令，. 令，， 则在上单调递增，在上单调递减，从而， 且当时，， 故时，可满足题意.则选项ABC满足题意. 故选：ABC 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 二项式的展开式的常数项是___________. 【答案】## 【解析】 【分析】首先写出二项式展开式的通项公式，然后找出常数项并求出常数项. 【详解】在二项式中，其展开式的通项公式为： ，进一步化简得 . 令，即. 将代入通项公式得. 故答案为：. 13. 已知递增的等比数列满足，，则的前3项和______． 【答案】21 【解析】 【分析】根据是等比数列，结合条件求得即可. 【详解】因为是等比数列， 所以．又， 所以或（舍去）， 则的公比，， 从而． 故答案为：21 14. 已知函数，在上单调递增，则实数a的取值范围为______. 【答案】 【解析】 【分析】根据函数为增函数可知在各段上为增函数，列出不等式组求解，即可得解. 【详解】由函数在上单调递增， 可得，即，解得， 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知，，. （1）求函数单调递增区间； （2）设的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若且.求面积的最大值. 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】通过向量数量积得到函数表达式，并利用三角恒等变换化简函数表达式，再运用正弦函数单调性，整体代换计算即可. 利用余弦定理建立边角关系，结合不等式求面积的最大值. 【小问1详解】 首先，根据题意，可得到： ， ， ， 令，， 得：， 即：， 所以的单调递增区间为，. 【小问2详解】 由 ，得， ，解得：，， 可得，由于，所以； 利用余弦定理可得，， ， 由不等式 ，得： ， ，当且仅当“”时取“=”， 所以. 的面积， 当  取最大值 3 时，面积最大，. 16. 近期根据中国消费者信息研究报告显示，超过40％的消费者更加频繁地使用网上购物，某网购专营店统计了2025年1月5日到9日这5天到该专营店购物的人数y和时间第x天间的数据，列表如下： x 1 2 3 4 5 y 75 84 93 98 100 （1）由表中给出的数据判断是否可以用线性回归模型拟合人数y和时间第x天之间的关系？若可用，求出y关于x的经验回归方程，并估计1月10日到该专营店购物的人数；若不可用，请说明理由（人数用四舍五入法取整数，若相关系数，则线性相关程度很高，可以用线性回归模型拟合，r精确到0.01）； （2）该专营店为了吸引顾客，推出两种促销方案．方案一：购物金额每满100元可减5元；方案二：一次性购物金额超过800元可抽奖三次，每次中奖的概率均为，且每次抽奖互不影响，中奖一次打9折，中奖两次打8折，中奖三次打6折．某顾客计划在此专营店购买1000元的商品，请从实际付款金额的数学期望的角度分析选哪种方案更优惠． 参考数据：．，， 附：相关系数，， 【答案】（1）可用，，109 （2）选择方案二 【解析】 【分析】（1）先计算相关系数，再结合线性回归方程的知识求解即可； （2）首先根据二项分布的概率公式求出为的概率值，则方案二的期望可求，与方案一的950进行比较即可判断. 【小问1详解】 由表中数据可得，，所以，所以可用线性回归模型拟合人数与天数之间的关系．而，则所以 令，可得，所以1月10日到该专营店购物的人数约为109． 【小问2详解】 若选方案一､需付款元． 若选方案二､设需付款元，则的取值可能为，则， ， 所以，因此选择方案二更划算． 17. 已知双曲线C：的离心率为2，其右焦点F到一条渐近线的距离为. （1）求双曲线C的方程； （2）若直线：与双曲线C交于不同的两点A，B，且以线段为直径的圆经过点，证明：直线过定点. 【答案】（1） （2）如图， 设，，联立， 得， 则，，， 所以， ， 因为以线段为直径的圆经过点，所以， 所以，即， 所以，化简得， 即，因为，，所以， 所以直线的方程为，所以直线过定点. 【解析】 【分析】(1)利用已知条件及，可求得双曲线方程； (2)以线段为直径的圆经过点转化为，再联立直线与双曲线的方程，利用韦达定理得到，可得到直线过的定点. 【小问1详解】 因为双曲线的右焦点为，渐近线方程为， 所以右焦点为到渐近线的距离为， 因为双曲线的离心率为，所以， 所以，解得， 所以双曲线的方程为． 【小问2详解】 略 18. 已知函数. （1）求曲线在点处的切线方程； （2）讨论在区间上的零点个数； （3）若，其中，求证：. 【答案】（1） （2）1 （3） 设，即， 所以， 设，， 因为时，，，所以， 所以在区间上单调递增， 即在区间上单调递增， 故，所以在区间上单调递增. 故，所以. 因为，所以， 又，所以. 【解析】 【分析】（1）根据导数的几何意义分别求切点坐标与切线斜率，再根据直线的点斜式方程化简转化可得所求； （2）分当和两段分别确定函数的单调性与取值情况，从而判断每段函数零点个数，从而得结论； （3）设，求导确定函数的单调性与取值情况，从而可得结论. 【小问1详解】 由，得且，所以， 所以曲线在处的切线方程为：，即. 【小问2详解】 ①当时，，，所以. 所以在区间上无零点； ②当时，，，所以， 所以在区间上单调递增， 又，， 所以在区间上仅有一个零点， 综上，在区间上的零点个数为1. 【小问3详解】 略 19. 如图，直角梯形和矩形所在的平面互相垂直，，，. （1）证明：； （2）若，动点在矩形内（含边界），且. ①求动点的轨迹的长度； ②设直线与平面所成角为，求的取值范围. 【答案】（1） 证明：直角梯形和矩形所在的平面互相垂直，且交线为，， 平面，所以平面, 因为平面，所以， 因为， 所以，可知， 又因为，平面， 所以平面， 又因为平面， 所以. （2）①② 【解析】 【分析】（1）通过证明平面，可完成证明； （2）①如图建立空间直角坐标系，设的坐标为，由可得动点的轨迹，即可求长度；由①可设，据此可表示出平面的法向量，然后由空间向量结合三角函数知识可得答案. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ①因为平面，， 以为坐标原点，直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系， 则， 设，则， 因为，所以，即， 整理可得：， 可知动点M的轨迹是以为圆心，半径为1的半圆， 所以动点M的轨迹的长度， ②由①可设：， 可得， 设平面的法向量， 则，则，取，可得， 则， 因为，则，可得， 所以， 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年中卫市高考第三次模拟考试 数学 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将答题卡交回. 一、选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分.每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确的答案涂到答题卡上. 1. 已知集合，若，则（ ） A. 或3 B. 0 C. 3 D. 2. 在复平面内，复数对应的向量，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知命题，，则为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 4. 某学校为弘扬中华民族传统文化，举行了全校学生全员参加的“诗词比赛”.满分分，得分分及以上为“优秀”.比赛的结果是：高一年级优秀率约是，高二年级优秀率约是，高三年级优秀率约是.其中高一、高二、高三年级人数比为，那么全校“优秀率”约是（ ） A. B. C. D. 5. 若直线：与直线：平行，则（ ） A. 4 B. 1 C. 1或-4 D. -1或4 6. 如图所示，在正方形铁皮上剪下一个扇形和一个直径为4的圆，使之恰好围成一个圆锥，则圆锥的高为（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数在上单调递增，则的取值范围是（   ） A. B. C. D. 8. 已知函数，若正数m，n满足，则的最小值为（ ） A. 3 B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知直线和圆，则（ ） A. 直线l恒过定点（2，0） B. 存在k使得直线l与直线垂直 C. 直线l与圆O相交 D. 若，直线l被圆O截得的弦长为 10. 已知等差数列的前项和为，若，，则下列结论正确的是（ ） A. 数列是递增数列 B. C. 当取得最大值时， D. 11. 若m，n分别是函数，的零点，且，则称与互为“零点相邻函数”.已知与互为“零点相邻函数”，则a的取值可能是（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 二项式的展开式的常数项是___________. 13. 已知递增的等比数列满足，，则的前3项和______． 14. 已知函数，在上单调递增，则实数a的取值范围为______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知，，. （1）求函数单调递增区间； （2）设的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若且.求面积的最大值. 16. 近期根据中国消费者信息研究报告显示，超过40％的消费者更加频繁地使用网上购物，某网购专营店统计了2025年1月5日到9日这5天到该专营店购物的人数y和时间第x天间的数据，列表如下： x 1 2 3 4 5 y 75 84 93 98 100 （1）由表中给出的数据判断是否可以用线性回归模型拟合人数y和时间第x天之间的关系？若可用，求出y关于x的经验回归方程，并估计1月10日到该专营店购物的人数；若不可用，请说明理由（人数用四舍五入法取整数，若相关系数，则线性相关程度很高，可以用线性回归模型拟合，r精确到0.01）； （2）该专营店为了吸引顾客，推出两种促销方案．方案一：购物金额每满100元可减5元；方案二：一次性购物金额超过800元可抽奖三次，每次中奖的概率均为，且每次抽奖互不影响，中奖一次打9折，中奖两次打8折，中奖三次打6折．某顾客计划在此专营店购买1000元的商品，请从实际付款金额的数学期望的角度分析选哪种方案更优惠． 参考数据：．，， 附：相关系数，， 17. 已知双曲线C：的离心率为2，其右焦点F到一条渐近线的距离为. （1）求双曲线C的方程； （2）若直线：与双曲线C交于不同的两点A，B，且以线段为直径的圆经过点，证明：直线过定点. 18. 已知函数. （1）求曲线在点处的切线方程； （2）讨论在区间上的零点个数； （3）若，其中，求证：. 19. 如图，直角梯形和矩形所在的平面互相垂直，，，. （1）证明：； （2）若，动点在矩形内（含边界），且. ①求动点的轨迹的长度； ②设直线与平面所成角为，求的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $