河南省信阳市2024-2025学年高一下学期期末质量监测数学试题

2024一2025学年下学期高一期末质量监测 数学参考答案及评分标准 题号 1 2 3 6 10 11 答案 A D B D B A C AC BC ACD 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的. 1A解析：由题意可得2-2得2》=2-i,因为x与2互为共耗复数，所以=2+i,即 5(2-i) 之的虚部为1，故选A 2.D解析：对于A,当直线a与平面a相交于点P时，除了，点P外，直线上的无数个点都不在平 面a内，所以A错误，对于B,当直线a∥平面a时，直线a与平面a内直线平行或异面，所以B 错误，对于C,当直线a∥直线b,直线b∥平面a,则直线a∥平面a,或直线a在平面a内，所以 C错误，对于D,当直线a∥平面a时，则直线a与平面a无公共点，所以直线a与平面a内的任 意一条直线都没有公共点，所以D正确，故选D. 3.B解析：因为a与b不能作为平面向量的一组基底， 所以a∥b,又a=(4,2),b=(m,-1),所以4×(-1)=2m,故m=-2, 所以b=(-2,一1)，所以a·b=一4×2-2×1=一10.故选B. 4.D解析：B配=BA+A心--AB+×A+AO=-8A店+AC故选D, 5.D解析：若m⊥an⊥m,则n∥a或nCa,选项A错误；若m∥a,n∥B,a∥B,则m与n平行，相 交或异面，选项B错误；若a⊥B,n∥a,则n⊥B,或n∥B,或nCB,选项C错误；选项D正确.故 选D. 6.B解析：数据x1,x2,x3,…,x10的平均数为x=4,方差2=6.4，即x十x2十x3十…十x1o=4× 10=40,(x1-4)2+(x2-4)2+(x3-4)2+…十(x10-4)2=6.4×10=64,则数据1，x2,x3, …,0,2,6的平均数为西十十西士g+x十2+6=4，方差S9 12 (红-4)2+(x2-4)2+(x-4)2+…+(x0-4)+(2-4)+(6-4)=64+8=6,标准差为 12 12 √6.故选B. 7.A解析：将一个直角边长分别为3,4的直角三角形绕其较长直角边所在的直线旋转一周所得 圆维的底面半径为3，高为4，母线长为5，设国锥内切球的半径为，由S=(5十5十6)7=号× 6X4,得=所以，球的体和V-智-要故逸A 2024一2025学年下学期高一期末质量监测数学参考答案及评分标准第1页共6页 8.C解析：因为c=2a,c为b在a方向上的投影向量，所以c=2a,b十c-a=a十b,a·b=号 2 cb=号c2=2,设b1=x,则a+b1=a+b-5十2，(a+b)·b=2+2,则o0= (a+b)·b_2+x2 2) 厚2+ a+6165+2zV5+2层F (6+2)+8 -26,当且仅当5+2=，即 5 2 x=/10时，取等号.故选C 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分 9.AC解析：1=(1十i)z=(1+i)(-2十mi)=一2-m+(m一2)i,若名1在复平面对应的点位于 1-2-m0, 1-2-m=0, 第二象限，则 解得m= m-2>0, 解得m>2,选项A正确；若名1为纯虚数，则 m一2≠0， 一2，选项B错误；z=√(-2)2十m≥2，当m=0时取等号，选项C正确；若1与之互为共轭 复教，则一2=一2-：无解，造项D错误.故选AC m=-(m-2), 10.BC解析：A选项，四边形ABB1A1是正方形，所以AB1⊥A1B, 所以AMLA,B,.AM=3AB,=号， 2 B 但AM与BC不垂直，所以AM与平面A,BC不垂直， M 所以A到平面A,BC的距离不是号，A选项错误 B选项，根据三棱柱的性质可知，平面ABC∥平面A1B,C1,所以A,P ∥平面ABC, 设平面APC与平面ABC的交线为l, 根据线面平行的性质定理可知AP∥l,B选项正确。 C选项，由于BC1∥BC,B1C中平面A1BC,BCC平面A1BC, 所以BC1∥平面ABC.所以P到平面ABC的距离为定值， 所以三棱锥P一ABC的体积为定值，C选项正确. D选项，设Q是BC的中点，由于A1C=AB,AC=AB,所以A1QLBC,AQ⊥BC, 所以二面角A1一BC-A的平面角为∠AQA,由于AA1≠AQ, 所以∠AQA≠牙，D选项错误.故选BC 11.ACD解析：对于A:a=1,且bcosA一cosB-1,即bcosA-acosB=a, 由正弦定理得：sinBcosA一sinAcosB=sinA,即sin(B-A)=sinA, .B一A=A或B-A十A=π（舍去），.B=2A,故A正确； 对于B:由正孩定理品A品则6=Q--2A-2oA, sinA sinA sinA 2024一2025学年下学期高一期末质量监测数学参考答案及评分标准第2页共6页 0CA<受 0KA<8 :△ABC为锐角三角形，则0<B<受，即0<2A<受， 0<C<8 0<-3A<号 ∴吾<A<平，所以b=20sA∈(2，)，故B不正确； 对于C:b=2cosA且6=是∴cosA-是，所以snA-, 由正孩定理2R,求得R=27, 7 即△ABC的外接圆半径为2；故C正确； 对于D:sinB-2λsin2A=sin2A-2λsin2A=sin2A-A(1-cos2A)=sin2A+acos2A-λ= √1+X2sin(2A+p)-λ， 且tanp=A,:晋<A<平，即5<2A<2: 要使得sinB-2λsin2A有最大值，即/1+λsin(2A十p)一λ有最大值， 此时，当sim(2A十p有最大值时，即2A十9爱时1+Xs血(2A十p）一A有最大值为/1+平-入， 此时p=-2A,A=tang=tan(受-2A)= an2A' 又3<2A<受，∴tan2A3,∴0<a<5 tan2A 3 A的取植范国为0，号），故D正确，故选ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12.一6解析：如图，根据正六边形的结构特征，可知CE-BF, 而CE与AC的夹角为120°，AC=|CE=√42-22=23， 则AC.BF=AC.CE=23×23Xcos120°=-6.故答案为-6. 13.3解析：函数f(x)=og(x-1)+3中，当x-1=1,即x=2时，恒有 f(2)=3,则，点A(2,3),由暴函数g(x)的图象过A点，得g(2)=3.故答 案为3. 14.智解析：分别取AB,AD的中点R,Q,连接PQ,PR,RQ,:PA=PD, .PQ⊥AD,因为平面PAD⊥平面ABCD, D 平面PAD∩平面ABCD=AD,PQC平面PAD,所以PQ⊥平面ABCD, 2024一2025学年下学期高一期末质量监测数学参考答案及评分标准第3页共6页 因为ABC平面ABCD,PQ⊥AB.在△ABD中，AB=2,AD=4,∠BAD=5,∴BD= /2+4-2X2×4cos号=25，所以，AB+BD=AD,∴AB⊥BD.周为点R,Q分别为 AB,AD的中点，所以RQ∥BD,∴.RQ⊥AB.RQ∩PQ=Q, ∴AB⊥平面PQR,所以∠PRQ为二面角P-AB-D的平面角，∴∠PRQ=T,∴PQ=RQ =号BD=3.因为Q为直角三角形ABD的外接圆的圆心，所以，三棱维P一ABD的外接球 的球心O在直线PQ上，由于PQ=√3<2，所以O在线段PQ的延长线上，设外接球的半径为 R,则0R-同+学=RR=2所以三投维P-ABD的外提球的表面机S=4R- g经在四边形ABCD中，由于∠BAD+∠BCD=,ABCD四点共圆，所以三棱维P-ABD 的外接球即为四棱维P-ABCD的外接球，故四掖维P-ABCD的外接球的表面积为 四、解答题：本题共5小题，共77分 15.解：(1)若a∥b,则有1X(一x)一x(2x十3)=0，解得x=0或x=一2…(2分) ①当x=0时，a=(1,0),b=(3,0),2a-b=(-1,0), 所以|2a—b=1;…(4分) ②当x=-2时，a=(1,-2),b=(-1,2),2a-b=(3,-6), 所以|2a-b川=√/32十(-6)2=3√5.…(6分) 所以|2a-b是1或3√5； (2)若a与c的夹角是纯角，则a·c<0,且a与c不共线，…(8分) 1×(-3)+5.x< 1×5+3x≠0 ,解得x<号且x≠-3， (12分) 即x的取值范国为(-©，一)U(号，号》】 (13分) 16解，①南因象可知，A=3,径×登骨得w2, …(2分） 当x=7没时，2×十p=5+2m,k∈，得g=-+2x,k∈Z。 因为一<g<,所以p= 2π …(4分) 所以f）=3sin(2x-）, …(5分) 令-吾+2x≤2x-≤经+2张x,∈Z. 得径+kr≤r≤径+，∈乙， 所以函载的单调递增区间是[臣十x,登十，k…(7分) 2024一2025学年下学期高一期末质量监测数学参考答案及评分标准第4页共6页 2ga)=3sn2e+8）-到]-3sm2x+若》， …(9分) 当x,时，2x+晋∈[， 则3sml2z+若)∈[是，3， (11分) 若不等式g(x)一m≤4对任意x[0,平]成立，则3-m≤4，… (14分) 得m≥-1. (15分) 17.解：(1)由(a十0.015+0.020+0.003X2)×10=1,得a=0.005…(2分) (2)前三组频率之和为0.05十0.15+0.030=0.5，所以样本数据的中位数为80.…(5分) 样本数据的第35百分位数落在第三组，第35百分位教为70+0.35-(0.05+0.15× 0.3 10=75.… …(8分) (3)由题意，成绩在[80,90)，[90,100]内的人数分别为30,20. 设[80,90)内数据的平均数为元，方差为S,[90,100]内数据的平均数为y,方差为S, 总平均数为乏，方差为S, 依题意，z=85,y=95,S-10,S=15,则z=85X30+95X20=89, 50 …(10分) S-38S+(e-)]+8S+(z-)门=[10+(89-85)]+号15+(89-95)] =36.所以，成绩在[80,100]内的平均数为89，方差为36.… …(15分) l8.解：(1)：asinA+csinC--bsinB= asinC, 由正弦定理，a2+2-}=2ac,所以， 1 cos∠ABC-Q2+c2-B2ac 1 2ac 2ac 4' …(5分) (2)由AD=2DC,得 BD=BA+Ad=BA+号AC-BA+号(BC-BA=}BA+号BC,…(7分) 所以B亦=g(BA+2Bd2=号(e+4a2+4ca×)=g(e2+4a2+ca)=10, 由基本不等式，l0=号(2+4a2+ca)≥号(22·4a2+ca)=号ac,所以， ac≤18，当且仅当c=2a,即a=3,c=6时等号成立. (13分) 由cosB=},B∈(0，x),∴sinB=压， 41 所以S= 4 故△ABC面积的最大值为9压 4 (17分) 2024一2025学年下学期高一期末质量监测数学参考答案及评分标准第5页共6页 19.解：(1)连接BD交AC于，点O,连接ON, ,'AD∥BC,BC=2AD,由相似三角形的性质，可得BO=2OD, 又MN=2ND,所以，NO∥MB, .MB￠平面NAC,NOC平面NAC, MB/∥平面NAC.…(5分) (2)①取AD的中点E,取AC的中点F,连接ME,MF,EF,则EF L2CD,:ACLCD,∴AC⊥EP, D 因为△MAD是边长为6的等边三角形，则ME=3√3，ME⊥AD, 01 又平面MAD⊥平面ABCD,平面MAD∩平面ABCD=AD,MEC平面MAD, '.ME⊥平面ABCD,,ACC平面ABCD,∴.ME⊥AC.又ME∩EF=E, ∴.AC⊥平面MEF,'.AC⊥MF,所以∠MFE为二面角M一AC-D的平面角.…(7分) 在R△MEF中，m∠MFE=架-器=-2 :EF=3g5→CD=2EF=35 2 在Rt△ACD中，AC=√AD-CD=3 …(9分) Vw-m=}5m·ME=号×号×33X3X3=2 (11分) ②过N作NH∥ME交AD于H,连接CH,由于ME⊥平面ABCD, 所以NH⊥平面ABCD, 则∠NCH为NC与平面ABCD所成角，即∠NCH=R,tnF-把 由NH=号ME=3,DH=号ED=1,CD=6cos0,得 HC=(6cos0)2+12-2X6cos0X1Xcos0=/24cos0+1, (14分) 晋<骨号o9,长osK3HC=2eos0Te[71B] tamg汜混e,冯 故am9的取值范调为震阿 (17分) 2024一2025学年下学期高一期末质量监测数学参考答案及评分标准第6页共6页机密★启用前 2024一2025学年下学期高一期未质量监测 数学试题 本试卷共4页，19题，满分150分，考试时问120分钟 ★祝考试顺利★ 注意事项： 1答题前，光得自己的姓名，准考证号，考场号、虚位等填写在试卷和答题卡上，并精准考证号事形码粘贴 要 在答题卡上的指定位置 2,选择题的作器：每小题选出答蜜后，用2B婚笔把答题卡上对应题目的答案林号涂黑.写在试春、草锡抵 和答题卡上的非答题区城均无批， 3,非速桥题的作答：用黑色答字笔直楼答在答题卡上对应的答题区城内.写在试卷，苹墙纸和答题卡的非 答慧区城均无处 4.考以第来后，请将本碳慧和答题卡一并上交 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的. 山已知复数：与2互为共轭复数，则复数：的虚部为 A.1 C.-1 D.-i 2,下列命题中正确的是 A若直线a上有无数个点不在平面a内，则a∥a B若直线a∥平面a,则直线a与平面。内的任意一条直线都平行 11. C.若直线a∥直线b,直线b∥平面a,则直线a∥平面a D.若直线a∥平面a,则直线a与平面a内的任意一条直线都没有公共点 3.设平面向量a=(4,2),b=(m,一1)，若a与b不能作为平面向量的一组基底，则a·b A.2 B.-10 C.-6 D,0 .如图，在△ABC中，点D是BC的中点，A正=3E币，则B正 A一号A+号Ad B号A+AC C.SAB-+3AC D.-8AB+3AC 5.已知两条不同的直线m,n,两个不同的平面a,日，则下列命题正确的是 12. A.若m⊥an⊥m,则n∥e B若m∥a,nBaB,则n∥n 13. C,若a⊥B,n∥a,则nL3 D若m上a,n∥B,a∥a,则m⊥# 6,数据x1,x,xm的平均数为F=4,方差子=6.，现在增加两个数据2和6，则这组新数 14.1 据的标准差为 A0.8 B./6 C6.4 D.6 2024一2025学年下学期高一期末质量监测数学试题第1页共4页 7.将一个直角边长分别为3,4的直角三角形绕其较长直角边所在的直线旋转一周得到一个圆 锥，则该圆锥内切球的体积为 A竖 B.9x C.25x D.27x 8.已知非零向量a,b的夹角为锐角，c为b在a方向上的投影向量，且c=2a=2,设b+e-a 与b的夹角为0，则cosd的最小值为 A停 B 2v 5 c D./1o 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目 要求，全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分 9.已知复数x=一2十m(m∈R),1=(1十i):,则下列说法正确的是 A若在复平面对应的点位于第二象限，则m>2 B若1为纯虚数，则m=2 C,x的最小值为2 D,存在m∈R,使与x互为共轭复数 10.如图，在正三校柱ABC一A,B,C中，AB=AA,=1,P为线段B,C上的动 点，则下列结论中正确的是 A点A到平面A,BC的距离为号 B平面A:PC与底面ABC的交线平行于A,P C.三棱锥P一ABC的体积为定值 D二面角A:一BC一A的大小为于 11.在锐角△ABC中，设a,b,c分别表示角A,B,C对边，a=1,bcosA一c0sB=1,则下列选项正确 的有 A.B-2A Bb的取值范围是(，2,2) C当b-2时△ABC的外接圆半径为2,7 D.若当A,B变化时，B一2以snA存在最大值，则正数入的取值范围为0，) 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共I5分.请把正确答案填写在答题卡上的相应位置。 12,已知正六边形ABCDEF的边长为2，则AC·BF 13.已知函数f(x)=1gx一1D十3的图象经过定点A,且幕函数g(x)的图象过点A,则g(2)= 14,在四棱维P-ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD,PA-PD.AB=2,AD=,∠BAD- ∠BCD-,若二面角P一AB一D为产，则四棱锥P一ABCD外接球的表面积为 2024一2025学年下学期高一期末质量监测数学试题第2页共4页 四，解答题：本题共5小题，共7？分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(本小题满分13分)已知向量a=(,x),b=(2x十3，一x),c=(-3,5),x∈R (1)若a∥b,求2a-b的值： (2)若a与c的夹角是纯角，求x的取值范固。 18 16.(本小题满分15分)已知函数f(x)=Asin(az十p)(A>0,w>0,一r <<)的部分图象如图所示， 1)求fx)的解析式及单调递增区间： (2)将函数y一)的图象向左平移轻个单位长度后得到函数y一 0 g()图象，若不等式g)一m≤4对任意x∈[0，]成立，求m的取 值范围。 19 17.(本小题满分15分)人工智能的广泛应用，给人们的生活带 葡率/组距 来了便捷.随着DeepSeek的开源，侵进了A1技术的共享和0,030 进步，某网站组织经常使用DeepSeek的人进行了A1知识o.o0 竟赛，从参赛者中随机选出100人作为样本，并将这100人0015 按成绩分组：第1组[50,60)，第2组[60,70)，第3组[70， 80),第4组[80,90)，第5组[90,100]，得到的频率分布直方 图如图所示。 506070090100成项 2024一2025学年下学期高一期末质量监测数学试题第3页共4页 (1)求a+ (2)求样本数据的中位数与第35百分位数： (3)已知直方图中成绩在[80,90)内的平均数为85，方差为10，[90,100]内的平均数为95，方 差为15，求成绩在[80,100]内的平均数与方差 18.(本小题满分17分)在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,asin4十cmC-bsmB= asinC. (1)求cos∠ABC, (2)已知AD=2DC,BD=/1O,求△ABC面积的最大值 I9.(本小题满分17分)如图，四棱锥M一ABCD中，平面MADI平面 ABCD,△MAD是边长为6的等边三角形，AD∥BC,BC=2AD, 点N在棱MD上，且MN=2ND. (1)求证：MB∥平面NAC: (2)已知ACLCD. ①D若二面角M一AC-D的正切值为2，求三棱锥M一ACD的体积： ②若∠ADC-0,设直线NC与平面ABCD所成的角为A,若开<K答，求tnn的取值范围. 2024一2025学年下学期高一期末质量监测数学试题第4页共4页