第06讲 动态平衡和临界极值问题-2026年新高三物理一轮复习计划（基础题型专练）

第六讲：动态平衡和临界极值问题 一、课程导图 2、 知识精讲 1、 动态平衡 1.1动态平衡是指物体的受力状态缓慢发生变化，但在变化过程中，每一个状态均可视为平衡状态。常用方法：图解法、解析法、相似三角形法、辅助圆法、正弦定理法。 2、 处理动态平衡问题时的常用解题方法 2.1若研究对象只受三个力而保持平衡状态 （1）“一力恒定，另一力方向不变”的动态平衡问题——矢量三角形法 ①一个力恒定，另一个力始终与恒定的力垂直，三力可构成直角三角形，可作不同状态下的直角三角形，分析力的大小变化，如图甲所示。 ②一力恒定，另一力与恒定的力不垂直但方向不变，作出不同状态下的矢量三角形，确定力大小的变化，在变化过程中恒力之外的两力垂直时，会有极值出现，如图乙所示。 （2）“一力恒定，另两力方向均变化”的动态平衡问题——相似三角形法 一力恒定(如重力)，其他二力的方向均变化，但二力分别与绳子、两物体重心连线方向等平行，即三力构成的矢量三角形与绳长、半径、高度等实际几何三角形相似，则对应边比值相等。 基本矢量图，如图丙所示 丙 基本关系式：＝＝。 （3）一力恒定，另外两力方向均变化，但两力方向夹角保持不变的动态平衡问题——辅助圆 利用正弦定理或利用辅助圆，恒力为圆的一条弦，恒力所对应角的顶点在圆上移动，可保持圆心角不变，根据不同位置判断各力的大小变化。 2.2若研究对象受多个力（三个及三个以上的力）保持平衡，采用解析法。 （1） 晾衣杆模型——活结的动态平衡问题 如图所示，“活结”两端绳子拉力相等，因结点所受水平分力相等，FTsin θ1＝FTsin θ2，故θ1＝θ2＝θ3，根据几何关系可知，sin θ＝＝，若两杆间距离d不变，则上下移动绳子结点，θ不变，若两杆距离d减小，则θ减小，2FTcos θ＝mg，FT＝也减小． 3．临界问题 当某物理量变化时，会引起其他几个物理量的变化，从而使物体所处的平衡状态“恰好出现”或“恰好不出现”，在问题的描述中常用“刚好”“恰能”“恰好”等。临界问题常见的种类： (1)由静止到运动，摩擦力达到最大静摩擦力。 (2)绳子恰好绷紧，拉力F＝0。 (3)刚好离开接触面，支持力FN＝0。 4．极值问题 平衡中的极值问题，一般指在力的变化过程中的最大值和最小值问题。 3、 概念辨析 1．依据下面情境，判断下列说法对错。 如图所示，人站在“电动平衡车”上在某水平地面上沿直线匀速前进，忽略人受到的空气阻力。 （1）对人受力分析时，只能画该人受到的力，其他物体受到的力不能画在该研究对象上；( ) （2）人受到重力、平衡车对其的支持力和摩擦力共三个力的作用；( ) （3）人处于平衡状态，其加速度为零；( ) （4）如果考虑空气阻力，则人一定受平衡车对其的摩擦力作用；( ) （5）如果人随平衡车滑上一光滑的斜坡，则人仍处于平衡状态。( ) 【答案】 正确 错误 正确 正确 错误 【详解】（1）[1]对人受力分析时，只能画该人受到的力，其他物体受到的力不能画在该研究对象上。 （2）[2]在竖直方向上，人受到重力和平衡车对其的支持力，人和平衡车都做匀速直线运动，二者相对静止且之间没有相对运动趋势，所以人不受到摩擦力作用。 （3）[3]人做匀速直线运动，处于平衡状态，加速度为零。 （4）[4]如果考虑空气阻力，由于人在水平方向受力平衡，所以人除了受到空气阻力之外还一定受平衡车对其的摩擦力作用。 （5）[5]如果人随平衡车滑上一光滑的斜坡，对人和平衡车整体分析，整体受到垂直斜坡上的支持力和竖直向下的重力，两个力的合力不可能为零，整体具有沿斜面向下的加速度，所以人此时不是处于平衡状态。 4、 经典例题 2．如图所示， 质量为m的光滑小球被竖直挡板挡住， 静止在倾角为θ的斜面上， 现将挡板绕其下端O点从竖直位置沿逆时针方向缓慢转到水平位置， 在此过程中， 挡板对小球的弹力N和斜面对小球的弹力F变化情况是（　　） A．N一直变大，在水平放置时最大 B．N先变小后变大 C．F一直增大 D．F先减小后增大 【答案】B 【详解】对小球受力分析，如图 可知挡板转动时，挡板给球的弹力N与斜面给球的弹力F合力始终等于小球的重力，其中F的方向不变，挡板转动过程中，N大小变化规律为先变小后变大，其中挡板与斜面垂直时为最小，与此对应，F的大小为一直减小，最小值为零。 故选B。 3．如图所示，圆心为O、半径为的四分之一圆形光滑轨道竖直固定在水平地面上，在O点正上方有一光滑的小定滑轮C，小定滑轮到轨道最高点B的距离为1.5m，轻绳的一端系一质量为1kg的小球（小球和小定滑轮均可视为质点），靠放在光滑圆形轨道上的A点，A点到小定滑轮的距离为2m，另一端绕过小定滑轮后用力拉住。重力加速度大小为，则下列说法正确的是（　　） A．小球静止在A点时，圆形轨道对小球的支持力大小 B．缓慢地拉轻绳使小球由A运动到B，该过程中小球所受支持力大小不变 C．小球静止在A点时，绳对小球的拉力大小 D．缓慢地拉轻绳使小球由A运动到B，该过程中绳子拉力先变小后变大 【答案】B 【详解】AC．小球受力如图所示 由平衡条件可知，由图可知力的矢量三角形与几何三角形相似，则有 解得，故AC错误； BD．缓慢地拉轻绳使小球由A运动到B，根据， 其中均不变，逐渐减小，则由上式可知，不变，变小。 故B正确，D错误。 故选B。 4．将一可视为质点、质量为m的小球用轻质柔软的细线悬挂于天花板上的O点，在外力F、细线拉力和重力的作用下处于平衡状态。细线与竖直方向的夹角为，与F的夹角为，开始时F水平，则下列说法正确的是（　　） A．保持角及小球位置不变，逐渐缓慢减小角直至F竖直向上，则F、都逐渐减小 B．保持F水平，逐渐缓慢增大角，则F、都逐渐增大 C．只增加细线的长度，其他条件不变，F、不变 D．只增加细线的长度，其他条件不变，F、都减小 【答案】BC 【详解】对小球受力分析，如图甲所示，角不变，角减小到时，F最小，因此角减小的过程中，逐渐减小，F先减小后增大，A错误；保持F水平，如图乙所示，增大时，F、都逐渐增大，B正确；只增加细线的长度，对F、没有影响，C正确，D错误。 5．如图所示，一个大理石半球静置在水平地面上，球心为。一只小蚂蚁缓慢从图中点沿圆弧爬向半球面最高点，运动过程中大理石半球始终保持静止。已知与的夹角为，在此过程中，下列说法正确的是（    ） A．大理石半球对小蚂蚁的作用力变大 B．大理石半球对小蚂蚁的支持力变小 C．地面对大理石半球的摩擦力始终为零 D．地面对大理石半球的支持力变小 【答案】C 【详解】AB．对小蚂蚁受力分析如图所示 可知大理石半球对小蚂蚁的作用力为支持力与摩擦力的合力，大小始终等于蚂蚁的重力，保持不变；蚂蚁受到的摩擦力为 蚂蚁受到的支持力为 小蚂蚁缓慢从图中点沿圆弧爬向点的过程中逐渐变小，则小蚂蚁受到的支持力变大，摩擦力变小，大理石半球对小蚂蚁的作用力不变，故AB错误； CD．选取大理石半球与小蚂蚁组成的整体为研究对象，可知二者只受到重力与地面的支持力，所以大理石半球受到地面的支持力始终大小等于二者重力的合力，保持不变，大理石半球与地面之间没有摩擦力的作用，故C正确，D错误。 故选C。 6．如图所示，不可伸长的轻绳绕过光滑动滑轮（质量不计），一端固定于竖直墙壁上的点，另一端连接套在粗糙竖直杆上的滑环，滑轮通过轻绳悬挂一个重物，系统处于静止状态。若将竖直杆沿水平地面缓慢向左平移一小段距离，滑环高度始终不变，则该过程中（    ） A．轻绳的弹力变大 B．杆对滑环的弹力变小 C．杆对滑环的摩擦力变小 D．轻绳对滑轮的作用力变大 【答案】B 【详解】A．设轻绳的弹力为T，轻绳与竖直杆夹角为，分析动滑轮受力 根据力的平衡可得 故当竖直杆向左平移，减小时，轻绳的弹力T变小，故A错误； B．对滑环受力分析 根据力的平衡可得，水平方向杆对滑环的弹力 因T和均减小，则杆对滑环的弹力变小，故B正确； C．根据力的平衡可得，竖直方向杆对滑环的摩擦力 可知杆对滑环的摩擦力不变，故C错误； D．由力的平衡可得，轻绳对滑轮的作用力始终等于重物的重力，故D错误； 故选B。 7．如图所示，一根细线系着一个质量为m的小球，细线上端固定在天花板上，用力F拉小球，小球平衡后细线与竖直方向的夹角为。现改变拉力F的方向与大小，并保持角不变，其中拉力F可能情况由图中（竖直向上）、（垂直于细线方向）、（水平向右）中选择，则下列说法正确的是（　　） A．拉力可能为 B．拉力可能为 C．是所有可能情况中的最小值，即 D．若拉力为，其值为 【答案】BC 【详解】AB．根据对小球的受力分析可知，此时细绳伸直但是否发生弹性形变未知，若拉力等于重力，即可能是，根据受力分析可知，细绳的拉力只能右上方，故拉力不可能是，故A错误，B正确； C．根据矢量三角形法则可知，当外力与绳子拉力方向垂直时，外界拉力最小，如图所示 此时的拉力最小为 故C正确； D．如图所示 当拉力水平向右时的受力示意图，此时的拉力为 故D错误。 故选BC。 8．小明在观察如图所示的沙子堆积时，发现沙子会自然堆积成圆锥体，且在不断堆积过程中，材料相同的沙子自然堆积成的圆锥体的最大底角都是相同的。小明测出这堆沙子的底部周长为31.4m，利用物理知识测得沙子之间的摩擦因数为0.5，估算出这堆沙子的高度最接近（　　） A．2.5m B．2m C．1.5m D．1m 【答案】A 【详解】沙堆底部周长为31.4m，故圆锥体的底部圆半径为 对锥面上的一粒沙粒分析，当满足（为锥体的底角） 时沙粒刚好静止，故 解得圆锥体高 故选A。 9．如图，有两本书叠放在一起静止放置于倾角为θ的倾斜桌面上，上面书本质量为M，下面书本质量为m，下面书本有二分之一伸出桌面，桌面与书本之间动摩擦因数为μ1，书本与书本之间动摩擦因数为μ2，已知最大静摩擦力等于滑动摩擦力，μ1>μ2，重力加速度为g。下列说法正确的是（　　）    A．下面书本受到桌面的支持力大小为 B．上面书本对下面书本的作用力的大小为 C．上面书本受到的摩擦力大小为 D．逐渐增大桌面倾斜的角度，上面书本比下面书本先滑动 【答案】D 【详解】A．将两本书看作一个整体则，下面书本受到的支持力大小为 故A错误； B．由于上面书本处于静止状态，所以下面书本对上面书本的支持力和摩擦力的合力与上面书本的重力大小相等，所以上面书本对下面书本的作用力的大小为Mg，故B错误； C．根据平衡条件可得，上面书本受到的摩擦力大小为 故C错误； D．逐渐增大桌面倾斜的角度，当书恰好要滑动时，对上面的书有 对于下面的书有 由于μ1大于μ2，上面书本比下面书本先滑动，故D正确。 故选D。 5、 巩固练习 10．如图，重力为G的电灯悬挂于两墙壁之间，更换水平绳OA，使连接点A沿墙向上移动而保持结点O的位置和OB绳的位置不变。则在A点向上移动的过程中，下列判断中正确的是（　　） A．绳OB的拉力先增大后减小 B．绳OB的拉力先减小后增大 C．绳OA的拉力先增大后减小 D．绳OA的拉力先减小后增大 【答案】D 【详解】以O点为研究对象，O处于平衡状态，根据受力平衡，则AO上的力与BO上的力的合力与重力大小相等，方向相反，如图 由图可知，在A点向上移动的过程中，绳子OB上的拉力逐渐减小，OA上的拉力先减小后增大，D选项符合题意。 故选D。 11．如图所示，一台空调外机通过两个三角形支架固定在外墙上，现把两个支架看作一个整体，空调外机的重心恰好在支架水平横梁OA和斜梁OB的连接点О的上方。横梁对О点的拉力沿OA方向，大小为F1；斜梁对О点的支持力沿BO方向，大小为F2。如果把斜梁变短一点，仍保持连接点О的位置不变(B点位置上移)，则（　　） A．F1变大，F2变大 B．F1变小，F2变小 C．F1变大，F2变小 D．F1变小，F2变大 【答案】A 【详解】以О点为研究对象，O点受到空调机的压力、OA和OB的作用力，如图所示。空调机对О点的压力大小等于空调机的重力，保持不变，OA的作用力方向不变，若斜梁变短一点，则F2与外墙的夹角变大，根据平衡条件可得， 故当变大时，F1和F2均变大。 故选A。 12．研究表明，经常低头玩手机易引发颈椎病。若将人的头颈部简化为如图的模型：低头时头部受到重力、颈椎后面肌肉拉力和颈椎支持力的作用。人的头越低，与竖直方向的夹角就越大，方向可视为不变，则低头的角度增大时（　　） A．和都变小 B．和都变大 C．变大，变小 D．变小，变大 【答案】B 【详解】对头部受力分析如图所示 由图可知，支持力、拉力与重力三个力的合力为0，重力G的大小和方向都不变，拉力方向不变，根据三角形定则可知与竖直方向的夹角增大，和都变大。 故选B。 ， 13．如图甲所示，一名登山爱好者正沿着竖直崖壁向上攀爬，绳的一端固定在较高处的A点，另一端拴在人的腰间C点（重心处）。在人向上攀爬的过程中可以把人简化为乙图所示的物理模型：脚与崖壁接触点为O点，人的重力G全部集中在C点，O到C点可简化为轻杆，AC为轻绳。已知OC长度不变，人向上攀爬过程中的某时刻AOC构成等边三角形，则（　　） A．轻绳对人的拉力与人对轻绳的拉力是一对平衡力 B．在此时刻，轻绳对人的拉力大小等于G C．在虚线位置时，轻绳AC承受的拉力更小 D．在虚线位置时，OC段承受的压力变大 【答案】B 【详解】A．轻绳对人的拉力与人对轻绳的拉力是一对作用力和反作用力，故A错误； B．重力、轻绳对人的拉力、OC的支持力构成等边三角形，所以轻绳对人的拉力和OC的支持力大小都等于人的重力大小G，故B正确； CD．对人受力分析，如图所示 根据三角形相似可得 在虚线位置时，AC变长，OA、OC不变，则轻绳承受的拉力FAC变大，OC段受到的压力一直不变，故CD错误。 故选B。 14．如图所示，圆心为O、半径为R的四分之一圆形光滑轨道竖直固定在水平地面上，在O点正上方有一光滑的小定滑轮，小定滑轮到轨道最高点B的距离为h，轻绳的一端系一质量为m的小球（小球和小定滑轮均可视为质点），靠放在光滑圆形轨道上的A点，A点到小定滑轮的距离为L，另一端绕过小定滑轮后用力拉住.重力加速度大小为g，则下列说法正确的是（　　） A．缓慢地拉轻绳使小球由A运动到B，该过程中FN大小不变 B．缓慢地拉轻绳使小球由A运动到B，该过程中FT先变小后变大 C．小球静止在A点时，圆形轨道对小球的支持力大小 D．小球静止在A点时，绳对小球的拉力大小 【答案】A 【详解】小球受力如图所示 由平衡条件可知，由图可知力的矢量三角形与几何三角形△AOO'相似，则有 解得 其中mg、R、h均不变，L逐渐减小，则由上式可知，FN不变，FT变小。 故选A。 15．在例题中，如图所示，若用光滑的金属钩子勾住并用力F水平向右缓慢拉动绳子，移动过程中，以下说法正确的是（　　） A．细绳的拉力大小始终不变 B．细绳的拉力大小逐渐增加 C．力F一直水平向右 D．力F逐渐变大 【答案】AD 【详解】AB．细绳的拉力大小始终等于物体的重力，保持不变，故A正确，B错误； CD．力等于轻环两边绳子的拉力的合力，两边绳子的拉力一边是竖直向下，另一边是倾斜的，且两边绳子拉力相等，可知的方向是斜向右上方向的，不是一直水平向右，由于环两边绳子的夹角逐渐减小，可知合力逐渐变大，即逐渐变大，故C错误，D正确。 故选AD。 16．如图所示，一个倾角的斜面体放置在水平地面上，斜面顶端固定光滑滑轮。一个跨过滑轮的轻质细绳，一端悬挂质量为m的重物A，另一端与斜面上质量为2m的物块B相连，滑轮与物块B之间的细绳平行于斜面。现用外力F缓慢拉动细绳上的结点O，使细绳部分从竖直拉至如图中虚线位置，整个过程中始终保持外力F的方向水平向左，且细绳始终拉直，物块B和斜面体始终处于静止状态。下列说法正确的是（    ） A．细绳的拉力先增大后减小 B．斜面对物块B的摩擦力一直增大 C．外力F先减小后增大 D．地面对斜面体的摩擦力先减小后增大 【答案】B 【详解】AC．设连接A的细线与竖直方向的夹角为α，可知， 则当α增加时，细绳的拉力T一直增大，外力F一直增大，选项AC错误；     B．开始时因为 则斜面对B的摩擦力为零；当细绳拉力T增加时，斜面对物块B的摩擦力向下一直增大，选项B正确； D．对AB以及斜面体整体分析可知，地面对斜面体的摩擦力与力F等大反向，则当F增加时，地面对斜面体的摩擦力一直增大，选项D错误。 故选B。 17．如图所示，竖直杆、固定于地面，轻绳一端固定于杆上的点，另一端与光滑轻质小圆环拴接于O点；轻绳一端穿过小环后固定于杆上的E点，另一端与小物体连接。若初始时刻O点的位置比E点高，整个系统处于静止状态，、绳上的拉力分别记为和，则（　　） A．仅将E点缓慢上移少许，增大 B．仅将E点缓慢下移少许，增大 C．仅将杆缓慢左移少许，减小 D．仅将杆缓慢左移少许，减小 【答案】D 【详解】A．两根绳子与水平方向的夹角分别为、，物块质量为，因为绳跨过小圆环与物块相连，同一根绳子所以 先将点缓慢向上移动少许，两个之间的夹角变大，所以两个力的合力减小，因为与两个的合力大小相等，方向相反，所以减小，不变，A错误； B．将点缓慢向下移动少许，两个之间的夹角变小，所以两个力的合力变大，因为与两个的合力大小相等，方向相反，所以变大，不变，B错误； CD．将杆向左移动少许，减小，即两个之间的夹角变大，所以两个力的合力变小，因为与两个的合力大小相等，方向相反，所以减小，不变，C错误，D正确。 故选D。 18．如图甲所示，空竹是中国民间传统玩具，两头为较大的空心轮，中间为细轴。现将空竹中间细轴放细绳AB上，手持两侧A、B端拉动细绳，简化为图乙模型。不计空竹与细绳间的摩擦，细绳不可伸长，下列说法正确的是（　　） A．保持空竹静止，左侧细绳长度小于右侧长度，则左侧拉力小于右侧拉力 B．保持空竹静止，缓慢增大A、B端的水平距离，则细绳对空竹作用力减小 C．保持B端静止，仅将A端竖直向上缓慢移动，则细绳上拉力变大 D．保持B端静止，仅将A端水平向右缓慢移动，则细绳上拉力变小 【答案】D 【详解】A．根据题意，左侧细绳拉力与右侧细绳拉力大小相等，故A错误； B．保持空竹静止，缓慢A、B端水平距离的过程中，细绳对空竹作用力始终等于空竹的重力，故B错误； C．保持B端静止，仅将A端竖直向上缓慢移动，如图所示 由受力平衡可知，平衡后两细绳与竖直方向夹角都为，有 由几何关系可知 将A端向上移动过程中A、B两端水平距离不变，故左右两侧细绳夹角不变，细绳上拉力不变，故 C错误； D．保持B端静止，仅将A端水平向右缓慢移动，则A、B两端水平距离变小，由上述分析可知，变小，左右两侧细绳夹角减小，由受力平衡可知细绳上拉力减小，故 D正确。 故选D。 19．如图所示，细绳a穿过光滑、轻质的小钢环分别系于两挂钉M、N上，细绳b一端系于小钢环上，另一端用力F竖直向下拉，逐渐增大拉力F。已知细绳b承受的最大拉力是a的倍，细绳a被小钢环分成的两段成α角，下列说法正确的是（　　） A．若α<80°，则必定是细绳a先断 B．若α>80°，则必定是细绳b先断 C．若α<100°，则必定是细绳b先断 D．若α>100°，则必定是细绳a先断 【答案】D 【详解】以小钢环为研究对象，设α=α0时，细绳b的实际受力是a的倍，由力的平衡条件有，解得，可知，当α<90°时，细绳b先断，当α>90°时，细绳a先断，故选D。 20．如图所示，用一根轻质细绳将一重力大小为10N的相框对称地悬挂在墙壁上，画框上两个挂钉间的距离为0.5m。已知绳能承受的最大张力为10N，为使绳不断裂，绳子的最短长度为（　　） A．0.5m B．1.0m C． D． 【答案】D 【详解】画框受力分析如图 受到重力mg和两个大小相等的细绳拉力F的作用而处于静止状态，当 时，设对应于细绳不被拉断的最小长度L，作细绳拉力的合力F合，如上图，由平衡条件得 所以两绳拉力的夹角是120°，绳子的最小长度 故选D。 21．某个同学玩夹盒子的游戏，手握两块木板，两木板间夹起盒子，如图所示，已知木板与盒子之间的动摩擦因数为0.5，盒子与盒子之间的动摩擦因数为0.6，每个盒子重约为G=5N，该同学两手可以给木板提供的水平压力都为FN=60N，则下列说法正确的是（　　） A．该同学最多可以夹起16个盒子 B．该同学最多可以夹起12个盒子 C．若该同学夹起9个盒子，则第五个和第六个盒子之间的摩擦力为2.5N D．无论该同学夹起多少个盒子，最边上的盒子最易滑落 【答案】BCD 【详解】ABD．水平方向根据受力平衡可知，木板与盒子间，盒子与盒子间的压力大小一样，由于木板与盒子之间的动摩擦因数小于盒子与盒子之间的动摩擦因数，则木板与盒子的最大静摩擦力小于盒子与盒子的最大静摩擦力，所以无论该同学夹起多少个盒子，最边上的盒子最易滑落；设该同学最多可以夹起个盒子，以个盒子为整体，竖直方向根据受力平衡可得 又 解得 故A错误，BD正确； C．若该同学夹起9个盒子，以9个盒子为整体，竖直方向根据受力平衡可得 解得木板与盒子间的摩擦力大小为 以前5个盒子为整体，竖直方向根据受力平衡可得 解得 可知第六个盒子对第五个盒子的摩擦力大小为2.5N，故C正确。 故选BCD。 22．如图是老师带领同学们做实验的情景。有顶角不同的圆锥放在桌面上，同学们发现顶角为的圆锥，无论多大的力都不能按图示那样拿起，设手与圆锥体间的动摩擦因数为，若最大静摩擦力大小近似为滑动摩擦力大小， 则角度与满足的关系是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】对左侧接触面分析，圆锥受手作用力如图，设手对接触面弹力为F，则对于圆锥整体而言 整理得 因为无论多大的力都无法拿起，则当时 解得 故选D。 23．某博物馆举办抓金砖挑战赛，如图为一块质量m=25kg的梭台形金砖，挑战者须戴博物馆提供的手套，单手抓住金砖的a、b两侧面向上提，保持金砖c面水平朝上，而且手指不能抠底，在空中保持25s，才是挑战成功。已知金砖a、b两侧面与金砖底面的夹角均为θ=78.5°，挑战者施加给金砖的单侧握力为F，手套与金砖之间的动摩擦因数为μ=0.25，假设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，取重力加速度g=10m/s²。计算时取sin78.5°≈0.98，cos78.5°≈0.20，若要抓起金砖，力F至少约为（　　） A．2500N B．2778N C．1389N D．无论多大的力都无法抓起金砖 【答案】B 【详解】对金块受力分析如图所示 由平衡条件可得 解得 故选B。 24．如图所示，质量为的手机放置在支架斜面上，斜面与水平面的夹角为，支架放置在水平桌面上。手机与接触面的动摩擦因数为，重力加速度为。下列所有选项中，手机和支架始终保持静止状态，则（　　） A．手机对支架的压力大小为，方向垂直于斜面向下 B．手机受到的摩擦力大小为，方向沿斜面向上 C．若增大，则支架对手机的摩擦力随之增大 D．若换一个质量更大的手机放置在支架上并保持静止，则支架与桌面间的摩擦力将增大 【答案】AC 【详解】AB．以手机为对象，根据平衡条件可得， 可知手机对支架的压力大小为，方向垂直于斜面向下；手机受到的摩擦力大小为，方向沿斜面向上，故A正确，B错误； C．若增大，根据可知，支架对手机的摩擦力随之增大，故C正确； D．以手机和支架为整体，根据平衡条件可知，支架与桌面间的摩擦力为0；若换一个质量更大的手机放置在支架上并保持静止，则支架与桌面间的摩擦力仍为0，故D错误。 故选AC。 25．如图所示，P、Q两本完全相同的物理课本，叠放在足够长的水平桌面上，所有接触面间的动摩擦因数均为，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，每本物理课本的质量均为m，重力加速度大小为g，若用手在P的右侧挡住P（图中未画出），则要将物理课本Q从物理课本P下方沿水平方向抽出，作用在物理课本Q上的水平拉力F不小于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】P、Q之间的最大静摩擦力为 Q与水平桌面之间的最大静摩擦力为 则要将物理课本Q从物理课本P下方沿水平方向抽出，作用在物理课本Q上的水平拉力F应满足 故选B。 六、课堂总结 1、动态平衡解题流程 2、临界极值问题解题方法 (1)极限法：首先要正确地进行受力分析和变化过程分析，找出平衡的临界点和极值点；临界条件必须在变化中去寻找，不能停留在一个状态来研究临界问题，而要把某个物理量推向极端，即极大和极小。 (2)数学分析法：通过对问题的分析，根据物体的平衡条件写出物理量之间的函数关系(或画出函数图像)，用数学方法求极值(如求二次函数极值、公式极值、三角函数极值)。 (3)物理分析方法：根据物体的平衡条件，作出力的矢量图，通过对物理过程的分析，利用平行四边形定则进行动态分析，确定最大值与最小值。 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第六讲：动态平衡和临界极值问题 一、课程导图 2、 知识精讲 1、 动态平衡 1.1动态平衡是指物体的受力状态缓慢发生变化，但在变化过程中，每一个状态均可视为平衡状态。常用方法：图解法、解析法、相似三角形法、辅助圆法、正弦定理法。 2、 处理动态平衡问题时的常用解题方法 2.1若研究对象只受三个力而保持平衡状态 （1）“一力恒定，另一力方向不变”的动态平衡问题——矢量三角形法 ①一个力恒定，另一个力始终与恒定的力垂直，三力可构成直角三角形，可作不同状态下的直角三角形，分析力的大小变化，如图甲所示。 ②一力恒定，另一力与恒定的力不垂直但方向不变，作出不同状态下的矢量三角形，确定力大小的变化，在变化过程中恒力之外的两力垂直时，会有极值出现，如图乙所示。 （2）“一力恒定，另两力方向均变化”的动态平衡问题——相似三角形法 一力恒定(如重力)，其他二力的方向均变化，但二力分别与绳子、两物体重心连线方向等平行，即三力构成的矢量三角形与绳长、半径、高度等实际几何三角形相似，则对应边比值相等。 基本矢量图，如图丙所示 丙 基本关系式：＝＝。 （3）一力恒定，另外两力方向均变化，但两力方向夹角保持不变的动态平衡问题——辅助圆 利用正弦定理或利用辅助圆，恒力为圆的一条弦，恒力所对应角的顶点在圆上移动，可保持圆心角不变，根据不同位置判断各力的大小变化。 2.2若研究对象受多个力（三个及三个以上的力）保持平衡，采用解析法。 （1） 晾衣杆模型——活结的动态平衡问题 如图所示，“活结”两端绳子拉力相等，因结点所受水平分力相等，FTsin θ1＝FTsin θ2，故θ1＝θ2＝θ3，根据几何关系可知，sin θ＝＝，若两杆间距离d不变，则上下移动绳子结点，θ不变，若两杆距离d减小，则θ减小，2FTcos θ＝mg，FT＝也减小． 3．临界问题 当某物理量变化时，会引起其他几个物理量的变化，从而使物体所处的平衡状态“恰好出现”或“恰好不出现”，在问题的描述中常用“刚好”“恰能”“恰好”等。临界问题常见的种类： (1)由静止到运动，摩擦力达到最大静摩擦力。 (2)绳子恰好绷紧，拉力F＝0。 (3)刚好离开接触面，支持力FN＝0。 4．极值问题 平衡中的极值问题，一般指在力的变化过程中的最大值和最小值问题。 3、 概念辨析 1．依据下面情境，判断下列说法对错。 如图所示，人站在“电动平衡车”上在某水平地面上沿直线匀速前进，忽略人受到的空气阻力。 （1）对人受力分析时，只能画该人受到的力，其他物体受到的力不能画在该研究对象上；( ) （2）人受到重力、平衡车对其的支持力和摩擦力共三个力的作用；( ) （3）人处于平衡状态，其加速度为零；( ) （4）如果考虑空气阻力，则人一定受平衡车对其的摩擦力作用；( ) （5）如果人随平衡车滑上一光滑的斜坡，则人仍处于平衡状态。( ) 4、 经典例题 2．如图所示， 质量为m的光滑小球被竖直挡板挡住， 静止在倾角为θ的斜面上， 现将挡板绕其下端O点从竖直位置沿逆时针方向缓慢转到水平位置， 在此过程中， 挡板对小球的弹力N和斜面对小球的弹力F变化情况是（　　） A．N一直变大，在水平放置时最大 B．N先变小后变大 C．F一直增大 D．F先减小后增大 3．如图所示，圆心为O、半径为的四分之一圆形光滑轨道竖直固定在水平地面上，在O点正上方有一光滑的小定滑轮C，小定滑轮到轨道最高点B的距离为1.5m，轻绳的一端系一质量为1kg的小球（小球和小定滑轮均可视为质点），靠放在光滑圆形轨道上的A点，A点到小定滑轮的距离为2m，另一端绕过小定滑轮后用力拉住。重力加速度大小为，则下列说法正确的是（　　） A．小球静止在A点时，圆形轨道对小球的支持力大小 B．缓慢地拉轻绳使小球由A运动到B，该过程中小球所受支持力大小不变 C．小球静止在A点时，绳对小球的拉力大小 D．缓慢地拉轻绳使小球由A运动到B，该过程中绳子拉力先变小后变大 4．将一可视为质点、质量为m的小球用轻质柔软的细线悬挂于天花板上的O点，在外力F、细线拉力和重力的作用下处于平衡状态。细线与竖直方向的夹角为，与F的夹角为，开始时F水平，则下列说法正确的是（　　） A．保持角及小球位置不变，逐渐缓慢减小角直至F竖直向上，则F、都逐渐减小 B．保持F水平，逐渐缓慢增大角，则F、都逐渐增大 C．只增加细线的长度，其他条件不变，F、不变 D．只增加细线的长度，其他条件不变，F、都减小 5．如图所示，一个大理石半球静置在水平地面上，球心为。一只小蚂蚁缓慢从图中点沿圆弧爬向半球面最高点，运动过程中大理石半球始终保持静止。已知与的夹角为，在此过程中，下列说法正确的是（    ） A．大理石半球对小蚂蚁的作用力变大 B．大理石半球对小蚂蚁的支持力变小 C．地面对大理石半球的摩擦力始终为零 D．地面对大理石半球的支持力变小 6．如图所示，不可伸长的轻绳绕过光滑动滑轮（质量不计），一端固定于竖直墙壁上的点，另一端连接套在粗糙竖直杆上的滑环，滑轮通过轻绳悬挂一个重物，系统处于静止状态。若将竖直杆沿水平地面缓慢向左平移一小段距离，滑环高度始终不变，则该过程中（    ） A．轻绳的弹力变大 B．杆对滑环的弹力变小 C．杆对滑环的摩擦力变小 D．轻绳对滑轮的作用力变大 7．如图所示，一根细线系着一个质量为m的小球，细线上端固定在天花板上，用力F拉小球，小球平衡后细线与竖直方向的夹角为。现改变拉力F的方向与大小，并保持角不变，其中拉力F可能情况由图中（竖直向上）、（垂直于细线方向）、（水平向右）中选择，则下列说法正确的是（　　） A．拉力可能为 B．拉力可能为 C．是所有可能情况中的最小值，即 D．若拉力为，其值为 8．小明在观察如图所示的沙子堆积时，发现沙子会自然堆积成圆锥体，且在不断堆积过程中，材料相同的沙子自然堆积成的圆锥体的最大底角都是相同的。小明测出这堆沙子的底部周长为31.4m，利用物理知识测得沙子之间的摩擦因数为0.5，估算出这堆沙子的高度最接近（　　） A．2.5m B．2m C．1.5m D．1m 9．如图，有两本书叠放在一起静止放置于倾角为θ的倾斜桌面上，上面书本质量为M，下面书本质量为m，下面书本有二分之一伸出桌面，桌面与书本之间动摩擦因数为μ1，书本与书本之间动摩擦因数为μ2，已知最大静摩擦力等于滑动摩擦力，μ1>μ2，重力加速度为g。下列说法正确的是（　　）    A．下面书本受到桌面的支持力大小为 B．上面书本对下面书本的作用力的大小为 C．上面书本受到的摩擦力大小为 D．逐渐增大桌面倾斜的角度，上面书本比下面书本先滑动 5、 巩固练习 10．如图，重力为G的电灯悬挂于两墙壁之间，更换水平绳OA，使连接点A沿墙向上移动而保持结点O的位置和OB绳的位置不变。则在A点向上移动的过程中，下列判断中正确的是（　　） A．绳OB的拉力先增大后减小 B．绳OB的拉力先减小后增大 C．绳OA的拉力先增大后减小 D．绳OA的拉力先减小后增大 11．如图所示，一台空调外机通过两个三角形支架固定在外墙上，现把两个支架看作一个整体，空调外机的重心恰好在支架水平横梁OA和斜梁OB的连接点О的上方。横梁对О点的拉力沿OA方向，大小为F1；斜梁对О点的支持力沿BO方向，大小为F2。如果把斜梁变短一点，仍保持连接点О的位置不变(B点位置上移)，则（　　） A．F1变大，F2变大 B．F1变小，F2变小 C．F1变大，F2变小 D．F1变小，F2变大 12．研究表明，经常低头玩手机易引发颈椎病。若将人的头颈部简化为如图的模型：低头时头部受到重力、颈椎后面肌肉拉力和颈椎支持力的作用。人的头越低，与竖直方向的夹角就越大，方向可视为不变，则低头的角度增大时（　　） A．和都变小 B．和都变大 C．变大，变小 D．变小，变大 13．如图甲所示，一名登山爱好者正沿着竖直崖壁向上攀爬，绳的一端固定在较高处的A点，另一端拴在人的腰间C点（重心处）。在人向上攀爬的过程中可以把人简化为乙图所示的物理模型：脚与崖壁接触点为O点，人的重力G全部集中在C点，O到C点可简化为轻杆，AC为轻绳。已知OC长度不变，人向上攀爬过程中的某时刻AOC构成等边三角形，则（　　） A．轻绳对人的拉力与人对轻绳的拉力是一对平衡力 B．在此时刻，轻绳对人的拉力大小等于G C．在虚线位置时，轻绳AC承受的拉力更小 D．在虚线位置时，OC段承受的压力变大 14．如图所示，圆心为O、半径为R的四分之一圆形光滑轨道竖直固定在水平地面上，在O点正上方有一光滑的小定滑轮，小定滑轮到轨道最高点B的距离为h，轻绳的一端系一质量为m的小球（小球和小定滑轮均可视为质点），靠放在光滑圆形轨道上的A点，A点到小定滑轮的距离为L，另一端绕过小定滑轮后用力拉住.重力加速度大小为g，则下列说法正确的是（　　） A．缓慢地拉轻绳使小球由A运动到B，该过程中FN大小不变 B．缓慢地拉轻绳使小球由A运动到B，该过程中FT先变小后变大 C．小球静止在A点时，圆形轨道对小球的支持力大小 D．小球静止在A点时，绳对小球的拉力大小 15．在例题中，如图所示，若用光滑的金属钩子勾住并用力F水平向右缓慢拉动绳子，移动过程中，以下说法正确的是（　　） A．细绳的拉力大小始终不变 B．细绳的拉力大小逐渐增加 C．力F一直水平向右 D．力F逐渐变大 16．如图所示，一个倾角的斜面体放置在水平地面上，斜面顶端固定光滑滑轮。一个跨过滑轮的轻质细绳，一端悬挂质量为m的重物A，另一端与斜面上质量为2m的物块B相连，滑轮与物块B之间的细绳平行于斜面。现用外力F缓慢拉动细绳上的结点O，使细绳部分从竖直拉至如图中虚线位置，整个过程中始终保持外力F的方向水平向左，且细绳始终拉直，物块B和斜面体始终处于静止状态。下列说法正确的是（    ） A．细绳的拉力先增大后减小 B．斜面对物块B的摩擦力一直增大 C．外力F先减小后增大 D．地面对斜面体的摩擦力先减小后增大 17．如图所示，竖直杆、固定于地面，轻绳一端固定于杆上的点，另一端与光滑轻质小圆环拴接于O点；轻绳一端穿过小环后固定于杆上的E点，另一端与小物体连接。若初始时刻O点的位置比E点高，整个系统处于静止状态，、绳上的拉力分别记为和，则（　　） A．仅将E点缓慢上移少许，增大 B．仅将E点缓慢下移少许，增大 C．仅将杆缓慢左移少许，减小 D．仅将杆缓慢左移少许，减小 18．如图甲所示，空竹是中国民间传统玩具，两头为较大的空心轮，中间为细轴。现将空竹中间细轴放细绳AB上，手持两侧A、B端拉动细绳，简化为图乙模型。不计空竹与细绳间的摩擦，细绳不可伸长，下列说法正确的是（　　） A．保持空竹静止，左侧细绳长度小于右侧长度，则左侧拉力小于右侧拉力 B．保持空竹静止，缓慢增大A、B端的水平距离，则细绳对空竹作用力减小 C．保持B端静止，仅将A端竖直向上缓慢移动，则细绳上拉力变大 D．保持B端静止，仅将A端水平向右缓慢移动，则细绳上拉力变小 19．如图所示，细绳a穿过光滑、轻质的小钢环分别系于两挂钉M、N上，细绳b一端系于小钢环上，另一端用力F竖直向下拉，逐渐增大拉力F。已知细绳b承受的最大拉力是a的倍，细绳a被小钢环分成的两段成α角，下列说法正确的是（　　） A．若α<80°，则必定是细绳a先断 B．若α>80°，则必定是细绳b先断 C．若α<100°，则必定是细绳b先断 D．若α>100°，则必定是细绳a先断 20．如图所示，用一根轻质细绳将一重力大小为10N的相框对称地悬挂在墙壁上，画框上两个挂钉间的距离为0.5m。已知绳能承受的最大张力为10N，为使绳不断裂，绳子的最短长度为（　　） A．0.5m B．1.0m C． D． 21．某个同学玩夹盒子的游戏，手握两块木板，两木板间夹起盒子，如图所示，已知木板与盒子之间的动摩擦因数为0.5，盒子与盒子之间的动摩擦因数为0.6，每个盒子重约为G=5N，该同学两手可以给木板提供的水平压力都为FN=60N，则下列说法正确的是（　　） A．该同学最多可以夹起16个盒子 B．该同学最多可以夹起12个盒子 C．若该同学夹起9个盒子，则第五个和第六个盒子之间的摩擦力为2.5N D．无论该同学夹起多少个盒子，最边上的盒子最易滑落 22．如图是老师带领同学们做实验的情景。有顶角不同的圆锥放在桌面上，同学们发现顶角为的圆锥，无论多大的力都不能按图示那样拿起，设手与圆锥体间的动摩擦因数为，若最大静摩擦力大小近似为滑动摩擦力大小， 则角度与满足的关系是（　　） A． B． C． D． 23．某博物馆举办抓金砖挑战赛，如图为一块质量m=25kg的梭台形金砖，挑战者须戴博物馆提供的手套，单手抓住金砖的a、b两侧面向上提，保持金砖c面水平朝上，而且手指不能抠底，在空中保持25s，才是挑战成功。已知金砖a、b两侧面与金砖底面的夹角均为θ=78.5°，挑战者施加给金砖的单侧握力为F，手套与金砖之间的动摩擦因数为μ=0.25，假设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，取重力加速度g=10m/s²。计算时取sin78.5°≈0.98，cos78.5°≈0.20，若要抓起金砖，力F至少约为（　　） A．2500N B．2778N C．1389N D．无论多大的力都无法抓起金砖 24．如图所示，质量为的手机放置在支架斜面上，斜面与水平面的夹角为，支架放置在水平桌面上。手机与接触面的动摩擦因数为，重力加速度为。下列所有选项中，手机和支架始终保持静止状态，则（　　） A．手机对支架的压力大小为，方向垂直于斜面向下 B．手机受到的摩擦力大小为，方向沿斜面向上 C．若增大，则支架对手机的摩擦力随之增大 D．若换一个质量更大的手机放置在支架上并保持静止，则支架与桌面间的摩擦力将增大 25．如图所示，P、Q两本完全相同的物理课本，叠放在足够长的水平桌面上，所有接触面间的动摩擦因数均为，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，每本物理课本的质量均为m，重力加速度大小为g，若用手在P的右侧挡住P（图中未画出），则要将物理课本Q从物理课本P下方沿水平方向抽出，作用在物理课本Q上的水平拉力F不小于（    ） A． B． C． D． 六、课堂总结 1、动态平衡解题流程 2、临界极值问题解题方法 (1)极限法：首先要正确地进行受力分析和变化过程分析，找出平衡的临界点和极值点；临界条件必须在变化中去寻找，不能停留在一个状态来研究临界问题，而要把某个物理量推向极端，即极大和极小。 (2)数学分析法：通过对问题的分析，根据物体的平衡条件写出物理量之间的函数关系(或画出函数图像)，用数学方法求极值(如求二次函数极值、公式极值、三角函数极值)。 (3)物理分析方法：根据物体的平衡条件，作出力的矢量图，通过对物理过程的分析，利用平行四边形定则进行动态分析，确定最大值与最小值。 学科网（北京）股份有限公司 $$