专题02 圆中的最值问题（7重难点题型）考试满分全攻略同步备考系列（讲义）-2025-2026学年九年级数学上册（苏科版）

专题02 圆中的最值问题 题型梳理 题型方法 题型一 利用圆的性质求最值 题型二 利用将军饮马模型求最值 题型三 利用圆外点到圆的距离求最值 题型四 利用直线与圆的特殊位置关系求最值 题型五 利用定点定长构造辅助圆求最值 题型六 利用定弦定角构造辅助圆求最值 题型七 利用四点共圆求最值 题型方法 【题型一】利用圆的性质求最值 【例1】（20-21九年级上·江苏常州·期中）如图，在中，弦的长为2，点C在上移动，连接，过点C作交于点D，则的最大值为（  ） A．4 B．2 C． D．1 【举一反三】【变式1】（22-23九年级上·江苏无锡·期中）如图，在平面直角坐标系中，以原点O为圆心的圆过点，直线与交于B、C两点，则弦的长的最小值为（    ） A．22 B．24 C．10.5 D．12.5 【变式2】（23-24九年级上·江苏连云港·阶段练习）在平面直角坐标系xOy中，以原点O为圆心的圆过点，一次函数（k为常数，且）的图像与交于B、C两点，则弦的长的最小值为 【变式3】（23-24九年级上·江苏连云港·阶段练习）如图，在中，弦，点C在上移动，连接，过点C作交于点D、E，则的最大值为 ． 【题型二】利用将军饮马模型求最值 【例2】如图，已知的直径的度数为，它的另一边交于点，点为弧的中点，点为直径上的一个动点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【举一反三】【变式1】（21-22九年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，菱形ABCD中，∠A＝60°，AB＝3，⊙A、⊙B的半径分别为2和1，点P、E、F分别是边CD、⊙A和⊙B上的动点，则PE＋PF的最小值是（    ） A．1 B．2 C．2.5 D．3 【变式2】（20-21九年级上·江苏扬州·阶段练习）如图，MN为⊙O的直径，A、B是⊙O上的两点，过A作AC⊥MN于点C，过B作BD⊥MN于点D，P为DC上的任意一点，若MN＝20，AC＝8，BD＝6，则PA+PB的最小值是（　　）．    A．20 B． C．14 D． 【变式3】（22-23九年级上·江苏盐城·期中）在矩形中，，，点N是线段的中点，点E，G分别为射线，线段上的动点，交以为直径的圆于点M，则的最小值为 ． 【题型三】利用圆外点到圆的距离求最值 【例3】（22-23九年级上·江苏徐州·阶段练习）如图，已知直线与轴、轴分别交于、两点，是以为圆心、半径为1的圆上的一动点，连接、．则面积的最大值是（    ）    A．21 B．33 C． D．42 【举一反三】【变式1】（22-23九年级下·江苏宿迁·阶段练习）在平面直角坐标系中，以为圆心，为半径作圆，M为上一点，若点N的坐标为，则线段的最小值为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25九年级上·江苏连云港·期中）如图，已知直线 与轴、轴分别交于、两点， 是以为圆心、半径为 的圆上的一动点，连接、．则 面积的最大值是 【变式3】（20-21九年级上·江苏泰州·阶段练习）如图，⊙O是以原点为圆心，2为半径的圆，点P是直线y＝－x＋8上的一点，过点P作⊙O的一条切线PQ，Q为切点，则切线长PQ的最小值为 ．    【题型四】利用直线与圆的特殊位置关系求最值 【例4】（21-22九年级上·江苏扬州·期中）在平面直角坐标系中，已知点A、B的坐标分别A、B．以为斜边在右上方作．设点C坐标为，则的最大值为（　　） A． B． C．4 D． 【举一反三】【变式1】（24-25九年级上·江苏徐州·期中）如图，在矩形中，，，是边上一动点（不含端点），将沿直线对折，得到，当射线交线段于点P时，连接，则的最大值为 ． 【变式2】（23-24九年级上·江苏泰州·阶段练习）在中，且，点E是上一动点，连接，过点E作的垂线，交边于点F，则的最大值为 ．    【变式3】在中，，，D，E分别是，的中点，若等腰绕点A逆时针旋转，得到等腰，记直线与的交点为P，则点P到所在直线的距离的最大值为 ． 【题型五】利用定点定长构造辅助圆求最值 【例5】（22-23九年级上·江苏宿迁·期中）如图，在平面直角坐标系中，半径为4的与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，D，连接BC，已知x轴上一点，点Q是上一动点，连接，点M为的中点，连接，则面积的最小值为（　　） A． B． C．12 D．16 【举一反三】【变式1】（20-21九年级上·江苏无锡·期末）如图，在平面直角坐标系中，动点A、B分别在x轴上和函数y＝x的图象上，AB＝4，CB⊥AB，BC＝2，则OC的最大值为（　　） A． B． C． D． 【变式2】（22-23九年级上·江苏泰州·阶段练习）如图，点A，B的坐标分别是，，点C为坐标平面内一动点，，点M为线段AC的中点，连接OM，则OM的最小值为 ． 【变式3】（24-25九年级上·江苏宿迁·期末）如图，点，的坐标分别为，，点为坐标平面内一点，，点为线段的中点，连接，则的最大值为 ． 【题型六】利用定弦定角构造辅助圆求最值 【例6】（22-23九年级上·江苏扬州·期中）如图，在中，，点D为的中点，点P在上，且，将绕点C在平面内旋转，点P的对应点为点Q，连接，当时，的最大值为（　　） A．2 B． C． D．5 【举一反三】【变式1】（23-24九年级上·浙江金华·期中）如图，在中，，，，点D是其内部一动点，且，则C，D两点的最小距离为（    ）    A．3 B．4 C． D． 【变式2】如图，点在半圆上，半径，，点在弧上移动，连接，作，垂足为，连接，点在移动的过程中，的最小值是 ． 【变式3】如图，在中，，，，过点作的平行线，为直线上一动点，为的外接圆，直线交于点，则的最小值为 ． 【题型七】利用四点共圆求最值 【例7】（24-25九年级上·江苏扬州·期末）如图，两条互相垂直的射线，，相交于点O，以为斜边的直角三角板的两个锐角顶点分别在两条射线上，且，，，连接，则面积的最大值为（    ） A． B． C．3 D．2 【举一反三】【变式1】（24-25八年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，直线分别与轴、轴相交于点、．点在平面内，，点，则长度的最大值是 ． 【变式2】如图，正方形ABCD的边长为4，点E是正方形外一动点，且点E在CD的右侧，，P为AB的中点，当E运动时，线段PE的最大值为 ． 【变式3】如图1，在正方形中，点在边上，过点作，且，连接、，点是的中点，连接．    （1）用等式表示线段与的数量关系：______； （2）将图1中的绕点按逆时针旋转，使的顶点恰好在正方形的对角线上，点仍是的中点，连接、． ①在图2中，依据题意补全图形； ②用等式表示线段与的数量关系并证明． 好题必刷 一、单选题 1．（24-25九年级上·江苏无锡·期中）如图，在平面直角坐标系中，的半径为，点在经过点，的直线上，与相切于点，则切线长的最小值为（   ） A． B． C．3 D． 2．（23-24九年级上·江苏宿迁·期中）如图，正方形中，，E是的中点．以点C为圆心，长为半径画圆，点P是上一动点，点F是边上一动点，连接，若点Q是的中点，连接，，则的最小值为（    ） A． B． C．6 D． 3．（24-25九年级上·江苏南京·阶段练习）如图，矩形中，，，点是矩形内一动点，且，连接，，则面积的最小值为（    ） A． B．4 C．3 D． 4．（24-25九年级上·江苏镇江·阶段练习）如图，四边形是的内接四边形，，，为上一点，，则的最小值为（　　） A． B． C． D． 二、填空题 5．（23-24九年级下·江苏南通·期末）如图所示，点A是半圆上一个三等分点，点B是的中点，点P是直径上一动点，若的直径为2，则的最小值是 ．    6．（24-25九年级上·江苏泰州·阶段练习）如图，在中，，点D为边上一动点，连接，以为斜边在右侧作，，连接，随着点D的运动，的最小值为 ． 7．（24-25九年级上·江苏盐城·期中）如图，，，，是线段上的一个动点，以为直径画分别交于，连接，则线段长度的最小值为 ． 8．（23-24九年级上·江苏徐州·期中）如图，已知正方形的边长为2，点O是边的中点，G为正方形内一动点，且．点P是边上另一动点，连接、，则的最小值为 ． 9．（24-25九年级上·江苏宿迁·期中）如图，在中，是内一动点，为的外接圆，交直线于点，交边于点，若，则的最小值为 ． 三、解答题 10．（2022九年级上·江苏·专题练习）如图，已知正方形的边长为，点是以为直径的半圆上的一动点，点是边上另一动点，连接，求的最小值． 11．（22-23九年级上·江苏扬州·阶段练习）如图，在中，，于点O，于点E，以点O为圆心，OE为半径作半圆，交AO于点F． (1)求证：是的切线； (2)若点F是OA的中点，，求图中阴影部分的周长； (3)在（2）的条件下，点P是BC边上的动点，当取最小值时，直接写出BP的长． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 圆中的最值问题 题型梳理 题型方法 题型一 利用圆的性质求最值 题型二 利用将军饮马模型求最值 题型三 利用圆外点到圆的距离求最值 题型四 利用直线与圆的特殊位置关系求最值 题型五 利用定点定长构造辅助圆求最值 题型六 利用定弦定角构造辅助圆求最值 题型七 利用四点共圆求最值 题型方法 【题型一】利用圆的性质求最值 【例1】（20-21九年级上·江苏常州·期中）如图，在中，弦的长为2，点C在上移动，连接，过点C作交于点D，则的最大值为（  ） A．4 B．2 C． D．1 【答案】D 【分析】本题主要考查了垂径定理和勾股定理，先由勾股定理得到，则当的值最小时，的值最大，再由垂线段最短可得当时，最小，即此时的值最大，此时D、B两点重合，据此利用垂径定理可得答案． 【详解】解：连接，如图， ∵， ∴， ∴， 当的值最小时，的值最大， ∴当时，最小，即此时的值最大，此时D、B两点重合， ∴， 即的最大值为1， 故选：D． 【举一反三】【变式1】（22-23九年级上·江苏无锡·期中）如图，在平面直角坐标系中，以原点O为圆心的圆过点，直线与交于B、C两点，则弦的长的最小值为（    ） A．22 B．24 C．10.5 D．12.5 【答案】B 【分析】对于直线，无论为何值时，恒经过点，记为点,即过圆内定点的所有弦中，与垂直的弦最短，过点作于点,即可求出，再根据垂径定理及勾股定理即可求出答案． 【详解】对于直线，无论为何值时，恒经过点，记为点， 过点作于点， 则有，， 即， 由于过圆内定点的所有弦中，与垂直的弦最短，如图所示， ∴当时，取最小值， ∵过点， ∴, ∴， ∵当时，有过圆内定点的弦最短， ∴根据垂径定理及勾股定理可得：， 故选：B． 【点睛】本题考查了垂径定理，一次函数以及勾股定理等知识，得出直线在无论为何值时，恒经过点，是解答本题的关键． 【变式2】（23-24九年级上·江苏连云港·阶段练习）在平面直角坐标系xOy中，以原点O为圆心的圆过点，一次函数（k为常数，且）的图像与交于B、C两点，则弦的长的最小值为 【答案】24 【分析】易知直线 过定点 ，运用勾股定理可求出 ，由条件可求出半径，由于过圆内定点 的所有弦中,与 垂直的弦最短,因此只需运用垂径定理及勾股定理就可解决问题． 【详解】解：对于直线 ，当 时，， 故直线 恒经过点 ，记为点 ； 过点 作 轴于点 ， 则有 ， ∵点A ， 由于过圆内定点 的所有弦中，与 垂直的弦最短， 如图所示，    因此运用垂径定理及勾股定理可得： 的最小值为 ； 故答案为：24． 【点睛】本题主要考查了直线上点的坐标特征、 垂径定理、勾股定理等知识，发现直线恒经过点 以及运用“过圆内定点 的所有弦中，与 垂直的弦最短“这个经验是解决该选择题的关键． 【变式3】（23-24九年级上·江苏连云港·阶段练习）如图，在中，弦，点C在上移动，连接，过点C作交于点D、E，则的最大值为 ． 【答案】 【分析】连接，由可知当最小时，最大；又，故当最小时，最大；所以当时满足题意，据此即可求解． 【详解】解：连接，如图所示： ∵， 为的半径，其值一定， ∴当最小时，最大， ∵ ∴当最小时，最大， ∵点C在上移动， ∴当时，最小 此时，点与点（或点）重合，点与点（或点）重合， ∴的最大值为 故答案为： 【点睛】本题考查了垂径定理的相关知识点，得出当时，最小，最大，也最大是解题关键． 【题型二】利用将军饮马模型求最值 【例2】如图，已知的直径的度数为，它的另一边交于点，点为弧的中点，点为直径上的一个动点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了圆周角定理，轴对称的性质，勾股定理等知识．熟练掌握圆周角定理，轴对称的性质，勾股定理是解题的关键． 如图，作点关于直径的对称点，连接，，则，，由，可知当三点共线时，此时的值最小，由点为弧的中点，可求，则，由勾股定理求，进而可得结果． 【详解】解：如图，作点关于直径的对称点，连接，， ∴，， ∴， ∴当三点共线时，此时的值最小， ∵点为弧的中点， ∴， ∴， ∴， 由勾股定理得，， 故选：B． 【举一反三】【变式1】（21-22九年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，菱形ABCD中，∠A＝60°，AB＝3，⊙A、⊙B的半径分别为2和1，点P、E、F分别是边CD、⊙A和⊙B上的动点，则PE＋PF的最小值是（    ） A．1 B．2 C．2.5 D．3 【答案】D 【分析】利用菱形的性质以及圆的性质得出与重合时的最小值，进而求出即可． 【详解】解：如图，作点关于直线的对称点，连接，延长交于点，连接，， 四边形是菱形，，AB＝3， ，， 、是等边三角形 ， ∴， ， ， ， ，，在一条直线上， 由题意可得出：当与重合，点在上，在上时，最小， ∵，⊙A、⊙B的半径分别为2和1， ，， 的最小值是3． 故选：D． 【点睛】此题主要考查了菱形的性质，等边三角形的判定与性质，轴对称的性质以及圆的性质等相关知识，根据题意得出点位置是解题关键． 【变式2】（20-21九年级上·江苏扬州·阶段练习）如图，MN为⊙O的直径，A、B是⊙O上的两点，过A作AC⊥MN于点C，过B作BD⊥MN于点D，P为DC上的任意一点，若MN＝20，AC＝8，BD＝6，则PA+PB的最小值是（　　）．    A．20 B． C．14 D． 【答案】B 【分析】连接OA、OB，根据AC⊥MN，BD⊥MN，经勾股定理计算得到OC、OD；延长BD与⊙O相交于点G，推导得当点P在直线AG上时，取最小值；过G作GH⊥AC于点H，经证明四边形是矩形，并经勾股定理计算即可得到AG的值，即可完成求解． 【详解】如图，连接OA、OB    ∵AC⊥MN，BD⊥MN ∴， ∵MN＝20，A、B是⊙O上的两点 ∴ ∴， ∴， ∴ 延长BD与⊙O相交于点G ∵MN为⊙O的直径，BD⊥MN ∴， ∴ 当点P在直线AG上时，取最小值，且最小值 过G作GH⊥AC于点H 又∵AC⊥MN，BD⊥MN ∴，， ∴四边形是矩形 ∴， ∴ ∴ ∴PA+PB的最小值是： 故选：B． 【点睛】本题考查了勾股定理、圆的垂径定理、矩形、两点之间线段最短的知识；解题的关键是熟练掌握勾股定理、垂径定理、矩形、两点之间线段最短的性质，从而完成求解． 【变式3】（22-23九年级上·江苏盐城·期中）在矩形中，，，点N是线段的中点，点E，G分别为射线，线段上的动点，交以为直径的圆于点M，则的最小值为 ． 【答案】8 【分析】作关于的对称点，取中点，连接，，，由题意可得出点的运动轨迹，同时通过作点关于的对称点的方式可以将进行转换，进而即可求解． 【详解】解：如图所示，作关于的对称点，取中点，连接，，． 可得， 在以为直径的圆上， ， 为直角三角形，点M在以为直径的圆上， 为斜边的中点， ， 此时当，，三边共线时，有长度的最小值等于， ，分别是，的中点， ，， ， ， 长度的最小值为13，   ， 的最小值为， 故答案为：8． 【点睛】本题主要考查了轴对称问题、勾股定理、直角三角形斜边中线定理及圆的基本性质，本题的重难点在于找出点的运动轨迹，属于中等题 【题型三】利用圆外点到圆的距离求最值 【例3】（22-23九年级上·江苏徐州·阶段练习）如图，已知直线与轴、轴分别交于、两点，是以为圆心、半径为1的圆上的一动点，连接、．则面积的最大值是（    ）    A．21 B．33 C． D．42 【答案】B 【分析】求出A、B的坐标，根据勾股定理求出，求出点C到的距离，即可求出圆C上点到的最大距离，根据面积公式求出即可． 【详解】解：∵直线与x轴、y轴分别交于A、B两点， ∴A点的坐标为，B点的坐标为， 即，由勾股定理得：， 过C作于M，连接，    则由三角形面积公式得：， 即：， ∴， ∴圆C上点到直线的最大距离是：， ∴面积的最大值是； 故选：B． 【点睛】本题考查了三角形的面积，勾股定理等知识，解此题的关键是求出圆上的点到直线的最大距离． 【举一反三】【变式1】（22-23九年级下·江苏宿迁·阶段练习）在平面直角坐标系中，以为圆心，为半径作圆，M为上一点，若点N的坐标为，则线段的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据的坐标可确定其为直线上一点，进而通过直线和圆的位置关系结合图象得出的最大值． 【详解】解：点的坐标为， 点为直线上任意一点，如下图所示： 直线为函数的图象，则为直线上一点，为上一点， 由图象可知：过点作垂线，当、分别是垂线与、的交点时，的长度最大， 此时：， 把代入得：， 把代入得：，解得：， ∴，， ， ， ， ， 此时，故D正确． 故选：D． 【点睛】本题主要考查直线与圆的位置关系，勾股定理，一次函数应用，熟练掌握与圆相关的最值问题解决方法是解题关键 【变式2】（24-25九年级上·江苏连云港·期中）如图，已知直线 与轴、轴分别交于、两点， 是以为圆心、半径为 的圆上的一动点，连接、．则 面积的最大值是 【答案】 【分析】本题考查一次函数图象上点的特征、点与圆的位置关系等知识，如图过点作于，延长交于．点与重合时，的面积最大，求出、的值即可解决问题． 【详解】解：如图过点作于，延长交于． 直线的解析式为 点的坐标为，点的坐标为， 即，，由勾股定理得：， 过作于，连接， ： ， ， 圆上点到直线的最大距离是， 面积的最大值是， 故答案为：． 【变式3】（20-21九年级上·江苏泰州·阶段练习）如图，⊙O是以原点为圆心，2为半径的圆，点P是直线y＝－x＋8上的一点，过点P作⊙O的一条切线PQ，Q为切点，则切线长PQ的最小值为 ．    【答案】 【分析】连接OP、OQ，设P（m，﹣m+8），根据切线性质可得PQ⊥OQ，根据勾股定理列出关于m的函数关系式，根据二次函数求最值的方法求解即可． 【详解】解：连接OP、OQ，设P（m，﹣m+8）， ∵PQ为⊙O的切线，Q为切点， ∴PQ⊥OQ， 在Rt△OPQ中，由勾股定理得：PQ2=PO2﹣OQ2， 即PQ2=m2+(﹣m+8)2﹣（）2 =2m2﹣16m+52 =2（m﹣4）2+20， ∵2＞0， ∴当m=4时，PQ2有最小值，最小值为20， 则切线长PQ的最小值为， 故答案为：．    【点睛】本题考查了圆的切线性质、一次函数图象上点的坐标特征、勾股定理、配方法、二次函数的性质，熟练掌握圆的切线性质和二次函数的性质是解答的关键． 【题型四】利用直线与圆的特殊位置关系求最值 【例4】（21-22九年级上·江苏扬州·期中）在平面直角坐标系中，已知点A、B的坐标分别A、B．以为斜边在右上方作．设点C坐标为，则的最大值为（　　） A． B． C．4 D． 【答案】A 【分析】根据以AB为斜边在右上方作，可知点C在以为直径的上运动，根据点C坐标为，可构造新的函数，则函数与y轴交点最高处即为的最大值，此时，直线与相切，再根据圆心点D的坐标，可得C的坐标为，代入直线，可得，即可得出的最大值为． 【详解】解：由题可得，点C在以为直径的上运动， 点C坐标为，可构造新的函数，则函数与y轴交点最高处即为的最大值， 此时，直线与相切，交x轴与E，如图所示， ∴E、F， ∴， ∴是等腰三角形，， 连接， ∵A、B， ∴D， ∴， ∴， 根据可得，C、D之间水平方向的距离为，铅垂方向的距离为， ∴C， 代入直线，可得 ， 解得， ∴的最大值为， 故选：A． 【点睛】本题主要考查了切线的性质，待定系数法求一次函数解析式以及等腰直角三角形的性质的综合应用，解决问题的关键是构造一次函数图象，根据圆的切线垂直于经过切点的半径进行求解． 【举一反三】【变式1】（24-25九年级上·江苏徐州·期中）如图，在矩形中，，，是边上一动点（不含端点），将沿直线对折，得到，当射线交线段于点P时，连接，则的最大值为 ． 【答案】 【分析】本题考查翻折变换（折叠问题），矩形的性质及勾股定理，熟悉翻折变换的性质是解答本题的关键． 当点和重合时，的值最大，画出图形，利用勾股定理构造方程即可解答． 【详解】解：在中，， 当最大时，最大， 由题意可得点是在以为圆心,为半径的圆上运动，当射线与圆相切时，此时三点共线，点和重合，如图： ,,, , , , 设，则， 在中， , 即， 解得， ， 故答案为：． 【变式2】（23-24九年级上·江苏泰州·阶段练习）在中，且，点E是上一动点，连接，过点E作的垂线，交边于点F，则的最大值为 ．    【答案】 【分析】本题考查了圆周角定理、圆的切线的性质、勾股定理、一元二次方程的应用等知识，正确得出点的位置是解题关键．取的中点，连接，先确定出点为以点为圆心，为直径的圆与边的交点，从而可得当与相切时，最小，取最大值，再设，则，在中，利用勾股定理可求出的值，由此即可得． 【详解】解：如图，取的中点，连接，    由圆周角定理可知，点为以点为圆心，为直径的圆与边的交点， ， 则当取最大值时，最小，即最小， 由圆的性质可知，当与相切时，最小， 则此时， ∵在中，且， ，， 是等腰直角三角形， ， 设，则， 在中，，即， 解得或（不符合题意，舍去）， ， ， 所以的最大值为， 故答案为：． 【变式3】在中，，，D，E分别是，的中点，若等腰绕点A逆时针旋转，得到等腰，记直线与的交点为P，则点P到所在直线的距离的最大值为 ． 【答案】/ 【分析】首先作PG⊥AB，交AB所在直线于点G，则D1，E1在以A为圆心，AD为半径的圆上，当BD1所在直线与⊙A相切时，直线BD1与CE1的交点P到直线AB的距离最大，此时四边形AD1PE1是正方形，进而求出PG的长． 【详解】解：如图，作PG⊥AB，交AB所在直线于点G， ∵D1，E1在以A为圆心，AD为半径的圆上， 当BD1所在直线与⊙A相切时，直线BD1与CE1的交点P到直线AB的距离最大， 此时四边形AD1PE1是正方形， ∵∠CAB=90°，AC=AB=4，D，E分别是AB，AC的中点， ∴AD=AE1=AD1=PD1=2， 则BD1=， 故∠ABP=30°， 则PB=2+2， ∴PG=PB=， 故点P到AB所在直线的距离的最大值为：PG=． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了旋转的性质以及等腰腰直角三角形的性质和勾股定理以及切线的性质等知识，根据题意得出PG的最长时P点的位置是解题关键． 【题型五】利用定点定长构造辅助圆求最值 【例5】（22-23九年级上·江苏宿迁·期中）如图，在平面直角坐标系中，半径为4的与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，D，连接BC，已知x轴上一点，点Q是上一动点，连接，点M为的中点，连接，则面积的最小值为（　　） A． B． C．12 D．16 【答案】B 【分析】连接，由三角形的中位线定理求得，得M点在以A点为圆心，2为半径的圆上运动，当M点为与的交点时，的面积最小，求出此时的面积便可． 【详解】解：连接， ∵， ∴， ∵为直径， ∴， 由题意知，点M在以A为圆心，2为半径的上运动， 当M点为与的交点时，点M到 的距离最短为， ∴ △BCM面积的最小值为∶ ， 故选：B． 【点睛】本题考查坐标与图形，圆周角定理，勾股定理，三角形的中位线定理，关键在于确定M点的运动轨迹． 【举一反三】【变式1】（20-21九年级上·江苏无锡·期末）如图，在平面直角坐标系中，动点A、B分别在x轴上和函数y＝x的图象上，AB＝4，CB⊥AB，BC＝2，则OC的最大值为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据与轴的夹角为，以为斜边作等腰直角三角形，连接，则，根据勾股定理求得的长，进而证明是直角三角形，求得的长，根据，即可求得的最大值 【详解】解：如图，以为斜边作等腰直角三角形，连接， 与轴的夹角为， 在上， ，， ， 中, 过点作于点，如图 则 当三点共线时，取得最大值， 最大值为 故选A 【点睛】本题主要考查了勾股定理，同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，找到是解决本题的关键． 【变式2】（22-23九年级上·江苏泰州·阶段练习）如图，点A，B的坐标分别是，，点C为坐标平面内一动点，，点M为线段AC的中点，连接OM，则OM的最小值为 ． 【答案】 【分析】先证点在半径为1的上，可知，在与圆的交点时，最小，根据三角形的中位线定理可得结论． 【详解】解：，， ， 点为坐标平面内一点，， 在上，且半径为2， 取，连接， 为线段的中点，， 是的中位线， ， 当最小时，最小， ∴当在线段上时，CD最小，即最小， ，， ， ， ， 即的最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了坐标和图形的性质，三角形的中位线定理等知识，确定为最小值时点的位置是关键． 【变式3】（24-25九年级上·江苏宿迁·期末）如图，点，的坐标分别为，，点为坐标平面内一点，，点为线段的中点，连接，则的最大值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了圆周角定理、三角形中位线的性质、勾股定理，取的中点，，连接，延长交于点，连接，取的中点，连接，由题意可得在为直径的圆上运动，从而可得当点与点重合时，最长，即为，再由当最大时，即最大，而、、三点共线时，当在的延长线上时，最大，最后由勾股定理计算即可得解． 【详解】解：如图，取的中点，，连接，延长交于点，连接，取的中点，连接， ， ∵点为坐标平面内一点，， ∴， ∴在为直径的圆上运动， ∴当点与点重合时，最长，即为， ∵，，为的中点，点为线段的中点， ∴当最大时，即最大，而、、三点共线时，当在的延长线上时，最大值即为的值， ∴，， ∴， ∴， ∴点与点重合时，最大，最大值为， 故答案为：． 【题型六】利用定弦定角构造辅助圆求最值 【例6】（22-23九年级上·江苏扬州·期中）如图，在中，，点D为的中点，点P在上，且，将绕点C在平面内旋转，点P的对应点为点Q，连接，当时，的最大值为（　　） A．2 B． C． D．5 【答案】D 【分析】以点C为圆心，为半径作圆，连接并延长，交于点和Q，连接，根据题意可得，根据分析图中即为所求的最大值，在中，根据勾股定理即可求解． 【详解】解：如图，以点C为圆心，为半径作圆，连接并延长，交于点和Q，连接， ， ， ∵点D为的中点， ， ∵绕点C在平面内旋转，点P的对应点为点Q， ∴点Q在以点C为圆心，为半径的圆上， ， ∴点三点共线， 由图可知，Q可能在线段上，也可能在延长线上， 要求的最大值，即求图中的长， ， ， 在中， 由勾股定理得， ∴的最大值为5． 故选：D． 【点睛】本题主要考查勾股定理、旋转的性质、等腰直角三角形，分析出当时，点Q有两种情况，并找出的最大值是解题关键． 【举一反三】【变式1】（23-24九年级上·浙江金华·期中）如图，在中，，，，点D是其内部一动点，且，则C，D两点的最小距离为（    ）    A．3 B．4 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查点与圆位置关系、圆周角定理、最短问题等知识，解题的关键是确定点D位置，学会求圆外一点到圆的最小、最大距离．首先证明点D在以为直径的上，连接与交于点D，此时最小，利用勾股定理求出即可解决问题． 【详解】解：∵在中，，，，    ∴由勾股定理，得， 如图，取的中点O，连接，交圆于点， ∵，， ∴， ∴， ∴E点在以O为圆心，半径为的圆上运动，当O，D，C三点在同一直线上时，最短， 此时， 在中， 由勾股定理，得， 故的最小值为： ， 故选：C． 【变式2】如图，点在半圆上，半径，，点在弧上移动，连接，作，垂足为，连接，点在移动的过程中，的最小值是 ． 【答案】 【分析】先确定点H的运动轨迹，再根据点与圆的位置关系可得取最小值时，点H的位置，然后利用圆周角定理、线段的和差即可得． 【详解】如图，设AD的中点为点E，则 由题意得，点H的运动轨迹在以点E为圆心，EA为半径的圆上 由点与圆的位置关系得：连接BE，与圆E交于点H，则此时取得最小值， 连接BD AB为半圆O的直径 故答案为：． 【点睛】本题考查了圆周角定理、点与圆的位置关系、勾股定理等知识点，依据题意，确定点H的运动轨迹，从而得出BH取最小值时，点H的位置是解题关键． 【变式3】如图，在中，，，，过点作的平行线，为直线上一动点，为的外接圆，直线交于点，则的最小值为 ． 【答案】2 【分析】如图，连接CE．首先证明∠BEC=120°，根据定弦定角，可得点E在以M为圆心，MB为半径的上运动，连接MA交于E′，此时AE′的值最小． 【详解】解：如图，连接CE． ∵AP∥BC， ∴∠PAC=∠ACB=60°， ∴∠CEP=∠CAP=60°， ∴∠BEC=120°， ,为定值，则点E的运动轨迹为一段圆弧 如图，点E在以M为圆心，MB为半径的上运动，过点作 ∴中优弧度数为=240°，则劣弧度数为120° ∴△BMC是等腰三角形，∠BMC=120°， ∵∠BCM=30°，BC=， ∴MB=MC=8， ∴连接MA交于E′，此时AE′的值最小． ∵∠ACB=60°，∠BCO=30°， ∴∠ACM=90°， ∴MA==， ∴AE的最小值为=． 故答案为：2 【点睛】本题考查三角形的外接圆与外心、平行线的性质、圆周角定理、勾股定理，点与圆的位置关系等知识，解题的关键是添加常用辅助线，构造辅助圆解决问题． 【题型七】利用四点共圆求最值 【例7】（24-25九年级上·江苏扬州·期末）如图，两条互相垂直的射线，，相交于点O，以为斜边的直角三角板的两个锐角顶点分别在两条射线上，且，，，连接，则面积的最大值为（    ） A． B． C．3 D．2 【答案】A 【分析】首先证明出点B，O，A，C四点在以为直径的圆上，设以为直径的圆的圆心为D，连接，过点D作于点H，证明出是等边三角形，得到，当所在直线经过点O时，有最大值，然后求出，进而求解即可． 【详解】∵， ∴点B，O，A，C四点在以为直径的圆上， 如图所示，设以为直径的圆的圆心为D，连接，过点D作于点H， ∵， ∴是等边三角形 ∴ ∴当所在直线经过点O时，面积有最大值 ∴ ∴ ∴ ∴面积的最大值． 故选：A． 【点睛】此题考查了圆内接四边形的性质，等边三角形的性质和判定，勾股定理等知识，解题的关键是得到B，O，A，C四点在以为直径的圆上 【举一反三】【变式1】（24-25八年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，直线分别与轴、轴相交于点、．点在平面内，，点，则长度的最大值是 ． 【答案】 【分析】取的中点，连接，根据直角三角形斜边中线的性质可得，则点在以点为圆心，为半径的圆上，然后求出点、的坐标，利用中点坐标公式求得，利用勾股定理求出、，根据点与点重合可知，当与重合时，取最大值，最大值为即可求解． 【详解】解：如图，取的中点，连接， ∵点在平面内，， ∴在中，， ∴点在以点为圆心，为半径的圆上， 在直线中，当时，； 当时，， ∴，， ∴，， ∴， ∴ ∵， ∴ ∵ ∴点、、三点共线时，取最大值，最大值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了直角三角形斜边中线的性质，圆的概念，一次函数的图象和性质，勾股定理；熟练掌握直角三角形的性质及一次函数的性质是解题的关键． 【变式2】如图，正方形ABCD的边长为4，点E是正方形外一动点，且点E在CD的右侧，，P为AB的中点，当E运动时，线段PE的最大值为 ． 【答案】2+2 【分析】连接AC，设正方形ABCD的外接圆为⊙O，根据正方形的性质得到 ∠ACD = ∠AED=45°，进而得到点E在正方形ABCD的外接圆⊙O上，PE≤OP+ OE，当点P、O、E三点共线时，PE最大，即PE最大值为OP+ OE，根据三角形中位线的性质求出OP，利用勾股定理求出AC，得到OE，即可得到答案． 【详解】解：连接AC，设正方形ABCD的外接圆为⊙O，如图， ∵ABCD是正方形， ∴∠ACD = 45°， ∵∠AED=45°， ∴点E在正方形ABCD的外接圆⊙O上， ∴PE≤OP+ OE， 当点P、O、E三点共线时，PE最大，即PE最大值为OP+ OE， ∵ P是AB的中点，O是AC中点， ∴OP=BC =×4=2， 在Rt△ABC中，由勾股定理，得， ∴OE= OA=AC= 2， ∴PE最大值=OP+ OE= 2+ 2， 故答案为：2+2． 【点睛】此题考查了正方形的性质，四点共圆的性质，三角形中位线的性质，直角三角形斜边中线的性质，勾股定理，熟练掌握各知识点并应用是解题的关键 【变式3】如图1，在正方形中，点在边上，过点作，且，连接、，点是的中点，连接．    （1）用等式表示线段与的数量关系：______； （2）将图1中的绕点按逆时针旋转，使的顶点恰好在正方形的对角线上，点仍是的中点，连接、． ①在图2中，依据题意补全图形； ②用等式表示线段与的数量关系并证明． 【答案】（1）；（2）①画图见解析；②，证明见解析 【分析】（1）先判断出△AGB≌△CGB，得到∠GBF＝45°，再判断出△EFG≌△CFG，得到∠GFB＝45°，从而得到△BGF为等腰直角三角形，即可． （2）①画图2即可；②如图2，连接BF、BG，证明△ADF≌△ABF得DF＝BF，根据直角三角形斜边中线的性质得：AG＝EG＝BG＝FG，由圆的定义可知：点A、F、E、B在以点G为圆心，AG长为半径的圆上，∠BGF＝2∠BAC＝90°，所以△BGF是等腰直角三角形，可得结论． 【详解】解：（1）BF＝， 理由是：如图1，连接BG，CG，    ∵四边形ABCD为正方形， ∴∠ABC＝90°，∠ACB＝45°，AB＝BC， ∵EF⊥BC，FE＝FC， ∴∠CFE＝90°，∠ECF＝45°， ∴∠ACE＝90°， ∵点G是AE的中点， ∴EG＝CG＝AG， ∵BG＝BG， ∴△AGB≌△CGB（SSS）， ∴∠ABG＝∠CBG＝∠ABC＝45°， ∵EG＝CG，EF＝CF，FG＝FG， ∴△EFG≌△CFG（SSS）， ∴∠EFG＝∠CFG＝（360°﹣∠BFE）＝（360°﹣90°）＝135°， ∵∠BFE＝90°， ∴∠BFG＝45°， ∴△BGF为等腰直角三角形， ∴BF＝FG． 故答案为：BF＝FG； （2）①如图2所示，    ②；理由如下： 如图2，连接BF、BG， ∵四边形ABCD是正方形， ∴AD＝AB，∠ABC＝∠BAD＝90°，AC平分∠BAD， ∴∠BAC＝∠DAC＝45°， ∵AF＝AF， ∴△ADF≌△ABF（SAS）， ∴DF＝BF， ∵EF⊥AC，∠ABC＝90°，点G是AE的中点， ∴AG＝EG＝BG＝FG， ∴点A、F、E、B在以点G为圆心，AG长为半径的圆上， ∵，∠BAC＝45°， ∴∠BGF＝2∠BAC＝90°， ∴△BGF是等腰直角三角形， ∴BF＝FG， ∴DF＝FG． 【点睛】本题是四边形综合题，主要考查了正方形的性质，直角三角形斜边中线的性质，全等三角形的判定和性质，圆的性质，判断△BGF为等腰直角三角形是解本题的关键，作出辅助线是解本题的难点． 好题必刷 一、单选题 1．（24-25九年级上·江苏无锡·期中）如图，在平面直角坐标系中，的半径为，点在经过点，的直线上，与相切于点，则切线长的最小值为（   ） A． B． C．3 D． 【答案】B 【分析】本题考查了切线的判定与性质、坐标与图形性质以及矩形的性质等知识点．连接．根据勾股定理知，因为是定值，所以当时，线段最短，即线段最短． 【详解】连接、． 是的切线， ； 根据勾股定理知， 当时，线段最短； 又，， ， ， 的最小值． 故选B． 2．（23-24九年级上·江苏宿迁·期中）如图，正方形中，，E是的中点．以点C为圆心，长为半径画圆，点P是上一动点，点F是边上一动点，连接，若点Q是的中点，连接，，则的最小值为（    ） A． B． C．6 D． 【答案】B 【分析】取点B关于直线的对称点M，连接，两线交于点O，连接，，，过O作于点N，根据勾定理求出，结合四点共线时最小即可得到答案； 【详解】解：取点B关于直线的对称点M，连接，两线交于点O，连接，，，过O作于点N， ∵点Q是的中点， ∴， ∴点Q在以O为圆心，半径为1的圆上运动， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∵， ∴ ∴， ∵， ∴当、 、、四点共线时的值最小， ， ∴的最小值为： ， 故选：B． 【点睛】本题考查轴对称最小距离和问题，正方形的轴对称性质，圆上动点最小距离问题，勾股定理，解题的关键是找到点Q的轨迹． 3．（24-25九年级上·江苏南京·阶段练习）如图，矩形中，，，点是矩形内一动点，且，连接，，则面积的最小值为（    ） A． B．4 C．3 D． 【答案】B 【分析】本题考查点与圆的位置关系，矩形的性质，圆周角定理等知识，解题的关键是理解题意灵活运用所学知识解决问题．根据题意得出点在为直径的圆，在矩形内的半圆上运动，则点到的最短距离为1，进而根据三角形的面积公式，即可求解． 【详解】解：，点是矩形内一动点， 点在为直径，在矩形内的半圆上运动， 矩形中，，， ， 如图所示，取的中点，则 点到的最短距离为， 面积的最小值为， 故选：B． 4．（24-25九年级上·江苏镇江·阶段练习）如图，四边形是的内接四边形，，，为上一点，，则的最小值为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】如图，以边为斜边，在的下方构造等腰直角，以为圆心，为半径作，在的优弧上取一点，连接、，连接，，，，由勾股定理及圆周角定理的推论得，是的直径，根据等腰直角三角形的性质得，，从而，点在定圆的上运动，利用勾股定理得，进而利用三角形的三边关系即可得解． 【详解】解：如图，以边为斜边，在的下方构造等腰直角，以为圆心，为半径作，在的优弧上取一点，连接、，连接，，，， ∵，， ∴，是的直径， ∵， ∴， ∵是等腰直角三角形， ∴，， ∴，， ∴， ∴点在定圆的上运动， ∴根据三角形的两边只差小于第三边得，当、、三点共线时，最小， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的最小值为， 故选∶． 【点睛】本题主要考查了圆内接四边形的性质，圆周角定理的推论，勾股定理，等腰三角形的性质，三角形的三边关系，熟练掌握圆内接四边形的性质，圆周角定理的推论，勾股定理是解题的关键． 二、填空题 5．（23-24九年级下·江苏南通·期末）如图所示，点A是半圆上一个三等分点，点B是的中点，点P是直径上一动点，若的直径为2，则的最小值是 ．    【答案】 【分析】作点关于的对称点，连接交于点，连接，由三角形两边之和大于第三边即可得出此时最小，连接，根据点是半圆上一个三等分点、点是的中点，即可得出，再利用勾股定理即可求出的值，此题得解． 本题考查了圆心角、弧、弦的关系，轴对称中最短路线问题，三角形的三边关系以及勾股定理，根据三角形的三边关系确定取最小值时点的位置是解题的关键． 【详解】解：作点关于的对称点，连接交于点，连接， 此时最小，连接，如图所示．   点和点关于对称， ． 点是半圆上一个三等分点，点是的中点， ，， ． ， ． 故答案为：． 6．（24-25九年级上·江苏泰州·阶段练习）如图，在中，，点D为边上一动点，连接，以为斜边在右侧作，，连接，随着点D的运动，的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了圆周角定理、勾股定理、直角三角形的性质、四点共圆等知识点，正确作出辅助线、发现点E的轨迹是解题的关键． 如图：过C作于H，由勾股定理、直角三角形的性质、等腰三角形的性质可得、、，即为等腰直角三角形；如图：取的中点O，连接，易证点C、D、H、E四点共圆，根据圆周角定理可得，进而得到点E在过H且与夹角为的直线上，记该直线为l以及，最后根据垂线段最短以及勾股定理即可解答． 【详解】解：如图：过C作于H， ∵， ∴，，， ∴为等腰直角三角形， 如图：取的中点O，连接， ∴， ∴点C、D、H、E四点共圆， ∵， ∴， ∴点E在过H且与夹角为的直线上，记该直线为l， ∴ 当时，取最小值，则， ∴， ∴． 故答案为：． 7．（24-25九年级上·江苏盐城·期中）如图，，，，是线段上的一个动点，以为直径画分别交于，连接，则线段长度的最小值为 ． 【答案】 【分析】如图所示，连接，过点作于点，过点作于点，根据圆周角定理可得，由垂径定理可得，，，在中，根据含角的直角三角形的性质可得，，当最小时，的值最小，当时，即的值，此时的值最小，即的值最小，根据，可得是等腰直角三角形，由勾股定理可得的值，由此即可求解． 【详解】解：如图所示，连接，过点作于点，过点作于点， ∴，，， ∴， 在中，， ∴，， ∴， ∴， ∴当最小时，的值最小， 当时，即的值，此时的值最小，即的值最小， ∵， ∴是等腰直角三角形，即， ∴， ∴， ∴的最小值为， ∴的最小值为， 故答案为： ． 【点睛】本题考查了圆周角定理，垂径定理，含角的直角三角形的性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，垂线段最短等知识的综合，掌握圆周角定理，垂径定理，最短路径的计算方法是解题的关键． 8．（23-24九年级上·江苏徐州·期中）如图，已知正方形的边长为2，点O是边的中点，G为正方形内一动点，且．点P是边上另一动点，连接、，则的最小值为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了轴对称求最短线段，矩形和正方形的性质，圆的定义，勾股定理等知识，利用对称的性质作线段的等量转移是解题关键．作点关于直线的对称点，连接，以为圆心，长为半径作圆，点在圆上运动，、与交于点、，则，，，当点、在、位置时，此时点、、、四点共线，有最小值为长，过点作于点，求出，即可求解． 【详解】解：正方形的边长为2，点O是边的中点， ，，， 如图，作点关于直线的对称点，连接，以为圆心，长为半径作圆，点在圆上运动，与与交于点、， 则，，， ， 当点、在、位置时，此时点、、、四点共线，有最小值为长， 过点作于点，则四边形是矩形， ，， ， ， 的最小值为， 的最小值为，即， 故答案为：． 9．（24-25九年级上·江苏宿迁·期中）如图，在中，是内一动点，为的外接圆，交直线于点，交边于点，若，则的最小值为 ． 【答案】/ 【分析】根据得，再由可得到，于是点在以为弦，的圆弧上运动，再由可证明，从而算出，A，D，M三点共线时，最小，求出此时的长即可． 【详解】解：， ， ， ， ， 点在以为弦，的圆弧上运动， 如图，设点运动的圆弧圆心为，取优弧上一点，连接， ， ， ， 是等边三角形， ， ， ， ， A，D，M三点共线时，最小， 此时， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了圆周角定理、等边三角形的判定与性质、勾股定理，点圆最值问题，熟练掌握圆周角定理、等边三角形的判定与性质、勾股定理，添加适当的辅助线是解题的关键． 三、解答题 10．（2022九年级上·江苏·专题练习）如图，已知正方形的边长为，点是以为直径的半圆上的一动点，点是边上另一动点，连接，求的最小值． 【答案】 【分析】取点关于直线的对称点，连接交于点，交半圆于点，连接．连接并延长交于点．根据圆周角定理，得出，再根据对称的性质，得出是线段的垂直平分线，再根据垂直平分线的性质，得出，进而得出，再根据两点之间线段最短，得出此时最小，最小值即为的长，再根据勾股定理，得出的长，再根据线段之间的数量关系，即可得出的长，进而得出的最小值． 【详解】解：如图，取点关于直线的对称点，连接交于点，交半圆于点，连接．连接并延长交于点． ∵点在半圆上， ∴， ∵点关于直线的对称点为点， ∴是线段的垂直平分线， ∴， ∴， 由两点之间线段最短可知，此时最小，最小值即为的长． ∵，， ∴， ∵正方形的边长为，即， ∴， ∴， ∴的最小值为． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质、对称的性质、最短距离问题、勾股定理、圆周角定理，解本题的关键在熟练掌握相关的性质定理，并正确作出辅助线． 11．（22-23九年级上·江苏扬州·阶段练习）如图，在中，，于点O，于点E，以点O为圆心，OE为半径作半圆，交AO于点F． (1)求证：是的切线； (2)若点F是OA的中点，，求图中阴影部分的周长； (3)在（2）的条件下，点P是BC边上的动点，当取最小值时，直接写出BP的长． 【答案】(1)见解析 (2)； (3) 【分析】（1）作于H，如图，利用等腰三角形的性质得平分，再根据角平分线性质得，然后根据切线的判定定理得到结论； （2）先确定，，再计算出，然后根据弧长公式，计算的长，即可得出阴影部分的周长进行计算； （3）作F点关于的对称点，连接交于P，如图，利用两点之间线段最短得到此时最小，通过证明得到最小值为，然后计算出和得到此时的长． 【详解】（1）证明：作于H，如图， ∵，于点O， ∴平分， ∵，， ∴， ∴是的切线； （2）解：∵点F是的中点， ∴， 而， ∴，， ∴， ∴的长为：， 图中阴影部分的周长：； （3）解：作F点关于的对称点，连接交于P，如图， ∵， ∴，此时最小， ∵， ∴， 而， ∴， ∴， ∴， 即最小值为， 在中，， 在中，， ∴， 即当取最小值时，BP的长为． 【点睛】本题考查了弧长公式，切线的判定与性质：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线；圆的切线垂直于经过切点的半径．判定切线时“连圆心和直线与圆的公共点”或“过圆心作这条直线的垂线”．也考查了等腰三角形的性质和最短路径问题． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$