第四章 等可能条件下的概率（知识回顾+5重难点题型）（讲义）-2025-2026学年九年级数学上册考试满分全攻略同步备考系列（苏科版）

第四章 等可能条件下的概率 题型梳理 题型方法 题型一 等可能性 题型二 列表法或树状图法求概率 题型三 几何概率 题型四 游戏的公平性 题型五 转盘中的概率 知识清单 知识点1.等可能性（重点） 一般地，设一个试验的所有可能发生的结果有n个，它们都是随机事件，每次试验有且只有其中的一个结果出现.如果每个结果出现的机会均等，那么我们说这n个事件的发生是等可能的，也称这个试验的结果具有等可能性. 知识点2.等可能条件下的概率（古典概型）（重点） 一般地，如果一个试验有n个等可能的结果，当其中的m个结果之一出现时，事件A发生，那么事件A发生的概率P（A）=（其中m是指事件A发生可能出现的结果数，n是指所有等可能出现的结果数）. 当一个随机事件在一次试验中的所有可能出现的结果是有限个，且具有等可能性时，只需列出一次试验可能出现的所有结果，就可以求出某个事件发生的概率. 一般地，等可能性条件下的概率计算方法和步骤是： （1）列出所有可能的结果，并判定每个结果发生的可能性都相等； （2）确定所有可能发生的结果的个数n和其中出现所求事件的结果个数m； （3）计算所求事件发生的可能性：P（所求事件）=. 知识点3.画树状图或列表计算概率（重点）（难点） 常用的列举法有两种：列表法和画树状图法. 1.列表法 当一次试验要涉及两个因素，并且可能出现的结果数目较多时，为不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用列表法. 列表法是用表格的形式反映事件发生的各种情况出现的次数和方式，以及某一事件发生的可能的次数和方式，并求出概率的方法. 2.画树状图法 当一次试验要涉及3个或更多个因素时，为了不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用树形图，也称树形图、树图. 树形图是用树状图形的形式反映事件发生的各种情况出现的次数和方式，以及某一事件发生的可能的次数和方式，并求出概率的方法. 题型方法 【题型一】等可能性 【例1】（24-25九年级下·江苏苏州）众所周知，八纲辩证是我国中医诊断学基础，八纲分别为阴阳、表里、寒热、虚实，每纲对应病症不同，则共有多少种病症．（　　） A． B． C． D． 【举一反三】【变式1】（20-21八年级上·江苏泰州·阶段练习）事件：打开电视，它正在播广告；事件：抛掷一个均匀的骰子，朝上的点数小于；事件：泰州的夏天下雪．个事件的概率分别记为、、，则、、的大小关系正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（20-21八年级下·江苏南京·期末）不透明的袋子中有除颜色外完全相同的4个红球和2个绿球，从袋子中随机摸出3个球，至少有1个红球是 ．（填“随机事件”，“必然事件”或“不可能事件”） 【变式3】（20-21八年级下·江苏南京·期中）如图是一个可以自由转动的转盘，它被分成了6个面积相等的扇形区域． （1）转动转盘，当转盘停止转动时，记录下指针所指区域的颜色，则下列说法错误的是______（填写序号）． ①转动6次，指针都指向红色区域，说明第7次转动时指针指向红色区域； ②转动10次，指针指向红色区域的次数一定大于指向蓝色区域的次数； ③转动60次，指针指向黄色区域的次数正好为10． （2） 怎样改变各颜色区域的数目，使指针指向每种颜色区域的可能性相同？写出你的方案． 【题型二】列表法或树状图法求概率 【例2】（24-25九年级上·江苏盐城·期中）“中华麋鹿园”“丹顶鹤自然保护区”“盐城大纵湖旅游景区”和“黄海海滨国家森林公园”是盐城市四个有代表性的旅游景点．若小丽从这四个景点中随机选择两个景点游览，则这两个景点中有“丹顶鹤自然保护区”的概率是（　　） A． B． C． D． 【举一反三】【变式1】（24-25九年级上·江苏扬州·期末）如图所示的电路中，当随机闭合开关、、中的两个时，能够让灯泡发光的概率为（   ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25九年级上·江苏南京·期末）甲、乙、丙三人各自通过买到了某演唱会门票，三张票的座位是连续的，记甲乙座位相邻的概率为，甲乙座位不相邻的概率为，则 ．（填“”“”或“”号） 【变式3】（24-25九年级下·江苏宿迁·期中）跑在水美泗乡，3月30日下午，2025京东宿迁马拉松圆满收官．这场主打“体验感” “温馨感” “科技感”与“时尚感”的豪横赛事也获得了大众的好感，它不仅点燃了全民运动热情，更向世界展示了宿迁“项王故里、中国酒都、水润之城”的独特魅力．赛道中途补给站给参赛选手准备了A．小番茄，B．香蕉，C．黄瓜，D．面包四种补给（假设参赛选手选中每种补给的结果是等可能的）． (1)选手宿宿在经过补给站时，选中D．面包的概率是____； (2)请用列表或画树状图的方法，求参赛选手甲、乙两人经过同一补给站所选的补给中有B．香蕉的概率． 【题型三】几何概率 【例3】（23-24九年级上·江苏盐城·期末）某商场为吸引顾客设计了如图所示的自由转盘，当指针指向阴影部分时，该顾客可获得奖品一份，那么该顾客获奖的概率为（    ）    A． B． C． D． 【举一反三】【变式1】（23-24九年级上·江苏南京·期末）如图，转盘中各个扇形的面积相等，任意转动转盘次，当转盘停止转动时，指针指向白色区域的概率为（   ） A． B． C． D． 【变式2】（22-23九年级上·江苏无锡·期末）如图，一块飞镖游戏板由大小相等的小正方形格子构成．向游戏板随机投掷一枚飞镖（每次飞镖均落在纸板上），击中阴影区域的概率是 ． 【变式3】（23-24九年级上·江苏·期末）如图，一个等边三角形的飞镖盘被分成了若干个小等边三角形区域，向该飞镖盘投掷飞镖，假设投中飞镖盘上的每一点是等可能的（若投中边界或没有投中飞镖盘则重投1次），任意投掷飞镖1次，飞镖投中阴影部分的概率是 ． 【题型四】游戏的公平性 【例4】（2024九年级下·江苏·专题练习）小明与小亮做抛硬币游戏，连续抛四次硬币，当其中恰有三次结果相同时，小明赢，而当恰有两次结果相同时，小亮赢，其他情况不计输赢．你认为这个游戏对双方公平吗？ 【举一反三】【变式1】（23-24九年级上·江苏淮安·阶段练习）在一个不透明的口袋里装有3个球，3个球分别标有数字1，2，3，这些球除了数字以外完全相同． (1)如果从袋中任意摸出一个球，那么摸到标有数字是奇数的球的概率是 ； (2)小文和小明两位同学进行摸球游戏，游戏规则如下：先由小文随机摸出一个球，记下球的数字后放回，搅匀后再由小明随机摸出一个球，记下球的数字． 若两人摸出的球的数字和为奇数，则小文获胜； 否则小明获胜． 现请你利用树状图或列表的方法说明该游戏是否公平？ 【变式2】（24-25九年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图，转盘A中的4个扇形面积相等，转盘B中的6个扇形的面积相等，有人设计了如下游戏规则：甲、乙两人分别任意转动转盘A、B一次，当转盘停止转动时，将指针所落扇形中的2个数相乘，如果所得的积是偶数，则甲获胜；若所得的积是奇数，则乙获胜． (1)用列表法或树状图求出甲、乙两人分别获胜的概率； (2)当此游戏规则修改为：当转盘停止转动时，将指针所落扇形中的2个数字相加，如果所得的和是偶数，则甲获胜；若所得的和是奇数，则乙获胜，这样的规则公平吗？通过计算说明理由． 【变式3】（23-24九年级上·江苏南通·期末）如图，盒中装有完全相同的球，分别标有“A”， “B”， “C”，从盒中随意摸出一个球，并自由转动转盘（转盘被分为三个面积相等的扇形），小刚和小明用它们做游戏，并约定：如果所摸出的球上字母与转盘停止后指针对准的字母相同，则小明获得1分，如果不同，则小刚获得1分．    (1)你认为这个游戏公平吗？为什么？ (2)如果不公平，该如何修改约定，才能使游戏对双方公平？ 【题型五】转盘中的概率 【例5】（20-21九年级上·江苏苏州·期末）某商场元旦期间举行有奖促销活动，凡购买一定金额的商品可参与转盘抽奖．如图，转盘各个扇形的面积相等，分别标有数字1，2，3，4，5，顾客随机转动1次转盘，若指针指向奇数，则顾客中奖．某顾客转动1次转盘，中奖的概率为 ． 【举一反三】【变式1】如图，一个转盘被分为了A，B，C三个区域，自由转动转盘一次，当转盘停止时，指针指向A区域的概率是 ． 【变式2】（24-25九年级上·江苏苏州·期末）如图，转盘A，B中的各个扇形的面积分别相等，转盘A的3个扇形中分别标有数字1，2，3，转盘B的3个扇形中分别标有数字4，5，6． (1)现任意转动转盘A1次(若指针落在扇形的边界线上，则重转1次)，当转盘停止转动时，则指针落在标有数字1的扇形的概率为 ； (2)现任意转动转盘A，B各1次(若指针落在扇形的边界线上，则重转1次)，当转盘停止转动时，求转盘A，B的指针所落扇形中的两个数字之和为奇数的概率． (请用画树状图或列表等方法说明理由) 【变式3】（22-23九年级下·江苏泰州·期中）如图所示，甲、乙两个带指针的转盘分别被分成三个面积相等的扇形（两个转盘除表面数字不同外，其它完全相同），转盘甲上的数字分别是，转盘乙上的数字分别是（规定：指针恰好停留在分界线上，则重新转一次）.      (1)单独转动转盘甲，转盘甲指针指向正数的概率是 . (2)若同时转动两个转盘，转盘甲指针所指的数字记为，转盘乙指针所指的数字记为，请用列表法或树状图法求满足的概率. 好题必刷 一、单选题 1．（24-25九年级上·江苏苏州·期中）在一个不透明的袋子里装有除数字外完全相同的3个小球，上面分别标有数字2，3，4．先从袋中随机摸出一个小球，再从袋中剩下的2个小球中随机摸出一个小球．则摸出2个球上的数字之和为偶数的概率是（　　） A． B． C． D． 2．（22-23八年级下·江苏宿迁·期末）一只不透明的袋子中装有1个白球、2个黑球、3个红球，这些球除颜色外都相同，将球摇匀，从中任意摸出1个球，则摸到球的概率最大的是（　　） A．白球 B．黑球 C．红球 D．黄球 3．（20-21八年级下·江苏南京·期中）同时抛掷两枚质地均匀的骰子，则下列有关两枚骰子点数的事件中是必然事件是（    ） A．点数和大于1 B．点数差大于1 C．点数积大于1 D．点数商大于1 4．（24-25九年级上·江苏常州·期末）衣柜中挂着套不同颜色的服装，同一套服装的上衣与裤子的颜色相同，若从衣橱中各任取一件上衣和一条裤子，它们取自同一套的概率是（    ） A． B． C． D． 5．（24-25九年级上·江苏宿迁·期末）小明准备在2025年元旦去看电影，他想在《小小的我》《误杀3》《名侦探柯南-迷宫的十字路口》《床前明月咣》《帕丁顿熊3-秘鲁大冒险》这五个电影中选取两个去观看，他选取背面完全相同的五张卡片，在正面分别写上片名，然后背面向上，洗匀后随机抽取两张，则小明抽中《名侦探柯南-迷宫的十字路口》和《床前明月咣》的概率是（   ） A． B． C． D． 二、填空题 6．（22-23九年级上·江苏扬州·阶段练习）甲、乙两人分别从这3个景点随机选择2个景点游览，甲、乙两人选择的2个景点恰好相同的概率是 ． 7．（24-25九年级下·江苏泰州·阶段练习）抛掷两枚正方体骰子，用m和n分别表示两枚骰子朝上的点数，那么点数之和为 的可能性最大． 8．（20-21八年级下·江苏苏州·期中）一只不透明的袋子里装有4个红球，1个白球．每个球除颜色外都相同，则事件“从中任意摸出1个球，是白球”的事件类型是 ．（填“随机事件”“不可能事件”或“必然事件”） 三、解答题 9．（24-25九年级下·江苏无锡·期中）一个不透明的袋子中装有3个红球和2个白球，这些球除颜色外都相同． (1)从袋子中随机摸出1个球，求摸到红球的概率； (2)从袋子中同时摸出2个球，求摸到的两个球都是红球的概率．（请用“画树状图”或“列表”等方法写出分析过程） 10．（24-25九年级下·江苏无锡·期中）2025春晚宛如一座绚丽的文化宝库，向世人展示了众多精美绝伦、承载着深厚历史底蕴的非物质文化遗产手工艺品，以下是几种手工艺品的图片： A．潍坊风筝 B．东明粮画 C．青神竹编   D．延安剪纸 (1)小乐从这四幅图中随机选择一幅，恰好选中“C．青神竹编”的概率是_____． (2)为宣传非物质文化遗产，小乐先从上面四幅图中任选一幅，小欢再从剩下的三幅图中任选一幅，请用画树状图或列表的方法分析，两人恰好选中“A．潍坊风筝”和“D．延安剪纸”的概率． 11．（22-23九年级上·江苏连云港·阶段练习）在4张相同的卡片上分别写有数字1、2、3、4，将卡片的背面朝上，洗匀后从中任意抽取1张，将卡片上的数字作为被减数；一只不透明的袋子中装有标号为1、2、5的三个小球，这些球除标号外都相同，搅匀后从中任意摸出一个球，将摸到的球的标号作为减数． (1)在袋子中摸到球的标号是2的概率为 ； (2)甲、乙二人玩游戏，游戏规则规定：当抽到的这两个数的差为非负数时，甲获胜；否则乙获胜，请用树状图或者表格来分析甲、乙二人获胜的概率； (3)这个游戏公平吗？如果不公平，请你设计一个公平的游戏规则，并说明理由． 12．（22-23九年级下·江苏无锡·阶段练习）小明和小亮做游戏：取四张扑克，上面分别标有数字红桃2、方块3、黑桃4、梅花5（4张牌背面完全相同），现将标有数字的一面朝下．小明从中任意抽取一张，记下数字后放回洗匀，然后小亮从中任意抽取一张，计算小明和小亮抽得的两个数字之和． (1)小亮抽到方块3的概率是______； (2)请你用画树状图或列表的方法，求出这两数和为6的概率： (3)如果和为奇数，则小明胜：若和为偶数，则小亮胜．你认为这个游戏规则对双方公平吗？做出判断，并说明理由． 13．（22-23九年级上·江苏泰州·期中）如图，转盘中3个扇形的面积都相等．任意转动转盘，当指针落在两个扇形的交线上时，则重转一次． (1)任意转动转盘1次，指针落在“勤洗手”区域的概率为___________； (2)任意转动转盘2次，请用树状图或列表法求指针2次都落在“戴口罩”区域的概率．（注：指针落在“勤洗手”区域记为事件、落在“戴口罩”区域记为事件D．） 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第四章 等可能条件下的概率 题型梳理 题型方法 题型一 等可能性 题型二 列表法或树状图法求概率 题型三 几何概率 题型四 游戏的公平性 题型五 转盘中的概率 知识清单 知识点1.等可能性（重点） 一般地，设一个试验的所有可能发生的结果有n个，它们都是随机事件，每次试验有且只有其中的一个结果出现.如果每个结果出现的机会均等，那么我们说这n个事件的发生是等可能的，也称这个试验的结果具有等可能性. 知识点2.等可能条件下的概率（古典概型）（重点） 一般地，如果一个试验有n个等可能的结果，当其中的m个结果之一出现时，事件A发生，那么事件A发生的概率P（A）=（其中m是指事件A发生可能出现的结果数，n是指所有等可能出现的结果数）. 当一个随机事件在一次试验中的所有可能出现的结果是有限个，且具有等可能性时，只需列出一次试验可能出现的所有结果，就可以求出某个事件发生的概率. 一般地，等可能性条件下的概率计算方法和步骤是： （1）列出所有可能的结果，并判定每个结果发生的可能性都相等； （2）确定所有可能发生的结果的个数n和其中出现所求事件的结果个数m； （3）计算所求事件发生的可能性：P（所求事件）=. 知识点3.画树状图或列表计算概率（重点）（难点） 常用的列举法有两种：列表法和画树状图法. 1.列表法 当一次试验要涉及两个因素，并且可能出现的结果数目较多时，为不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用列表法. 列表法是用表格的形式反映事件发生的各种情况出现的次数和方式，以及某一事件发生的可能的次数和方式，并求出概率的方法. 2.画树状图法 当一次试验要涉及3个或更多个因素时，为了不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用树形图，也称树形图、树图. 树形图是用树状图形的形式反映事件发生的各种情况出现的次数和方式，以及某一事件发生的可能的次数和方式，并求出概率的方法. 题型方法 【题型一】等可能性 【例1】（24-25九年级下·江苏苏州）众所周知，八纲辩证是我国中医诊断学基础，八纲分别为阴阳、表里、寒热、虚实，每纲对应病症不同，则共有多少种病症．（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查事件发生可能性的数量，解题的关键是根据八纲的意义可知每纲为二元对立且每纲独立，利用乘法即可得出病症的种类． 【详解】解：∵八纲分别为阴阳、表里、寒热、虚实，即每组包含两种对立状态， ∴每纲有种可能， ∴病症的种类共有：（种）， 即共有种病症． 故选：B． 【举一反三】【变式1】（20-21八年级上·江苏泰州·阶段练习）事件：打开电视，它正在播广告；事件：抛掷一个均匀的骰子，朝上的点数小于；事件：泰州的夏天下雪．个事件的概率分别记为、、，则、、的大小关系正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据随机事件，必然事件，不可能事件分别求出P（A）、P（B）、P（C），然后排序即可得解． 【详解】解：事件A：打开电视，它正在播广告是随机事件，0＜P（A）＜1； 事件B：抛掷一枚均匀的骰子，朝上的点数小于7是必然事件，P（B）=1； 事件C：泰州的夏天下雪是不可能事件，P（C）=0， 所以，P（C）＜P（A）＜P（B）． 故选：B． 【点睛】本题考查了概率的意义，必然发生的事件就是一定发生的事件，因而概率是1．不可能发生的事件就是一定不会发生的事件，因而概率为0．不确定事件就是随机事件，即可能发生也可能不发生的事件，发生的概率＞0并且＜1． 【变式2】（20-21八年级下·江苏南京·期末）不透明的袋子中有除颜色外完全相同的4个红球和2个绿球，从袋子中随机摸出3个球，至少有1个红球是 ．（填“随机事件”，“必然事件”或“不可能事件”） 【答案】必然事件 【分析】根据事件的分类特点解答即可． 【详解】解：不透明的袋子中有除颜色外完全相同的4个红球和2个绿球，从袋子中随机摸出3个球，至少有1个红球是必然事件， 故答案为：必然事件． 【点睛】此题考查事件分类，正确掌握必然事件，随机事件及不可能事件的定义是解题的关键． 【变式3】（20-21八年级下·江苏南京·期中）如图是一个可以自由转动的转盘，它被分成了6个面积相等的扇形区域． （1）转动转盘，当转盘停止转动时，记录下指针所指区域的颜色，则下列说法错误的是______（填写序号）． ①转动6次，指针都指向红色区域，说明第7次转动时指针指向红色区域； ②转动10次，指针指向红色区域的次数一定大于指向蓝色区域的次数； ③转动60次，指针指向黄色区域的次数正好为10． （2）怎样改变各颜色区域的数目，使指针指向每种颜色区域的可能性相同？写出你的方案． 【答案】（1）①②③；（2）答案见解析． 【分析】（1）根据可能性的大小分别对每一项进行分析，即可得出答案； （2）当三种颜色面积相等的时候能使指针指向每种颜色区域的可能性相同． 【详解】解：（1）①转动6次，指针都指向红色区域，则第7次转动时指针不一定指向红色区域，故本选项说法错误； ②转动10次，指针指向红色区域的次数不一定大于指向蓝色区域的次数，故本选项说法错误； ③转动60次，指针指向黄色区域的次数不一定正好是10，故本选项说法错误； 故答案为：①②③． （2）将1个红色区域改成黄色，则红、黄、蓝三种颜色的区域各有2个，则指针指向每种颜色区域的可能性相同． 【点睛】本题考查的是可能性的大小．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． 【题型二】列表法或树状图法求概率 【例2】（24-25九年级上·江苏盐城·期中）“中华麋鹿园”“丹顶鹤自然保护区”“盐城大纵湖旅游景区”和“黄海海滨国家森林公园”是盐城市四个有代表性的旅游景点．若小丽从这四个景点中随机选择两个景点游览，则这两个景点中有“丹顶鹤自然保护区”的概率是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了树状图法或列表法求解概率，根据题意正确列表成为解题的关键． 先根据题意列表得到所有等可能性的结果数，再找到选择两个景点中有“丹顶鹤自然保护区”的结果数，最后根据概率计算公式求解即可． 【详解】解：设“中华麋鹿园”“丹顶鹤自然保护区”“盐城大纵湖旅游景区”和“黄海海滨国家森林公园”四个景点分别用A、B、C、D表示，列表如下： A B C D A （A,B） （A,C） （A,D） B （B,A） （B,C） （B,D） C （C,A） （C,B） （C,D） D （D,A） （D,B） （D,C） 由表格可知一共有12种等可能性的结果数，其中选择“丹顶鹤自然保护区”的结果数有6种， ∴这两个景点中有“丹顶鹤自然保护区”的概率为． 故选：D． 【举一反三】【变式1】（24-25九年级上·江苏扬州·期末）如图所示的电路中，当随机闭合开关、、中的两个时，能够让灯泡发光的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了树状图法以及概率公式，正确的画出树状图是解此题的关键．画树状图，共有6种等可能的结果，其中能够让灯泡发光的结果有4种，再由概率公式求解即可． 【详解】解：由电路图可知，当同时闭合开关和， 和时，灯泡能发光， 画树状图如下：    共有6种等可能结果，其中灯泡能发光的有4种， ∴灯泡能发光的概率为， 故选：C． 【变式2】（24-25九年级上·江苏南京·期末）甲、乙、丙三人各自通过买到了某演唱会门票，三张票的座位是连续的，记甲乙座位相邻的概率为，甲乙座位不相邻的概率为，则 ．（填“”“”或“”号） 【答案】 【分析】本题考查了列表法或树状图法求概率，先列树状图，得出共种等可能结果，则甲乙座位相邻的结果有4种，甲乙座位不相邻的结果有2种，即可作答． 【详解】解：依题意，把三张票的连续的座位是记为，列树状图如下： 共种等可能结果，则甲乙座位相邻的结果有4种，甲乙座位不相邻的结果有2种， ∴，， ∴， 故答案为：． 【变式3】（24-25九年级下·江苏宿迁·期中）跑在水美泗乡，3月30日下午，2025京东宿迁马拉松圆满收官．这场主打“体验感” “温馨感” “科技感”与“时尚感”的豪横赛事也获得了大众的好感，它不仅点燃了全民运动热情，更向世界展示了宿迁“项王故里、中国酒都、水润之城”的独特魅力．赛道中途补给站给参赛选手准备了A．小番茄，B．香蕉，C．黄瓜，D．面包四种补给（假设参赛选手选中每种补给的结果是等可能的）． (1)选手宿宿在经过补给站时，选中D．面包的概率是____； (2)请用列表或画树状图的方法，求参赛选手甲、乙两人经过同一补给站所选的补给中有B．香蕉的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查列表法或画树状图法计算随机事件的概率，掌握列表法或画树状图法是解题的关键． （1）根据概率公式的计算即可求解； （2）列表法把所有等可能结果表示出来，再运用概率公式计算即可求解． 【详解】（1）解：∵赛道中途补给站给参赛选手准备了A．小番茄，B．香蕉，C．黄瓜，D．面包四种补给（假设参赛选手选中每种补给的结果是等可能的）， ∴选手宿宿在经过补给站时，选中D．面包的概率是， 故答案为：； （2）解：列表表示如下， ∴共有种等可能结果，参赛选手甲、乙两人经过同一补给站所选的补给中有B．香蕉的情况有钟， ∴参赛选手甲、乙两人经过同一补给站所选的补给中有B．香蕉的概率为． 【题型三】几何概率 【例3】（23-24九年级上·江苏盐城·期末）某商场为吸引顾客设计了如图所示的自由转盘，当指针指向阴影部分时，该顾客可获得奖品一份，那么该顾客获奖的概率为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了几何概率，根据阴影部分的圆心角占的比例即可得到概率，由此得到答案． 【详解】解：指针指向阴影部分的概率是， ∴该顾客可获得奖品一份，那么该顾客获奖的概率为， 故选：C． 【举一反三】【变式1】（23-24九年级上·江苏南京·期末）如图，转盘中各个扇形的面积相等，任意转动转盘次，当转盘停止转动时，指针指向白色区域的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查简单概率的求法，由圆被等分成份，其中白色区域占份即可，掌握其方法是解题的关键． 【详解】解：∵圆被等分成份，其中白色区域占份， ∴指针落在白色区域的概率为， 故选：． 【变式2】（22-23九年级上·江苏无锡·期末）如图，一块飞镖游戏板由大小相等的小正方形格子构成．向游戏板随机投掷一枚飞镖（每次飞镖均落在纸板上），击中阴影区域的概率是 ． 【答案】 【分析】本题考查了求几何概率，熟练掌握几何概率的计算方法是解题的关键． 飞镖游戏板由大小相等的个小正方形格子构成，阴影区域由大小相等的个小正方形格子构成，根据概率公式计算即可得到答案． 【详解】解：飞镖游戏板由大小相等的个小正方形格子构成，阴影区域由大小相等的个小正方形格子构成， 击中阴影区域的概率是， 故答案为：． 【变式3】（23-24九年级上·江苏·期末）如图，一个等边三角形的飞镖盘被分成了若干个小等边三角形区域，向该飞镖盘投掷飞镖，假设投中飞镖盘上的每一点是等可能的（若投中边界或没有投中飞镖盘则重投1次），任意投掷飞镖1次，飞镖投中阴影部分的概率是 ． 【答案】 【分析】本题考查了几何概率．根据题意得：阴影部分面积占整个图形的面积的，即可求解． 【详解】解：根据题意得：阴影部分面积占整个图形的面积的， ∴飞镖投中阴影部分的概率是． 故答案为： 【题型四】游戏的公平性 【例4】（2024九年级下·江苏·专题练习）小明与小亮做抛硬币游戏，连续抛四次硬币，当其中恰有三次结果相同时，小明赢，而当恰有两次结果相同时，小亮赢，其他情况不计输赢．你认为这个游戏对双方公平吗？ 【答案】不公平 【分析】根据题意先画出树状图，再根据概率公式求出恰有三次结果相同和恰有两次结果相同的概率，然后进行比较，即可得出答案．本题考查的是游戏公平性的判断．判断游戏公平性就要计算每个事件的概率，概率相等就公平，否则就不公平． 【详解】解：根据题意画图如下： 共有16种情况，恰有三次结果相同的有8种情况， 恰有三次结果相同的概率是：， 恰有两次结果相同的有6种情况， 恰有两次结果相同的概率是：， 该游戏对双方不公平． 【举一反三】【变式1】（23-24九年级上·江苏淮安·阶段练习）在一个不透明的口袋里装有3个球，3个球分别标有数字1，2，3，这些球除了数字以外完全相同． (1)如果从袋中任意摸出一个球，那么摸到标有数字是奇数的球的概率是 ； (2)小文和小明两位同学进行摸球游戏，游戏规则如下：先由小文随机摸出一个球，记下球的数字后放回，搅匀后再由小明随机摸出一个球，记下球的数字． 若两人摸出的球的数字和为奇数，则小文获胜； 否则小明获胜． 现请你利用树状图或列表的方法说明该游戏是否公平？ 【答案】(1) (2)该游戏对双方不公平，树状图见解析 【分析】本题考查的是游戏公平性的判断，简单的概率计算．判断游戏公平性就要计算每个事件的概率，概率相等就公平，否则就不公平．解题的关键是明确：概率=所求情况数与总情况数之比． （1）从袋中任意摸出一个球共有三种情况，其中摸到标有奇数的球有两种情况，据此利用概率计算公式求解即可． （2）列树状图或表格可知，共有九种情况，再分别找到两人获胜的结果数，从而求出两人各自获胜的概率，据此可判断游戏规则对双方公平． 【详解】（1）解：∵一共有3个球，其中标有奇数的球有2个， ∴ 从袋中任意摸出一个球，那么摸到标有数字是奇数的球的概率是， 故答案为：； （2）列树状图如下． 由图可以看出，小文获胜的情况有：四种，则小文获胜的概率是． 小明获胜的情况有：五种，则小明获胜的概率是． ∵ ∴该游戏对双方不公平． 【变式2】（24-25九年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图，转盘A中的4个扇形面积相等，转盘B中的6个扇形的面积相等，有人设计了如下游戏规则：甲、乙两人分别任意转动转盘A、B一次，当转盘停止转动时，将指针所落扇形中的2个数相乘，如果所得的积是偶数，则甲获胜；若所得的积是奇数，则乙获胜． (1)用列表法或树状图求出甲、乙两人分别获胜的概率； (2)当此游戏规则修改为：当转盘停止转动时，将指针所落扇形中的2个数字相加，如果所得的和是偶数，则甲获胜；若所得的和是奇数，则乙获胜，这样的规则公平吗？通过计算说明理由． 【答案】(1)甲胜的概率，乙胜的概率； (2)这样的规则公平，见解析 【分析】此题考查了列表法或树状图法求概率．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比． （1）根据题意画出树状图，展示所有等可能的结果，利用概率公式进而得出甲、乙获胜的概率即可得出答案； （2）根据题意画出树状图，展示所有等可能的结果，利用概率公式进而得出甲、乙获胜的概率即可得出答案． 【详解】（1）解：画树状图如图所示： ， 由树状图知，共有24种等可能结果，其中甲获胜的有18种结果，乙获胜的有6种结果， 所以甲胜的概率，乙胜的概率； （2）解：这样的规则公平， 理由：画树状图如图所示： ， 由树状图知，共有24种等可能结果，其中甲获胜的有12种结果，乙获胜的有12种结果， 所以甲胜的概率，乙胜的概率， 所以这样的规则公平． 【变式3】（23-24九年级上·江苏南通·期末）如图，盒中装有完全相同的球，分别标有“A”， “B”， “C”，从盒中随意摸出一个球，并自由转动转盘（转盘被分为三个面积相等的扇形），小刚和小明用它们做游戏，并约定：如果所摸出的球上字母与转盘停止后指针对准的字母相同，则小明获得1分，如果不同，则小刚获得1分．    (1)你认为这个游戏公平吗？为什么？ (2)如果不公平，该如何修改约定，才能使游戏对双方公平？ 【答案】(1)这个游戏不公平，理由见解析 (2)如果所摸出的球上字母与转盘停止后指针对准的字母相同，则小明获得2分，如果不同，则小刚获得1分（答案不唯一） 【分析】本题考查了列表法或树状图法求概率，游戏公平性； （1）画出树状图，分别求出小明获得1分的概率和小刚获得1分的概率，然后可知这个游戏不公平； （2）根据小刚得分的概率是小明得分概率的2倍，可将约定改为：如果所摸出的球上字母与转盘停止后指针对准的字母相同，则小明获得2分，如果不同，则小刚获得1分． 【详解】（1）解：这个游戏不公平； 理由：画树状图如图：    由树状图可得：共有9种等可能的情况数，其中字母相同的有3种，字母不同的有6种， ∴小明获得1分的概率为，小刚获得1分的概率为， ∴这个游戏不公平； （2）由（1）可知，小刚得分的概率是小明得分概率的2倍， 所以约定可改为：如果所摸出的球上字母与转盘停止后指针对准的字母相同，则小明获得2分，如果不同，则小刚获得1分（答案不唯一）． 【题型五】转盘中的概率 【例5】（20-21九年级上·江苏苏州·期末）某商场元旦期间举行有奖促销活动，凡购买一定金额的商品可参与转盘抽奖．如图，转盘各个扇形的面积相等，分别标有数字1，2，3，4，5，顾客随机转动1次转盘，若指针指向奇数，则顾客中奖．某顾客转动1次转盘，中奖的概率为 ． 【答案】 【分析】用奇数的个数除以数字的总数即可求得中奖的概率． 【详解】解：∵数字1，2，3，4，5中有3个奇数， ∴顾客转动1次转盘，中奖的概率为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了几何概率，掌握概率的计算方法是解题的关键． 【举一反三】【变式1】如图，一个转盘被分为了A，B，C三个区域，自由转动转盘一次，当转盘停止时，指针指向A区域的概率是 ． 【答案】 【分析】根据概率的求法，找准两点： ①全部情况的总数； ②符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率．依此即可求解． 【详解】解：∵A区域扇形的圆心角为90°， ∴自由转动转盘一次，当转盘停止时，指针指向A区域的概率是， 故答案为：． 【点睛】此题考查了概率公式，如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）． 【变式2】（24-25九年级上·江苏苏州·期末）如图，转盘A，B中的各个扇形的面积分别相等，转盘A的3个扇形中分别标有数字1，2，3，转盘B的3个扇形中分别标有数字4，5，6． (1)现任意转动转盘A1次(若指针落在扇形的边界线上，则重转1次)，当转盘停止转动时，则指针落在标有数字1的扇形的概率为 ； (2)现任意转动转盘A，B各1次(若指针落在扇形的边界线上，则重转1次)，当转盘停止转动时，求转盘A，B的指针所落扇形中的两个数字之和为奇数的概率． (请用画树状图或列表等方法说明理由) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了用概率公式求概率和用画树状图或列表的方法求概率.掌握概率公式是关键． （1）直接用求概率的方法求概率即可. （2）列出表格，可以得出等可能的结果以及两个数字之和为奇数的结果，然后利用概率公式求概率即可． 【详解】（1）解：当转盘停止转动时，则指针落在标有数字的扇形的概率为 故答案为： （2）解：根据题意，列表如下： 由表可知，共有种等可能的结果，其中转盘，的指针所落扇形中的两个数字之和为奇数的有种结果， 所以转盘，的指针所落扇形中的两个数字之和为奇数得概率为． 【变式3】（22-23九年级下·江苏泰州·期中）如图所示，甲、乙两个带指针的转盘分别被分成三个面积相等的扇形（两个转盘除表面数字不同外，其它完全相同），转盘甲上的数字分别是，转盘乙上的数字分别是（规定：指针恰好停留在分界线上，则重新转一次）.      (1)单独转动转盘甲，转盘甲指针指向正数的概率是 . (2)若同时转动两个转盘，转盘甲指针所指的数字记为，转盘乙指针所指的数字记为，请用列表法或树状图法求满足的概率. 【答案】(1)； (2)列表法或树状图法见解析， 【分析】（1）根据概率的定义进行解答即可； （2）用列表法列举出所有可能出现的结果，再根据概率的定义进行计算即可； 【详解】（1）解：转盘甲被等分为3份，其中1份标有正数，所以转动转盘甲1次，指针指向正数的概率是， 故答案为：； （2）解：同时转动两个转盘，指针所指的数字所有可能出现的结果如下：    共有种可能出现的结果，其中两个转盘指针所指数字之积为负数的有5种，所以同时转动两个转盘，指针所指数字满足的概率为 【点睛】本题主要考查了列表法或树状图法求简单随机事件的概率，列举出有可能出现的结果是正确解答的关键． 好题必刷 一、单选题 1．（24-25九年级上·江苏苏州·期中）在一个不透明的袋子里装有除数字外完全相同的3个小球，上面分别标有数字2，3，4．先从袋中随机摸出一个小球，再从袋中剩下的2个小球中随机摸出一个小球．则摸出2个球上的数字之和为偶数的概率是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查列表法求概率，列出表格，利用概率公式进行计算即可． 【详解】解：由题意，列表如下： 2 3 4 2 5 6 3 5 7 4 6 7 共有6种等可能的结果，其中和为偶数的结果有2种， ∴； 故选B． 2．（22-23八年级下·江苏宿迁·期末）一只不透明的袋子中装有1个白球、2个黑球、3个红球，这些球除颜色外都相同，将球摇匀，从中任意摸出1个球，则摸到球的概率最大的是（　　） A．白球 B．黑球 C．红球 D．黄球 【答案】C 【分析】根据概率公式可知，哪种球的数量最多，摸到那种球的概率就大． 【详解】解：袋子中装有1个白球，2个黄球和3个红球， ∵ ∴其中红球最多， ∴摸到红球的概率最大． 故选：C． 【点睛】本题考查了概率公式，随机事件A的概率P（A）=事件A可能出现的结果数÷所有可能出现的结果数． 3．（20-21八年级下·江苏南京·期中）同时抛掷两枚质地均匀的骰子，则下列有关两枚骰子点数的事件中是必然事件是（    ） A．点数和大于1 B．点数差大于1 C．点数积大于1 D．点数商大于1 【答案】A 【分析】根据事件的发生的情况分为确定事件与不确定事件，确定事件中分为必然事件与不可能事件，不确定事件即随机事件，对选项进行一一分析即可． 【详解】解：∵质地均匀的骰子上的点数是1—6，抛掷两枚质地均匀的骰子，最小都是1，其和为1+1=21， 故选项A点数和大于1是必然事件，符合题意； ∵抛掷两枚质地均匀的骰子，都是1或2或3或4或5或6，其差1-1=0，2-2=0，3-3=0，4-4=0，5-5=0，6-6=0， 故选项B点数差大于1是不确定事件，不符合题意； ∵抛掷两枚质地均匀的骰子，最小都是1，其积为1， 故选项C点数积大于1是不确定事件，不符合题意； ∵抛掷两枚质地均匀的骰子，都是1或2或3或4或5或6，其商， 故选项D点数商大于1是不确定事件，不符合题意． 故选择A． 【点睛】本题考查确定事件中的必然事件，掌握确定事件中的必然事件，必然事件是一定会发生的事件是解题关键． 4．（24-25九年级上·江苏常州·期末）衣柜中挂着套不同颜色的服装，同一套服装的上衣与裤子的颜色相同，若从衣橱中各任取一件上衣和一条裤子，它们取自同一套的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了用树状图或列表法求概率，画出树状图，根据树状图解答即可求解，掌握树状图或列表法是解题的关键． 【详解】解：设件上衣分别为，对应的裤子分别为，画树状图如下： 由树状图可知，共有种等可能结果，其中取自同一套的有种可能， ∴它们取自同一套的概率为， 故选：． 5．（24-25九年级上·江苏宿迁·期末）小明准备在2025年元旦去看电影，他想在《小小的我》《误杀3》《名侦探柯南-迷宫的十字路口》《床前明月咣》《帕丁顿熊3-秘鲁大冒险》这五个电影中选取两个去观看，他选取背面完全相同的五张卡片，在正面分别写上片名，然后背面向上，洗匀后随机抽取两张，则小明抽中《名侦探柯南-迷宫的十字路口》和《床前明月咣》的概率是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是用树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．画出树状图即可解题． 【详解】解：把《小小的我》《误杀3》《名侦探柯南-迷宫的十字路口》《床前明月咣》《帕丁顿熊3-秘鲁大冒险》这五个电影卡片分别记为A、B、C、D、E， 画树状图如下： 共有20种等可能的结果，其中小明抽中《名侦探柯南-迷宫的十字路口》和《床前明月咣》的结果有2种， ∴小明抽中《名侦探柯南-迷宫的十字路口》和《床前明月咣》的概率是． 故选：C． 二、填空题 6．（22-23九年级上·江苏扬州·阶段练习）甲、乙两人分别从这3个景点随机选择2个景点游览，甲、乙两人选择的2个景点恰好相同的概率是 ． 【答案】 【分析】用树状图表示所有可能出现的结果，再求出两个景点相同的概率． 【详解】解：用树状图表示如下： 共有9种可能的结果，其中甲、乙两人选择的2个景点恰好相同的有3种结果， ∴甲、乙两人选择的2个景点恰好相同的概率是， 故答案为：． 【点睛】本题考查了用树状图法求随机事件发生的概率，列举出所有可能出现的结果情况是解决本题的关键． 7．（24-25九年级下·江苏泰州·阶段练习）抛掷两枚正方体骰子，用m和n分别表示两枚骰子朝上的点数，那么点数之和为 的可能性最大． 【答案】7 【分析】本题考查了可能性大小，解题的关键是利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率． 【详解】解：两枚骰子朝上的点数可能情况： ∵和为2的有1种， 和为3的有2种， 和为4的有3种， 和为5的有4种， 和为6的有5种， 和为7的有6种， 和为8的有5种， 和为9的有4种， 和为10的有3种， 和为11的有2种， 和为12的有1种， ∴两枚骰子朝上的点数之和为7时的概率最大． 故答案为：7． 8．（20-21八年级下·江苏苏州·期中）一只不透明的袋子里装有4个红球，1个白球．每个球除颜色外都相同，则事件“从中任意摸出1个球，是白球”的事件类型是 ．（填“随机事件”“不可能事件”或“必然事件”） 【答案】随机事件 【分析】根据事件发生的可能性大小判断． 【详解】解：∵袋子里装有4个红球，1个白球， ∴从中任意摸出1个球，可能是红球，有可能是白球， ∴事件“从中任意摸出1个球，是白球”的事件类型是随机事件， 故答案为：随机事件． 【点睛】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件． 三、解答题 9．（24-25九年级下·江苏无锡·期中）一个不透明的袋子中装有3个红球和2个白球，这些球除颜色外都相同． (1)从袋子中随机摸出1个球，求摸到红球的概率； (2)从袋子中同时摸出2个球，求摸到的两个球都是红球的概率．（请用“画树状图”或“列表”等方法写出分析过程） 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查列表法与树状图法、概率公式，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键． （1）由题意知，共有5种等可能的结果，其中摸到红球的结果有3种，利用概率公式可得答案． （2）列表可得出所有等可能的结果数以及摸到的两个球都是红球的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【详解】（1）解：由题意知，共有5种等可能的结果，其中摸到红球的结果有3种， ∴摸到红球的概率为（红球）； （2）解：设红球分别位，白球分别为，用列表格法列举： 共有20种等可能结果，其中两个球都是红球有6种， ∴． 10．（24-25九年级下·江苏无锡·期中）2025春晚宛如一座绚丽的文化宝库，向世人展示了众多精美绝伦、承载着深厚历史底蕴的非物质文化遗产手工艺品，以下是几种手工艺品的图片： A．潍坊风筝 B．东明粮画 C．青神竹编   D．延安剪纸 (1)小乐从这四幅图中随机选择一幅，恰好选中“C．青神竹编”的概率是_____． (2)为宣传非物质文化遗产，小乐先从上面四幅图中任选一幅，小欢再从剩下的三幅图中任选一幅，请用画树状图或列表的方法分析，两人恰好选中“A．潍坊风筝”和“D．延安剪纸”的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查求概率，树状图法求概率，正确的画出树状图，熟练掌握概率公式，是解题的关键： （1）直接利用概率公式进行计算即可； （2）画出树状图，利用概率公式进行计算即可． 【详解】（1）解：小乐从这四幅图中随机选择一幅，恰好选中“C．青神竹编”的概率是； 故答案为： （2）画树状图如下： 共有12种等可能的结果，其中两人恰好选中“A．潍坊风筝”和“D．延安剪纸”的结果有2种， （两人恰好选中“A．潍坊风筝”和“D．延安剪纸”的概率）． 11．（22-23九年级上·江苏连云港·阶段练习）在4张相同的卡片上分别写有数字1、2、3、4，将卡片的背面朝上，洗匀后从中任意抽取1张，将卡片上的数字作为被减数；一只不透明的袋子中装有标号为1、2、5的三个小球，这些球除标号外都相同，搅匀后从中任意摸出一个球，将摸到的球的标号作为减数． (1)在袋子中摸到球的标号是2的概率为 ； (2)甲、乙二人玩游戏，游戏规则规定：当抽到的这两个数的差为非负数时，甲获胜；否则乙获胜，请用树状图或者表格来分析甲、乙二人获胜的概率； (3)这个游戏公平吗？如果不公平，请你设计一个公平的游戏规则，并说明理由． 【答案】(1) (2)， (3)不公平，将规则改为：两个数的差为负数时，甲获胜，两个数的差为正数时，乙获胜．理由见解析 【分析】（1）直接用概率公式求解即可； （2）利用树状图法列举出所有可能和差为非负数的结果数年，进而求出概率； （3）比较甲、乙获胜的概率即可得出是否公平，设计成两人获胜概率相等即可． 【详解】（1）解：； （2）解：根据题意列表如下： 1 2 3 4 1 0 1 2 3 2 0 1 2 5 ∵共有12种等可能的结果，其中这两个数的差为非负数的情况占7种，负数的情况占5种， ∴甲获胜的概率是； 乙获胜的概率是． （3）解：∵，． ∴， ∴这样的规则不公平， 可将规则改为：两个数的差为负数时，甲获胜，两个数的差为正数时，乙获胜． 此时，， ． 【点睛】本题考查的是概率计算，游戏公平性的判断．判断游戏公平性就要计算每个参与者取胜的概率，概率相等就公平，否则就不公平．用到的知识点为：概率等于所求情况数与总情况数之比． 12．（22-23九年级下·江苏无锡·阶段练习）小明和小亮做游戏：取四张扑克，上面分别标有数字红桃2、方块3、黑桃4、梅花5（4张牌背面完全相同），现将标有数字的一面朝下．小明从中任意抽取一张，记下数字后放回洗匀，然后小亮从中任意抽取一张，计算小明和小亮抽得的两个数字之和． (1)小亮抽到方块3的概率是______； (2)请你用画树状图或列表的方法，求出这两数和为6的概率： (3)如果和为奇数，则小明胜：若和为偶数，则小亮胜．你认为这个游戏规则对双方公平吗？做出判断，并说明理由． 【答案】(1) (2) (3)公平，理由见详解 【分析】（1）只有一张方块3，根据概率公式解答即可； （2）先画树状图或列表，求出16种情况，并求出和，再依据公式求解即可； （3）分别求出和为奇数和偶数的概率，发现概率相同，即可判断游戏规则对双方是公平的． 【详解】（1）一共有4张牌，只有一张方块3，从中任意抽取1张，抽到方块3的概率是； 故答案为： （2）列表如下： 2 3 4 5 2 3 4 5 由表可知，总共有16种结果，其中和为6的有3种，则这两数和为6的概率由表可知，总共有16种结果，其中和为6的有3种，则这两数和为6的概率； （3）这个游戏规则对双方公平． 理由：因为（和为奇数）， （和为偶数）， 所以这个游戏规则对双方是公平的． 【点睛】本题考查的是游戏的公平性，记忆公式和列举出所有可能出现的结果是解题的关键． 13．（22-23九年级上·江苏泰州·期中）如图，转盘中3个扇形的面积都相等．任意转动转盘，当指针落在两个扇形的交线上时，则重转一次． (1)任意转动转盘1次，指针落在“勤洗手”区域的概率为___________； (2)任意转动转盘2次，请用树状图或列表法求指针2次都落在“戴口罩”区域的概率．（注：指针落在“勤洗手”区域记为事件、落在“戴口罩”区域记为事件D．） 【答案】(1) (2)，见解析 【分析】（1）直接根据概率公式求解即可； （2）列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可． 【详解】（1）解：任意转动转盘1次，指针落在“勤洗手”区域的概率为， 故答案为：； （2）解：列表如下： Q D D Q D D 由表知，共有9种等可能结果，其中指针2次都落在“戴口罩”区域的有4种结果， 所以指针2次都落在“戴口罩”区域的概率为． 【点睛】此题考查了列表法或树状图法求概率．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$