湖南省湘西州凤凰县2024-2025学年九年级下学期5月学情诊断模拟数学试题

2025年初中学情诊断(3) 九年级数学试题卷 姓名: 准考证号: ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 注意事项： 1．本卷为试题卷，考生必须在答题卡上作答，在试题卷、草稿纸上答题无效。 2．答题前，考生须先将自己的姓名、准考证号分别在试题卷和答题卡上填写清楚。 3．答题完成后，请将试题卷、答题卡、草稿纸放在桌上，由监考老师统一收回。 4．本试卷三大题，26小题，满分120分，时量120分钟。 ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 一．选择题（共10小题，每小题3分，共30分） 1．下面四个图案中是中心对称图形的是（　　） A． B． C． D． 2．湖南全省文旅市场创假日旅游历史新高，总体上实现了安全文明、优质高效的目标，期间，共接待游客约4500万人次，用科学记数法可以把数字4500万表示为（　　） A．4.5×102 B．4.5×106 C．45×106 D．4.5×107 3．如图是由大小相同的小正方体搭成的几何体，下列关于该几何体三视图的描述：①主视图是中心对称图形；②左视图是轴对称图形；③俯视图既是轴对称图形，又是中心对称图形．其中正确的是（　　） ( 第 3 题图 ) A．①　　 B．②　　　C．③ D．②③ 4．下列运算正确的是（　　） A．x10÷x2＝x8　　　　B．（a3）4＝a7 C．2a3+3a3＝5a6　　　　 D．m2•m2＝2m2 5．下列命题是假命题的是（　　） A．两组对边分别平行的四边形是平行四边形 B．正方形的对角线互相平分 C．矩形的对角线互相垂直 　　　　　　　　　 D．菱形的四条边相等 6．若一组数据x，4，1，11，4的中位数和平均数相等，则x的值为（　　） A．0 B．5 C．-15 D．0或5 7．如图，OA是⊙O的半径，弦BC⊥OA，D是⊙O上一点，若∠ADB＝24°，则∠AOC的度数为（　　） A．36° B．48° C．56° D．72° 8． ( 第 7 题图 )如图所示，已知点E，F分别是△ABC中AC、AB边的中点，BE，CF相交于点G，S△EFG＝1，则四边形BCEF的面积是（　　） A．7 B．8 ( 第 8 题图 ) C．9 D．10 9．我国古代著作《算学启蒙》中有一道题：“良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里，驽马先行一十二日，问良马几何追及之，”题意：跑得快的马每天走240里，跑得慢的马每天走150里，慢马先走12天，设快马x天可以追上慢马，列方程是（　　） A．240x+150x＝12×240 B．240x -150x＝12×240 C．240x+150x＝12×150 D．240x -150x＝12×150 10．如图所示，已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴交于两点A（x1，0），B（x2，0），与y轴交于点C，OA＝OC，对称轴为直线x＝1，则下列结论：①abc＜0； ②；③ac﹣b+1＝0； ④x1+x2＝2；x1•x2＜0．其中正确的有（　　） ( 第 10 题图 ) A．①② B．②③ C．①③④ D．①④ 二．填空题（共8小题，每小题3分，共24分） 11．在实数、、、中，其中有理数的个数是 　 　 个． 12．不透明的袋子中，装有10个除颜色外其他均相同的小球．从袋中任意摸出一球是白球的概率为0.3，若袋子中再加入2个红球，则摸出一球是白球的概率为　 　． 13．方程的解是 　 　． 14．定义：如果三角形的一个内角是另一个内角的2倍，那么称这个三角形为“倍角三角形”，若一个等腰三角形恰好是“倍角三角形”，则它的顶角度数为 　 　． 15．若关于x的方程kx2+2x﹣1＝0（k为常数）有两个不相等的实数根，k的取值范围是　 　． 16．如果函数是反比例函数，且当x＞0时y随x的增大而增大，此函数的解析式是　 　． ( 第 17 题图 )17．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以点B为圆心，适当长为半径作弧，分别交BC，BA于点D，E，再分别以点D，E为圆心，大于DE的长为半径作弧，两弧在∠ABC的内部相交于点P，作射线BP交AC于点F．已知CF＝3，AF＝5，则BF的长为 　 　． 18．某气象台发现：在某段时间里，如果白天下雨，那么晚上是晴天；如果晚上下雨，那么白天是晴天．已知这段时间有9天下了雨，并且有6天晚上是晴天，7天白天是晴天，则这一段时间有　 　 天． 三、解答题（本题共8小题，共66分） 19．（6分）计算：． 20．（6分）先化简，再求值：，试从0，1，2，3四个数中选取一个你喜欢的数代入求值． 21．（6分）如图，在四边形ABCD中，∠ACB＝∠CAD＝90°，点E在BC上，AE∥DC． （1）求证：四边形AECD是平行四边形； （2）若∠B＝30°，AE平分∠BAC，，求AD的长． 22．（8分）某中学开展了建党知识测试，该校七、八年级各有300名学生参加，从中各随机抽取了50名学生的成绩（百分制），并对数据（成绩）进行整理，描述和分析，下面给出部分信息： a．八年级的频数分布直方图如下（数据分为5组：50≤x＜60，60≤x＜70，70≤x＜80，80≤x＜90，90≤x≤100）； b．八年级学生成绩在80≤x＜90的这一组是： 80、81、82、83、84、84、84、84、84、85、85、86、86.5、87、88、89.5 c．七、八年级学生成绩的平均数、中位数、众数如表： 年级 平均数 中位数 众数 七年级 87.2 85 91 八年级 85.3 m 90 根据以上信息，回答下列问题： （1）表中m的值为 　 　 ； （2）在随机抽样的学生中，建党知识成绩为84分的学生，在　 　 年级排名更靠前，理由是 　 　 ； （3）若各年级建党知识测试成绩前90名将参加线上建党知识竞赛，预估八年级分数至少达到多少分的学生才能入选； （4）若成绩85分及以上为“优秀”，请估计八年级达到“优秀”的人数． 23．（8分）某景区为给游客提供游览体验，拟在景区内沿山体向上修建步行道AB和观光索道BC，经过测量知：AB＝1000米，BC＝1600米，步行道AB的坡度，观光索道BC与水平线BE的夹角为58°．求山顶点C到地面的距离CD的长．（图中所有点都在同一平面内，BE∥AD，参考数据：sin58°≈0.85，cos58°≈0.53，tan58°≈1.60，最后结果精确到1米） 24．（8分）某停车场计划购买甲、乙两种型号的充电桩．已知甲型充电桩比乙型充电桩的单价多0.2万元，用16万元购买甲型充电桩与用12万元购买乙型充电桩的数量相等． （1）甲、乙两种型号充电桩的单价各是多少？ （2）该停车场计划购买甲、乙两种型号的充电桩共15个，且乙型充电桩的购买数量不超过甲型充电桩购买数量的2倍，求购买这批充电桩所需的最少总费用？ 25．（12分）在平面直角坐标系中，设直线l的解析式为：y＝kx+m（k、m为常数且k≠0），当直线l与一条曲线有且只有一个公共点时，我们称直线l与这条曲线“相切”，这个公共点叫做“切点”． （1）求直线l：y＝-x+6与双曲线的切点坐标； （2）已知一次函数y1＝2x，二次函数y2＝x2+1，是否存在二次函数y3＝ax2+bx+c，其图象经过点（-3，2），使得直线y1＝2x与y2＝x2+1，y3＝ax2+bx+c都相切于同一点？若存在，求出y3的解析式；若不存在，请说明理由； （3）将直线y1＝2x向上平移n个单位长度后，与（2）中所求的抛物线y3＝ax2+bx+c交于M，N两点，求出实数n，使得∠MON＝90°． 26．（12分）约定：若三角形一边上的中线将三角形分得的两个小三角形中有一个三角形与原三角形相似，我们则称原三角形为关于该边的“优美三角形”．例如，如图1，在△ABC中，AD为边BC上的中线，△ABD与△ABC相似，称△ABC为关于边BC的“优美三角形”． 图1 图2 图3 （1）在图2中的△ABC中，若，则△ABC　 　 （填“是”或“不是”）关于边BC的“优美三角形”； （2）如图3，已知△ABC为关于边BC的“优美三角形”，点D是△ABC边BC的中点，以BD为直径的⊙O恰好经过点A．求证：直线CA与⊙O相切； （3）已知△ABC为关于边BC的“优美三角形”，BC＝4，∠B＝30°，求△ABC的面积． 试卷第1页，共3页 九年级数学试卷第3页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 2025年初中学情诊断（3）九年级数学参考答案及评分标准 一、选择题（共10小题） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B D B A C A B C D C 二、填空题（共8小题） 11．4 12． 13．x＝2 14．36°或90° 15．　k＞-1且k≠0 16． 17． 18．11 三、解答题（共8小题） 19．原式＝………………（2分） ＝………………（4分） ＝0．………………（6分） 20．原式＝………………（2分） ＝，………………（4分） 当x＝0时，原式＝． 或者，当x＝2时，原式＝．…………………（6分） 21． （1）证明：∵∠ACB＝∠CAD＝90°， ∴AD∥BC，又∵AE∥DC， ∴四边形AECD是平行四边形；………………（3分） （2）解：由（1）可知，四边形AECD是平行四边形， ∴EC＝AD，∵∠B＝30°，， ∴∠BAC＝90°-∠B＝60°，AC＝4，∵AE平分∠BAC， ∴，∴∠AEC＝60°，AE＝2CE，在Rt△AEC中，由勾股定 理得：AC＝， ∴EC＝4，∴AD＝4．……………（6分） 22．解：（1）83.5………………（1分） （2）八，该学生的成绩大于八年级成绩的中位数，而小于七年级成绩的中位 数；………………（4分） （3）×50＝15（人），则在抽取的50名学生中，必须有15人参加建党知识竞赛， 所以至少达到88分；………………（6分） （4）300＝120（人），所以八年级达到优秀的人数为120人．………………（8分） 23．解：AB＝1000米，BC＝1600米，步行道AB的坡度，观光索道BC与水平线BE的夹角为58°，如图，过点B作BF⊥CD于点F，过点B作BH⊥AD于点H， ∴∠BFD＝∠CFB＝∠BHD＝∠AHB＝90°， ∵BE∥AD， ∴∠ADC＝∠AHB＝90°， ∴四边形BHDF是矩形……（2分） ∴DF＝BH，∴，， ∴， 在直角三角形ABH中，由勾股定理得：， 解得BH＝500，……………（4分） ∴DF＝BH＝500米，∵，………………（6分） ∴CF＝BCsin58°＝1600×0.85＝1360（米），∴CD＝CF+DF＝1360+500＝1860（米）， 答：山顶点C到地面的距离CD的长为1860米．………………（8分） 24．解：（1）设乙型充电桩的单价是x万元，则甲型充电桩的单价是（x+0.2）万元， ，………………（3分） 解得：x＝0.6，经检验，x＝0.6是原方程的解，∴x+0.2＝0.6+0.2＝0.8， 答：甲型充电桩的单价是0.8万元，乙型充电桩的单价是0.6万元；………（4分） （2）解：设购买甲型充电桩的数量为m个，则购买乙型充电桩的数量为（15﹣m）个， 由题意得：15-m≤2m，解得：m≥5， 设所需费用为w万元，由题意得：w＝0.8m+0.6×（15﹣m）＝0.2m+9，……（6分） ∵0.2＞0，∴w随m的增大而增大，∴当m＝5时，w取得最小值＝0.2×5+9＝10， 答：购买这批充电桩所需的最少总费用为10万元………………（8分） 25．解：（1）联立两个函数得：， 解得：x＝3，即切点坐标为：（3，3）；…………（2分） （2）存在，理由：联立y1＝2x和二次函数y2＝x2+1得：2x＝x2+1，则x＝1， 则切点为（1，2），将（1，2）和（-3，2）代入y3＝ax2+bx+c 得：，……………（4分） 解得：，则抛物线表达式为：y3＝ax2+2a+2-3a，联立上式和y＝2x 得：ax2+2a+2-3a＝2x， 则Δ＝（2a-2）2-4a（2-3a）＝0， 则a＝，故y3＝x2+x+；………………（7分） （3）y3＝x2+x+，平移后的直线表达式为：y＝2x+n， 联立两个函数表达式得：x2+x+＝2x+n， 设点M、N的横坐标为s，t，则s+t＝2，st＝1﹣2n， 直线OM表达式中的k值为k1＝， 直线OM表达式中的k值为k2＝2+， ∵∠MON＝90°，则（2+）×（2+）＝-1， 即，即1-2n+n＝0，则n＝1或n＝5．………………（12分） 26．（1）解：∵AD为边BC上的中线，，∴， ∴， ∵∠B＝∠B，∴△ABD∽△CBA， ∴△ABC是关于边BC的“优美三角形”，是．………………（3分） （2）证明：如图，连接OA， ∵△ABC为关于边BC的“优美三角形”， ∴△CAD∽△CBA， ∴∠CAD＝∠CBA，∵OA＝OB， ∴∠OAB＝∠CBA，∴∠CAD＝∠OAB， ∵BD是⊙O的直径，∴∠OAB+∠OAD＝90°， ∴∠CAD+∠OAD＝90°， ∴OA⊥AC，∵OA是⊙O的半径，∴直线AC与⊙O相切；………………（7分） （3）解：如图，过点A作AE⊥BC于E， ∵△ABC为关于边BC的“优美三角形”，BC＝4， ∴， 若△BAD∽△BCA，则AB2＝BD•BC，∴， 在Rt△ABE中，∠B＝30°，则， ∴S△ABC＝BC•AE＝×4×＝2， 若△CAD∽△CBA，则AC2＝CD•BC， ∴，在Rt△ABE中，∠B＝30°， 设AE＝x，则AB＝2x，∴， ∴， 由勾股定理得：AC2＝AE2+CE2， 即，解得． ∴；………………（12分） 试卷第1页，共3页 九年级数学答案第3页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $$