安徽省江淮协作区2024-2025学年高二下学期7月期末联合监测数学试题

高二数学参考答案 第1 页(共9页) 2024-2025学年第二学期江淮协作区期末联合监测 高二数学参考答案 选择题:1-8题,每题5分,9-11题,每题6分,满分58分。 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 A D A C D B C B ACD ABD BCD 填空题:共3题,每题5分,满分15分。 12.【答案】 5 13.【答案】 3281 14. 【答案】 -∞,-12e 􀭤􀭥 􀪁􀪁 解答题:共5题,满分77分。 15.【答案】 (1)-160x3 (6分); (2)665 (7分). 【解析】 (1)由二项式通项公式可得:Tk+1=Ck6·26-k·(-x)k=Ck6·26-k·(-1)k·xk, 因为n=6为偶数,所以二项式系数最大项为中间项,即第n2+1=4 项, 2分………………………………… ∴T4=C36·23·(-1)3·x3=-160x3, 5分…………………………………………………………………… ∴综上,二项式系数最大的项为-160x3. 6分…………………………………………………………………… (2)令x=0,则a0=26=64, 8分………………………………………………………………………………… 令x=-1,则(2+1)6=a0-a1+a2-a3+…+a6=|a0|+|a1|+|a2|+…+|a6|=36=729, 11分…… ∴|a1|+|a2|+…+|a6|=729-64=665. 13分……………………………………………………………… 16.【答案】 (1)an=2n-1 (7分); (2)Tn= n 2n (8分). 【解析】 (1)由Sn= (an+1)2 4 得4Sn=(an+1)2 ①, 当n≥2时,令n=n-1得,4Sn-1=(an-1+1)2 ② 2分……………………………………………………… 由①-②得,4(Sn-Sn-1)=(an+1)2-(an-1+1)2 ∴4an=(an+1)2-(an-1+1)2 经化简得(an-1)2-(an-1+1)2=0, 5分……………………………………………………………………… ∴(an-1+an-1+1)·(an-1-an-1-1)=0 又∵{an}为单调递增数列, ∴an+an-1=0(舍)或an-an-1-2=0 ∴an-an-1=2,又a1=S1=1, 则an 是以1为首项,2为公差的等差数列 6分………………………………………………………………… ∴数列an 的通项公式是an=2n-1. 7分……………………………………………………………………… (2)由(1)知, an=2n-1,则bn= 3-an 2n+1 = 2-n 2n , 8分………………………………………………………………………… 高二数学参考答案 第2 页(共9页) Tn= 1 21+ 0 22+ -1 23 + …+2-n2n ③ 由③×12 得,1 2Tn= 1 22+ 0 23+ -1 24 + …+3-n2n + 2-n 2n+1 ④ 10 分……………………………………………… ③-④得,12Tn = 1 2+ -1 22 + -1 23 + …+-12n - 2-n 2n+1 =12- 1 22+ 1 23+ …+12n -2-n2n+1 =12- 1 221- 1 2n-1 1-12 -2-n2n+1 13 分……………………………………………………………… = n2n+1 14 分……………………………………………………………………………………… ∴Tn= n 2n 15 分…………………………………………………………………………………………………… 17.【答案】 (1)427 (6分); (2)119 (9分). 【解析】 (1)设A、B、C 三位同学仅通过第一个环节的概率分别为P1、P2、P3, P1= 2 3× 1 2= 1 3 ,P2= 2 3× 1 3= 2 9 ,P3= 2 3× 1 3= 2 9 , 3分…………………………………………………… 三位同学中恰有两位同学仅通过第一个环节的概率为: P1P2(1-P3)+P1P3(1-P2)+P2P3(1-P1)= 4 27. 6 分…………………………………………………… (2)X 的所有可能取值为0、1、2、3,三位同学进入决赛的概率分别为13 ,4 9 ,4 9 , 8分………………………… P(X=0)=23× 5 9× 5 9= 50 243 , 9分……………………………………………………………………………… P(X=1)=13× 5 9× 5 9+ 2 3× 4 9× 5 9+ 2 3× 5 9× 4 9= 105 243 , 10分…………………………………………… P(X=2)=13× 4 9× 5 9+ 1 3× 5 9× 4 9+ 2 3× 4 9× 4 9= 72 243 , 11分…………………………………………… P(X=3)=13× 4 9× 4 9= 16 243 , 12分…………………………………………………………………………… ∴X 的分布列为 X 0 1 2 3 P 50243 105 243 72 243 16 243 E(X)=0×50243+1× 105 243+2× 72 243+3× 16 243= 11 9. 15 分……………………………………………………… 18.【答案】 (1)x 2 3+y 2=1 (4分); (2)±2 (6分); (3)(-12 ,0) (7分). 【解析】 (1)因为焦点在直线x+2y+2=0上,令y=0,得x=-c=-2, 1分………………………… 高二数学参考答案 第3 页(共9页) 又过点P 3 2 ,3 2 ,所以 3 2 2 a2 + 3 2 2 b2 =1 a2-b2=2 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁 􀪁􀪁 􀪁 􀪁􀪁 ,解得 a2=3 b2=1 , 3分……………………………………………… 所以椭圆G 的方程为x 2 3+y 2=1; 4分…………………………………………………………………………… (2)当k=1时,直线l:y=x+m(m≠0),设M(x1,y1),N(x2,y2), 联立 x2 3+y 2=1 y=x+m 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 消去y得4x2+6mx+3m2-3=0, 5分…………………… 因为 Δ=-12m2+48>0 ,所以m∈ -2,0 ∪(0,2) 6分…………………… x1+x2=- 3m 2 ,x1x2= 3m2-3 4 , 点O 到直线l的距离d= m 2 , 7分……………………………………………………………………………… 弦长 MN = 1+1· (x1+x2)2-4x1x2=2· 3- 3m2 4 , 8分………………………………………… 则△OMN 的面积S=12 ·d· MN =12 · m 2 ·2· 3-3m 2 4 =12 m 2(3-3m 2 4 )=12 3m2 4 (4-m2)≤12 · 3 2 ·m 2+4-m2 2 = 3 2 , 9分……………………………… 当且仅当m2=4-m2,即m=±2时,等号成立,所以m 的值是m=±2; 10分…………………………… (3)由(1)知,b=1,所以圆C:x2+y2-y=0,又k1+k2=2,所以kAP+kAQ=2 (ⅰ)若直线PQ 垂直于x轴,A(0,1),设PQ 的方程:x=s,P(s,yp),Q(s,yQ) 则 x=s x2+y2-y=0 ,消去x得,y2-y+s2=0,则yP+yQ=1 ∴kAP+kAQ= yP-1 s + yQ-1 s =2 ,则s=-12 , 因为直线x=-12 与圆C 相切,所以不合题意; 12分……………… (ⅱ)若直线PQ 不垂直于x轴, 则设PQ 的方程:y=tx+n,P(x3,y3),Q(x4,y4), 则 y=tx+n x2+y2-y=0 ,消去y得,(1+t2)x2+(2tn-t)x+n2-n=0 则x3+x4=- 2tn-t 1+t2 ,x3x4= n2-n 1+t2 , 14分…………………………………………………………………… 高二数学参考答案 第4 页(共9页) kAP+kAQ= y3-1 x3 + y4-1 x4 = 2tx3x4+(n-1)(x3+x4) x3x4 =2t (n2-n)+(n-1)(t-2tn) n2-n =2 , 因为n≠1,则2tn+t-2tn=2n,即n=t2 , 16分……………………………………………………………… 所以直线PQ 方程为:y=tx+ 1 2t=t (x+12 ), 所以直线PQ 过定点(-12 ,0). 17分…………………………………………………………………………… 19.【答案】 (1)3x-y-3=0 (4分); (2)当a≤0时,f(x)在 0,+ 上单调递减;当0<a< 1 2 时, f(x)在(0, 1- 1-4a2 2a )和(1+ 1-4a 2 2a ,+)上单调递增,在(1- 1-4a 2 2a ,1+ 1-4a 2 2a )上单调递减; 当a≥12 时,f(x)在(0,+)上单调递增 (6分); (3)见解析 (7分). 【解析】 (1)由题意可知f(x)的定义域为x>0, 1分………………………………………………………… 当a=2时,f(x)=2x-lnx- 2 x (x>0),则f'(x)=2- 1 x+ 2 x2 , 3分……………………………………… 所以 f(1)=0,f'(1)=3, 因此函数f(x)在x=1处的切线方程是:y-0=3(x-1), 化简得 3x-y-3=0. 4分……………………………………………………………………………………… (2)f'(x)= ax2-x+a x2 (x>0), 5分…………………………………………………………………………… ①a≤0时,∵x>0,f'(x)<0恒成立,∴f(x)在0,+ 上单调递减; 6分………………………………… ②a>0时,令f'(x)=0,即 ax2-x+a=0,因为 Δ=1-4a2 (ⅰ)0<a<12 时,得x1= 1- 1-4a2 2a ,x2= 1+ 1-4a2 2a ,0<x1<1<x2 当x∈(0,x1),(x2,+)时,f'(x)>0,f(x)在(0,x1)和(x2,+)上单调递增. 当x∈(x1,x2)时,f'(x)<0,f(x)在(x1,x2)上单调递减. 8分……………………………………………… (ⅱ)a≥12 时,Δ=1-4a2≤0,f'(x)≥0恒成立,f(x)在(0,+)上单调递增. ∴综上所述,当a≤0时,f(x)在0,+ 上单调减; 当0<a<12 时,f(x)在(0, 1- 1-4a2 2a )和(1+ 1-4a 2 2a ,+)上单调递增, 在(1- 1-4a 2 2a ,1+ 1-4a 2 2a )上单调递减; 9分……………………………………………………………… 高二数学参考答案 第5 页(共9页) 当a≥12 时,f(x)在(0,+)上单调递增. 10分………………………………………………………………… (3)由(2)知,0<a<12 时,f(x)有两个极值点x1,x2,其中x1是f(x)的极大值点,x2是f(x)的极小值点. 且x1x2=1,x1+x2= 1 a ,∴a= 1x1+x2 , 12分………………………………………………………………… 要证 f(x1)-f(x2)< 1 x1- 1 x2 ,只要证f(x1)-f(x2)<x2-x1. 13分…………………………………… 由x2-x1-f(x1)+f(x2) =(a+1)(x2-x1)+a(x2-x1)-ln x2 x1=2a (x2-x1)+(x2-x1)-ln x2 x1 , 14分………………………… 代入a可得,原式=2 x2-x1 x2+x1+ x2-x1 x2x1 -ln x2 x1 =2· x2 x1-1 x2 x1+1 + x2 x1- x1 x2-ln x2 x1 15 分………………… 令t= x2 x1>1 ,设g(t)= 2(t-1) t+1 +t- 1 t -lnt,所以g'(t)= 4 (t+1)2+ 1 2t + 1 2tt -1t 得 g'(t)= 4 (t+1)2+ (t-1)2 2tt >0, 则g(t)在(1,+)上单调递增,所以g(t)>g(1)=0, 16分…………………………………………………… 则x2-x1-f(x1)+f(x2)>0,即f(x1)-f(x2)<x2-x1, 所以原不等式成立. 17分………………………………………………………………………………………… 【注】:以上各解答题,如有不同解法并且正确,请按相应步骤给分。 高二数学参考答案 第6 页(共9页) 详解 1.【答案】 A 【解析】 样本相关系数取值范围为:-1≤r ≤1, 当样本相关系数r<0时,称成对数据成负相关 , 当 r 越接近1时,成对样本数据的线性相关程度越强, 当 r 越接近0时,成对样本数据的线性相关程度越弱. 2.【答案】 D 【解析】 由渐近线方程可知ba=±3 ,∴e= 1+b 2 a2=2. 3.【答案】 A 【解析】 由题意可知,P(3<X<4)=P(2<X<3)=P(X<3)-P(X<2)=12- 1 6= 1 3. 4.【答案】 C 【解析】 由题意可得,圆C1:x2+y2=22,圆心为(0,0),半径为r1=2, 圆C2:(x-2)2+(y+2)2=42,圆心为(2,-2),半径为r2=4,∴r1+r2=6,r2-r1=2, 又(0,0)到(2,-2)的距离d=22 ∴r2-r1<d<r1+r2 ∴圆C1与圆C2相交. 5.【答案】 D 【解析】 ∵an 为等比数列,则a24=a2·a6,又a24=a6,∴a2=1,∴公比q= a2 a1=3 , ∴S4= a11-q4 1-q = 1 31-3 4 1-3 = 40 3. 6.【答案】 B 【解析】 先将美食平均分成3组, C24C12C11 A22 =6种不同的分法, 又因为该游客每天选择一种分法进行品尝,有A33=6种选法,所以不同选择有6×6=36种. 7.【答案】 C 【解析】 由题意可知,f'(1)=0, 因为f'(x)=x2+2x+b,令x=1解得b=-3, ∴f(x)= 1 3x 3+x2-3x-23 ,f'(x)=x2+2x-3, 令f'(x)=0,解得x1=1,x2=-3, 高二数学参考答案 第7 页(共9页) ∴x<-3,f'(x)>0,f(x)单调递增; -3<x<1,f'(x)<0,f(x)单调递减; x>1,f'(x)>0,f(x)单调递增, ∴f(x)在x=1处取极小值,f(1)=- 7 3 , 令f(x)=- 7 3 即1 3x 3+x2-3x-23=- 7 3 ,解得x=1或x=-5, 因为区间(a-8,a)内存在最小值, 所以 -5≤a-8<1 a>1 ,解得3≤a<9. 8.【答案】 B 【解析】解法一: 因为P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB),所以P(AB)=112 , ∵P(A)=P(AB)+P(AB),∴P(AB)=512 , ∵P(B)=P(AB)+P(AB),∴P(AB)=14 , ∴P(A|B)=P (AB) P(B)= 1 4 2 3 =38. 解法二: 因为P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB),所以P(AB)=112 , ∴根据韦恩图可得P(A|B)=P (AB) P(B)= 1 4 2 3 =38. 9.【答案】 ACD 【解析】 对于A项,E(2X+1)=2E(X)+1,∴A正确. 对于B项,X~N(μ,σ2),∴D(X)=4,∴B错误. 对于C项,E (X) D(X)= np np(1-p)= 1 1-p ,∴C正确. 对于D项,D(X)=p(1-p)=-(p- 1 2 )2+14 ,当p= 1 2 时,D(X)最大,∴D正确. 高二数学参考答案 第8 页(共9页) 10.【答案】 ABD 【解析】 对于A项,易证B1D1⊥平面A1C1CA,∴AC1⊥B1D1, 同理可证A1C⊥AD1,从而A1C⊥平面AB1D1,∴A1C⊥AE 恒成立,∴A正确. 对于B项,S△EFB= 1 2EF ·BB1= 1 2× 2 2×1= 2 4 为定值,又点A 到平面BDD1B1 的距离为AO= 22 为定值,∴VA-BEF= 1 3× 2 4× 2 2= 1 12 为定值,∴B正确. 对于C项,平面EFB 即平面BDD1B1,而平面EFA 即平面AB1D1, ∴当E 向D1运动时,二面角A-EF-B 的大小不变,∴C错误. 对于D项,如图,作EG⊥平面ABCD 于点G,作GH⊥AB 于点H,连接EH,由三垂线定理得EH⊥AB, 则∠EHG 是二面角E-AB-C 的平面角,tan∠EHG=EGGH= 1 GH ,要使∠EHG 最小,需GH 最大,如图, 当E 与D1重合时,GH 最大,此时GH=DA,∠EHG=∠D1AD=45°,所以二面角E-AB-C 的最小值 为45°,∴D正确. 11.【答案】 BCD 【解析】 对于A项,m=2时,经过循环圈是2→1→4,2025÷3=675,所以a2025=4,∴A错误. 对于B项,m=34时,其对应的“雹程”:34→17→52→26→13→40→20→10→5→16→8→4→2→1,共13步 “雹程”,∴B正确. 对于C项,m=512时,经过循环圈512→256→128→64→32→16→8→4→2→1,则a11=4, S11= 5121- 12 10􀭠 􀭡 􀪁􀪁 􀭤 􀭥 􀪁􀪁 1-12 +4=1027,∴C正确. 对于D项,可采用逆运算,由2发出对该数乘以2,或者减去1后除以3.用树形图表示如下: 所以m 的取值共有6个,分别为:128,21,20,16,3,2,∴D正确. 高二数学参考答案 第9 页(共9页) 12.【答案】 5 【解析】 由题意可得x=1+2+3+4+55 =3 , 代入线性方程解得y=7,∴ 4+a+7+9+10 5 =7 ,解得a=5. 13.【答案】 3281 【解析】 由题意可知X~B(4,23 ),∴P(X=3)=C34( 2 3 )3(1 3 )1=3281. 14.【答案】 (-∞,-12e ] 【解析】 ∵f(x)为偶函数,则f(x)=f(-x),∴f'(x)=-f'(-x) 又f(x)+f'(x)=4ex+1 ①, 令x=-x得f(-x)+f'(-x)=4e-x+1,∴f(x)-f'(x)=4e-x+1 ②, 联立①②可得f(x)=2ex+2e-x+1, ∴f(x)-2ex-1=2e-x, ∴k·2e-x≤x,则2k≤x·ex, 令g(x)=x·ex,∴2k≤g(x)恒成立,∴k≤ 1 2 g (x) min, g'(x)=ex(x+1),令g'(x)=0,解得x=-1, ∴x∈(-∞,-1),g'(x)<0,g(x)单调递减, x∈(-1,+∞),g'(x)>0,g(x)单调递增, ∴g(x)min=g(-1)=- 1 e , ∴k≤-12e.