精品解析：江西省赣州市文清外国语学校2024-2025学年高一艺术班下学期期末考试数学试卷

江西省赣州市文清外国语学校2024-2025学年高一下学期艺术班期末考试数学试卷 总分：150分 时间：120分钟 2025.07.03 一、单选题（每题5分，共40分） 1. 复数的共轭复数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据复数的除法运算化简，再根据共轭复数的定义即可求解． 【详解】， 所以复数的共轭复数为． 2. 已知水平放置的是按“斜二测画法”得到如图所示的直观图，，，那么原的面积是（ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】 由直观图求出原图三角形的高，即可求解. 【详解】由直观图中，知原图中，且，， 所以原的面积是面积为， 故选：C 3. 已知，是平面，，是直线，下列命题中不正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 【答案】A 【解析】 【分析】根据空间中线面、面面的位置关系一一判断即可. 【详解】对于A：若，，则或与异面，故A错误； 对于B：两条平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面， 故若，，则，故B正确； 对于C：垂直于同一条直线的两个平面互相平行， 故若，，则，故C正确； 对于D：根据面面垂直的判断定理可知，若，，则，故D正确； 故选：A 4. 若棱长为的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求出正方体的体对角线的一半，即为球的半径，利用球的表面积公式，即可得解. 【详解】这个球是正方体的外接球，其半径等于正方体的体对角线的一半， 即， 所以，这个球的表面积为. 故选：C. 【点睛】本题考查正方体的外接球的表面积的求法，求出外接球的半径是本题的解题关键，属于基础题.求多面体的外接球的面积和体积问题，常用方法有：（1）三条棱两两互相垂直时，可恢复为长方体，利用长方体的体对角线为外接球的直径，求出球的半径；（2）直棱柱的外接球可利用棱柱的上下底面平行，借助球的对称性，球心为上下底面外接圆的圆心连线的中点，再根据勾股定理求球的半径；（3）如果设计几何体有两个面相交，可过两个面的外心分别作两个面的垂线，垂线的交点为几何体的球心. 5. 甲、乙两个人进行“剪子、包袱、锤”的游戏，两人都随机出拳，则一次游戏两人平局的概率为 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先列表得到所有的基本事件的个数及平局对应的基本事件的个数，根据公式可得所求的概率． 【详解】甲、乙两个人进行“剪子、包袱、锤”的游戏，所有可能出现的结果列表如下： 甲 乙　 锤 剪子 包袱 锤 (锤，锤) (锤，剪子) (锤，包袱) 剪子 (剪子，锤) (剪刀，剪子) (剪子，包袱) 包袱 (包袱，锤) (包袱，剪子) (包袱，包袱) 因为由表格可知，共有9种等可能情况． 其中平局的有3种：(锤，锤)、(剪子，剪子)、(包袱，包袱)． 设为“甲和乙平局”，则，故选A． 【点睛】古典概型的概率计算，如果基本事件的总数计算较为繁琐时，那么应该用枚举法或列表法得到所有的基本事件及随机事件中含有的基本事件． 6. 某高校共有本科生1000人，硕士生200人，博士生20人申请报名做中国航展的志愿者，现用分层随机抽样方法从中抽取一批志愿者，若抽取的博士生是5人，则从该高校抽取的志愿者总人数为（ ） A. 265人 B. 285人 C. 305人 D. 325人 【答案】C 【解析】 【分析】由分层抽样相关知识可得答案. 【详解】设从高校抽取的志愿者总人数为n， 则. 故选：C 7. 总体由编号为01，02，…，39，40的40个个体组成．利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法是从随机数表第1行的第6列和第7列数开始由左到右依次选取两个数，则选出来的第5个个体的编号为（ ） 50 44 66 44 21 66 06 58 05 62 61 65 54 35 02 42 35 48 96 32 14 52 41 52 48 22 66 22 15 86 26 63 75 41 99 58 42 36 72 24 58 37 52 18 51 03 37 18 39 11 79 33 A. 23 B. 21 C. 35 D. 32 【答案】B 【解析】 【分析】从随机数表第1行的第6列和第7列数字开始由左到右依次选取两个数字，于是将两个数字构成的编号依次写出，然后读取出在01，02，…，39，40编号内编号（重复的算一次），依次选取5个不重复的即可得到 【详解】随机数表第1行的第6列和第7列数字为6、4，所以从这两个数字开始， 由左向右依次选取两个数字如下：64，42，16，60，65，80，56，26，16，55，43，50，24，23，54，89， 其中落在编号为01，02，…，39，40内的有：16，26，24，23，21，…，故第5个编号为21. 故选：B. 8. 从装有3个红球和3个黑球的口袋内任取3球，那么互斥而不对立的两个事件是（ ） A. 至少一个红球和都是红球 B. 至少一个黑球和都是红球 C. 至少一个黑球和至少一个红球 D. 恰有一个红球和恰有一个黑球 【答案】D 【解析】 【分析】由互斥事件及对立事件的定义进行依次判断. 【详解】对于A至少一个红球和都是红球不互斥，同时发生的情况是都是红球，A错误； 对于B至少有一个黑球和都是红球互斥并对立，所以B错误； 对于C至少一个黑球和至少一个红球，当一个黑球两个红球是可以同时发生，不互斥，C错误； 对于D，恰有一个红球和恰有一个黑球，互斥但不对立，存在情况都是红球或都是黑球，D正确. 故选:D. 二、多选题（每题6分，共18分） 9. 已知向量，，，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据向量的坐标运算，即可判断选项. 【详解】A.，故A正确； B. ，故B错误； C. ，，故C正确； D.，所以，故D正确. 故选：ACD 10. 在空间直角坐标系中，给出以下结论：其中正确的是（　　） A. 点关于原点的对称点的坐标为； B. 点关于y轴对称的点的坐标是； C. 点关于平面对称的点的坐标是； D. 已知点与点，则AB的中点坐标是. 【答案】CD 【解析】 【分析】根据已知条件及对称性，结合中点坐标公式即可求解. 【详解】A选项，点关于原点的对称点的坐标为，故A错误； B选项，点关于y轴对称的点的坐标是；故B错误； C选项，点关于平面对称的点的坐标是，故C正确； D选项，已知点与点，则AB的中点坐标是，故D正确. 故选：CD. 11. 的内角，，所对边分别为，，，下列说法中正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则是锐角三角形 C. 若，则是等腰三角形 D. 若，则是等边三角形 【答案】AC 【解析】 【分析】A由正弦定理及大边对大角判断；B由余弦定理知为锐角；C正弦边角关系及三角形内角和性质得；D由正弦定理及三角形内角性质得. 【详解】A：由及正弦定理知：，根据大边对大角有，正确； B：由余弦定理，只能说明为锐角，但不能确定是锐角三角形，错误； C：，则，故是等腰三角形，正确； D：由，则，且，故，即是等腰直角三角形，错误. 故选：AC 三、填空题（每题5分，共15分） 12. 已知空间向量，若，则____ 【答案】16 【解析】 【分析】首先求向量，再根据向量垂直的坐标表示，即可求解. 【详解】，因为，所以， 所以. 故答案为： 13. 已知事件与相互独立，，，则______． 【答案】0.88 【解析】 【分析】根据独立事件乘法公式求出，从而利用求出答案. 【详解】因为事件与相互独立， 所以， 所以． 故答案为：0.88 14. 已知i为虚数单位，若复数满足，则的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】根据给定条件，求出复数在复平面内对应点的轨迹，再利用几何意义求出范围. 【详解】由，得复数在复平面内对应点的轨迹是以点为圆心，2为半径的圆， 是点到定点的距离，而，因此，， 所以的取值范围是. 故答案为： 四、解答题 15. （1）已知圆锥的母线长是，侧面积是，求该圆锥的高？ （2）已知圆台的上底面半径为，下底面半径为，母线长为，求它的体积？ 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】（1）利用圆锥的侧面积求出圆锥的底面半径，再利用勾股定理可求得该圆锥的高； （2）求出圆台的高，利用圆台的体积公式可求得该圆台的体积. 【详解】（1）设圆锥的母线长为，高为，底面半径为， 则该圆锥的侧面积为，解得， 故该圆锥的高为； （2）如图是圆台的轴截面，圆台上、下底面半径分别为、，母线长为，设圆台的高为， 则，解得， 故该圆台的体积为. 16. 在中， （1）求的值； （2）若，，求的值. 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】（1）利用余弦定理可求得的值； （2）利用二倍角的正弦公式求出的值，然后利用正弦定理可求得的值. 【详解】（1）因为在中，，所以，； （2）由（1）知，，所以 因为，所以 又因为，由正弦定理，可得 17. 某企业为了解下属某部门对本企业职工的服务情况，随机访问50名职工，根据这50名职工对该部门的评分，绘制频率分布直方图(如图所示)，其中样本数据分组区间为 （1）求频率分布直方图中的值； （2）估计该企业的职工对该部门评分不低于80的概率； （3）从评分在的受访职工中，随机抽取2人，求此2人评分都在的概率. 【答案】（1）0.006；（2）；（3）. 【解析】 【分析】（1）在频率分布直方图中，由频率总和即所有矩形面积之和为，可求； （2）在频率分布直方图中先求出50名受访职工评分不低于80的频率为，由频率与概率关系可得该部门评分不低于80的概率的估计值为； （3）受访职工评分在[50，60)的有3人，记为，受访职工评分在[40，50)的有2 人，记为，列出从这5人中选出两人所有基本事件，即可求相应的概率. 【详解】（1）因为， 所以 （2）由所给频率分布直方图知，50名受访职工评分不低于80的频率为， 所以该企业职工对该部门评分不低于80的概率的估计值为 （3）受访职工评分在[50，60)的有：50×0.006×10=3(人)， 即为； 受访职工评分在[40，50)的有： 50×0.004×10=2(人)，即为. 从这5名受访职工中随机抽取2人，所有可能的结果共有10种，它们是 又因为所抽取2人的评分都在[40，50)的结果有1种，即， 故所求的概率为 【点睛】本题考查频率分布直方图､概率与频率关系､古典概型，属中档题；利用频率分布直方图解题的时，注意其表达的意义，同时要理解频率是概率的估计值这一基础知识；在利用古典概型解题时，要注意列出所有的基本事件，千万不可出现重､漏的情况. 18. 如图，在长方体中，底面是边长为的正方形，，、分别为、上的点，且，. （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值； （3）求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】（1） 证明：在棱上取点，使得，连接、，如下图所示： 因为，，、分别为、上的点，且，， 所以，且，故四边形为平行四边形， 所以，， 因为为棱上一点，故， 因为，，故，所以四边形为平行四边形， 所以，， 因为，，故，，故四边形为平行四边形， 所以，故， 因为平面，平面，故平面. （2） （3） 【解析】 【分析】（1）在棱上取点，使得，连接、，证明出，，由平行线的传递性可证得，再利用线面平行的判定定理可证得结论成立； （2）连接交于点，连接、，取线段的中点，连接，过点在平面内作，垂足为点，由二面角的定义可知，直线与平面所成角为，计算出三边边长，证明出，即可求出，即为所求； （3）连接，过点在平面内作，连接，推导出平面，结合二面角的定义可知，平面与平面夹角即为二面角的平面角或其补角，即，求出、，即可得解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 连接交于点，连接、，取线段的中点，连接， 过点在平面内作，垂足为点，如下图所示： 因为四边形为正方形，所以， 因为平面，平面，所以， 因为，、平面，所以平面， 因为平面，所以， 因为，，、平面，所以平面， 故直线与平面所成角为， 因为，， 且，故四边形为平行四边形，故， 因为平面，平面，所以，即， 由勾股定理可得， 同理可得，， 所以，故，即点与点重合， 所以，因此，直线与平面所成角的正弦值为. 【小问3详解】 连接，过点在平面内作，连接，如下图所示： 由（1）知，故平面， 故平面与平面夹角即为二面角的平面角或其补角， 由（2）可知，， 又因为平面，平面，所以， 因为，、平面，所以平面， 因为平面，所以， 因为，，、平面，故平面， 因为平面，故， 所以二面角的平面角为， 因为，，， 所以，故，由等面积法可得， 因为平面，平面，故，且， 故， 所以， 因此，平面与平面夹角的余弦值为. 19. 11分制乒乓球比赛，每赢一球得1分，当某局打成平后，每球交换发球权，先多得2分的一方获胜，该局比赛结束.甲､乙两位同学进行单打比赛，假设甲发球时甲得分的概率为，乙发球时甲得分的概率为，各球的结果相互独立.已知在某局双方平后，甲先发球. （1）若两人又打了2个球该局比赛结束的概率为，求的值； （2）在（1）的条件下，求两人又打了4个球且甲获胜的概率. 【答案】（1）的值为 （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意得到事件的可能情况进而列出方程求解； （2）根据题意分析知所对应的事件为前两球甲乙各得1分、后两球均为甲得分，根据题意的先后手情况，列出式子求解即可. 【小问1详解】 由题意可知，甲先发球，两人又打了2个球该局比赛结束， 所对应的事件为“甲连赢两球或乙连赢两球”， 所以， 解得，即的值为 【小问2详解】 由题意可知，若两人又打了4个球且甲获胜， 所对应的事件为“前两球甲乙各得1分，后两球均为甲得分”， 因为甲发球时甲得分的概率为，乙得分的概率为， 乙发球时甲得分的概率为，乙得分的概率为， 所以 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 江西省赣州市文清外国语学校2024-2025学年高一下学期艺术班期末考试数学试卷 总分：150分 时间：120分钟 2025.07.03 一、单选题（每题5分，共40分） 1. 复数的共轭复数是（ ） A. B. C. D. 2. 已知水平放置的是按“斜二测画法”得到如图所示的直观图，，，那么原的面积是（ ） A. B. C. 1 D. 2 3. 已知，是平面，，是直线，下列命题中不正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 4. 若棱长为的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（ ） A. B. C. D. 5. 甲、乙两个人进行“剪子、包袱、锤”的游戏，两人都随机出拳，则一次游戏两人平局的概率为 A. B. C. D. 6. 某高校共有本科生1000人，硕士生200人，博士生20人申请报名做中国航展的志愿者，现用分层随机抽样方法从中抽取一批志愿者，若抽取的博士生是5人，则从该高校抽取的志愿者总人数为（ ） A. 265人 B. 285人 C. 305人 D. 325人 7. 总体由编号为01，02，…，39，40的40个个体组成．利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法是从随机数表第1行的第6列和第7列数开始由左到右依次选取两个数，则选出来的第5个个体的编号为（ ） 50 44 66 44 21 66 06 58 05 62 61 65 54 35 02 42 35 48 96 32 14 52 41 52 48 22 66 22 15 86 26 63 75 41 99 58 42 36 72 24 58 37 52 18 51 03 37 18 39 11 79 33 A. 23 B. 21 C. 35 D. 32 8. 从装有3个红球和3个黑球的口袋内任取3球，那么互斥而不对立的两个事件是（ ） A. 至少一个红球和都是红球 B. 至少一个黑球和都是红球 C. 至少一个黑球和至少一个红球 D. 恰有一个红球和恰有一个黑球 二、多选题（每题6分，共18分） 9. 已知向量，，，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 在空间直角坐标系中，给出以下结论：其中正确的是（　　） A. 点关于原点的对称点的坐标为； B. 点关于y轴对称的点的坐标是； C. 点关于平面对称的点的坐标是； D. 已知点与点，则AB的中点坐标是. 11. 的内角，，所对边分别为，，，下列说法中正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则是锐角三角形 C. 若，则是等腰三角形 D. 若，则是等边三角形 三、填空题（每题5分，共15分） 12. 已知空间向量，若，则____ 13. 已知事件与相互独立，，，则______． 14. 已知i为虚数单位，若复数满足，则的取值范围是________． 四、解答题 15. （1）已知圆锥的母线长是，侧面积是，求该圆锥的高？ （2）已知圆台的上底面半径为，下底面半径为，母线长为，求它的体积？ 16. 在中， （1）求的值； （2）若，，求的值. 17. 某企业为了解下属某部门对本企业职工的服务情况，随机访问50名职工，根据这50名职工对该部门的评分，绘制频率分布直方图(如图所示)，其中样本数据分组区间为 （1）求频率分布直方图中的值； （2）估计该企业的职工对该部门评分不低于80的概率； （3）从评分在的受访职工中，随机抽取2人，求此2人评分都在的概率. 18. 如图，在长方体中，底面是边长为的正方形，，、分别为、上的点，且，. （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值； （3）求平面与平面夹角的余弦值. 19. 11分制乒乓球比赛，每赢一球得1分，当某局打成平后，每球交换发球权，先多得2分的一方获胜，该局比赛结束.甲､乙两位同学进行单打比赛，假设甲发球时甲得分的概率为，乙发球时甲得分的概率为，各球的结果相互独立.已知在某局双方平后，甲先发球. （1）若两人又打了2个球该局比赛结束的概率为，求的值； （2）在（1）的条件下，求两人又打了4个球且甲获胜的概率. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $