01讲集合的概念与表示（思维导图+知识梳理+常考题型） 2025-2026学年高一数学人教A版2019必修一

1.1集合的概念与表示 模块一 集合的概念 1.元素与集合的概念 （1）元素：一般地，我们把研究对象统称为元素。通常用小写拉丁字母a,b,c…表示几何中的元素。 （2）集合：把一些元素组成的总体叫做集合，简称集。通常用大写拉丁字母A,B,C…表示集合。 2、集合的特征 （1）确定性：设A是一个给定的集合，x是某一个具体对象，则x或者是A的元素，或者不是A的元素，两种情况必有一种且只有一种成立． （2）互异性：一个给定集合中的元素是互不相同的，也就是说，集合中的元素是不重复出现的. （3）无序性：集合中的元素的次序无先后之分．如：由1，2，3组成的集合，也可以写成由1，3，2组成一个集合，它们都表示同一个集合． 注意：判断是否为集合，要从集合的三要素入手。 考察确定性的问题一般出现在自然语言表示的集合，要注意题目中不明确的词语，例如：“很大”、“著名”等；考察互异性的问题一般是针对数字类的题目，注意同一个数字不同的表示方法. 3.集合相等 只要构成两个集合的元素是一样的，就称这两个集合是相等的 例1.考察下列每组对象，能组成一个集合的是(     ) ①某高中高一年级聪明的学生       ②直角坐标系中横、纵坐标相等的点 ③不小于3的正整数             ④的近似值． A. ①② B. ③④ C. ②③ D. ①③ 【答案】C 【分析】根据集合元素的确定性，可得①④当中的对象不明确，故不能构成集合；而②③当中的对象符合集合元素的性质，可以构成集合． 【解答】 解：对于①，“某高中高一年级聪明的学生”，其中聪明没有明确的定义，故不能构成集合； 对于②，“直角坐标系中横、纵坐标相等的点”，符合集合的定义，能构成集合； 对于③，“不小于3的正整数”，符合集合的定义，能构成集合； 对于④，“的近似值”，对近似的精确度没有明确定义，故不能构成集合． 综上所述，只有②③能构成集合，①④不能构成集合． 故选： 【变式1-1】 ①联合国安全理事会常任理事国;②充分接近的所有实数;③方程的实数解;④中国著名的高等院校.以上对象能构成集合的是(    ) A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ①②③④ 【答案】B  【分析】 通过集合的定义及集合中的元素满足：确定性、互异性、无序性，直接判断选项即可. 【解答】 解：对①，联合国安全理事会常任理事国包括中国、法国、美国、俄罗斯、英国，能构成集合； 对②，充分接近的所有实数，不满足集合中元素的确定性，不能构成集合； 对③，方程，，方程无实根，能构成集合，集合为空集； 对④，中国著名的高等院校，不满足集合中元素的确定性，不能构成集合， 故选 【变式1-2】给出下列说法： ①所有接近于0的数构成一个集合 ②2025年高考数学全国卷Ⅰ中的选择题构成一个集合 ③高科技产品构成一个集合 ④所有不大于3的自然数构成一个集合 ⑤1，，，组成的集合含有4个元素． 其中正确的是   (    ) A. B. C. D. 【答案】D  【分析】 利用集合的含义及集合中元素的性质来逐个判断即可. 【解答】 解：①③中的对象没有一个明确的判定标准，不能构成集合， ②④中的对象判定标准明确，能构成集合，⑤因为，故⑤中的集合含有3个元素， 所以②④正确. 故选 模块二 元素与集合的关系 1、 元素与集合的关系： 如果a是集合A的元素，就说a属于集合A， 记作a∈A ； 如果a不是集合A中的元素，就说a不属于集合A，记作a∉A. 集合与元素的关系是属于与不属于关系，符号表示如：a∈A或a∉A． 2.常用数集及其记法 数学中一些常用的数集及其记法 全体非负整数组成的集合称为：非负整数集（或自然数集），记作N； 全体正整数组成的集合称为：正整数集，记作N*或N+； 全体整数组成的集合称为：整数集，记作Z； 全体有理数组成的集合称为：有理数集，记作Q； 全体实数组成的集合称为：实数集，记为R． 例2.给出下列关系：①；②；③；④，其中正确的个数为(    ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B  【分析】 本题考查元素与集合的关系及特殊集合的表示方法，利用和的定义，逐一分析求解即可. 【解答】解：对于①，为实数，而R表示实数集，所以，即①正确; 对于②，2为整数，而Z表示整数集合，所以，即②正确; 对于③，为正自然数，而表示正自然数集，所以，所以③错误; 对于④，因为为无理数，Q表示有理数集，所以，即④错误. 故选 【变式2-1】下列所给关系中正确的个数是  ； ；  ；  ；   A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C  【分析】 根据元素与集合的关系进行判断. 【解答】 解：对于：是实数，R是实数集，，正确； 对于 ：是无理数，Q是有理数集；  ，正确； 对于：0是自然数，N是自然数集，，正确；  对于：是正整数，是正整数集，，故不对； 对于：是一个分数，Z是整数集，，故不对. 故选 【变式2-2】由大于3且小于2的数组成的集合是          .           Q，          Q，          填“”或“” 集合A的元素x满足，若A含有2个元素，则实数m满足的条件是          . “2016年全国的中学生”组成的集合是          填“有限集”或“无限集” 【答案】（1）（2）  ；  ； （3） （4） 有限集  【分析】 对各选项运用集合相关知识求解即可. 【解答】 解：因为大于3并且小于2的数不存在， 所以由大于3并且小于2的数组成的集合是 ，， 由题有，故实数m满足的条件是 “2016年全国的中学生”组成的集合是有限集. 【变式2-3】非空集合A具有下列性质：①若x、，则；②若x、，则，下列判断一定成立的是      ； ； 若x、，则； 若x、，则 A. B. C. D. 【答案】C  【分析】 本题考查集合的新定义，考查元素与集合的关系的判断，属于中档题. 假设，可推出，由此可判断的正误；推导出，进而可推导出，，由此可判断的正误；推导出，结合可判断的正误；若x、，举出反例，可判断的正误.综合可得出结论. 【解答】 解：由①可知 对于，若，对任意的，，则， 所以，，这与矛盾，正确； 对于，若且，则， ，， 依此类推可得知，，， ，，，正确； 对于，若x、，则且， 由可知，，则， 所以，，正确； 对于，由得，， 取，则，所以错误. 故选： 模块三 集合的表示方法 1.自然语言法:用文字叙述的形式表述集合的方法.如小于10的所有的自然数组成的集合， 2.列举法 把集合中的元素一一列举出来，并用“{ }”括起来的表示集合的方法叫做列举法。 3.描述法 一般地，设A是一个集合，我们把集合A中所有具有共同特征P(x)的元素x所组成的集合表示为{x∈A|P(x)}，这种表示集合的方法称为描述法． 4.图示法: 图示法又称韦恩图法、韦氏图法，是一种利用二维平面上的点集表示集合的方法.一般用平面上的矩形或圆形表示一个集合，是集合的一种直观的图形表示法.例如.集合{1,2}用图示法表示如图所示 例3.集合的另一种表示形式是(    ) A. B. C. D. 【答案】B  【分析】 本题考查集合的表示方法，属于基础题. 【解答】 解：由，得，又， 所以，2，3，4， 即集合的另一种表示形式是 故选 【变式3-1】下列叙述正确的是  A. 方程的根构成的集合为 B. C. 集合表示的集合是 D. 集合与集合是不同的集合 【答案】B  【分析】 本题考查了集合的含义及集合内元素的特征，同时还考查了集合的相等，属于中档题． 【解答】 解：选项A：集合中的元素互异，故错误； 选项B：，正确； 选项C：集合，故错误， 选项D：元素相同即集合相等，故错误． 故选： 【变式3-2】已知集合，且，则M等于 A. B. ，3， C. ，3， D. ，3， 【答案】D  【分析】 本题考查了集合元素的属性，注意元素的约束条件是解答的关键，属于基础题. 【解答】 解：因为集合且， 所以可能为1，2，3，6， 对应a的值为4，3，2，， 所以 故选 例4.试分别用描述法和列举法表示下列集合： 方程的所有实数根组成的集合A； 由大于10且小于20的所有整数组成的集合 【答案】解：设，则x是一个实数，且 因此，用描述法表示为 方程有两个实数根， 因此，用列举法表示为 设，则x是一个整数，即，且 因此，用描述法表示为 大于10且小于20的整数有11，12，13，14，15，16，17，18，19， 因此，用列举法表示为  【解析】本题主要考查集合表示的两种方法：列举法和描述法． 原方程是一元二次方程，解方程即可得到根，分别利用描述法和列举法表示即可； 根据列举法和描述法的定义分别进行表示． 【变式4-1】下列集合中，不同于另外三个集合的是      A. B. C. D. 【答案】C  【分析】 本题主要考查集合的表示方法，要求熟练掌握描述法和列举法，属于基础题． 【解答】，列举法表示集合只有一个元素1；    B.描述法表示集合，代表元素为y，只有一个元素1；    D.，表示集合有一个元素1，   C.是用列举法表示的集合，集合中元素为代数式，只有一个元素，就是代数式；     故C中集合与ABD三个集合均不相同， 故选 【变式4-2】（多选题）下列说法错误的是（   ） A．集合用列举法表示为 B．实数集可以表示为{为所有实数}或 C．能被4整除余3的所有自然数组成的集合用描述法可表示为 D．集合与是同一个集合 【答案】BD 【分析】A选项，解方程，得到方程的解，故用列举法表示为，故A正确；B选项，表示实数集，实数集为错误表示，故B错误；C选项，根据描述法定义得到C正确；D选项，两集合一个为数集，一个为点集，D错误. 【解答】对于A，集合中只含有两个元素0和1， 所以用列举法表示为，故A正确； 对于B，因为花括号本身就具有所有的意义， 所以在描述内容中不能再出现“所有”这样的字眼， 另外表示实数集，实数集为错误表示，故B错误； 对于C，根据描述法表示集合可得集合为，故C正确； 对于D，集合为的取值集合，为数集， 集合表示抛物线上点的集合，为点集， 所以两个集合不是同一个集合，故D错误． 故选：BD 模块四 常考题型归纳 题型一：集合概念的理解 1.下列命题中正确的是    A. 与表示同一个集合 B. 方程的所有解的集合可表示为 C. 由3，4，5组成的集合可表示为或 D. 很小的实数可以构成集合 【答案】C  【分析】 本题主要考查的是集合的表示法，集合的概念，属于基础题. 【解答】 解：对于A，有一个元素0，无任何元素，故与不是同一个集合，A错误； 对于B，，B错误； 对于C，根据集合的无序性，可得由3，4，5组成的集合可表示为或，C正确； 对于D，因为集合具有确定性，又"很小的实数"不具有确定性，所以不能构成集合．D错误. 故选 题型二：利用集合的特征求参数 1.已知集合只有一个元素，则实数a的值为    A. B. 0 C. 或0 D. 1 【答案】C  【分析】根据和讨论集合A中方程解的情况即可． 【解析】当时，满足题意， 当时，集合A中一元二次方程中，得 若集合只有一个元素，实数a的值为0或 故选： 2.若，则实数m的可能取值为(    ) A. 4 B. 2 C. 1 D. 【答案】ABD  【分析】 先根据题意求m的值，再利用集合元素的互异性验证m即可． 【解答】 解：三个元素中有且只有一个是3，要分三类讨论． 当时，，此时，，故符合题意； 当时，，此时，不满足集合中元素的互异性，故舍去； 当时，，经检验符合题意． 综上可知，或 故选： 3. 已知集合，且，求实数m的值          . 【答案】3  【解析】【分析】 利用，推出或，求出m的值，然后验证集合A是否成立，即可得到m的值． 【解答】 解：因 ，且 所以或 即或或 当时，与元素的互异性相矛盾，舍去； 当时，与元素的互异性相矛盾，舍去； 当时，满足题意 故答案是： 题型三：判断是否为同一集合 1.下列集合中表示同一集合的是(    ) A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】D  【分析】 利用集合的三个特征及其定义，对A、B、C、D四个选项进行一一判断． 【解答】 解：A、， M集合的元素表示点的集合，， N表示数集，故不是同一集合，故A错误； B、，M集合的元素表示点的集合，，N表示直线的纵坐标，是数集，故不是同一集合，故B错误； C、集合M的元素是点，，集合N的元素是点，故C错误； D、，根据集合的无序性，集合M，N表示同一集合，故D正确； 故选： 2.多选下列表示同一个集合的是    A. ， B. ， C. ， D. ，且，， 【答案】ACD  【分析】 本题考查集合相等，是基础题 【解答】 A中两个集合都是由元素2和5构成的，是同一个集合; B中集合P中的元素是点，集合Q中的元素是点，故P与Q不是同一个集合; C中两个集合都是由所有奇数组成的，是同一个集合; D中两个集合都是由所有6的整数倍数组成的，是同一个集合. 故选 3.设a，b是两个实数，集合A中含有0，b，三个元素，集合B中含有1，a，三个元素，且集合A与集合B相等，则          . 【答案】1  【分析】 根据集合相等，分情况讨论求解再验证即可. 【解答】 解：，，又， 由知，故， ①且，此时，，，，故符合题意； ②且，此时，但不满足，故不符合题意. 综上，，，即， 故答案为 4.已知集合，，且，则m的值为          . 【答案】0  【分析】 本题考查了集合元素的特征，属于基础题. 【解答】 因为，所以，解得或，又集合的元素具有互异性，所以 题型四：判断元素与集合的关系 1.（多选）已知集合，集合，下列关系正确的是(    ) A. B. C. D. 【答案】ACD  【分析】 本题主要考查集合元素和集合关系的判断，利用代表元素确定集合A为数集，B为点集是解决本题的关键．集合A为数集，集合B为点集，分别利用元素和集合的关系进行判断． 【解答】 解：，集合， 是数集且， 集合为点集． 当时，，， 当时，，， 故选ACD 2.已知集合，下列选项中均为的元素的是（   ） （1）    （2）    （3）    （4）0 A．（1）（2） B．（1）（3） C．（2）（3） D．（3）（4） 【答案】D 【分析】根据元素和集合的关系即可求解. 【详解】由于，故和0是中元素. 故选：D 3.已知集合，，则B中所含元素的个数为(    ) A. 3 B. 6 C. 8 D. 10 【答案】D  【分析】 由题意，根据集合B中的元素属性对x，y进行赋值得出B中所有元素，即可得出B中所含有的元素个数，得出正确选项. 【解答】 解：由题意，时，，2，3，4， 时，，2，3， 时，，2， 时， 综上知，B中的元素个数为10个 故选 4. 集合，且，则有（   ） A． B． C． D．不属于中的任意一个 【答案】B  【分析】根据题意，进行求解即可. 【解答】由题知P表示偶数集，Q表示奇数集，R表示所有被4除余1的整数， 所以当时，则a为偶数，b为奇数，则一定为奇数，则． 故选：B. 题型五：集合表示方法的转化及求参数 1.（多选）下列四个命题中正确的是        A. 由所确定的实数集合为 B. 同时满足的整数解的集合为 C. 与集合相等的是 D. 中含有三个元素 【答案】ABC  【分析】 利用绝对值的意义，去绝对值符号，即可判定A，解不等式得到x的取值范围，用列举法表示出整数解集合即可判定B，由，，，用列举法可判定C，用试根的方式找出满足条件的元素可判断 【解答】分别取a，b同正、同负和一正一负时， 可以得到R的值分别为2，，0，故A正确； 由得， 所以符合条件的整数解的集合为，故B正确； 由，，， 可以得到符合条件的数对有，，，故C正确； 当时，； 当时，， 当时，； 当时，； 当时，； 当时，， 所以集合A含有四个元素2，1，0，，故D错误， 故选 2.下列三个集合： ① ② ③ 它们是不是相同的集合? 它们各自的含义分别是什么? 【分析】 根据集合描述法判断即可； 根据代表元素区分，即可得各自的含义. 【答案】 解：故它们是互不相同的集合. 集合的代表元素是x，且 集合的代表元素是y，满足条件的y的取值范围是 集合的代表元素是，是抛物线上的点. 3. 已知集合R，其中R. 若1是集合A中的一个元素，用列举法表示集合 若集合A中有且仅有一个元素，求实数a组成的集合 若集合A中至多有一个元素，求实数a的取值范围． 【分析】 若，则，解方程可用列举法表示 若A中有且仅有一个元素，分，和且两种情况，分别求出满足条件a的值，可得集合 集合A中至多有一个元素包括有两种情况，①中有且仅有一个元素，②中一个元素也没有，分别求出即可得到 a的取值范围. 【答案】 解：是A的元素，是方程的一个根， ，即， 此时 ，， 此时集合 若，方程化为，此时方程有且仅有一个根， 若，则当且仅当方程的判别式，即时， 方程有两个相等的实根，此时集合A中有且仅有一个元素， 所求集合 集合A中至多有一个元素包括有两种情况， ①中有且仅有一个元素，由可知此时或， ②中一个元素也没有，即，此时，且，解得， 综合①②知a的取值范围为或  1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 1.1集合的概念与表示 模块一 集合的概念 1.元素与集合的概念 （1）元素：一般地，我们把研究对象统称为元素。通常用小写拉丁字母a,b,c…表示几何中的元素。 （2）集合：把一些元素组成的总体叫做集合，简称集。通常用大写拉丁字母A,B,C…表示集合。 2、集合的特征 （1）确定性：设A是一个给定的集合，x是某一个具体对象，则x或者是A的元素，或者不是A的元素，两种情况必有一种且只有一种成立． （2）互异性：一个给定集合中的元素是互不相同的，也就是说，集合中的元素是不重复出现的. （3）无序性：集合中的元素的次序无先后之分．如：由1，2，3组成的集合，也可以写成由1，3，2组成一个集合，它们都表示同一个集合． 注意：判断是否为集合，要从集合的三要素入手。 考察确定性的问题一般出现在自然语言表示的集合，要注意题目中不明确的词语，例如：“很大”、“著名”等；考察互异性的问题一般是针对数字类的题目，注意同一个数字不同的表示方法. 3.集合相等 只要构成两个集合的元素是一样的，就称这两个集合是相等的 例1.考察下列每组对象，能组成一个集合的是(     ) ①某高中高一年级聪明的学生       ②直角坐标系中横、纵坐标相等的点 ③不小于3的正整数             ④的近似值． A. ①② B. ③④ C. ②③ D. ①③ 【变式1-1】 ①联合国安全理事会常任理事国;②充分接近的所有实数;③方程的实数解;④中国著名的高等院校.以上对象能构成集合的是(    ) A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ①②③④ 【变式1-2】给出下列说法： ①所有接近于0的数构成一个集合 ②2025年高考数学全国卷Ⅰ中的选择题构成一个集合 ③高科技产品构成一个集合 ④所有不大于3的自然数构成一个集合 ⑤1，，，组成的集合含有4个元素． 其中正确的是   (    ) A. B. C. D. 模块二 元素与集合的关系 1、 元素与集合的关系： 如果a是集合A的元素，就说a属于集合A， 记作a∈A ； 如果a不是集合A中的元素，就说a不属于集合A，记作a∉A. 集合与元素的关系是属于与不属于关系，符号表示如：a∈A或a∉A． 2.常用数集及其记法 数学中一些常用的数集及其记法 全体非负整数组成的集合称为：非负整数集（或自然数集），记作N； 全体正整数组成的集合称为：正整数集，记作N*或N+； 全体整数组成的集合称为：整数集，记作Z； 全体有理数组成的集合称为：有理数集，记作Q； 全体实数组成的集合称为：实数集，记为R． 例2.给出下列关系：①；②；③；④，其中正确的个数为(    ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【变式2-1】下列所给关系中正确的个数是  ； ；  ；  ；   A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【变式2-2】由大于3且小于2的数组成的集合是          .           Q，          Q，          填“”或“” 集合A的元素x满足，若A含有2个元素，则实数m满足的条件是          . “2016年全国的中学生”组成的集合是          填“有限集”或“无限集” 【变式2-3】非空集合A具有下列性质：①若x、，则；②若x、，则，下列判断一定成立的是      ； ； 若x、，则； 若x、，则 A. B. C. D. 模块三 集合的表示方法 1.自然语言法:用文字叙述的形式表述集合的方法.如小于10的所有的自然数组成的集合， 2.列举法 把集合中的元素一一列举出来，并用“{ }”括起来的表示集合的方法叫做列举法。 3.描述法 一般地，设A是一个集合，我们把集合A中所有具有共同特征P(x)的元素x所组成的集合表示为{x∈A|P(x)}，这种表示集合的方法称为描述法． 4.图示法 图示法又称韦恩图法、韦氏图法，是一种利用二维平面上的点集表示集合的方法.一般用平面上的矩形或圆形表示一个集合，是集合的一种直观的图形表示法.例如.集合{1,2}用图示法表示如图所示 例3.集合的另一种表示形式是(    ) A. B. C. D. 【变式3-1】下列叙述正确的是  A. 方程的根构成的集合为 B. C. 集合表示的集合是 D. 集合与集合是不同的集合 【变式3-2】已知集合，且，则M等于 A. B. ，3， C. ，3， D. ，3， 例4.试分别用描述法和列举法表示下列集合： 方程的所有实数根组成的集合A； 由大于10且小于20的所有整数组成的集合 【变式4-1】下列集合中，不同于另外三个集合的是      A. B. C. D. 【变式4-2】（多选题）下列说法错误的是（   ） A．集合用列举法表示为 B．实数集可以表示为{为所有实数}或 C．能被4整除余3的所有自然数组成的集合用描述法可表示为 D．集合与是同一个集合 模块四 常考题型归纳 题型一：集合概念的理解 1.下列命题中正确的是    A. 与表示同一个集合 B. 方程的所有解的集合可表示为 C. 由3，4，5组成的集合可表示为或 D. 很小的实数可以构成集合 题型二：利用集合的特征求参数 1.已知集合只有一个元素，则实数a的值为    A. B. 0 C. 或0 D. 1 2.若，则实数m的可能取值为(    ) A. 4 B. 2 C. 1 D. 3. 已知集合，且，求实数m的值          . 题型三：判断是否为同一集合 1.下列集合中表示同一集合的是(    ) A. ， B. ， C. ， D. ， 2.多选下列表示同一个集合的是    A. ， B. ， C. ， D. ，且，， 3.设a，b是两个实数，集合A中含有0，b，三个元素，集合B中含有1，a，三个元素，且集合A与集合B相等，则          . 4.已知集合，，且，则m的值为          . 题型四：判断元素与集合的关系 1.（多选）已知集合，集合，下列关系正确的是(    ) A. B. C. D. 2.已知集合，下列选项中均为的元素的是（   ） （1）    （2）    （3）    （4）0 A．（1）（2） B．（1）（3） C．（2）（3） D．（3）（4） 3.已知集合，，则B中所含元素的个数为(    ) A. 3 B. 6 C. 8 D. 10 4. 集合，且，则有（   ） A． B． C． D．不属于中的任意一个 题型五：集合表示方法的转化及求参数 1.（多选）下列四个命题中正确的是        A. 由所确定的实数集合为 B. 同时满足的整数解的集合为 C. 与集合相等的是 D. 中含有三个元素 2.下列三个集合： ① ② ③ 它们是不是相同的集合? 它们各自的含义分别是什么? 3. 已知集合R，其中R. 若1是集合A中的一个元素，用列举法表示集合 若集合A中有且仅有一个元素，求实数a组成的集合 若集合A中至多有一个元素，求实数a的取值范围． 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$