精品解析：广东省江门台山市横山中学2024-2025学年九年级上学期期中考试数学试卷

广东省江门台山市横山中学2024－2025学年九年级（上）期中数学试卷 一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1. 下列方程中，属于一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 一元二次方程x2+2x＝0的解是（　　） A. x1＝x2＝﹣2 B. x1＝2，x2＝0 C. x1＝﹣2，x2＝0 D. x1＝2，x2＝﹣2 3. 如图，将绕点A逆时针旋转得到，若于点F，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 4. 某校为更好地开展“阳光体育”活动，决定组织开展八年级班际篮球赛，各班组队，赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），计划共需安排21场比赛．则该校八年级共有班级（ ） A. 6个 B. 7个 C. 8个 D. 9个 5. 已知抛物线上有三点，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，中，，的垂直平分线交于点D，交于点E，连接，若，，则的长度为（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 7. 如图，在中，，将绕点A逆时针旋转得到，点D恰好落在的延长线上，则旋转角的度数为(　　) A. B. C. D. 8. 如图，在长为、宽为的矩形油画四周镶嵌同样宽的装饰，若装饰后的画面的面积为．求镶嵌的装饰部分的宽度？若设镶嵌的装饰部分的宽度为．则可列的一元二次方程是（ ） A. B. C. D. 9. 二次函数满足以下三个条件：①；②；③，则它的图象可能是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，小明站在原点处，从离地面高度为的点A处抛出弹力球，弹力球在B处着地后弹起，落至点C处，弹力球着地前后的运动轨迹可近似看成形状相同的两条抛物线，弹力球第一次着地前抛物线的解析式为，弹力球在B处着地后弹起的最大高度为着地前手抛出的最大高度的一半，如果在地上摆放一个底面半径为，高为的圆柱形筐，筐的最左端距离原点为米，若要弹力球从B点弹起后落入筐内，则的值可以是（ ） A. 7 B. 9 C. 10 D. 8 二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分） 11. 若多项式是一个完全平方式，则常数k的值为______． 12. 二次函数图像的顶点坐标是_____. 13. 设x1，x2是一元二次方程x2﹣x﹣1＝0的两根，则2x12﹣x1+x22＝_____． 14. 如图，在正方形中，，将正方形绕点B顺时针旋转，当点落在正方形的对称轴上时，的长为________ ． 15. 已知抛物线（为常数，且）经过点，有如下结论：①抛物线对称轴为；②；③若两点在抛物线上，且，则方程有一根满足；④过点与抛物线有且只有一个公共点的直线有两条．其中正确的结论有______________（填正确结论的序号）． 三．解答题（共8小题，满分75分） 16. 解方程： （1） （2） 17. 已知二次函数． （1）甲说：该二次函数图象必经过点；乙说：若图象的顶点在x轴上，则；你觉得他们的结论对吗？请说明理由． （2）若抛物线经过，两点，求证：． 18. 近年手机微信上的垃圾短信泛滥成灾，严重影响了人们的生活，最近小王收到一条垃圾短信，此短信要求接到短信的人必须转发给若干人，如果收到此短信的人都按要求转发，从小王开始计算，转发两轮后共有人有此短信． （1）请求出这个短信要求收到短信的人必须转发给多少人？ （2）如果收到短信的人都按要求转发，从小王开始计算，三轮后会有多少人有此短信？ 19. 如图、抛物线与直线分别交于x轴和y轴上同一点，交点分别是点B和点C．且抛物线的对称轴为直线． （1）求抛物线的解析式： （2）左右平移该二次函数的图象，使其经过原点，写出平移后二次函数表达式． 20. 如图，是等边三角形内一点，将线段绕点顺时针旋转，得到线段． （1）画出旋转后的图形； （2）连接，求证：； （3）连接，若，求的度数． 21. 某超市为了销售一种新型饮料，对月销售情况作了如下调查，结果发现每月销售量瓶与销售单价元满足一次函数关系．所调查的部分数据如表：已知每瓶进价为元，每瓶利润销售单价进价 单价元 销售量瓶 （1）求关于的函数表达式． （2）该新型饮料每月的总利润为元，求关于的函数表达式，并指出单价为多少元时利润最大，最大利润是多少元？ （3）由于该新型饮料市场需求量较大，厂家进行了提价．此时超市发现进价提高了元，每月销售量与销售单价仍满足第(1)问函数关系，当销售单价不超过元时，利润随着x的增大而增大，求的最小值． 22. 在中，，，过点B作直线l，点M在直线l上，连接，且，过C点作交于点N． （1）如图1，请问和有怎样的数量关系，并证明； （2）如图2，直线交直线l于点H，求证：； （3）已知，在直线l绕点B旋转的过程中，当时，请直接写出的长度． 23. 如图，抛物线与x轴交于A、B两点（A在B的左侧），与y轴交于点C，且满足，连接、． （1）求抛物线的解析式； （2）如图1，点P是线段下方抛物线上的一动点，过点P作于点D，点E为直线上一动点，当取最大值时，连接，求的最小值； （3）如图2，将该抛物线沿射线方向平移个单位长度，得到新抛物线，点Q是上一动点，是否存在，使得，若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 广东省江门台山市横山中学2024－2025学年九年级（上）期中数学试卷 一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1. 下列方程中，属于一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据一元二次方程的定义逐个判断即可． 【详解】解：A、是二元一次方程，故不合题意； B、是一元二次方程，故符合题意； C、是分式方程，故不合题意； D、当时，不是一元二次方程，故不合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，能熟记一元二次方程的定义是解此题的关键，注意：只含有一次未知数，并且所含未知数的项的最高次数是2的整式方程，叫一元二次方程． 2. 一元二次方程x2+2x＝0的解是（　　） A. x1＝x2＝﹣2 B. x1＝2，x2＝0 C. x1＝﹣2，x2＝0 D. x1＝2，x2＝﹣2 【答案】C 【解析】 【分析】先将方程左边分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可． 【详解】解：x2+2x＝0， x（x+2）＝0， x+2＝0或x＝0， 解得：x1＝﹣2，x2＝0， 故选择：C． 【点睛】本题考查了解一元二次方程-因式分解法，解题的关键是掌握因式分解的概念进行解答. 3. 如图，将绕点A逆时针旋转得到，若于点F，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查旋转的性质，三角形的内角和定理，根据旋转的性质，得到，垂直推出，再根据角的和差关系进行求解即可． 【详解】解：∵将绕点A逆时针旋转得到， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：B． 4. 某校为更好地开展“阳光体育”活动，决定组织开展八年级班际篮球赛，各班组队，赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），计划共需安排21场比赛．则该校八年级共有班级（ ） A. 6个 B. 7个 C. 8个 D. 9个 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查单循环比赛场次的计算，根据题意建立方程求解班级数，即可解答． 【详解】解：设该校八年级共有个班级．单循环赛制下，每两个班级比赛一场，总场次为组合数．根据题意，总场次为21场，列方程： 两边同乘2，整理得： 解此二次方程，判别式，根为： 取正根得． 验证：当时，总场次为，符合条件． 因此，该校八年级共有7个班级． 故选B． 5. 已知抛物线上有三点，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据函数解析式的特点为顶点式，其对称轴为，图象开口向上；和(0，)关于直线对称，再根据二次函数的增减性即可判断． 【详解】解：因为， 所以其对称轴为， 因为， 所以抛物线开口向上，在对称轴的左侧，y随x的增大而减小， 根据二次函数图象的对称性∶可知，和(0，)关于直线对称， 因为，故， 故选：D ． 【点睛】本题考查了函数图象上的点的坐标与函数解析式的关系，同时考查了函数的对称性及增减性，熟练掌握二次函数的基本性质是解题关键． 6. 如图，中，，的垂直平分线交于点D，交于点E，连接，若，，则的长度为（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了垂直平分线的性质，三角形内角和性质，等边对等角，等角对等边，先根据垂直平分线的性质得，，再结合得，则，整理得，根据等角对等边得，即可作答． 【详解】解：∵垂直平分， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 则， ∴ 故选：A． 7. 如图，在中，，将绕点A逆时针旋转得到，点D恰好落在的延长线上，则旋转角的度数为(　　) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查旋转的性质，等边对等角，根据旋转，得到，根据等边对等角，得到，根据三角形的内角和定理求出，即可得出答案． 【详解】解：由旋转性质可知∶， ∵点D恰好落在的延长线上， ∴， ∴， 即旋转角的度数是， 故选：B． 8. 如图，在长为、宽为的矩形油画四周镶嵌同样宽的装饰，若装饰后的画面的面积为．求镶嵌的装饰部分的宽度？若设镶嵌的装饰部分的宽度为．则可列的一元二次方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的运用，理解数量关系，正确列式表示是解题的关键． 设镶嵌的装饰部分的宽度为，则镶嵌后的长为，镶嵌后的宽为，因为镶嵌后的面积为为，根据矩形面积的计算方法即可求解． 【详解】解：矩形长为、宽为，设镶嵌的装饰部分的宽度为， ∴镶嵌后的长为，镶嵌后的宽为， ∴一元二次方程是， 故选：B ． 9. 二次函数满足以下三个条件：①；②；③，则它的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二次函数图象与系数的关系，二次函数与一元二次方程的关系及二次函数图象的性质．首先根据②可判断出函数图象与x轴有两个交点，再根据③判断出当时，函数值小于0，即在x轴下方，最后根据①分两种情况判断图象开口及抛物线与y轴交点情况，即可得出答案． 【详解】解：，即， ∴函数图象与x轴有两个交点，故选项A错误； ∵， ∴当时，函数值小于0，故选项B错误； ∵， ∴同号， 当时，则函数图象开口向上，与y轴交点在y轴正半轴， 当时，则函数图象开口向下，与y轴交点在y轴负半轴，故C选项正确，D选项错误； 故选：C． 10. 如图，小明站在原点处，从离地面高度为的点A处抛出弹力球，弹力球在B处着地后弹起，落至点C处，弹力球着地前后的运动轨迹可近似看成形状相同的两条抛物线，弹力球第一次着地前抛物线的解析式为，弹力球在B处着地后弹起的最大高度为着地前手抛出的最大高度的一半，如果在地上摆放一个底面半径为，高为的圆柱形筐，筐的最左端距离原点为米，若要弹力球从B点弹起后落入筐内，则的值可以是（ ） A. 7 B. 9 C. 10 D. 8 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查二次函数的实际应用，熟练掌握利用待定系数法求得二次函数的解析式，建立直角坐标系是解题的关键，根据点的坐标求出第一次着地前的抛物线解析式，可得到点的坐标，再根据B处着地后弹起的最大高度为着地前手抛出的最大高度的一半，弹力球着地前后的运动轨迹可近似看成形状相同的两条抛物线，可得到第二次着地前抛物线的解析式，再根据圆柱形的高为，可求出当弹力球恰好砸中筐的最左端、最右端时，的值，进而得到的取值范围，从而得到答案． 【详解】解：由题可知：弹力球第一次着地前抛物线的解析式为，且过点，代入解析式中得：， ∴， ∴解析式为：， 当时，的最大值为， 令，则， 解得：， ∴， ∵B处着地后弹起的最大高度为着地前手抛出的最大高度的一半， ∴其最大高度为：， ∵弹力球着地前后的运动轨迹可近似看成形状相同的两条抛物线， 设处着地后弹起的抛物线解析式为：， 将点代入该解析式得：， 解得：， ∴该抛物线的解析式为：， ∴对称轴为：， ∵点的坐标为，则点的坐标为， ∵圆柱形的高为， 当时，则， 解得：或（舍去）， ∴当弹力球恰好砸中筐的最左端时，， ∵筐的底面半径为，直径为，， ∴当弹力球恰好砸中筐的最右端时，， ∴， ∴选项B，满足， 故选：D． 二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分） 11. 若多项式是一个完全平方式，则常数k的值为______． 【答案】4或 【解析】 【分析】根据完全平方式得出，，求出即可． 【详解】解：∵多项式是一个完全平方式， ∴， ∴， 解得或， 故答案为：4或． 【点睛】本题考查了完全平方式的应用，注意：完全平方式有两个，和． 12. 二次函数图像的顶点坐标是_____. 【答案】(0,-1) 【解析】 【分析】二次函数的性质类型的题目,根据题意，把二次函数的一般形式转化为顶点式解析式； 再根据顶点式解析式即可求出二次函数的顶点坐标. 【详解】因为y＝x2－1＝(x－0)2－1，即当x＝0时，y＝-1，所以二次函数y＝x2－1的顶点坐标为(0，-1). 答案为：(0，-1). 【点睛】本题考查的知识点是二次函数的性质，解题关键是要把二次函数解析式转化为顶点式. 13. 设x1，x2是一元二次方程x2﹣x﹣1＝0的两根，则2x12﹣x1+x22＝_____． 【答案】4 【解析】 【分析】根据方程的解的概念得出x12＝x1+1，x22＝x2+1，x1+x2＝1，代入原式计算即可得． 【详解】解：根据题意知x12﹣x1﹣1＝0，x22﹣x2﹣1＝0，x1+x2＝1， 则x12＝x1+1，x22＝x2+1， 所以原式＝2（x1+1）﹣x1+x2+1 ＝x1+x2+3 ＝1+3 ＝4， 故答案为：4． 【点睛】本题主要考查根与系数的关系，解题的关键是掌握x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根时，，． 14. 如图，在正方形中，，将正方形绕点B顺时针旋转，当点落在正方形的对称轴上时，的长为________ ． 【答案】 【解析】 【分析】由旋转的性质可得，再利用勾股定理求得的长，即可解答． 【详解】解：将正方形绕点B顺时针旋转， ， 是正方形的对称轴， ，， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了旋转的性质，正方形的性质，轴对称的性质，勾股定理，灵活运用上述性质是解题的关键． 15. 已知抛物线（为常数，且）经过点，有如下结论：①抛物线对称轴为；②；③若两点在抛物线上，且，则方程有一根满足；④过点与抛物线有且只有一个公共点的直线有两条．其中正确的结论有______________（填正确结论的序号）． 【答案】①③④ 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，对称性求出对称轴判断①，无法确定的符号，判断②，根据对称性确定抛物线与轴的另一个交点的位置判断③；设直线的解析式为，当时，联立抛物线，根据直线与抛物线只有一个交点，得到判别式为0，进行求解，当时，分析是否满足题意即可． 【详解】解：∵抛物线经过点， ∴对称轴为直线；故①正确； 无法确定的符号，故②错误； 若两点在抛物线上，且，则抛物线与轴的一个交点的横坐标的范围为， ∵对称轴为直线， ∴抛物线与轴的另一个交点的横坐标的范围为：， ∴方程有一根满足；故③正确； 设过点的直线的解析式为：， 当时，令， 整理，得：， ∵直线与抛物线只有一个交点， ∴， ∵， ∴， ∴， 整理，得：， ∴， 当时，， ∵， ∴当时，， ∴与只有一个交点，满足题意， 综上：过点与抛物线有且只有一个公共点的直线有两条，故④正确； 故答案为：①③④． 三．解答题（共8小题，满分75分） 16. 解方程： （1） （2） 【答案】（1）x1=-1，x2=5；（2）x1=-1，x2= 【解析】 【分析】（1）利用因式分解法求解； （2）利用因式分解法求解． 【详解】解：（1）， ∴， 解得：x1=-1，x2=5； （2）， ∴， ∴， 解得：x1=-1，x2=． 【点睛】本题考查了解一元二次方程-因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法． 17. 已知二次函数． （1）甲说：该二次函数图象必经过点；乙说：若图象的顶点在x轴上，则；你觉得他们的结论对吗？请说明理由． （2）若抛物线经过，两点，求证：． 【答案】（1） 甲和乙的说法都不对， 理由：当时， ，故甲的说法不对； 令， 解得，，， 故乙的说法不对； （2） 证明：抛物线经过，两点， ， ， ， 即． 【解析】 【分析】本题考查二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答． （1）先判断甲乙的说法，然后根据题意和二次函数的性质，说明理由即可； （2）根据抛物线经过，两点，可以得到、与的关系，然后根据二次函数的性质，即可得到． 【小问1详解】 解：略． 【小问2详解】 略． 18. 近年手机微信上的垃圾短信泛滥成灾，严重影响了人们的生活，最近小王收到一条垃圾短信，此短信要求接到短信的人必须转发给若干人，如果收到此短信的人都按要求转发，从小王开始计算，转发两轮后共有人有此短信． （1）请求出这个短信要求收到短信的人必须转发给多少人？ （2）如果收到短信的人都按要求转发，从小王开始计算，三轮后会有多少人有此短信？ 【答案】（1）人 （2）人 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，有理数混合计算的实际应用： （1）设这个短信要求收到短信的人必须转发给x人，则第一轮小王会发给x人，第一轮被转发的x人每个人又要转发x人，据此列出方程求解即可； （2）根据（1）所求列式求解即可． 【小问1详解】 设这个短信要求收到短信的人必须转发给x人， 依题意得： 解得或（舍去）， 答：这个短信要求收到短信的人必须转发给人； 【小问2详解】 第三轮短信转发后，收到此短信的人数共有：（人）． 答：从小王开始计算，三轮后会有人有此短信． 19. 如图、抛物线与直线分别交于x轴和y轴上同一点，交点分别是点B和点C．且抛物线的对称轴为直线． （1）求抛物线的解析式： （2）左右平移该二次函数的图象，使其经过原点，写出平移后二次函数表达式． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的平移； （1）根据直线解析式求得的坐标，根据对称轴求得点的坐标，进而待定系数法求解析，即可求解； （2）抛物线左右平移个单位过原点，此时抛物线为，将代入，即可求解． 【小问1详解】 解：∵抛物线与直线分别交于x轴和y轴上同一点，交点分别是点B和点C． ∴当时，，当时， ∴ ∵抛物线的对称轴为直线．关于直线对称， ∴ 将，代入得， 解得： ∴抛物线的解析式为 【小问2详解】 解： 设抛物线左右平移个单位过原点，此时抛物线为 ∴ 解得：或 ∴平移后的抛物线为：或 20. 如图，是等边三角形内一点，将线段绕点顺时针旋转，得到线段． （1）画出旋转后的图形； （2）连接，求证：； （3）连接，若，求的度数． 【答案】（1） 如图所示，根据旋转的性质作图可得， （2） 证明：根据题意，作图如下， ∵是等边三角形， ∴，， ∵线段绕点顺时针旋转，得到线段， ∴，， ∵， ∴， 在和中， ， ∴； （3）的度数为 【解析】 【分析】本题主要考查旋转的性质，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，理解旋转的性质，掌握等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质是解题的关键． （1）根据旋转的性质作图即可； （2）根据等边三角形的性质可得，，，旋转的性质可得，，由，可得，根据全等三角形的判定方法即可求证； （3）由三角形全等的性质可得，再根据旋转的性质可得是等边三角形，，由即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：根据题意，作图如下， 由（2）可得， ∴， ∵线段绕点顺时针旋转，得到线段， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴的度数为． 21. 某超市为了销售一种新型饮料，对月销售情况作了如下调查，结果发现每月销售量瓶与销售单价元满足一次函数关系．所调查的部分数据如表：已知每瓶进价为元，每瓶利润销售单价进价 单价元 销售量瓶 （1）求关于的函数表达式． （2）该新型饮料每月的总利润为元，求关于的函数表达式，并指出单价为多少元时利润最大，最大利润是多少元？ （3）由于该新型饮料市场需求量较大，厂家进行了提价．此时超市发现进价提高了元，每月销售量与销售单价仍满足第(1)问函数关系，当销售单价不超过元时，利润随着x的增大而增大，求的最小值． 【答案】（1） （2），单价为元时利润最大，最大利润是元 （3） 【解析】 【分析】（1）根据表格数据，待定系数法求解析式即可求解． （2）根据每一瓶的利润乘以销量，列出二次函数关系式，根据二次函数的性质即可求解； （3）根据题意得，根据销售单价不超过元时，利润随着x的增大而增大，结合二次函数的性质即可求解． 【小问1详解】 设关于的函数表达式为 由题意得： 解得： 关于的函数表达式为． 【小问2详解】 由题意得： ， 当时，有最大值元． ∴w关于x的函数表达式为w=-10x2+240x-800，单价为元时利润最大，最大利润是元． 【小问3详解】 由题意得： 二次函数的对称轴为： ，当销售单价不超过元时，利润随着的增大而增大 ， 的最小值为． 【点睛】本题考查了二次函数的应用，待定系数法求一次函数解析式，掌握二次函数的性质是解题的关键． 22. 在中，，，过点B作直线l，点M在直线l上，连接，且，过C点作交于点N． （1）如图1，请问和有怎样的数量关系，并证明； （2）如图2，直线交直线l于点H，求证：； （3）已知，在直线l绕点B旋转的过程中，当时，请直接写出的长度． 【答案】（1） 证明：∵，， ∴， ∵， ∴； （2） 证明：如图2，在直线l上取点，连接，使， ∴，即， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， 由勾股定理得，， ∵， ∴； （3）或 【解析】 【分析】（1）由等腰三角形的判定与性质可证； （2）如图2，在直线l上取点，连接，使，则，证明，则，由勾股定理得，，由，可得； （3）由题意知，分两种情况求解；①如图3，则，，，，，，由，可得，由勾股定理求即可；②如图4，同理①计算求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：由题意知，分两种情况求解； ①如图3， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， 由勾股定理得； ②如图4， 同理可得，， ∴，， ∴，， ∴，， ∴， 由勾股定理得，， ∵， ∴， ∴， 由勾股定理得； 综上所述，的长为或． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定与性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理，三角形外角的性质，含的直角三角形等知识．熟练掌握等腰三角形的判定与性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理，三角形外角的性质，含的直角三角形是解题的关键． 23. 如图，抛物线与x轴交于A、B两点（A在B的左侧），与y轴交于点C，且满足，连接、． （1）求抛物线的解析式； （2）如图1，点P是线段下方抛物线上的一动点，过点P作于点D，点E为直线上一动点，当取最大值时，连接，求的最小值； （3）如图2，将该抛物线沿射线方向平移个单位长度，得到新抛物线，点Q是上一动点，是否存在，使得，若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）4 （3）存在，Q的坐标为或 【解析】 【分析】（1）当时，得，，由，得，，进而利用待定系数法即可得解； （2）如图，过点作于，交于，过点作于，过点作于点，先求出直线为：，设，则，得，进而得，当时，的值最大，求出，再利用垂线段最短得取最小值时，的值最小，当、，，三点共线，时，的值最小，从而即可得解； （3）过作于，在轴的下方直线上，作，过作于点，在直线的右侧作，作直线交平移后的抛物线于点，则，由得，由（2）得，进而，此时为所求，由将拋物线沿射线方向平移个单位长度，得到新抛物线，相当于将拋物线向右平移个单位，再向下平移单位，得到新抛物线，从而，求出直线为，联立与，即可得解，作关于直线的对称点，连接交于，直线交平移后的抛物线于点，由得为所求，则，，先求出，进而得直线为，联立与即可得解． 【小问1详解】 解：当时，， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴，， 把，代入得 解得， ∴； 【小问2详解】 解：如图，过点作于，交于，过点作于，过点作于点， 由设直线为：， 把代入得， 解得， 直线为：， 设，则， ∴， ∵，，， ∴， ∴ ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴当时，的值最大， ∴， ∴， ∵，， ∴由勾股定理得， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴取最小值时，的值最小，当、，，三点共线，时，的值最小， ∵，， ∴的最小值为； 【小问3详解】 解：过作于，在轴的下方直线上，作，过作于点，在直线的右侧作，作直线交平移后的抛物线于点，则， ∵，， ∴ ∴， 由（2）得， ∴， ∴此时为所求， ∵，，， ∴将拋物线沿射线方向平移个单位长度，得到新抛物线，相当于将拋物线向右平移个单位，再向下平移单位，得到新抛物线， ∵， ∴， ∵，，，，， ∴， 设直线为 把，，代入， 得， 解得，， ∴直线为， 联立与，得 ， ∴， ∴（舍去）， ∴当时，， ∴， 作关于直线的对称点，连接交于，直线交平移后的抛物线于点，由得为所求，则，， 设直线为， 把，代入得 ， 解得，， ∴直线为， ∴设， ∵， ∴，即， 解得或（舍去） ∴， ∴， ∵，， ∴， 设直线为， 把，代入得 解得， ∴直线为， 联立与得 ∴， 解得，（舍去）或， 当时，， ∴， 综上可得的坐标为或． 【点睛】本题考查了二次函数的图像及性质，二次函数的平移，求一次函数，全等三角形的判定及性质，解直角三角形，熟练掌握二次函数的图像及性质，二次函数的平移，求一次函数，全等三角形的判定及性质以及解直角三角形是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $