江苏省南京市秦淮中学2025年高一暑假作业之古典概型，互斥，对立，独立事件综合

江苏省南京市秦淮中学2025年高一暑假作业之 古典概型，互斥，对立，独立事件综合 一、单选题：本题共1小题，每小题5分，共5分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 【1】从分别写有1，2，3，4的4张卡片中无放回随机抽取2张，则抽到的2张卡片上的数字之和是偶数的概率为（   ） A． B． C． D． 【2】在一个盒子中有3个红球和2个黑球，这5个球除颜色外没有其他差异.现从中依次不放回地随机抽取出2个球.则两次取到的球颜色相同的概率为（   ） A． B． C． D． 【3】一个水果盘子里有2个苹果和3个桃子，从盘中任选2个，则选中的水果品种相同的概率为（    ） A． B． C． D． 【4】长篇评弹《玉蜻蜓》在江南可谓家喻户晓，是苏州评弹的一颗明珠.为了让更多年轻人走近评弹、爱上经典，苏州市评弹团在保留原本精髓的基础上，打造了《玉蜻蜓》精简版，将长篇压缩至三场，分别是《子归》篇、《认母》篇、《归宗》篇.某班级开展对《玉蜻蜓》的研究，现有三位学生随机从三篇中任意选一篇研究，记“三人都没选择《子归》篇”为事件 M，“至少有两人选择的篇目一样”为事件N，则下列说法正确的是(    ) A. M与N互斥 B. C. M与N相互独立 D. 【5】端午节放假，甲回老家过节的概率为，乙、丙回老家过节的概率分别为，．假定三人的行动互相之间没有影响，那么这段时间内至少1人回老家过节的概率为（ ） A． B． C． D． 【6】已知事件和事件独立，若，则（ ） A. 0.21 B. 0.51 C. 0.79 D. 0.91 二、多选题：本题共4小题，共24分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 【7】 一个质地均匀的正四面体木块的四个面上分别标有数字，连续抛掷这个正四面体木块两次，并记录每次正四面体木块朝下的面上的数字，记事件为“两次记录的数字之和为偶数”，事件为“第一次记录的数字为偶数”，事件为“第二次记录的数字为偶数”，则下列结论正确的是（ ） A. 事件与事件是互斥事件 B. 事件与事件是相互独立事件 C. D. 【8】 在4件产品中，有一等品2件，二等品1件（一等品和二等品都是正品)，次品1件，现从中取出2件产品.记事件A为：“2件都是一等品”，事件B为：“1件一等品1件二等品”，事件C为：“1件次品1件正品”，事件D为：“至少有1件是一等品”，则下列结论中不成立的是（ ） A. 事件为互斥事件 B. 事件为相互独立事件 C. D. 【9】盒子里有2个红球和2个白球，从中不放回地依次取出2个球，设事件“两个球颜色相同”，“第1次取出的是红球”，“第2次取出的是红球”，“两个球颜色不同”．则（ ） A. 与互为对立事件 B. 与互斥 C. 与相互独立 D. 【10】依次抛掷两枚质地均匀的骰子，记“第一次向上的点数是1”为事件，“第二次向上的点数是偶数”为事件，“两次向上的点数之和是8”为事件，则（ ） A. 与B相互独立 B. 与互斥 C. D. 【11】已知随机事件A、B发生的概率分别为，，则下列说法正确的是    A. 若A与B互斥，则 B. 若A与B相互独立，则 C. 若，则事件与B相互独立 D. 若，则 【12】已知事件A，B发生的概率分别为，，则下列结论正确的有    A. 若A与B互斥，则 B. 若，则 C. 若，则A与B相互独立 D. 若A与B相互独立，则 【13】一个袋子中有大小和质地相同的4个球，其中有2个红色球标号为1和，2个白色球标号为3和，从袋中不放回地依次随机摸出2个球．设事件“两个球颜色不同”，“两个球标号的和为奇数”，“两个球标号都不小于2”，则 A. A与B互斥 B. A与C相互独立 C. D. 【14】甲、乙两个口袋中装有除了编号不同以外其余完全相同的号签．其中，甲袋中有编号为1，2，3的三个号签；乙袋有编号为1，2，3，4，5，6的六个号签．现从甲、乙两袋中各抽取1个号签，从甲、乙两袋抽取号签的过程互不影响．记事件A：从甲袋中抽取号签1；事件B：从乙袋中抽取号签6；事件C：抽取的两个号签和为3；事件D：抽取的两个号签编号不同．则下列选项中，正确的是    A. B. 事件C与D互斥 C. 事件A与事件C相互独立 D. 事件A与事件D相互独立 三、填空题：本题共2小题，每小题5分，共10分。 【15】把四本不同的书放在书架上排成一排，则其中指定的两本书排在一起的概率是______. 【16】已知事件A，B相互独立，且，，则当          时，取得最大值，最大值为          . 【17】一只不透明的袋子中装有形状、大小都相同的5个小球，其中2个黄球、2个白球、1个红球．先后从中无放回地取两次小球，每次随机取出2个小球，记下颜色计算得分，得分规则如下：“2个小球颜色相同”加1分，“2个小球颜色一黄一白”得0分，“2个小球中有红球”减1分，则“两次得分和为0分”的概率为          . 四、解答题：本题共2小题，共30分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 【18】某工厂生产的每件产品所用原材料的质量（单位：千克）是一定值，每件产品的价格是以长度（单位：米）计算的，产品越长也就越细，要求工人的技术水平越高，产品价格也就越高，但市场对各种长度的产品都有需求.为了预测市场需求并合理安排生产任务，查阅以往售出的产品的长度，随机抽取了件产品，并将得到的数据按如下方式分为组：、、、，绘制成如下的频率分布直方图： 工厂今年一月份按频率分布直方图提供的数据生产了件产品. (1)求今年一月份生产的产品长度在的件数； (2)现从和两组产品中以分层抽样的方式抽取件产品，客户在这件产品中再随机抽取件，求这件产品在和两组中各有件的概率. 【19】公司检测一批产品的质量情况，共计件，将其质量指标值统计如下所示. (1)求的值以及这批产品质量指标的平均值以及方差；(同组中的数据用该组区间的中点值表示) (2)若按照分层抽样的方法在质量指标值为的产品中随机抽取件，再从这件中任取件，求至少有件产品的质量指标在的概率. 【20】2025年六五环境日主题为“美丽中国我先行”，南京市某社区举办“环保我参与”有奖问答比赛活动.某场比赛中，甲、乙、丙三个家庭同时回答一道有关环保知识的问题.已知甲家庭回答这道题正确的概率是，甲、乙两个家庭都回答正确的概率是，乙、丙两个家庭至少一家回答正确的概率是.各家庭回答是否正确相互独立.（1）求乙、丙两个家庭各自回答这道题正确的概率；（2）求甲、乙、丙三个家庭中不少于2个家庭回答这道题正确概率. 【21】今年中国共产党迎来了建党100周年，为了铭记建党历史、缅怀革命先烈、增强爱国主义情怀，某区组织了党史知识竞赛活动.在最后一轮晋级比实中，甲、乙、丙三所学校回答一道有关红色革命根据地建立时间的问题，已知甲校回答正确这道题的概率为，甲、丙两所学校都回答正确这道题的概率是，乙、丙两所学校都回答正确这道题的概率是.若各学校回答这道题是否正确是互不影响的.（1）求乙、丙两所学校各自回答正确这道题的概率；（2）求甲、乙、丙三所学校中不少于2所学校回答正确这道题的概率. 江苏省南京市秦淮中学2025年高一暑假作业之 古典概型，互斥，对立，独立事件综合解析 一、单选题： 【1】从分别写有1，2，3，4的4张卡片中无放回随机抽取2张，则抽到的2张卡片上的数字之和是偶数的概率为（   ） A． B． C． D． 【解答过程】从分别写有1，2，3，4的4张卡片中无放回随机抽取2张， 样本空间包含，共个， 抽到的2张卡片上的数字之和是偶数包含的基本事件为，个数， 则抽到的2张卡片上的数字之和是偶数的概率为.故选：C. 【2】在一个盒子中有3个红球和2个黑球，这5个球除颜色外没有其他差异.现从中依次不放回地随机抽取出2个球.则两次取到的球颜色相同的概率为（   ） A． B． C． D． 【解答过程】设3个红球为A,B,C,2个黑球为.因为试验为“从中依次不放回地随机抽取出2个球”， 故试验的样本空间为：， 记“两次取到的球颜色相同”,则， 由古典概型概率公式，可得.故选：B. 【3】一个水果盘子里有2个苹果和3个桃子，从盘中任选2个，则选中的水果品种相同的概率为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】运用古典概型可解． 【解答过程】根据题意，设个苹果分别记为：和，个桃子编号为，从盘中任选两个，可得共种情况．选中的水果品种相同的选法有：，，有种．所以选中的水果品种相同概率为：．故选：C. 【4】长篇评弹《玉蜻蜓》在江南可谓家喻户晓，是苏州评弹的一颗明珠.为了让更多年轻人走近评弹、爱上经典，苏州市评弹团在保留原本精髓的基础上，打造了《玉蜻蜓》精简版，将长篇压缩至三场，分别是《子归》篇、《认母》篇、《归宗》篇.某班级开展对《玉蜻蜓》的研究，现有三位学生随机从三篇中任意选一篇研究，记“三人都没选择《子归》篇”为事件 M，“至少有两人选择的篇目一样”为事件N，则下列说法正确的是(    ) A. M与N互斥 B. C. M与N相互独立 D. 【答案】B  【解析】三个人随机选三篇文章研究，样本空间共种， 事件“三人都没选择《子归》篇”，共有：种，所以， 事件“至少有两人选择的篇目一样”，共有种，所以， ，D错误，事件MN共有种，所以，B正确， 所以M与N不互斥，A错误，因为，所以C错误，故选 【5】端午节放假，甲回老家过节的概率为，乙、丙回老家过节的概率分别为，．假定三人的行动互相之间没有影响，那么这段时间内至少1人回老家过节的概率为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】“甲、乙、丙回老家过节”分别记为事件，，， 则甲、乙、丙回老家过节的概率分别为：，，， ∴甲、乙、丙不回老家过节的概率分别为：，，， 由题可知，，为相互独立事件， ∴三人都不回老家过节的概率， ∴至少有1人回老家过节的概率.故选：C. 【6】已知事件和事件独立，若，则（ ） A. 0.21 B. 0.51 C. 0.79 D. 0.91 【答案】C 【解析】由题意可得，， 则故选：C 二、多选题： 【7】一个质地均匀的正四面体木块的四个面上分别标有数字，连续抛掷这个正四面体木块两次，并记录每次正四面体木块朝下的面上的数字，记事件为“两次记录的数字之和为偶数”，事件为“第一次记录的数字为偶数”，事件为“第二次记录的数字为偶数”，则下列结论正确的是（ ） A. 事件与事件是互斥事件 B. 事件与事件是相互独立事件 C. D. 【答案】BCD 【解析】对于A，事件与事件不是互斥事件，因为它们有可能同时发生，如第一次和第二次都是数字4 ，故A错误；对于B，对于事件与事件， ,, 事件与事件是相互独立事件,故B正确； 对于C，,所以，故C正确； 对于D，事件表示第一次记录的数字为偶数，第二次记录的数字为偶数，故，故D正确.故选:BCD. 【8】 在4件产品中，有一等品2件，二等品1件（一等品和二等品都是正品)，次品1件，现从中取出2件产品.记事件A为：“2件都是一等品”，事件B为：“1件一等品1件二等品”，事件C为：“1件次品1件正品”，事件D为：“至少有1件是一等品”，则下列结论中不成立的是（ ） A. 事件为互斥事件 B. 事件为相互独立事件 C. D. 【答案】BCD 【解析】一等品2件记为，二等品1件记为，次品1件记为， 则从这4件产品中抽2件的基本事件有：共6件， 事件A的基本事件有共1件，故， 事件B的基本事件有共2件，故， 事件C的基本事件有共3件，故， 事件D的基本事件有共5件，故， A.事件A与事件B没有交事件，故为互斥事件，故A正确； B.由选项A可知，显然，所以事件A，B不为相互独立事件，故B错误； C.由上述分析易知，故C错误； D.，，所以，故D错误. 故选：BCD 【9】盒子里有2个红球和2个白球，从中不放回地依次取出2个球，设事件“两个球颜色相同”，“第1次取出的是红球”，“第2次取出的是红球”，“两个球颜色不同”．则（ ） A. 与互为对立事件 B. 与互斥 C. 与相互独立 D. 【答案】ACD 【解析】设盒子里两个红球为，，两个白球为，，从中不放回地依次取出2个球，所有的基本事件有：，，，，，，，，，，，，共12个. 事件“两个球颜色相同”，包含，，，共4个基本事件，所以； “第1次取出的是红球”，包含，，，，，共6个基本事件，所以； “第2次取出的是红球”，包含，，，，，共6个基本事件，所以； “两个球颜色不同”，包含，，，，，，，共8个基本事件，所以. 因为,故,对立，故A正确； 因为事件包含，2个基本事件，所以事件，可以同时发生，故事件，不互斥，故B错误；因为事件包含，2个基本事件，所以, 又，所以，所以事件，相互独立，故C正确； 因为，故D正确.故选：ACD 【10】依次抛掷两枚质地均匀的骰子，记“第一次向上的点数是1”为事件，“第二次向上的点数是偶数”为事件，“两次向上的点数之和是8”为事件，则（ ） A. 与B相互独立 B. 与互斥 C. D. 【答案】ABC 【解析】由题意得共有个基本事件，第一次向上的点数是1有，共6种情况，由古典概型概率公式得， 第二次向上的点数是偶数 ，共种情况，由古典概型概率公式得， 两次向上的点数之和是8有，共5种情况，由古典概型概率公式得， 而事件表示第一次向上的点数是且第二次向上的点数是偶数，符合条件的有，共3种，则，下面，我们开始分析各个选项， 对于A，由已知得，， 满足，则与相互独立，故A正确， 对于B，事件表示第一次向上的点数是1和两次向上的点数之和是8至少有1个发生， 符合条件的有，，共11个，故，满足，可得与互斥，故B正确， 对于C，由概率加法公式得，即C正确， 对于D， 题意得共有个基本事件， 则表示第二次向上的点数是偶数且两次且向上点数之和是8， 符合条件的有，共3种，则，故D错误.故选：ABC 【11】已知随机事件A、B发生的概率分别为，，则下列说法正确的是    A. 若A与B互斥，则 B. 若A与B相互独立，则 C. 若，则事件与B相互独立 D. 若，则 【答案】ABC  【解析】对于A选项，若A与B互斥，则，A对； 对于B选项，若A与B相互独立，则， 所以，，B对； 对于C选项，若，且， 所以，事件与B相互独立，C对； 对于D选项，若，则，所以，，D错. 故选： 【12】已知事件A，B发生的概率分别为，，则下列结论正确的有    A. 若A与B互斥，则 B. 若，则 C. 若，则A与B相互独立 D. 若A与B相互独立，则 【答案】ACD  【解析】已知事件A，B发生的概率分别为，， 对于A，若A与B互斥，则， A选项正确；对于B，若，则，B选项错误； 对于C，若， 则，则A与B相互独立，C选项正确； 对于D，若A与B相互独立，则， 所以，D选项正确.故选： 【13】一个袋子中有大小和质地相同的4个球，其中有2个红色球标号为1和，2个白色球标号为3和，从袋中不放回地依次随机摸出2个球．设事件“两个球颜色不同”，“两个球标号的和为奇数”，“两个球标号都不小于2”，则 A. A与B互斥 B. A与C相互独立 C. D. 【答案】BC  【解析】对于选项A，当摸出1号和4号球或2号和3号球时，A、B同时发生，故A与B不互斥，所以选项A错误； 对于选项B，一个袋子中有大小和质地相同的4个球，其中有2个红色球标号为1和，2个白色球标号为3和，从袋中不放回地依次随机摸出2个球． 样本空间，，，，，，共12个， 事件，事件， 事件， 所以，，，， 所以，所以A与C相互独立，所以选项B正确； 对于选项C，，所以选项C正确； 对于选项D，，⨉⨉， 所以，所以选项D错误. 【14】甲、乙两个口袋中装有除了编号不同以外其余完全相同的号签．其中，甲袋中有编号为1，2，3的三个号签；乙袋有编号为1，2，3，4，5，6的六个号签．现从甲、乙两袋中各抽取1个号签，从甲、乙两袋抽取号签的过程互不影响．记事件A：从甲袋中抽取号签1；事件B：从乙袋中抽取号签6；事件C：抽取的两个号签和为3；事件D：抽取的两个号签编号不同．则下列选项中，正确的是    A. B. 事件C与D互斥 C. 事件A与事件C相互独立 D. 事件A与事件D相互独立 【答案】AD  【解析】基本事件共有 种，事件C包括种情况，，故A正确； 事件D：抽取的两个号签编号不同，则事件D包括 故事件C与D不互斥，B错误； 且，， 对于C，由，得相互不独立，C错误； 对于D，由，得相互独立，D正确；故选： 三、填空题：本题共2小题，每小题5分，共10分。 【15】把四本不同的书放在书架上排成一排，则其中指定的两本书排在一起的概率是______. 【答案】/ 【解析】把四本书标记为、、、，在书架上排成一排，样本空间为： ，有个基本事件， 不妨指定、两本书排在一起，设“指定、两本书排在一起”为事件，则 ，有个基本事件，∴指定、两本书排在一起的概率为， ∴其中指定的两本书排在一起的概率是.故答案为：. 【16】已知事件A，B相互独立，且，，则当          时，取得最大值，最大值为          . 【解析】解：由得，则， 当时，取得最大值，最大值为 【17】一只不透明的袋子中装有形状、大小都相同的5个小球，其中2个黄球、2个白球、1个红球．先后从中无放回地取两次小球，每次随机取出2个小球，记下颜色计算得分，得分规则如下：“2个小球颜色相同”加1分，“2个小球颜色一黄一白”得0分，“2个小球中有红球”减1分，则“两次得分和为0分”的概率为          . 【答案】  【解析】“两次得分和为0分”可能的情况有第一次“2个小球颜色相同”，第二次“2个小球中有红球”，或第一次“2个小球中有红球”，第二次“2个小球颜色相同”，或两次均为“2个小球颜色一黄一白”， 记黄球为，2个白球为、1个红球为C，利用枚举法可知从中一次取2个小球为 ， 共有10种取法，而颜色相同的取法有两种，故第一次取2个小球颜色相同的概率为， 第二次取2个小球中有红球的概率为， 所以第一次“2个小球颜色相同”，第二次“2个小球中有红球”的概率为 第一次“2个小球中有红球”，第二次“2个小球颜色相同”， 第一次取2个小球中有红球的概率为，第二次2个小球颜色相同的概率为， 所以第一次“2个小球中有红球”，第二次“2个小球颜色相同”的概率为 两次均为“2个小球颜色一黄一白”，第一次取2个小球，“2个小球颜色一黄一白”的概率为，  第二次取2个小球，“2个小球颜色一黄一白”的概率为，所以两次均为“2个小球颜色一黄一白”的概率为所以两次先后取2个小球，得分为零分的概率为 四、解答题：本题共2小题，共30分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 【18】某工厂生产的每件产品所用原材料的质量（单位：千克）是一定值，每件产品的价格是以长度（单位：米）计算的，产品越长也就越细，要求工人的技术水平越高，产品价格也就越高，但市场对各种长度的产品都有需求.为了预测市场需求并合理安排生产任务，查阅以往售出的产品的长度，随机抽取了件产品，并将得到的数据按如下方式分为组：、、、，绘制成如下的频率分布直方图： 工厂今年一月份按频率分布直方图提供的数据生产了件产品. (1)求今年一月份生产的产品长度在的件数； (2)现从和两组产品中以分层抽样的方式抽取件产品，客户在这件产品中再随机抽取件，求这件产品在和两组中各有件的概率. 【解析】（1）由频率分布直方图可得，产品长度在的有（件）. （2）由题可知，按分层抽样抽取的件产品中， 在的产品有（件），设编号分别为、、 在的产品有（件），编号分别为、、、， 则在件产品中随机抽取件，所有的基本事件有：、、、、、、、、、、、、、 、、、、、、、，共有个基本事件， 其中事件“抽到的件产品在和两组中各有件”所包含的基本事件有： 、、、、、、、、、 、、，共个基本事件，故所求概率为. 【19】公司检测一批产品的质量情况，共计件，将其质量指标值统计如下所示. (1)求的值以及这批产品质量指标的平均值以及方差；(同组中的数据用该组区间的中点值表示) (2)若按照分层抽样的方法在质量指标值为的产品中随机抽取件，再从这件中任取件，求至少有件产品的质量指标在的概率. 【解析】（1），解得； ； . （2）由分层抽样可知，质量指标在的产品中抽个，记为； 在的产品中抽个，记为，则任取个， 所有的情况为，共种， 其中满足条件的为，共种， 故所求概率. 【20】 2025年六五环境日主题为“美丽中国我先行”，南京市某社区举办“环保我参与”有奖问答比赛活动.某场比赛中，甲、乙、丙三个家庭同时回答一道有关环保知识的问题.已知甲家庭回答这道题正确的概率是，甲、乙两个家庭都回答正确的概率是，乙、丙两个家庭至少一家回答正确的概率是.各家庭回答是否正确相互独立. （1）求乙、丙两个家庭各自回答这道题正确的概率； （2）求甲、乙、丙三个家庭中不少于2个家庭回答这道题正确概率. 【答案】（1）， （2） 【解析】【小问1详解】 记“甲家庭回答正确这道题”“乙家庭回答正确这道题”“丙家庭回答正确这道题”分别为事件， 由甲家庭回答这道题正确的概率是，甲、乙两个家庭都回答正确的概率是， 则，解得，由乙、丙两个家庭至少一家回答正确的概率是，则即. 所以乙、丙两个家庭各自回答正确这道题概率为和. 【小问2详解】有0个家庭回答正确的概率， 有1个家庭回答正确的概率为 所以不少于2个家庭回答正确这道题的概率. 【21】今年中国共产党迎来了建党100周年，为了铭记建党历史、缅怀革命先烈、增强爱国主义情怀，某区组织了党史知识竞赛活动.在最后一轮晋级比实中，甲、乙、丙三所学校回答一道有关红色革命根据地建立时间的问题，已知甲校回答正确这道题的概率为，甲、丙两所学校都回答正确这道题的概率是，乙、丙两所学校都回答正确这道题的概率是.若各学校回答这道题是否正确是互不影响的. （1）求乙、丙两所学校各自回答正确这道题的概率； （2）求甲、乙、丙三所学校中不少于2所学校回答正确这道题的概率. 【答案】（1）（2） 【解析】（1）设事件“甲学校回答正确这道题”，事件“乙学校回答正确这道题”，事件“丙学校回答正确这道题” ，则，，， ∵各学校回答这道题是否正确是互不影响的. ∴事件A，B，C相互独立. ∴， ∴ ； （2）设事件“甲、乙、丙三所学校中不少于2所学校回答正确这道题”且两两豆斥， ； 由于事件A，B，C相互独立. 所以 ， ， ， 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$