精品解析：河北省衡水市第九中学2024-2025学年九年级上学期期中考试数学试卷

2024-2025学年河北省衡水九中九年级（上） 期中数学试卷 一、选择题（共16小题） 1. 关于的一元二次方程的两个实数根分别是m，n，则的最大值是（ ） A. B. 6 C. D. 4 2. 用配方法解方程时，配方后所得的方程为（ ） A. B. C. D. 3. 如果关于x的一元二次方程，有一个解是0，那么m的值是（ ） A. 3 B. C. D. 0或 4. 一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 没有实数根 D. 不能确定 5. 如图，和是位似图形，位似中心是O，若，，那么（ ） A. 6 B. 9 C. 12 D. 18 6. 如图，已知，．将沿图中的剪开，剪下的阴影三角形与不相似的是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在正方形中，是边上一点，满足，连接交于点，延长到点使得，则（ ） A. B. C. D. 8. 如图，中，点，分别是边，的中点，若，则的面积为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，小明和小华同时从P处分别向北偏东60°和南偏东30°方向出发，他们的速度分别是3m/s和4m/s，则20s后他们之间的距离为（　　） A. 70m B. 80m C. 90m D. 100m 10. 甲、乙两人从同一地点出发，甲以的速度向北偏东方向直行，乙以的速度向南偏东方向直行，若他们同时出发，则后他们相距（ ） A. 50m B. 70m C. 250m D. 350m 11. 图1是2002年世界数学大会（ICM）的会徽，其主体图案（如图2）是由四个全等的直角三角形组成的四边形．若，AB＝1，则CD的长为（ ） A. B. C. D. 12. 某路灯示意图如图所示，它是轴对称图形，若，，CD与地面垂直且，则灯项A到地面的高度为（ ） A. B. C. D. 13. 已知点，，在函数的图象上，则（ ） A. B. C. D. 14. 反比例函数的图象上有，两点．下列正确的选项是（ ） A. 当时， B. 当时， C. 当时， D. 当时， 15. 下列各点不在反比例函数图像上的为（ ） A. B. C. D. 16. 若反比例函数的图象位于第二、四象限，则的值（ ） A. B. 或 C. 或 D. 二、填空题（共3小题） 17. 定义：如果一元二次方程满足，那么称这个方程为“奇妙方程”．已知是“奇妙方程”，且有两个相等的实数根，则b的值为______． 18. 如图，在正方形中，是等边三角形，的延长线分别交于点，连接与相交于点．给出下列结论：①；②；③；④．其中正确的是 ________． 19. 如图, 在 中, 是斜边 上的中线, 点 是直线 左侧一点, 联结 , 若 , 则 的值为______． 三．解答题（共7小题） 20. 在一块长，宽的矩形荒地上，要建造一个花园，要求花园面积是荒地面积的一半，下面分别是小华与小芳的设计方案． （1）同学们都认为小华的方案是正确的，但对小芳方案是否符合条件有不同意见，你认为小芳的方案符合条件吗？若不符合，请用方程的方法说明理由． （2）你还有其他的设计方案吗？请在如图所示中画出你所设计的草图，并写出你的设计方案． 21. 如图，中，，动点从点出发，在边上以每秒的速度向点匀速运动，同时动点从点出发，在边上以每秒的速度向点匀速运动，运动时间为秒，连接． （1）是否存在某一时刻，使的面积是面积的？若存在求出相应的值，若不存在，请说明理由． （2）在运动过程中，是否存在某一时刻，使是等腰三角形？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 22. 为了加快城市发展，保障市民出行方便，某市在流经该市的河流上架起一座桥，连通南北，铺就城市繁荣之路．小明和小颖想通过自己所学的数学知识计算该桥的长．如图，该桥两侧河岸平行，他们在河的对岸选定一个目标作为点A，再在河岸的这一边选出点B和点C，分别在，的延长线上取点D，E，使得．经测量，米，米，且点E到河岸的距离为90米．已知于点F，请你根据提供的数据，帮助他们计算桥的长度． 23. 九年级二班的兴趣小组想去测量学校升旗杆的高度，如图所示，小逸同学眼睛A与标杆顶点F、升旗杆顶端E在同一直线上，已知小逸眼睛距地面的长为，标杆的长为，测得的长为，的长为，求升旗杆的高． 24. 如 图 ， 四 边 形 为某工厂的平面图 ， 经 测 量米，且，．（参考数据： ， ） （1）求的长；（结果精确到1米） （2）若直线为工厂的车辆进出口道路（道路的宽度忽略不计），工作人员想要在点D 处安装一个摄像头观察车辆进出工厂的情况，已知摄像头能监控的最远距离为米， 求被监控到的道路长度为多少米？ 25. 如图，商场自动扶梯从一楼到三楼与水平面所成的角度分别是：和，每层楼自动扶梯爬坡的坡面长度相同，如果从一楼到二楼的层高为5米，求一楼到三楼的层高是多少米？（忽略楼层之间厚度，参考数据：） 26. 项目式学习 项目主题：守护生命，“数”说安全． 项目背景：随着社会的发展，安全问题变得日益重要．某校为了提高学生的安全意识，开展以“守护生命，‘数’说安全”为主题的项目式学习活动．创新小组通过考查测量、模拟探究和成果迁移等环节，开展弯道对通行车辆长度的限制研究． 任务一：考查测量 （1）如图1，创新小组所选取弯道的内、外侧均为直角，道路宽均为，则 ． 任务二：模拟探究 如果汽车在行驶中与弯道内、外侧均无接触，则可安全通过． （2）如图2，创新小组用矩形模拟汽车通过宽均为的直角弯道，发现当的中点与点重合，且，点落在弯道外侧上时，矩形恰好不能通过该弯道．若，要使矩形能通过该直角弯道，求的最大整数值． 任务三：成果迁移 （3）如图3，某弯道外侧形状可近似看成反比例函数的图象，第一象限的角平分线交图象于点，弯道内侧的顶点在射线上，两边分别与轴，轴平行，．创新小组探究发现通过该弯道的原理与通过直角弯道的原理一致．有一辆长为，宽为的汽车需要安全通过该弯道，求的最大整数值．（参考数据：，） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年河北省衡水九中九年级（上） 期中数学试卷 一、选择题（共16小题） 1. 关于的一元二次方程的两个实数根分别是m，n，则的最大值是（ ） A. B. 6 C. D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的根的定义、根与系数关系、根的判别式，二次函数最值等知识．根据一元二次方程的根的判别式得到，根据根与系数关系得到，，利用一元二次方程根的定义得到，代入得到，根据t的取值范围即可求出最值即可． 【详解】解：一元二次方程的两个实数根分别是m，n， ，，， ， ， 方程有两个实数根， ， 解得， 中，， 当时，有最大值，最大值为：， 故选A． 2. 用配方法解方程时，配方后所得的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先把常数项移项，然后在等式的两边同时加上一次项系数的一半的平方即可． 【详解】解：利用配方法如下： ． 故选D． 【点睛】本题考查了配方法解一元二次方程，掌握配方法的一般步骤是解题关键． 3. 如果关于x的一元二次方程，有一个解是0，那么m的值是（ ） A. 3 B. C. D. 0或 【答案】B 【解析】 【分析】把x=0代入方程（m-3）x2+3x+m2-9=0中，解关于m的一元二次方程，注意m的取值不能使原方程对二次项系数为0． 【详解】解：把x=0代入方程（m-3）x2+3x+m2-9=0中，得 m2-9=0， 解得m=-3或3， 当m=3时，原方程二次项系数m-3=0，舍去， ∴m=-3 故选：B． 【点睛】本题考查的是一元二次方程解的定义，一元二次方程的概念，掌握方程的解的含义是解题的关键. 4. 一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 没有实数根 D. 不能确定 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，根据判别式来判断即可，当时，方程有两个不相等的实数根，当时，方程有两个相等的实数根，当时，方程没有实数根． 【详解】解：由可知：，，， ∴， ∴一元二次方程有两个不相等的实数根． 故选：A． 5. 如图，和是位似图形，位似中心是O，若，，那么（ ） A. 6 B. 9 C. 12 D. 18 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查位似图形及其性质，解题的关键是熟练掌握位似图形的性质．先求出两个三角形的相似比，再根据面积之比等于相似比的平方，即可得出答案． 【详解】解： 与是位似图形， ，， ∴， ∴， ∵， ， ， ， 故选：C． 6. 如图，已知，．将沿图中的剪开，剪下的阴影三角形与不相似的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定，根据相似三角形的判定逐一判断即可． 【详解】解：A、∵， ∴， 故A不符合题意； B、∵， ∴， 故B不符合题意； C、由图形可知，，， ∵，， ∴， 又∵， ∴， 故C不符合题意； D、由已知条件无法证明与相似，故D符合题意， 故选：D． 7. 如图，在正方形中，是边上一点，满足，连接交于点，延长到点使得，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题了考查了正方形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质等知识，连接交于点，由四边形是正方形，得，，且，，再由，得，由证明，得，推出从而可证，根据性质得，，可证四边形是正方形，所以，，再由勾股定理即可求解，熟练掌握以上知识点的应用及正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】如图，连接交于点， ∵四边形是正方形， ∴，，且，， ∴，，， ∵， ∴ ， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 在和中， ∴ ∴，， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵，， ∴四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：． 8. 如图，中，点，分别是边，的中点，若，则的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的性质与判定，中位线的性质，根据已知条件可得，证明，即可求解． 【详解】解：∵点，分别是边，的中点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴的面积为， 故选：B． 9. 如图，小明和小华同时从P处分别向北偏东60°和南偏东30°方向出发，他们的速度分别是3m/s和4m/s，则20s后他们之间的距离为（　　） A. 70m B. 80m C. 90m D. 100m 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意可得∠APB=180°-30°-60°=90°，，，再根据勾股定理，即可求解． 【详解】解：根据题意得：∠APB=180°-30°-60°=90°， ，， ∴， 即20s后他们之间的距离为． 故选：D 【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 10. 甲、乙两人从同一地点出发，甲以的速度向北偏东方向直行，乙以的速度向南偏东方向直行，若他们同时出发，则后他们相距（ ） A. 50m B. 70m C. 250m D. 350m 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，做出示意图，结合勾股定理求解即可． 【详解】解：如图所示： 由题意，后，甲走过的路程为，乙走过的路程为，且， 在中，， 故选：C． 【点睛】本题考查勾股定理与方位角相关计算，掌握勾股定理，理解方位角的定义，准确构造直角三角形是解题关键． 11. 图1是2002年世界数学大会（ICM）的会徽，其主体图案（如图2）是由四个全等的直角三角形组成的四边形．若，AB＝1，则CD的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】解，求AB，BC，根据全等三角形的性质可得BD=AC，进一步可得结论． 【详解】解：如图， 在中，，AB＝1， ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ 故选：A 【点睛】本题主要考查了解直角三角形的应用，正确识别直角三角形边角关系是解答本题的关键． 12. 某路灯示意图如图所示，它是轴对称图形，若，，CD与地面垂直且，则灯项A到地面的高度为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形的应用．连接，延长交于点，由题意可知：，然后利用锐角三角函数的定义可求出的长度． 【详解】解：连接，延长交于点， 由题意可知：， 在中， ， ， 点到地面的高度为：， ， ， 故选：A． 13. 已知点，，在函数的图象上，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标的特点，函数图象上点的坐标满足函数解析式，理解这一点是解题关键，此题也可以利用反比例函数的性质解题．分别把点、、代入反比例函数求出，即可比较出大小． 【详解】解：∵点、、在反比例函数的图象上， ∴， ，， ∴． 故选：A ． 14. 反比例函数的图象上有，两点．下列正确的选项是（ ） A. 当时， B. 当时， C. 当时， D. 当时， 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数图象上的点的坐标特征，由于反比例函数，可知函数位于一、三象限，分情况讨论，根据反比例函数的增减性判断出与的大小． 【详解】解：根据反比例函数，可知函数图象位于一、三象限，且在每个象限中，y都是随着x的增大而减小， 反比例函数的图象上有，两点， 当，即时，； 当，即时，； 当，即时，； 故选：A． 15. 下列各点不在反比例函数图像上的为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的性质，判定点与反比例函数的关系，代入解析式，计算判断即可． 【详解】解：∵， ∴点在反比例函数上，故A不符合题意； ∵， ∴点在反比例函数上，故B不符合题意； ∵， ∴点不在反比例函数上，故C符合题意； ∵， ∴点在反比例函数上，故D不符合题意； 故选C． 16. 若反比例函数的图象位于第二、四象限，则的值（ ） A. B. 或 C. 或 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的图象和性质，解一元二次方程，先根据反比例函数的定义列出方程求出的可能取值，再根据图象经过的象限决定常数的取值范围，进而得出的值，解题的关键是正确理解当时，图象分别位于第一、三象限；当时，图象分别位于第二、四象限；当时，在同一个象限内，随的增大而减小；当时，在同一个象限，随的增大而增大． 【详解】依题意有，解得或， ∵函数图象位于第二、四象限， ∴，即， ∴的值是， 故选：． 二、填空题（共3小题） 17. 定义：如果一元二次方程满足，那么称这个方程为“奇妙方程”．已知是“奇妙方程”，且有两个相等的实数根，则b的值为______． 【答案】2 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，一元二次方程根的判别式，先由新定义得到，再由判别式得到，则，解方程即可得到答案． 【详解】解：∵是“奇妙方程”， ∴， ∵方程有两个相等的实数根， ∴， ∴， 解得：， ∴． 故答案为：2． 18. 如图，在正方形中，是等边三角形，的延长线分别交于点，连接与相交于点．给出下列结论：①；②；③；④．其中正确的是 ________． 【答案】①②④ 【解析】 【分析】由正方形的性质得出，由等边三角形的性质得出，进而得出，得出，，所以是等边三角形，所以，即可判断选项①；由等腰三角形的性质得出，由正方形对角线的性质得出，求出，得出，由平行线的性质得出，得出，得出，即可判断选项②；由三角形内角和定理求出，进而求出，而，即可判断选项③；由，得出，由相似三角形的性质得，而，得出，即可判断选项④；从而得出答案． 【详解】解：∵四边形是正方形，是等边三角形， ∴，，， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴，故①符合题意； ∴， ∴， ∵是正方形的对角线， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，故②符合题意； ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，故③不符合题意； ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，故④符合题意； 故答案为：①②④． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，正方形的性质，等边三角形的性质，熟练掌握正方形的性质，等边三角形的性质，平行线的性质，等腰三角形的性质，相似三角形的判定与性质等知识是解决问题的关键． 19. 如图, 在 中, 是斜边 上的中线, 点 是直线 左侧一点, 联结 , 若 , 则 的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】先证明，则，进而证明，据求得相似比，根据面积比等于相似比的平方即可求解 【详解】解：是斜边 上的中线， 即 又 又 又 设，则 故答案为： 【点睛】本题考查了解直角三角形，三角形全等的性质与判定，相似三角形的性质与判定，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，垂直平分线的性质与判定，正切的定义，证明是解题的关键． 三．解答题（共7小题） 20. 在一块长，宽的矩形荒地上，要建造一个花园，要求花园面积是荒地面积的一半，下面分别是小华与小芳的设计方案． （1）同学们都认为小华的方案是正确的，但对小芳方案是否符合条件有不同意见，你认为小芳的方案符合条件吗？若不符合，请用方程的方法说明理由． （2）你还有其他的设计方案吗？请在如图所示中画出你所设计的草图，并写出你的设计方案． 【答案】（1） 小芳的方案不符合条件， 设小路宽度均为， 根据题意得： 解这个方程得：，． 但不符合题意，应舍去， ∴小芳的方案不符合条件； （2） 例如： 左边的图形，取上边长得中点作为三角形的顶点，下边的长的两个端点为三角形的另外两个顶点，此三角形的面积等于矩形面积的一半； 右图横竖两条小路，且小路在每一处的宽都相同，其小路的宽为4米时，除去小路剩下的面积为矩形面积的一半． 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，抓住等量关系花园的面积等于荒地面积的一半是解决问题的关键． （1）利用等量关系花园的长花园的宽荒地面积的一半得到路的宽度，跟小芳所给的道路比较即可； （2）利用同底等高的三角形的面积等于矩形的面积的一半，可得另一方案；保证阴影部分的面积等于荒地面积的一半即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 21. 如图，中，，动点从点出发，在边上以每秒的速度向点匀速运动，同时动点从点出发，在边上以每秒的速度向点匀速运动，运动时间为秒，连接． （1）是否存在某一时刻，使的面积是面积的？若存在求出相应的值，若不存在，请说明理由． （2）在运动过程中，是否存在某一时刻，使是等腰三角形？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）存在． （2）存在或或时，使是等腰三角形． 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、勾股定理等，解题的关键是作出恰当的辅助线． （1）过P作，由得，再代入相关的数据即可求得t的值，再进行判断即可． （2）分三种情况讨论，利用等腰三角形与相似三角形的性质即可求得t值． 【小问1详解】 解：过P作， 因，则． ∴， ∴，又， ∴． ∴． 又． 根据题意，若存在某一时刻t，使， 则有：． 解得：（另一解因不满足，故舍去）， ∴存在这样的，使的面积是面积的． 【小问2详解】 解：若要使是等腰三角形，分三种情况讨论： ①当时，，解得：． ②当时，过P作，垂足为点H（参考上图），则， 由知，，即， 解得：． ③当时，自点M作，则， 由得， ∴，即，解得：． 综合以上三种情况可知，存在或或时，使是等腰三角形． 22. 为了加快城市发展，保障市民出行方便，某市在流经该市的河流上架起一座桥，连通南北，铺就城市繁荣之路．小明和小颖想通过自己所学的数学知识计算该桥的长．如图，该桥两侧河岸平行，他们在河的对岸选定一个目标作为点A，再在河岸的这一边选出点B和点C，分别在，的延长线上取点D，E，使得．经测量，米，米，且点E到河岸的距离为90米．已知于点F，请你根据提供的数据，帮助他们计算桥的长度． 【答案】桥长120米 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的应用，正确作出辅助线、构造相似三角形成为解题的关键． 如图：过E作于G，依据，即可得出，依据，即可得到，进而得出的长即可． 【详解】解：如图所示，过E作于G， ∵， ， ， ， ， ， ， ，即：，解得：． ∴桥的长度为120米． 23. 九年级二班的兴趣小组想去测量学校升旗杆的高度，如图所示，小逸同学眼睛A与标杆顶点F、升旗杆顶端E在同一直线上，已知小逸眼睛距地面的长为，标杆的长为，测得的长为，的长为，求升旗杆的高． 【答案】升旗杆的高为． 【解析】 【分析】过A点作交于H，交于G，易证四边形、四边形是矩形，可求出，，，然后证明，根据相似三角形的性质求出即可解决问题． 【详解】解：过A点作交于H，交于G， 由题意可得：，， ∴， ∴， ∴，， ∴四边形、四边形是矩形， ∴，，， ∴，， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴， 答：升旗杆的高为． 【点睛】本题考查相似三角形的应用，关键是把实际问题抽象到相似三角形中，利用相似三角形的相似比列出方程，通过解方程求出答案． 24. 如 图 ， 四 边 形 为某工厂的平面图 ， 经 测 量米，且，．（参考数据： ， ） （1）求的长；（结果精确到1米） （2）若直线为工厂的车辆进出口道路（道路的宽度忽略不计），工作人员想要在点D 处安装一个摄像头观察车辆进出工厂的情况，已知摄像头能监控的最远距离为米， 求被监控到的道路长度为多少米？ 【答案】（1）138米 （2）160米 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的应用以及等腰直角三角形的判定与性质等知识，熟练掌握勾股定理是解题的关键． （1）根据等腰直角三角形的性质得出，进而利用勾股定理逆定理解答即可； （2）根据勾股定理解答即可． 【小问1详解】 解：连接， ，且， 为等腰直角三角形， ，； ， ， 为直角三角形， ， 即的长为138米； 【小问2详解】 解：如图，过点D作于E，设 P、Q为直线上监控到的最远点， ∴； ∵， ∴， 是等腰直角三角形， ， 摄像头能监控的最远距离为米，， ， ， 即被监控到的道路长度为160米． 25. 如图，商场自动扶梯从一楼到三楼与水平面所成的角度分别是：和，每层楼自动扶梯爬坡的坡面长度相同，如果从一楼到二楼的层高为5米，求一楼到三楼的层高是多少米？（忽略楼层之间厚度，参考数据：） 【答案】一楼到三楼的层高是11米 【解析】 【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用、矩形的判定与性质等知识点，正确作出辅助线构造直角三角形成为解题的关键． 如图，过D作于点F，过E作于点G．在中，解直角三角形可得，则；在中可得，最后根据矩形的性质和线段的和差即可解答． 【详解】解：如图，过D作于点F，过E作于点G． ∴四边形是矩形， ∴， 在中，， ∵， ∴， ∴，则． 在中，， ∴， ∴， ∴． 答：一楼到三楼的层高是11米． 26. 项目式学习 项目主题：守护生命，“数”说安全． 项目背景：随着社会的发展，安全问题变得日益重要．某校为了提高学生的安全意识，开展以“守护生命，‘数’说安全”为主题的项目式学习活动．创新小组通过考查测量、模拟探究和成果迁移等环节，开展弯道对通行车辆长度的限制研究． 任务一：考查测量 （1）如图1，创新小组所选取弯道的内、外侧均为直角，道路宽均为，则 ． 任务二：模拟探究 如果汽车在行驶中与弯道内、外侧均无接触，则可安全通过． （2）如图2，创新小组用矩形模拟汽车通过宽均为的直角弯道，发现当的中点与点重合，且，点落在弯道外侧上时，矩形恰好不能通过该弯道．若，要使矩形能通过该直角弯道，求的最大整数值． 任务三：成果迁移 （3）如图3，某弯道外侧形状可近似看成反比例函数的图象，第一象限的角平分线交图象于点，弯道内侧的顶点在射线上，两边分别与轴，轴平行，．创新小组探究发现通过该弯道的原理与通过直角弯道的原理一致．有一辆长为，宽为的汽车需要安全通过该弯道，求的最大整数值．（参考数据：，） 【答案】（1）；（2）；（3）6 【解析】 【分析】（1）延长内侧交外侧于点，则，由勾股定理可求得的长； （2）如图3，设与相交于点，根据题意得，易证，所以，则，求出的估算值即可得出结论； （3）过点作轴于点，由勾股定理可得，可得，进而可得反比例函数的解析式为；设直线与的交点为，则，过点作轴于点，可得，由此可得点的坐标，进而可求得直线的解析式，联立直线和反比例函数的解析式，可得的坐标，进而可求出的长度，即可得出的最大整数值． 【详解】解：（1）如图1，延长内侧交外侧于点，则， ∴， ∴， 故答案为：； （2）解法一、如图3（1），设与相交于点，根据题意得：， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∵， ∴， ∴根据实际情况可得：的最大整数值为． 解法二：如图3（2），设直线分别与直线相交于点， 根据题意得： ∵四边形为矩形， ∴， ∴， 又∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴根据实际情况可得：的最大整数值为． （3）如图4，过点作轴于点， 由勾股定理可得， ∴， ∴反比例函数的解析式为， 设直线与的交点为，则， 过点作轴于点，则， ∴， ∴， 如图所示，延长交轴于点，则，且， ∴， ∴， ∴， 设直线的解析式为， ∴， 解得，， ∴直线的解析式为：， 令， 解得， ∴， ∴， ∵， ∴的最大整数值为． 【点睛】本题主要考查勾股定理，等腰三角的判定和性质，一次函数、反比例函数于几何图形的综合，掌握以上知识，数形结合分析是关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $