四川省成都市郫都区2024-2025学年高一下学期7月期末考试数学试题

成都市郫都区2024～2025学年度下期期末考试 高一数学 说明：1．本卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分，时间120分钟． 2． 所有试题均在答题卡相应的区域内作答． 第I卷（选择题 共58分） 一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的） 1．若复数满足，则的虚部为 A． B． C． D． 2．如图是一个表面被涂上红色的棱长是4 cm的立方体，将其分割成棱长为1 cm的小立体，则两面是红色的小立方体的个数为 A． B． C． D． 3．已知，则 A． B． C． D．2 4．如图，在中，D是边AB上一点，且，点E是CD的中点．设，，则可以表示为 A． B． C． D． 5．将函数的图象上各点向右平移个单位长度，再把横坐标缩短为原来的一半，纵坐标伸长为原来的4倍，则所得到的图象的函数解析式是 A． B． C． D． 6．如图，圆O内接边长为1的正方形是弧（包括端点）上一点，则的取值范围是 A． B． C． D． 7．在三棱锥中，底面为斜边的等腰直角三角形，顶点S在底面上的射影为的中点．若，为线段上的一个动点，则的最小值为 A． B． C． D． 8．锐角的内角所对应的边分别为，若，则的取值范围是A． B． C． D． 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对得部分分） 9．下列等式正确的是 A． B． C． D． 10．如图正方体的棱长为1，则下列四个命题中正确的是 A．正方体被面分割成两部分的体积比为 B．点C到平面的距离为. C．四面体的外接球体积为 D．二面角的大小为 11．已知中角所对应的边分别为，下列命题正确的是 A．若为锐角三角形，则 B．若，则是等腰三角形 C．若，则为直角三角形 D．若，则此三角形有两解 第II卷（非选择题 共92分） 注意事项： 必须使用0．5毫米黑色墨迹签字笔在答题卡上题目所指定的答题区域内作答,作图题可先用铅笔绘出，确认后再用0．5毫米黑色墨迹签字笔描清楚，答在试题卷上无效． 3、 填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12．已知，，，则与的夹角为 . 13． . 14．已知正方体的棱长为，是棱的中点，是侧棱上的动点，直线交截面于点，则动点的轨迹长度为 ． 四、解答题（本大题共5小题共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15．（本小题满分13分） 已知函数 (1)求的单调增区间和对称中心； (2)若，求的值. 16．（本小题满分15分） 如图是一个正四棱台的铁料，上、下底面的边长分别为20cm和40cm，高30cm． (1)求四棱台的表面积； (2)若要这块铁料最大限度打磨为一个圆台，求削去部分与圆台的体积之比． 17．（本小题满分15分） 在中，角的对边分别为，已知． (1)求的值； (2)若的面积为，求a的值； (3)若角A的平分线交于点D，且，求的值． 18．（本小题满分17分） 如图，在四棱锥中，平面⊥平面，底面为正方形，分别为的中点，设平面平面．   (1)求证：； (2)求证：； (3)若，二面角的大小为，求与底面所成角的正弦值． 19．（本小题满分17分） 如图，设，且，当时，定义平面坐标系为的斜坐标系．在的斜坐标系中，任意一点P的斜坐标这样定义：设，分别为Ox，Oy正方向同向的单位向量，若向量，记向量．在的斜坐标系中．    (1)若向量，求． (2)已知向量，，证明：． (3)若向量，的斜坐标分别为和，，设函数，，． ①若的从小到大依次为，求n． ②比较与的大小，并说明理由．（参考数据：，） 高一下期末数学第 1 页 共 6 页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$高一下期末数学答案 题号 2 3 4 5 6 6 9 10 11 答案 D B B A ABD ABC AD 12. 13.-1 14② 5 15.(1)因为f(x)=V5sin2x-cos2x=2sim 2- 4442分 由+2m≤2x-君号+2kkeZ得： 3分 -亚+a≤xs+m,keZ 6 故了国)的单调增区甸为6 _元+km,+kr (kEZ）5分 由2x-元=km,keZ得，x=交+ 6 +。kπ，k∈Z6分 122 故f(x)的对称中心为 2因为ra-2m如引25即2引 8分 因为0<a< ,所以-严<2a< 9分 3 6 所以co2a-}-25 6 5 10分 所以cos2a= cos a-}ma-}gma-}后 2W5551215-5 5 2 *2 …13分 10 16.(1)在正四棱台ABCD-4BCD中，分别取上、下底面的中心O,0, 连接00，则0,0=30 分别取BC,BC的中点M,N,连接OM,ON,MN,过M作MH⊥ON于H, 因为在正四棱台ABCD-ABCD中，AB,=20,AB=40,OO=30, 以MH=00=30,0M=2A8=10,0N=)AB=2C, 在Rt△MNH中，MN=VMH2+HN2=√30+10=10M0, .5分 所以正四棱台的表面积为 (20+40)x100=2000+12000; (若分步书写则分步给分，上底面积1分，下底面积1分，侧面积1分) (2)若要这块铁料最大限度打磨为一个圆台，则圆台的上下底面圆与正四棱台的上下底面 正方形相切，高为正四棱台的高， 则圆台00的上底面半径为，=10，下底面半径为万=20高0.0=30’9分 以圆台00的体积为上=写×元×102+202+10×20)×30=7000，……1旦 为正四棱台的体积为/=×(20+402+V20×40)×30=28000,13金 所以削去部分的体积为2=/-=28000-7000m,14分 所以削去部分与圆台的体积之比28000-7000r_4-元 7000r 15分 17.(1)由正弦定理及sinB=2sinC,得b=2c,1分 因为b2=2c2+a2,所以a2=2c2,所以a=√2c,3分 所以由余弦定理，得cosA=C+-a_女23 2bc 4c4 5分 2)由cosA=子4e0,所以sn4 4 ，46分 由VBC的面积为万，得S。c=be sind=c=万，所以bc=8.…8分 2 8 又b=2c,所以b=4,C=2,9分 故a=√2c=2√2. 10分 (3)因为cosA= 所以1-2sin24_3 3 24 11分 又A∈(0，，所以∈Q. A 2”2 ,所以sin2 4 12分 由S4se=SAsD+SAeD,得besin A=5 AD.csin A +AD.bsin- 2 22 所以√7bc=√2AD·(b+c), 14分 所以AD 15分 b+c 18.(1)因为底面ABCD为正方形，所以BC⊥CD, 1分 因为平面ABCD⊥平面PCD,平面ABCD∩平面PCD=CD,BCC平面ABCD, 所以BC⊥平面PCD,… 3分 又因为DFC平面PCD,所以BC⊥DF5分 (2)取PB的中点Q,连接QF,EQ, 因为点E,F分别为AD,PC的中点， 所以OF1/BC,且QF-Bc=DE, 因为BC/DE,所以QF/DE,所以四边形DEQF为平行四边形，6分 所以DF/E,7分 又因为DF丈平面PBE,QEC平面PBE,所以DFI/平面PBE. 又因为DFC平面PCD,平面PCD∩平面PBE=I9分 所以DF/l10分 (3)因为BC⊥平面PCD,PC、CDC平面PCD,所以BC⊥PC,又BC⊥CD, ∠PCD是二面角P-BC-D的平面角，所以∠PCD=30°，11分 设PC=2,则PD=lDC=V5,连接BD,BD=VDC2+BC2=√6,12分 因为PD⊥CD,平面ABCD L平面PCD, 平面ABCD∩平面PCD=CD,PDc平面PCD, 所以PD⊥平面ABCD,所以∠PBD即为PB与底面ABCD所成角， 因为PD⊥平面ABCD,BDC平面ABCD,所以PD⊥BD 所以PB=VPD2+DB2=+6=√7,15分 所以在直角三角形PBD中，Sin∠PBD=PD-=V万 PB万=7 所以PB与底面ABCD所成角的正弦值为 > 17分 19.(1)因为向量0F=32,所以0丽=女+2G,又因为9-6=日=6=1,1分 所以0p2=(3g+2g=9g2+12gg+46=13+6=1,3分 所以o=9. 44分 (2)因为向量石=()，万=(，y2),所以a=xg+马，万=xg+y26,5分 一2 所以ā6=(x名+马)小s6+6)=x+(y+xy)g+yg7分 化简得石-万=X名2+y+与(2+）8分 (3)①由(2)得fe)=a-6=m2x-5cos2x=5cos2r-sin2), 化简得/)=2-引 所以传+}m任+}m经 9分 则方程M)+受x+名=0的根等价于)=一5加（受的， 6 d 如图所示，在y=-sin()的一个周期内，方程根的个数为3，…11分 因为2026÷8=253…2 则当X∈(0,2026)，根的个数n=253×3+1=760.…12分 理由如下： π 令m(x)=lnx+sin-x,x∈(0,2)， 4 因为m(宁=-lh2+sinF 8 又因为sin -n2-4e所以}0， 正<sin 又因为0-号0，所以目0<0， 由零点存在定理可得，4传小， 14分 由0可知8n)g-nx)=e+e= 15分 在x©行上单调递减。 16分 所以+5引即血)小》所以m小17分