2.2.1双曲线及其标准方程讲义-2025-2026学年高二上学期数学北师大版（2019）选择性必修第一册

授课主题 2.2.1双曲线及其标准方程 知 识 梳 理 一、双曲线的定义 在平面内，到两个定点、的距离之差的绝对值等于常数（大于0且）的动点的轨迹叫作双曲线.这两个定点、叫双曲线的焦点，两焦点的距离叫作双曲线的焦距. 注意：1. 双曲线的定义中，常数应当满足的约束条件：，这可以借助于三角形中边的相关性质“两边之差小于第三边”来理解； 2. 若去掉定义中的“绝对值”，满足约束条件：（），则动点轨迹仅表示双曲线中靠焦点的一支；若（），则动点轨迹仅表示双曲线中靠焦点的一支； 3. 若满足约束条件：，则动点轨迹是以F1、F2为端点的两条射线（包括端点）； 4．若常数满足约束条件：，则动点轨迹不存在； 5．若常数，则动点轨迹为线段F1F2的垂直平分线。 二、双曲线的标准方程 双曲线的标准方程： 1.当焦点在轴上时，双曲线的标准方程：，其中； 2.当焦点在轴上时，双曲线的标准方程：，其中 方程Ax2+By2=C（A、B、C均不为零）表示双曲线的条件 方程Ax2+By2=C可化为，即， 所以只有A、B异号，方程表示双曲线。 当时，双曲线的焦点在x轴上； 当时，双曲线的焦点在y轴上。 椭圆、双曲线的区别和联系： 椭圆 双曲线 根据|MF1|+|MF2|=2a 根据|MF1|－|MF2|=±2a a＞c＞0， a2－c2=b2（b＞0） 0＜a＜c， c2－a2=b2（b＞0） ， （a＞b＞0） ， （a＞0，b＞0，a不一定大于b） （a最大） （c最大） 标准方程统一为： 注意：1.当且仅当双曲线的对称中心在坐标原点，对称轴是坐标轴，双曲线的方程才是标准方程形式。此时，双曲线的焦点在坐标轴上。 2.双曲线标准方程中，a、b、c三个量的大小与坐标系无关，是由双曲线本身所确定的，分别表示双曲线的实半轴长、虚半轴长和半焦距长，均为正数，且三个量的大小关系为：c＞a，c＞b，且c2=b2+a2。 3.双曲线的焦点总在实轴上，因此已知标准方程，判断焦点位置的方法是：看x2、y2的系数，如果x2项的系数是正的，那么焦点在x轴上；如果y2项的系数是正的，那么焦点在y轴上。 4.对于双曲线，a不一定大于b，因此不能像椭圆那样通过比较分母的大小来判定焦点在哪一条坐标轴上。 三、求双曲线的标准方程 ①待定系数法：由题目条件确定焦点的位置，从而确定方程的类型，设出标准方程，再由条件确定方程中的参数、、的值。其主要步骤是“先定型，再定量”； ②定义法：由题目条件判断出动点的轨迹是什么图形，然后再根据定义确定方程。 注意：若定义中“差的绝对值”中的绝对值去掉，点的集合成为双曲线的一支，先确定方程类型，再确定参数a、b，即先定型，再定量。若两种类型都有可能，则需分类讨论. 例题讲解 考点一 双曲线的定义及应用 例1、平面内到两个定点的距离之差的绝对值等于的点的轨迹是(    ) A．双曲线 B．两条射线 C．一条线段 D．一条直线 例2、已知点F1(－4,0)和F2(4,0)，曲线上的动点P到F1、F2距离之差为6，则曲线方程为(　　) A. B.＝1(y>0) C. 或 D. (x>0) 例3、双曲线上的点P到一个焦点的距离为11，则它到另一个焦点的距离为(　　) A．1或21 B．14或36 C．2 D．21 例4、设，是双曲线C：的左、右焦点，过的直线与C的右支交于P，Q两点，则(    ) A．5 B．6 C．8 D．12 例5、若一个动点P(x，y)到两个定点A(－1，0)、A′(1，0)的距离差的绝对值为定值a，求点P的轨迹方程，并说明轨迹的形状． 例6、P是双曲线上一点，双曲线的两个焦点，且求值 例7、已知双曲线过点A（-2，4）、B（4，4），它的一个焦点是，求它的另一个焦点的轨迹方程. 考点二 焦点三角形周长及面积 例1、已知是双曲线上一点，、分别是双曲线的左、右焦点，的周长为，则 ，的面积为 ． 考点三 双曲线上的点到定点距离的最值 例1、已知双曲线方程为，焦距为8，左､右焦点分别为，，点A的坐标为，P为双曲线右支上一动点，则的最小值为 . 例2、设双曲线的左、右焦点分别为，，过的直线交双曲线左支于，两点，则的最小值为 ． 例3、已知，为双曲线的左、右焦点，点P是C的右支上的一点，则的最小值为(    ) A．16 B．18 C． D． 考点四 双曲线的标准方程 例1、若方程表示双曲线，则的取值范围为(    ) A． B． C． D． 例2、多选已知曲线(    ) A．表示两条直线 B．表示圆 C．表示焦点在轴上的双曲线 D．表示焦点在轴上的椭圆 例3、已知双曲线的两个焦点F1、F2之间的距离为26，双曲线上一点到两焦点的距离之差的绝对值为24，求双曲线的标准方程。 例4、求与双曲线有公共焦点，且过点的双曲线的标准方程。 例5、求适合下列条件的双曲线的标准方程： (1)两个焦点的坐标分别是,双曲线上的点与两焦点的距离之差的绝对值等于； (2)焦点在轴上，经过点和点． (3)经过点和． （4） 已知与椭圆共焦点的双曲线过点    考点五 与双曲线有关的轨迹方程 例1、求下列动圆的圆心的轨迹方程： (1)与圆和圆都内切； (2)与圆内切，且与圆外切； (3)在中，，，直线，的斜率之积为，求顶点的轨迹方程. 举一反三 1.若双曲线的左、右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线E上，且|PF1|=3，则|PF2|等于（　） A．11 B．9 C．5 D．3 2.已知点F1(0,－13)、F2(0,13)，动点P到F1与F2的距离之差的绝对值为26，则动点P的轨迹方程为（ ） A．y=0 B．y=0（x≤－13或x≥13） C．x=0（|y|≥13） D．以上都不对 3．(多选)已知平面直角坐标系中，点、，点为平面内一动点，且，则下列说法准确的是(   ) A．当时，点的轨迹为一直线 B．当时，点的轨迹为一射线 C．当时，点的轨迹不存在 D．当时，点的轨迹是双曲线 4．若点在双曲线上，双曲线的焦点为，且，则等于(　　) A．2 B．4 C．8 D．12 5．若双曲线 的左、右焦点分别为，点在双曲线上，且，则(    ) A． B． C．或 D．或 6.若点是双曲线：上一点，，分别为的左、右焦点，则“”是“”的(    ) A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 7.双曲线方程：，那么k的取值范围是（ ） A.(5，+∞) B.（2,5） C.（-2,2） D．（-2,2）∪(5，+∞) 8.已知点P(x,y)的坐标满足，则动点P的轨迹是（ ） A．椭圆 B．双曲线中的一支 C．两条射线 D．以上都不对 9.已知方程表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n的取值范围是 A.(–1,3) B.(–1,) C.(0,3) D.(0, ) 10．已知双曲线，直线l过其上焦点，交双曲线上支于A，B两点，且，为双曲线下焦点，的周长为18，则m值为(    ) A．8 B． C．10 D． 11．设F1，F2是双曲线的两个焦点，P是双曲线上的一点，且，则的面积等于(    ) A．24 B．15 C．12 D．30 12．已知双曲线，、是其两个焦点，点M在双曲线上，若，则的面积为 ． 13．已知，双曲线的左、右焦点分别为，，点是双曲线左支上一点，则的最小值为(　　) A．5 B．7 C．9 D．11 14．已知、分别是双曲线的左、右焦点，动点在双曲线的左支上，点为圆上一动点，则的最小值为 . 15．已知点，点P是双曲线左支上的动点，为其右焦点，N是圆的动点，则的最小值为 ． 16．设，为双曲线C：的左、右焦点，Q为双曲线右支上一点，点P(0，2)．当取最小值时，的值为(    ) A． B． C． D． 17.已知双曲线的左焦点为，点是双曲线右支上的一点，点是圆上的一点，则的最小值为(    ) A．5 B． C．7 D．8 18．“”是“方程表示双曲线”的(    ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 19．(多选)若方程所表示的曲线为，则下面四个命题中正确的是(    ) A．曲线可能是圆 B．若为椭圆，则 C．当时曲线是焦点在轴上的椭圆 D．当时曲线不是椭圆 20.已知等轴双曲线C与椭圆有相同的焦点，则双曲线的方程为（ ） A. B. C. D. 21.求适合下列条件的双曲线的标准方程： （1）已知两焦点,双曲线上的点与两焦点的距离之差的绝对值等于8. （2）双曲线的一个焦点坐标为，经过点. 22.求中心在原点，对称轴为坐标轴，且虚轴长与实轴长的比为，焦距为10的双曲线的标准方程. 23.若以为焦点的双曲线过点（2，1），则该双曲线的标准方程为______。 23．求适合下列条件的双曲线的标准方程． (1)焦点在轴上，，经过点； (2)经过、两点． (3)过点，且与椭圆有相同焦点双曲线方程. 24.动圆与圆x2＋y2＝1和x2＋y2－8x＋12＝0都相外切，则动圆圆心的轨迹为(　　) A．双曲线的一支 B．圆 C．抛物线 D．双曲线 25．动圆过点，且与圆外切，则动圆圆心的轨迹方程是 ． 26．设P为双曲线上一动点，O为坐标原点，M为线段的中点，则点M的轨迹方程为 ． 27．已知圆与圆，动圆同时与圆及相外切，则动圆圆心的轨迹为(    ) A．椭圆 B．椭圆和一条直线 C．双曲线和一条射线 D．双曲线的一支 28．动圆P过定点M(0，2)，且与圆N：相内切，则动圆圆心P的轨迹方程是(    ) A． B． C． D． 课 后 作 业 1．已知分别是双曲线的左、右焦点，P是该双曲线上的点，且，则(    ) A．3 B．15 C．3或15 D．6或12 2．已知双曲线上一点到左焦点的距离为10，则的中点到坐标原点的距离为(    ) A．3或7 B．6或14 C．3 D．7 3．已知点，动点满足，则动点的轨迹方程为(    ) A． B． C． D． 4．若方程表示双曲线，则实数k的取值范围是(　　) A． B． C． D． 5．设双曲线的左焦点为，点为双曲线右支上的一点，且与圆相切于点，为线段的中点，为坐标原点，则(    ) A． B．-1 C． D．2   6．双曲线上的两个焦点分别为与，焦距为10；M是该曲线上一点，且，则(    ) A．3 B．15 C．3或15 D．15或18 7．设θ∈(，π)，则关于x、y的方程 所表示的曲线是(　　) A．焦点在y轴上的双曲线 B．焦点在x轴上的双曲线 C．焦点在y轴上的椭圆 D．焦点在x轴上的椭圆 8．设点为坐标原点，点在双曲线上运动，是双曲线的左、右焦点，则的最小值为(    ) A．2 B．4 C．6 D．以上都不对 9．已知双曲线是其左右焦点.圆，点P为双曲线C右支上的动点，点Q为圆E上的动点，则的最小值是(    ) A． B． C．7 D．8 10．已知双曲线的左、右焦点分别为，，直线经过且与的右支相交于A，B两点，若，则的周长为(    ) A．6 B．8 C．10 D．12 11．设双曲线的左、右焦点分别为，，为双曲线右支上一点，，则的大小为(    ) A． B． C． D． 12．设，分别是双曲线的左右焦点，过作轴的垂线与交于，两点，若为正三角形，则的面积为(    ) A． B．4 C． D．3 13．已知双曲线的左、右焦点分别为F1、F2，若双曲线的左支上有一点M到右焦点F2的距离为18，N是MF2的中点，O为坐标原点，则|NO|等于(　　) A.　　　B．1　　　C．2　　　D．4 14．已知F是双曲线C：的右焦点，P是C的左支上一点，，则的最小值为(    ) A．5 B．6 C．7 D．8 15．已知点，双曲线的左焦点为，点在双曲线的右支上运动.当的周长最小时，(    ) A． B． C． D． 16．已知，双曲线C：的左焦点为F，P是双曲线C的右支上的动点，则的最大值是(    ) A． B． C． D． 17．已知为双曲线的左焦点，为其右支上一点，点，则周长的最小值为(    ) A． B． C． D． 18．已知，双曲线的左､右焦点分别为，点是双曲线右支上一点，则的最小值为(    ) A．5 B．7 C．9 D．11 19．若曲线表示双曲线，那么实数k的取值范围是(    ) A． B． C． D． 20．已知，则“”是“方程表示双曲线”的(　　) A．充分不必要条件B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 21．若是双曲线的左、右焦点，点在该双曲线上，且是等腰三角形，则的周长是 . 22．已知双曲线过点，且与椭圆有公共焦点，则双曲线的标准方程是(    ) A． B． C． D． 23．(多选)关于、的方程表示的轨迹可以是(    ) A．椭圆 B．双曲线 C．直线 D．抛物线 24．(多选)已知曲线的方程为，则(    ) A．曲线可以表示圆 B．曲线可以表示焦点在轴上的椭圆 C．曲线可以表示焦点在轴上的椭圆 D．曲线可以表示焦点在轴上的双曲线 25．(多选)对于曲线C：，则下列说法正确的有(    ) A．曲线C可能为圆 B．曲线C不可能为焦点在y轴上的双曲线 C．若，则曲线C为椭圆 D．若，则曲线C为双曲线 26．已知点分别是双曲线的下、上焦点，若点是双曲线下支上的点，且，则的面积为 . 27．设，分别是双曲线的左、右焦点．若点P在双曲线上，且，则 ， ； 28．已知，，动点满足，，则周长的最小值为 ，此时点的坐标为 . 学科网（北京）股份有限公司 $$ 授课主题 2.2.1双曲线及其标准方程 知 识 梳 理 一、双曲线的定义 在平面内，到两个定点、的距离之差的绝对值等于常数（大于0且）的动点的轨迹叫作双曲线.这两个定点、叫双曲线的焦点，两焦点的距离叫作双曲线的焦距. 注意：1. 双曲线的定义中，常数应当满足的约束条件：，这可以借助于三角形中边的相关性质“两边之差小于第三边”来理解； 2. 若去掉定义中的“绝对值”，满足约束条件：（），则动点轨迹仅表示双曲线中靠焦点的一支；若（），则动点轨迹仅表示双曲线中靠焦点的一支； 3. 若满足约束条件：，则动点轨迹是以F1、F2为端点的两条射线（包括端点）； 4．若常数满足约束条件：，则动点轨迹不存在； 5．若常数，则动点轨迹为线段F1F2的垂直平分线。 二、双曲线的标准方程 双曲线的标准方程： 1.当焦点在轴上时，双曲线的标准方程：，其中； 2.当焦点在轴上时，双曲线的标准方程：，其中 方程Ax2+By2=C（A、B、C均不为零）表示双曲线的条件 方程Ax2+By2=C可化为，即， 所以只有A、B异号，方程表示双曲线。 当时，双曲线的焦点在x轴上； 当时，双曲线的焦点在y轴上。 椭圆、双曲线的区别和联系： 椭圆 双曲线 根据|MF1|+|MF2|=2a 根据|MF1|－|MF2|=±2a a＞c＞0， a2－c2=b2（b＞0） 0＜a＜c， c2－a2=b2（b＞0） ， （a＞b＞0） ， （a＞0，b＞0，a不一定大于b） （a最大） （c最大） 标准方程统一为： 注意：1.当且仅当双曲线的对称中心在坐标原点，对称轴是坐标轴，双曲线的方程才是标准方程形式。此时，双曲线的焦点在坐标轴上。 2.双曲线标准方程中，a、b、c三个量的大小与坐标系无关，是由双曲线本身所确定的，分别表示双曲线的实半轴长、虚半轴长和半焦距长，均为正数，且三个量的大小关系为：c＞a，c＞b，且c2=b2+a2。 3.双曲线的焦点总在实轴上，因此已知标准方程，判断焦点位置的方法是：看x2、y2的系数，如果x2项的系数是正的，那么焦点在x轴上；如果y2项的系数是正的，那么焦点在y轴上。 4.对于双曲线，a不一定大于b，因此不能像椭圆那样通过比较分母的大小来判定焦点在哪一条坐标轴上。 三、求双曲线的标准方程 ①待定系数法：由题目条件确定焦点的位置，从而确定方程的类型，设出标准方程，再由条件确定方程中的参数、、的值。其主要步骤是“先定型，再定量”； ②定义法：由题目条件判断出动点的轨迹是什么图形，然后再根据定义确定方程。 注意：若定义中“差的绝对值”中的绝对值去掉，点的集合成为双曲线的一支，先确定方程类型，再确定参数a、b，即先定型，再定量。若两种类型都有可能，则需分类讨论. 例题讲解 考点一 双曲线的定义及应用 例1、平面内到两个定点的距离之差的绝对值等于的点的轨迹是(    ) A．双曲线 B．两条射线 C．一条线段 D．一条直线 【答案】B 【解析】如图： 设动点为，到两个定点的距离之差的绝对值为， 则若在线段(不包含两端点)上，有；若在直线外，有； 若在线段的延长线上或线段的反向延长线上(均包含两端点)，则有.故选：B 例2、已知点F1(－4,0)和F2(4,0)，曲线上的动点P到F1、F2距离之差为6，则曲线方程为(　　) A. B.＝1(y>0) C. 或 D. (x>0) 【答案】　D 【解析】　由双曲线的定义知，点P的轨迹是以F1、F2为焦点，实轴长为6的双曲线的右支，其方程为：(x>0) 例3、双曲线上的点P到一个焦点的距离为11，则它到另一个焦点的距离为(　　) A．1或21 B．14或36 C．2 D．21 【答案】D 【解析】设双曲线的左右焦点分别为，不妨设， 根据双曲线的定义知|，所以或，而，， 双曲线右支上一点，，则，则点到右焦点的距离为， 当时，取得最小值，最小值为2，故不成立，舍去，满足要求， 所以点P到另一个焦点的距离为21， 例4、设，是双曲线C：的左、右焦点，过的直线与C的右支交于P，Q两点，则(    ) A．5 B．6 C．8 D．12 【答案】C 【解析】双曲线C：，则，， 由双曲线的定义知：，，， 所以.故选：C. 例5、若一个动点P(x，y)到两个定点A(－1，0)、A′(1，0)的距离差的绝对值为定值a，求点P的轨迹方程，并说明轨迹的形状． 【解析】∵｜AA′｜＝2，∴(1)当a＝2时，轨迹方程是y＝0(x≥1或x≤－1)，轨迹是两条射线． (2)当a＝0时，轨迹是线段AA′的垂直平分线x＝0． (3)当0＜a＜2时，轨迹方程是＝1，轨迹是双曲线． 例6、P是双曲线上一点，双曲线的两个焦点，且求值 【解析】利用双曲线的定义求解 【答案】在双曲线中，故，由P是双曲线上一点，得. ∴或又得 例7、已知双曲线过点A（-2，4）、B（4，4），它的一个焦点是，求它的另一个焦点的轨迹方程. 【解析】易知，由双曲线定义知 即 ① 即 此时点的轨迹为线段AB的中垂线，其方程为x=1(y≠0) ② 即 此时点的轨迹为以A、B为焦点，长轴长为10的椭圆，其方程为 （y≠0） 考点二 焦点三角形周长及面积 例1、已知是双曲线上一点，、分别是双曲线的左、右焦点，的周长为，则 ，的面积为 ． 【答案】 【解析】在双曲线中，，，则， 根据对称性，不妨设点在双曲线的右支上，则． 因为，的周长为，所以，所以，． 在中，，则， 所以，的面积为．故答案为：；. 考点三 双曲线上的点到定点距离的最值 例1、已知双曲线方程为，焦距为8，左､右焦点分别为，，点A的坐标为，P为双曲线右支上一动点，则的最小值为 . 【答案】 【解析】如图所示， 由双曲线为等轴双曲线，且焦距为8，所以，，即，， 所以双曲线的方程为：，所以，，， 由双曲线定义得，所以， 当三点共线时，最小为 故.故答案为：. 例2、设双曲线的左、右焦点分别为，，过的直线交双曲线左支于，两点，则的最小值为 ． 【答案】22 【解析】根据双曲线，得，，由双曲线的定义可得： ①， ②，①+②可得：， 由于过双曲线的左焦点的直线交双曲线的左支于，两点， 可得，即有． 则，当是双曲线的通径时最小， 故.故答案为：22 例3、已知，为双曲线的左、右焦点，点P是C的右支上的一点，则的最小值为(    ) A．16 B．18 C． D． 【答案】A 【解析】因为，为双曲线的左、右焦点，P是C的右支上的一点，所以， 所以， 当且仅当，即时，等号成立； 因为，所以，所以成立，的最小值为16.故选：A. 考点四 双曲线的标准方程 例1、若方程表示双曲线，则的取值范围为(    ) A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意得，解得.故选：C 例2、多选已知曲线(    ) A．表示两条直线 B．表示圆 C．表示焦点在轴上的双曲线 D．表示焦点在轴上的椭圆 【答案】BCD 【解析】对于A，当时，曲线为表示焦点在轴上的双曲线，故A错误； 对于B，当时，曲线为表示圆，故B正确； 对于C，当时，曲线为表示焦点在轴上的双曲线，故C正确； 对于D，当时，，则曲线为表示焦点在轴上的椭圆，故D正确.故选：BCD. 例3、已知双曲线的两个焦点F1、F2之间的距离为26，双曲线上一点到两焦点的距离之差的绝对值为24，求双曲线的标准方程。 【解析】由题意得2a=24，2c=26。∴a=12，c=13，b2=132－122=25。 当双曲线的焦点在x轴上时，双曲线的方程为； 当双曲线的焦点在y轴上时，双曲线的方程为。 例4、求与双曲线有公共焦点，且过点的双曲线的标准方程。 解法一：依题意设双曲线方程为－=1由已知得，又双曲线过点，∴∴，故所求双曲线的方程为. 解法二：依题意设双曲线方程为，将点代入，解得， 所以双曲线方程为. 例5、求适合下列条件的双曲线的标准方程： (1)两个焦点的坐标分别是,双曲线上的点与两焦点的距离之差的绝对值等于； (2)焦点在轴上，经过点和点． (3)经过点和． （4） 已知与椭圆共焦点的双曲线过点 【答案】(1)(2)(3)(4) 【解析】(1)由已知得，即,∵，∴. ∵焦点在轴上，∴所求的双曲线的标准方程是; (2)设双曲线的方程为，则,∴双曲线方程为. (3)设双曲线方程为，将两点代入可得，解得； 所以双曲线的标准方程为. (4)设椭圆的半焦距为，则，∴， 所以椭圆的焦点坐标为，，所以双曲线的焦点坐标为，， 设所求双曲线的标准方程为，则， 故所求双曲线方程可写为，∵点在所求双曲线上， ∴代入有，化简得，解得或. 当时， ，不合题意，舍去；∴， ∴所求双曲线的标准方程为.    考点五 与双曲线有关的轨迹方程 例1、求下列动圆的圆心的轨迹方程： (1)与圆和圆都内切； (2)与圆内切，且与圆外切； (3)在中，，，直线，的斜率之积为，求顶点的轨迹方程. 【答案】(1)；(2)；(3) 【解析】(1)圆的圆心为，半径为， 圆的圆心为，半径为， 因为，则圆与圆外离， 设圆的半径为，由题意可得，所以， 所以圆心的轨迹是以点、分别为上、下焦点的双曲线的下支， 设圆心的轨迹方程为， 由题意可得，则，， 因此圆心的轨迹方程为.    (2)圆的圆心为，半径为， 圆的圆心为，半径为， 因为，则圆与圆外离， 设圆的半径为，由题意可得，所以， 所以圆心的轨迹是以点、分别为左、右焦点的双曲线的左支， 设圆心的轨迹方程为， 由题意可得，则，， 因此圆心的轨迹方程为.    (3)设，则，， 根据题意有， 化简得 ∴顶点的轨迹方程为.    举一反三 1.若双曲线的左、右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线E上，且|PF1|=3，则|PF2|等于（　） A．11 B．9 C．5 D．3 【答案】 B 【解析】 由双曲线定义得||PF1|-|PF2||=2a=6，即|3-|PF2||=6，解得|PF2|=9，故选B． 2.已知点F1(0,－13)、F2(0,13)，动点P到F1与F2的距离之差的绝对值为26，则动点P的轨迹方程为（ ） A．y=0 B．y=0（x≤－13或x≥13） C．x=0（|y|≥13） D．以上都不对 【答案】C 3．(多选)已知平面直角坐标系中，点、，点为平面内一动点，且，则下列说法准确的是(   ) A．当时，点的轨迹为一直线 B．当时，点的轨迹为一射线 C．当时，点的轨迹不存在 D．当时，点的轨迹是双曲线 【答案】AB 【解析】对于A选项，当时，，则点的轨迹为线段的垂直平分线，A对； 对于B选项，当时，，则点的轨迹是一条射线， 且射线的端点为，方向为轴的正方向，B对； 对于C选项，当时，，则点的轨迹是一条射线， 且射线的端点为，方向为轴的负方向，C错； 对于D选项，当时，，且， 所以，点的轨迹是以点、为左、右焦点的双曲线的右支，D错.故选：AB. 4．若点在双曲线上，双曲线的焦点为，且，则等于(　　) A．2 B．4 C．8 D．12 【答案】B 【解析】双曲线中，得，则，由双曲线的定义可得， 因为，所以，解得，故选：B 5．若双曲线 的左、右焦点分别为，点在双曲线上，且，则(    ) A． B． C．或 D．或 【答案】A 【解析】由双曲线标准方程得：由双曲线定义得: 即，解得(舍去)或，故选：A. 6.若点是双曲线：上一点，，分别为的左、右焦点，则“”是“”的(    ) A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】由题意可知，，，， 若，则，或12，若，，， 故“”是“”的必要不充分条件．故选：A． 7.双曲线方程：，那么k的取值范围是（ ） A.(5，+∞) B.（2,5） C.（-2,2） D．（-2,2）∪(5，+∞) 【答案】D 【解析】由题意知解得或k>5,故选D。 8.已知点P(x,y)的坐标满足，则动点P的轨迹是（ ） A．椭圆 B．双曲线中的一支 C．两条射线 D．以上都不对 【答案】B 9.已知方程表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n的取值范围是 A.(–1,3) B.(–1,) C.(0,3) D.(0, ) 【解析】由题意知：双曲线的焦点在轴上，所以，解得：，因为方程表示双曲线，所以，解得，所以的取值范围是，故选A． 10．已知双曲线，直线l过其上焦点，交双曲线上支于A，B两点，且，为双曲线下焦点，的周长为18，则m值为(    ) A．8 B． C．10 D． 【答案】D 【解析】由题意知.又，所以. 根据双曲线的定义可知，所以， 解得，所以.故选：D 11．设F1，F2是双曲线的两个焦点，P是双曲线上的一点，且，则的面积等于(    ) A．24 B．15 C．12 D．30 【答案】A 【解析】，根据双曲线定义：， ，，， 根据余弦定理：， 则，.故选：A 12．已知双曲线，、是其两个焦点，点M在双曲线上，若，则的面积为 ． 【答案】 【解析】双曲线的实半轴长，半焦距，有， 在中，由余弦定理得， 即有， 因此，解得， 所以的面积为.故答案为：    13．已知，双曲线的左、右焦点分别为，，点是双曲线左支上一点，则的最小值为(　　) A．5 B．7 C．9 D．11 【答案】C 【解析】由双曲线，则，即，且， 由题意，， 当且仅当共线时，等号成立.故选：C. 14．已知、分别是双曲线的左、右焦点，动点在双曲线的左支上，点为圆上一动点，则的最小值为 . 【答案】6 【解析】双曲线，，， 圆的圆心为，半径， 在双曲线的左支上，，所以， 根据圆的几何性质可知，的最小值是， 所以的最小值是.故答案为： 15．已知点，点P是双曲线左支上的动点，为其右焦点，N是圆的动点，则的最小值为 ． 【答案】 【解析】因为双曲线的焦点为,圆的圆心,恰好为双曲线的左焦点, ， (当且仅当三点共线时取等号)， (当且仅当,,三点共线时取等号), ，的最小值为.故答案为：. 16．设，为双曲线C：的左、右焦点，Q为双曲线右支上一点，点P(0，2)．当取最小值时，的值为(    ) A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由双曲线定义得, 故 如图示，当三点共线，即Q在M位置时，取最小值， ，故方程为，联立，解得点Q的坐标为 (Q为第一象限上的一点)，故 故选：A 17.已知双曲线的左焦点为，点是双曲线右支上的一点，点是圆上的一点，则的最小值为(    ) A．5 B． C．7 D．8 【答案】C 【解析】记双曲线的右焦点为，所以， 当且仅当点为线段与双曲线的交点时，取到最小值．故选：C． 18．“”是“方程表示双曲线”的(    ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】因为方程表示双曲线，所以，解得或， 因为由可推出或，，但是由或，不能推出， 所以“”是“方程表示双曲线”的充分不必要条件，故选：A. 19．(多选)若方程所表示的曲线为，则下面四个命题中正确的是(    ) A．曲线可能是圆 B．若为椭圆，则 C．当时曲线是焦点在轴上的椭圆 D．当时曲线不是椭圆 【答案】AD 【解析】若则方程为曲线表示圆，故A正确 若为椭圆，则 且，故B错误 若是焦点在轴上的椭圆，则 ，故错误 若则方程为表示双曲线，则曲线不是椭圆，故D正确，故选：AD 20.已知等轴双曲线C与椭圆有相同的焦点，则双曲线的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 21.求适合下列条件的双曲线的标准方程： （1）已知两焦点,双曲线上的点与两焦点的距离之差的绝对值等于8. （2）双曲线的一个焦点坐标为，经过点. 【答案】（1）（2） 22.求中心在原点，对称轴为坐标轴，且虚轴长与实轴长的比为，焦距为10的双曲线的标准方程. 【答案】由已知设, ，则() 依题意，解得. ∴当双曲线的焦点在x轴上时，双曲线的方程为 当双曲线的焦点在y轴上时，双曲线的方程为. 23.若以为焦点的双曲线过点（2，1），则该双曲线的标准方程为______。 【答案】∵以为焦点的双曲线过点（2，1），∴设双曲线方程为，a＞0， 把（2，1）代入，得：，a＞0，解得a2=2，或a2=6（舍）， ∴该双曲线的标准方程为。故答案为：。 23．求适合下列条件的双曲线的标准方程． (1)焦点在轴上，，经过点； (2)经过、两点． (3)过点，且与椭圆有相同焦点双曲线方程. 【答案】(1)；(2).(3) 【解析】(1)因为，且双曲线的焦点在轴上，可设双曲线的标准方程为， 将点的坐标代入双曲线的方程得，解得，因此，双曲线的标准方程为； (2)设双曲线的方程为，将点、的坐标代入双曲线方程可得，解得， 因此，双曲线的标准方程为. (3)由题意可知椭圆的焦点坐标为；所以可设双曲线标准方程为，其中；代入点可得，联立解得； 所以双曲线标准方程为. 24.动圆与圆x2＋y2＝1和x2＋y2－8x＋12＝0都相外切，则动圆圆心的轨迹为(　　) A．双曲线的一支 B．圆 C．抛物线 D．双曲线 【答案】　A 25．动圆过点，且与圆外切，则动圆圆心的轨迹方程是 ． 【答案】 【解析】设动圆的圆心为，半径为，圆的圆心为，半径为， 因为动圆过点，且与圆外切，所以，，， 所以，所以，的轨迹是以为焦点，实轴长为的双曲线的右支， 因为实轴长为，焦点为，所以，动圆圆心的轨迹方程是， 即 26．设P为双曲线上一动点，O为坐标原点，M为线段的中点，则点M的轨迹方程为 ． 【答案】 【解析】设，， 则，即，又，则， 整理得，即点M的轨迹方程为.故答案为： 27．已知圆与圆，动圆同时与圆及相外切，则动圆圆心的轨迹为(    ) A．椭圆 B．椭圆和一条直线 C．双曲线和一条射线 D．双曲线的一支 【答案】D 【解析】圆，，圆心，， 圆，，圆心，， 设，因为圆同时与圆及相外切，所以， 即的轨迹是以为焦点，的双曲线的左支.故选：D 28．动圆P过定点M(0，2)，且与圆N：相内切，则动圆圆心P的轨迹方程是(    ) A． B． C． D． 【答案】A 【解析】圆N：的圆心为，半径为，且 设动圆的半径为，则，即. 即点在以为焦点，焦距长为，实轴长为， 虚轴长为的双曲线上，且点在靠近于点这一支上， 故动圆圆心P的轨迹方程是，故选：A 课 后 作 业 1．已知分别是双曲线的左、右焦点，P是该双曲线上的点，且，则(    ) A．3 B．15 C．3或15 D．6或12 【答案】C 【解析】设双曲线的实半轴为，虚半轴为，半焦距为，则由题意知：，，所以，由双曲线的定义知，， 又∵，∴或，经检验，或都符合条件.故选：C. 2．已知双曲线上一点到左焦点的距离为10，则的中点到坐标原点的距离为(    ) A．3或7 B．6或14 C．3 D．7 【答案】A 【解析】设双曲线的右焦点为，连接，是的中位线，∴， ∵，，∴或，∴或，故选：A.   3．已知点，动点满足，则动点的轨迹方程为(    ) A． B． C． D． 【答案】A 【解析】，，又动点满足， 动点的轨迹是以为焦点的双曲线的右支，设双曲线方程为， 则有，动点的轨迹方程为．故选：A． 4．若方程表示双曲线，则实数k的取值范围是(　　) A． B． C． D． 答案：　C 解析： 方程表示双曲线， 解得或，故选：C 5．设双曲线的左焦点为，点为双曲线右支上的一点，且与圆相切于点，为线段的中点，为坐标原点，则(    ) A． B．-1 C． D．2 【答案】B 【解析】由题意可知：双曲线焦点在轴上，， 设双曲线的右焦点，左焦点，由为中位线，则， 由与圆相切于点，则为直角三角形， ∴，则，, ∵，∴=-1. 故选：B.    6．双曲线上的两个焦点分别为与，焦距为10；M是该曲线上一点，且，则(    ) A．3 B．15 C．3或15 D．15或18 【答案】C 【解析】因为双曲线的焦距为10，所以， 又因为，所以，因此双曲线的半实轴长为， 所以双曲线上的点到焦点的距离最小值为，由双曲线的定义可知： ，或，故选：C 7．设θ∈(，π)，则关于x、y的方程 所表示的曲线是(　　) A．焦点在y轴上的双曲线 B．焦点在x轴上的双曲线 C．焦点在y轴上的椭圆 D．焦点在x轴上的椭圆 答案：　C 解析：　方程即是，因θ∈(，π)， ∴sinθ>0，cosθ<0，且－cosθ>sinθ，故方程表示焦点在y轴上的椭圆，故答案为C. 8．设点为坐标原点，点在双曲线上运动，是双曲线的左、右焦点，则的最小值为(    ) A．2 B．4 C．6 D．以上都不对 【答案】A 【解析】根据双曲线对称性可知，化简， 因为双曲线上的点与焦点距离最小值为，所以故选：A 9．已知双曲线是其左右焦点.圆，点P为双曲线C右支上的动点，点Q为圆E上的动点，则的最小值是(    ) A． B． C．7 D．8 【答案】A 【解析】 由题设知，，，，圆的半径 由点为双曲线右支上的动点知，∴ ∴.故选：A 10．已知双曲线的左、右焦点分别为，，直线经过且与的右支相交于A，B两点，若，则的周长为(    ) A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】B 【解析】双曲线的实半轴长， 由双曲线的定义，可得所以， 则三角形的周长为.故选：B 11．设双曲线的左、右焦点分别为，，为双曲线右支上一点，，则的大小为(    ) A． B． C． D． 【答案】C 【解析】根据双曲线的定义得，又因为，所以，． 又因为，所以在中结合余弦定理的推论得：， 因为，得的大小为．故选：C 12．设，分别是双曲线的左右焦点，过作轴的垂线与交于，两点，若为正三角形，则的面积为(    ) A． B．4 C． D．3 【答案】A 【解析】∵为正三角形，设，则，，又双曲线， 则根据双曲线定义得，∴，即等边三角形的边长为4， 故的面积为.故选：A. 13．已知双曲线的左、右焦点分别为F1、F2，若双曲线的左支上有一点M到右焦点F2的距离为18，N是MF2的中点，O为坐标原点，则|NO|等于(　　) A.　　　B．1　　　C．2　　　D．4 答案：　D 解析：　NO为△MF1F2的中位线，所以|NO|＝|MF1|，又由双曲线定义知，|MF2|－|MF1|＝10，因为|MF2|＝18，所以|MF1|＝8，所以|NO|＝4，故选D. 14．已知F是双曲线C：的右焦点，P是C的左支上一点，，则的最小值为(    ) A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】B 【解析】由双曲线方程可知，，，故右焦点，左焦点， 当点在双曲线左支上运动时，由双曲线定义知，所以， 从而，又为定值， 所以，此时点在线段与双曲线的交点处(三点共线距离最短)，故选：B. 15．已知点，双曲线的左焦点为，点在双曲线的右支上运动.当的周长最小时，(    ) A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由双曲线得到,,，左焦点， 设右焦点.当的周长最小时，取到最小值，所以只需求出的最小值即可. ===.故选：C. 16．已知，双曲线C：的左焦点为F，P是双曲线C的右支上的动点，则的最大值是(    ) A． B． C． D． 【答案】D 【解析】若C为双曲线右焦点C(3,0)，则，|AC|=5, 而，仅当共线且在之间时等号成立， 所以，当共线且在之间时等号成立.故选：D 17．已知为双曲线的左焦点，为其右支上一点，点，则周长的最小值为(    ) A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设双曲线的右焦点为，由双曲线的方程可得：，则， 所以，且，所以， 的周长为， 当且仅当M，P，A三点共线时取等号，则周长的最小值为．故选：B． 18．已知，双曲线的左､右焦点分别为，点是双曲线右支上一点，则的最小值为(    ) A．5 B．7 C．9 D．11 【答案】C 【解析】由双曲线，则，即，且， 由题意，作图如下： ，当且仅当共线时，等号成立.故选：C. 19．若曲线表示双曲线，那么实数k的取值范围是(    ) A． B． C． D． 【答案】B 【解析】曲线表示双曲线，所以即可.解得或， 所以实数k的取值范围是：.故选：B. 20．已知，则“”是“方程表示双曲线”的(　　) A．充分不必要条件B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】若方程表示双曲线，则，即， 由能推出，必要性成立，由不能推出，充分性不成立， 故“”是“方程表示双曲线”的必要不充分条件.故选：B. 21．若是双曲线的左、右焦点，点在该双曲线上，且是等腰三角形，则的周长是 . 【答案】16 【解析】双曲线的标准方程为，所以， 因为是等腰三角形，不设在双曲线的右支上，则， 所，所以的周长为6+6+10=16故答案为：. 22．已知双曲线过点，且与椭圆有公共焦点，则双曲线的标准方程是(    ) A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由椭圆，可化为标准方程，可得， 因为双曲线与椭圆有公共的焦点，所以，又因为双曲线过点，可得，则， 所以双曲线的标准方程为.故选：B. 23．(多选)关于、的方程表示的轨迹可以是(    ) A．椭圆 B．双曲线 C．直线 D．抛物线 【答案】BC 【解析】当时，该方程表示的轨迹是直线；当时，该方程表示的轨迹是直线； 当且时，原方程可化为. 当或时，，该方程表示的轨迹是双曲线； 当，又，则，此时方程为，该方程表示圆； 综上所述，方程所表示的曲线不可能是椭圆或抛物线.故选：BC. 24．(多选)已知曲线的方程为，则(    ) A．曲线可以表示圆 B．曲线可以表示焦点在轴上的椭圆 C．曲线可以表示焦点在轴上的椭圆 D．曲线可以表示焦点在轴上的双曲线 【答案】CD 【解析】对A，若曲线表示圆，则有，无解，A错； 对BC，若曲线表示椭圆，则有，此时，则曲线表示焦点在轴上的椭圆，C对B错； 对D，若曲线表示双曲线，则有，此时，此时曲线表示焦点在轴上的双曲线，D对.故选：CD. 25．(多选)对于曲线C：，则下列说法正确的有(    ) A．曲线C可能为圆 B．曲线C不可能为焦点在y轴上的双曲线 C．若，则曲线C为椭圆 D．若，则曲线C为双曲线 【答案】BCD 【解析】当曲线C为圆时，则，无解，故错误； 当曲线C为焦点在y轴上的双曲线时，则，无解，故正确； 若，则，，此时曲线C是椭圆，故正确； 若曲线C为双曲线，则，解得，故正确．故选． 26．已知点分别是双曲线的下、上焦点，若点是双曲线下支上的点，且，则的面积为 . 【答案】16 【解析】因为是双曲线下支上的点，所以，两边平方得： |PF1|2+|PF2|2-2|PF1|·|PF2|=36，所以|PF1|2+|PF2|2=36+2|PF1|·|PF2|=36+2×32=100. 在△F1PF2中，由余弦定理，得cos ∠F1PF2==0， 所以∠F1PF2=90°，所以|PF1|·|PF2|=×32=16 27．设，分别是双曲线的左、右焦点．若点P在双曲线上，且，则 ， ； 【答案】 【解析】因为，所以，则为直角三角形， 所以(为原点)， 又，，所以，，所以. 不妨设点在双曲线的右支上，则，① 又，② 联立①②解得，，所以.故答案为：；. 28．已知，，动点满足，，则周长的最小值为 ，此时点的坐标为 . 【答案】 10 【解析】由题意得动点的轨迹是以为焦点，实轴长为2的双曲线的左支， 则，动点的轨迹方程为， ∵，∴的周长最小时，最小，， 又，当且仅当，，三点共线且在线段上时，等号成立， ∴的周长为， 直线的方程为，将其代入到，化简得：，， 则，的坐标为.故答案为：10，. 学科网（北京）股份有限公司 $$