2.1.2椭圆的简单几何性质讲义-2025-2026学年高二上学期数学北师大版（2019）选择性必修第一册

授课主题 2.1.2椭圆的简单几何性质 知 识 梳 理 一、椭圆的简单几何性质 标准方程 图形 性质 焦点 ， ， 焦距 范围 ， ， 对称性 关于x轴、y轴和原点对称 顶点 ， ， 轴 长轴长=，短轴长= 离心率 注意：（1）椭圆，（a＞b＞0）的相同点为形状、大小都相同，参数间的关系都有a＞b＞0和，a2=b2+c2；不同点为两种椭圆的位置不同，它们的焦点坐标也不相同； （2）椭圆的焦点总在长轴上，因此已知标准方程，判断焦点位置的方法是：看x2、y2的分母的大小，哪个分母大，焦点就在哪个坐标轴上。 （3）因为a＞c＞0，所以e的取值范围是0＜e＜1。e越接近1，则c就越接近a，从而越小，因此椭圆越扁；反之，e越接近于0，c就越接近0，从而b越接近于a，这时椭圆就越接近于圆。当且仅当a=b时，c=0，这时两个焦点重合，图形变为圆，方程为x2+y2=a2。 二、椭圆标准方程中的三个量a、b、c的几何意义 椭圆标准方程中，a、b、c三个量的大小与坐标系无关，是由椭圆本身的形状大小所确定的，分别表示椭圆的长半轴长、短半轴长和半焦距长，均为正数，且三个量的大小关系为：a＞b＞0，a＞c＞0，且a2=b2+c2。 可借助下图帮助记忆： a、b、c恰构成一个直角三角形的三条边，其中a是斜边，b、c为两条直角边。 和a、b、c有关的椭圆问题常与与焦点三角形有关，这样的问题考虑到用椭圆的定义及余弦定理（或勾股定理）、三角形面积公式相结合的方法进行计算与解题，将有关线段、、，有关角()结合起来，建立、之间的关系. 注意：椭圆的图象中线段的几何特征（如下图）： （1），，； （2），，； （3）,，； 三、直线与椭圆的位置关系 平面内点与椭圆的位置关系 平面上的点与椭圆的位置关系有三种，任给一点M（x,y）， 若点M（x,y）在椭圆上，则有； 若点M（x,y）在椭圆内，则有； 若点M（x,y）在椭圆外，则有. 直线与椭圆的位置关系 将直线的方程与椭圆的方程联立成方程组，消元转化为关于x或y的一元二次方程，其判别式为Δ. ①Δ＞0直线和椭圆相交直线和椭圆有两个交点(或两个公共点）； ②Δ＝0直线和椭圆相切直线和椭圆有一个切点(或一个公共点)； ③Δ＜0直线和椭圆相离直线和椭圆无公共点． 直线与椭圆的相交弦 设直线交椭圆于点两点，则 == 同理可得 这里的求法通常使用韦达定理，需作以下变形： ； 例题讲解 考点一 椭圆的简单几何性质 例1、求椭圆的长轴长、短轴长、离心率、焦点和顶点坐标，并用描点法画出这个椭圆. 例2.、 已知椭圆的对称轴为坐标轴，O为坐标原点，F是一个焦点，A是一个顶点，若椭圆的长轴长是6，且，求椭圆的方程。 例3、(多选)已知点(3,2)在椭圆上，则下列各点一定在该椭圆上的是(    ) A． B． C． D． 考点二 离心率 例1、方程表示的曲线是(    ) A．焦点为点与，离心率为的椭圆 B．焦点为点与，离心率为的椭圆 C．焦点为点与，离心率为的椭圆 D．焦点为点与，离心率为的椭圆 例2、已知椭圆，其上顶点为，左､右焦点分别为，且三角形为等边三角形，则椭圆的离心率为(    ) A． B． C． D． 例3、椭圆的焦点在轴上，则它的离心率的取值范围是(    ) A．(0，) B．(，] C． D． 例4、椭圆的两顶点为A（a,0），B(0,b),且左焦点为F，是以角B为直角的直角三角形，则椭圆的离心率e为（ ） A. B. C. D. 例5、已知椭圆，F1，F2是两个焦点，若椭圆上存在一点P，使，求其离心率的取值范围。 例6、（1）已知椭圆的一个焦点将长轴分成长为的两段，求其离心率； （2）已知椭圆的一个焦点到长轴两端点的距离分别为10和4，求其离心率。 例7、设M为椭圆上一点，F1、F2为椭圆的焦点，若∠MF1F2=75°，∠MF2F1=15°，求椭圆的离心率。 例8、椭圆C：的左右焦点分别为F1、F2，若椭圆C上恰好有6个不同的点P，使得为等腰三角形，则椭圆C的离心率的取值范围是（ ） A. B. C. D. 考点三 直线与椭圆的位置关系 例1、直线与椭圆只有一个交点，则的值为(    ) A． B． C． D． 例2、若直线与焦点在x轴上的椭圆总有公共点，则n的取值范围是(    ) A． B． C． D． 例3、对不同实数m，讨论直线与椭圆的公共点的个数. 例4、 已知椭圆，求过点且被平分的弦所在的直线方程． 考点四 弦长及其应用 例1、过椭圆的左焦点且斜率为的弦的长是 ． 例2、已知椭圆与直线交于A，B两点，且，则实数m的值为(    ) A．±1 B．± C． D．± 例3、已知椭圆C的焦点分别为F1，F2，长轴长为6，设直线交椭圆C于A，B两点. (1)求线段 AB的中点坐标； (2)求△OAB的面积. 考点五 中点弦及其应用 例1、椭圆内有一点，则以为中点的弦所在直线的斜率为(    ) A． B． C． D． 例2、椭圆内有一点，设某条弦过点P且以P为中点，那么这条弦所在直线的方程为(    ) A． B． C． D． 例3、已知椭圆()的一条弦所在的直线方程是，弦的中点坐标是，则椭圆的离心率是( ) A． B． C． D． 考点六 椭圆的实际应用 例1、如图是一个椭圆形拱桥，当水面在处时，在如图所示的截面里，桥洞与其倒影恰好构成一个椭圆.此时拱顶离水面，水面宽，那么当水位上升时，水面宽度为(    ) A． B． C． D． 例2、韶州大桥是一座独塔双索面钢砼混合梁斜拉桥，具有桩深，塔高、梁重、跨大的特点，它打通了曲江区、浈江区、武江区交通道路的瓶颈，成为连接曲江区与芙蓉新城的重要交通桥梁，大桥承担着实现韶关“三区融合”的重要使命，韶州大桥的桥塔外形近似椭圆，若桥塔所在平面截桥面为线段，且过椭圆的下焦点，米，桥塔最高点距桥面米，则此椭圆的离心率为(    ) A． B． C． D． 举一反三 1.椭圆上一点P到椭圆一个焦点的距离为3，则P到另一个焦点的距离=____. 2.求椭圆16x2+25y2=400的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点的坐标. 3．若点在椭圆上，则下列说法正确的是(    ) A．点不在椭圆上 B．点不在椭圆上 C．点在椭圆上 D．无法判断上述点与椭圆的关系 4．(多选)点在椭圆的内部，则的值可以是(    ) A． B． C．1 D． 5．点在椭圆的外部，则a的取值范围是(    ) A． B． C． D． 6.在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的中心为原点，焦点在x轴上，离心率为．过点的直线l交C于A，B两点，且的周长为16，那么C的方程为______ 7.长轴长等于20，离心率等于，求椭圆的标准方程。 8．已知、是椭圆的两个焦点，以线段为边作正三角形，若边的中点在椭圆上，则椭圆的离心率是(    ) A． B． C． D． 9．已知椭圆分别是的左，右焦点，为上一点，若线段的中点在轴上，，则的离心率为(    ) A． B． C． D． 10．已知直线y=kx-1与焦点在x轴上的椭圆C:总有公共点，则椭圆C的离心率取值范围是(　　) A． B． C． D． 11.椭圆的一个顶点与两焦点构成等边三角形，则此椭圆的离心率是（ 　） 12.椭圆上一点到两焦点的距离分别为，焦距为，若成等差数列，则椭圆的离心率为＿＿＿＿＿ 13.以椭圆两焦点为直径的圆交椭圆于四个不同点，顺次连结这四个点和两个焦点，恰好围成一个正六边形，则这个椭圆的离心率等于＿＿＿＿。 14.已知椭圆C：的左焦点为F，C与过原点的直线相交于A,B两点，连接AF,BF，若|AB|=10，|BF|=8，则C的离心率为（ ） A. B. C. D. 15.斜率为的直线l与椭圆交于不同的两点，且这两个交点在x轴上的射影恰好是椭圆的两个焦点，则该椭圆的离心率为（ ） A． B． C． D． 16.已知椭圆的右焦点为F．短轴的一个端点为M，直线交椭圆E于A，B两点．若|AF|+|BF|＝4，点M到直线l的距离不小于，则椭圆E的离心率的取值范围是（ ） A． B． C． D． 17.已知椭圆，以，，为系数的关于的方程无实根，求其离心率的取值范围。 18.已知点F1、F2分别是椭圆的左、右焦点，过F1且垂直于x轴的直线与椭圆交于A、B两点，若△ABF2是锐角三角形，则该椭圆的离心率e的取值范围是（ ） A． B． C． D． 19．若直线与椭圆相切，则实数m的值等于(    ) A． B． C． D． 20．直线：与椭圆的位置关系是(    ) A．相交 B．相切 C．相离 D．相切或相交 21．直线与曲线的公共点的个数是(    )． A．1 B．2 C．3 D．4 22.若直线与椭圆恒有公共点，求实数的取值范围。 23.已知点P（4，2）是直线被椭圆所截得线段的中点，求直线的方程. 24.若直线与椭圆恒有公共点，求实数的取值范围。 25.已知椭圆中，，离心率. (1)求椭圆的方程； (2)设直线与椭圆交于、两点，求. 26．已知椭圆C：的离心率，上顶点为A，右顶点为B，△AOB(O为坐标原点)的面积为． (1)求C的方程； (2)过C的右焦点的直线l与C交于P，Q两点，若．求l的方程． 27．已知椭圆的离心率为，且椭圆上任意一点到椭圆两个焦点的距离之和为.直线交椭圆于不同的两点， (1)求椭圆的方程； (2)椭圆左焦点为，求的面积. 28．已知椭圆的短轴长为，右顶点为. (1)求椭圆的标准方程； (2)设，直线过交椭圆于，两点，问：面积是否有最大值，若没有，说明理由；若有，求出最大值. 30.若椭圆的弦AB被点平分.则直线AB的方程为(    ) A． B． C． D． 31．已知直线与椭圆交于两点，若点恰为弦的中点，则椭圆的离心率是(    ) A． B． C． D． 32．已知椭圆的右焦点为，过点且斜率为1的直线交椭圆于两点.若的中点坐标为，则的方程为(    ) A． B． C． D． 33．椭圆具有这样的光学性质：从椭圆的一个焦点发出的光线，经过椭圆反射后，反射光线都经过椭圆的另一焦点．电影放映机聚光灯泡的反射镜轴截面是椭圆的一部分，灯丝(看成一个点)在椭圆的右焦点处，灯丝与反射镜的顶点的距离，过焦点且垂直于轴的弦，在轴上移动电影机片门，将其放在光线最强处，则片门应离灯丝(    ) A． B． C． D． 34．如图，一种电影放映灯的反射镜面是旋转椭圆面(椭圆绕其对称轴旋转一周形成的曲面)的一部分．灯丝位于椭圆的一个焦点上，卡门位于另一个焦点上．由椭圆一个焦点发出的光线，经过旋转椭圆面反射后集中到另一个焦点．已知此椭圆的离心率为，且，则灯丝发出的光线经反射镜面反射后到达卡门时所经过的路程为(    ) A．9cm B．10cm C．14cm D．18cm 35．光线从椭圆的一个焦点发出,被椭圆反射后会经过椭圆的另一个焦点;光线从双曲线的一个焦点发出,被双曲线反射后的反射光线等效于从另一个焦点射出.如图,一个光学装置由有公共焦点,的椭圆与双曲线构成,现一光线从左焦点发出,依次经与反射,又回到了点,历时秒;若将装置中的去掉,此光线从点发出,经两次反射后又回到了点,历时秒;若,则与的离心率之比为 A． B． C． D． 课 后 作 业 1．已知椭圆，则下列各点不在椭圆内部的是(    ) A． B． C． D． 2．已知椭圆，直线，则直线l与椭圆C的位置关系为(    ) A．相交 B．相切 C．相离 D．不确定 3．若直线与：没有交点，则过点的直线与椭圆的交点个数是(    ) A．至多为 B． C． D． 4．(多选)若椭圆的离心率为，则实数的值可能为(    ) A． B． C． D．4 5．已知椭圆的离心率，则的值为(    ) A．3 B．或 C． D．3或 6．开普勒第一定律也称椭圆定律､轨道定律，其内容如下：每一行星沿各自的椭圆轨道环绕太阳，而太阳则处在椭圆的一个焦点上.将某行星看作一个质点，绕太阳的运动轨迹近似成曲线，行星在运动过程中距离太阳最近的距离称为近日点距离，距离太阳最远的距离称为远日点距离.若行星的近日点距离和远日点距离之和是18(距离单位：亿千米)，近日点距离和远日点距离之积是16，则(    ) A．39 B．52 C．86 D．97 7．若直线y=kx+1与焦点在x轴上的椭圆总有公共点，那么m的取值范围是（ ） A．（0，5） B．（0，1） C．[1，5] D．[1，5） 8．嫦娥五号完成了人类航天史上的壮举，在我国航天事业发展史上具有里程碑意义.嫦娥五号返回时要经过多次变轨，根据开普勒第一定律，嫦娥五号以椭圆轨道环绕地球运动，地球处于其中一个焦点上，嫦娥五号在近地点处加速即可保持近地距离而增大远地距离，由月地转移轨道Ⅰ进入月地转移轨道Ⅱ.若某探测器的月地转移轨道Ⅱ的远地距离是轨道Ⅰ的3倍，月地转移轨道Ⅰ的离心率是轨道Ⅱ的.则月地转移轨道Ⅰ的离心率为(    ) A． B． C． D． 9．已知椭圆E，直线与椭圆E相切，则椭圆E的离心率为(    ) A． B． C． D． 10．直线与椭圆的位置关系是(     ) A．相离 B．相切 C．相交 D．无法确定 11．已知直线与椭圆相交于、两点，若线段的中点纵坐标为，则(    ) A． B． C． D． 12．若椭圆的弦的中点为，则弦的长为(　　) A． B． C． D． 13．直线被椭圆所截得的弦的中点坐标是(　　) A． B． C． D． 14.过点作斜率为的直线与椭圆相交于A，B两点，若M是线段AB的中点，则的值为(    ) A． B． C． D． 15．已知椭圆四个顶点构成的四边形的面积为，直线与椭圆C交于A，B两点，且线段的中点为，则椭圆C的方程是(    ) A． B． C． D． 16．已知直线过椭圆C；的一个焦点，与C交于A，B两点，与平行的直线与C交于M，N两点，若AB的中点为P，MN的中点为Q，且PQ的斜率为，则C的方程为(　　) A． B． C． D． 17．(多选)已知椭圆的右焦点为，过点的直线交椭圆于两点．若的中点坐标为，则(    ) A．直线的方程为 B． C．椭圆的标准方程为 D．椭圆的离心率为 18．(多选)已知椭圆的右焦点为，直线与椭圆交于、两点，则(    ) A．的周长为20 B．的面积为 C．线段中点的横坐标为 D．线段的长度为 19．已知椭圆的右顶点为A，P、Q为C上关于坐标原点对称的两点，若直线AP，AQ的斜率之积为，则C的离心率为(    ) A． B． C． D． 20．已知直线与椭圆恒有公共点，则实数的取值范围为 . 21．过椭圆内一点引一条恰好被点平分的弦，则这条弦所在直线的方程是 22．直线截椭圆所得弦的中点M与椭圆中心连线的斜率为 ． 23．在椭圆上有两个动点M、N，K（2，0）为定点，若，则的最小值为________． 24．已知椭圆的离心率为，点在椭圆上. (1)求椭圆的标准方程； (2)过点的直线交椭圆于两点，求的取值范围.    25．已知椭圆：的离心率为，且其中一个焦点与抛物线的焦点重合． (1)求椭圆的方程； (2)若直线：与椭圆交于不同的A，B两点，且满足(为坐标原点)，求弦长的值． 26．已知圆经过椭圆的左焦点和上顶点． (1)求椭圆的方程； (2)直线与椭圆交于两点，若，求的值． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 授课主题 2.1.2椭圆的简单几何性质 知 识 梳 理 一、椭圆的简单几何性质 标准方程 图形 性质 焦点 ， ， 焦距 范围 ， ， 对称性 关于x轴、y轴和原点对称 顶点 ， ， 轴 长轴长=，短轴长= 离心率 注意：（1）椭圆，（a＞b＞0）的相同点为形状、大小都相同，参数间的关系都有a＞b＞0和，a2=b2+c2；不同点为两种椭圆的位置不同，它们的焦点坐标也不相同； （2）椭圆的焦点总在长轴上，因此已知标准方程，判断焦点位置的方法是：看x2、y2的分母的大小，哪个分母大，焦点就在哪个坐标轴上。 （3）因为a＞c＞0，所以e的取值范围是0＜e＜1。e越接近1，则c就越接近a，从而越小，因此椭圆越扁；反之，e越接近于0，c就越接近0，从而b越接近于a，这时椭圆就越接近于圆。当且仅当a=b时，c=0，这时两个焦点重合，图形变为圆，方程为x2+y2=a2。 二、椭圆标准方程中的三个量a、b、c的几何意义 椭圆标准方程中，a、b、c三个量的大小与坐标系无关，是由椭圆本身的形状大小所确定的，分别表示椭圆的长半轴长、短半轴长和半焦距长，均为正数，且三个量的大小关系为：a＞b＞0，a＞c＞0，且a2=b2+c2。 可借助下图帮助记忆： a、b、c恰构成一个直角三角形的三条边，其中a是斜边，b、c为两条直角边。 和a、b、c有关的椭圆问题常与与焦点三角形有关，这样的问题考虑到用椭圆的定义及余弦定理（或勾股定理）、三角形面积公式相结合的方法进行计算与解题，将有关线段、、，有关角()结合起来，建立、之间的关系. 注意：椭圆的图象中线段的几何特征（如下图）： （1），，； （2），，； （3）,，； 三、直线与椭圆的位置关系 平面内点与椭圆的位置关系 平面上的点与椭圆的位置关系有三种，任给一点M（x,y）， 若点M（x,y）在椭圆上，则有； 若点M（x,y）在椭圆内，则有； 若点M（x,y）在椭圆外，则有. 直线与椭圆的位置关系 将直线的方程与椭圆的方程联立成方程组，消元转化为关于x或y的一元二次方程，其判别式为Δ. ①Δ＞0直线和椭圆相交直线和椭圆有两个交点(或两个公共点）； ②Δ＝0直线和椭圆相切直线和椭圆有一个切点(或一个公共点)； ③Δ＜0直线和椭圆相离直线和椭圆无公共点． 直线与椭圆的相交弦 设直线交椭圆于点两点，则 == 同理可得 这里的求法通常使用韦达定理，需作以下变形： ； 例题讲解 考点一 椭圆的简单几何性质 例1、求椭圆的长轴长、短轴长、离心率、焦点和顶点坐标，并用描点法画出这个椭圆. 【解析】根据椭圆的标准方程，得 因此，长轴长，短轴长∴离心率， 焦点为F1（―4，0）和F2（4，0），顶点为A1（―5，0），A2（5，0），B1（0，―3），B2（0，3）。 将方程变形为（―5≤x≤5），根据（－5≤x≤5）可求出椭圆的两个顶点及其在第一象限内一些点的坐标（x，y），列表如下： x 0 1 2 3 4 5 y 3 2.94 2.75 2.4 1.8 0 先描点画出第一象限的图形，再利用椭圆的对称性画出整个椭圆（如图2-2-9）。 例2.、 已知椭圆的对称轴为坐标轴，O为坐标原点，F是一个焦点，A是一个顶点，若椭圆的长轴长是6，且，求椭圆的方程。 【解析】 椭圆的长轴长为6，，所以点A不是长轴的顶点，是短轴的顶点，所以|OF|=c，，， 所以c=2，b2=32－22=5， 故椭圆的方程为或。 例3、(多选)已知点(3,2)在椭圆上，则下列各点一定在该椭圆上的是(    ) A． B． C． D． 【答案】ABC 【解析】由椭圆关于轴，轴，原点对称可知，只有点(2，3)不在椭圆上．故选：ABC. 考点二 离心率 例1、方程表示的曲线是(    ) A．焦点为点与，离心率为的椭圆 B．焦点为点与，离心率为的椭圆 C．焦点为点与，离心率为的椭圆 D．焦点为点与，离心率为的椭圆 【答案】A 【解析】方程表示的曲线为焦点在轴上，中心为原点的椭圆， 设椭圆的长半轴为，短半轴为，半焦距为， 则，所以其焦点坐标为与，离心率为故选：A. 例2、已知椭圆，其上顶点为，左､右焦点分别为，且三角形为等边三角形，则椭圆的离心率为(    ) A． B． C． D． 【答案】A 【解析】如图所示，椭圆，其上顶点为，左､右焦点分别为， 为等边三角形， 则椭圆的离心率为. 故选：A.    例3、椭圆的焦点在轴上，则它的离心率的取值范围是(    ) A．(0，) B．(，] C． D． 【答案】C 【解析】因为椭圆的焦点在轴上，∴，解得：， 又， ∴它的离心率的取值范围为，故选：C. 例4、椭圆的两顶点为A（a,0），B(0,b),且左焦点为F，是以角B为直角的直角三角形，则椭圆的离心率e为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】依题意可知点F（-c,0）,直线AB斜率为，直线BF的斜率为 ， 整理得即即，解得或 ，故选C 例5、已知椭圆，F1，F2是两个焦点，若椭圆上存在一点P，使，求其离心率的取值范围。 【解析】△F1PF2中，已知，|F1F2|=2c，|PF1|+|PF2|=2a， 由余弦定理：4c2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1||PF2|cos120°① 又|PF1|+|PF2|=2a ② 联立① ②得4c2=4a2-|PF1||PF2|，∴ 例6、（1）已知椭圆的一个焦点将长轴分成长为的两段，求其离心率； （2）已知椭圆的一个焦点到长轴两端点的距离分别为10和4，求其离心率。 【解析】（1）由题意得，即，解得。 （2）由题意得，解得，故离心率。 例7、设M为椭圆上一点，F1、F2为椭圆的焦点，若∠MF1F2=75°，∠MF2F1=15°，求椭圆的离心率。 【解析】 在△MF1F2中，由正弦定理得， 即∴， ∴。 例8、椭圆C：的左右焦点分别为F1、F2，若椭圆C上恰好有6个不同的点P，使得为等腰三角形，则椭圆C的离心率的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【解析】（1）当点P与短轴的顶点重合时，ΔF1F2P构成以F1F2为底边的等腰三角形，此种情况有2个满足条件的等腰三角形ΔF1F2P； （2）当ΔF1F2P构成以F1F2为一腰的等腰三角形时，以F2P作为等腰三角形的底边为例， 因为F1F2= F1P，所以点P在以F1为圆心，半径为焦距2c的圆上， 因此，当以F1为圆心，半径为2c的圆与椭圆C有2个交点时，存在2个满足条件的等腰ΔF1F2P， 在ΔF1F2P1中，F1F2+ P F1> P F2,圆2c+2c>2a-2c, 由此得知3c>a,所以离心率. 当时，ΔF1F2P是等边三角形，与（1）中的三角形重复，故。 同理，当F1P为等腰三角形的底边时，在且时也存在2个满足条件的等腰ΔF1F2P， 这样，总共有6个不同的点P使得ΔF1F2P为等腰三角形 综上所述，离心率的取值范围是：。 考点三 直线与椭圆的位置关系 例1、直线与椭圆只有一个交点，则的值为(    ) A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由，消去并整理得， 因为直线与椭圆只有一个交点， 所以，得．故选:C. 例2、若直线与焦点在x轴上的椭圆总有公共点，则n的取值范围是(    ) A． B． C． D． 【答案】C 【解析】直线恒过定点，若直线与椭圆总有公共点， 则定点在椭圆上或椭圆内，，解得或， 又表示焦点在轴上的椭圆，故，，故选：C. 例3、对不同实数m，讨论直线与椭圆的公共点的个数. 【解析】由题意得，将(1)代入（2）得 整理得，（3） 由 当时，，方程（3）有两个不同的实数根，此时直线与椭圆有两个公共点； 当时，，方程（3）有两个相等的实数根，此时直线与椭圆有一个公共点； 当时，，方程（3）没有实数根，此时直线与椭圆没有公共点. 例4、 已知椭圆，求过点且被平分的弦所在的直线方程． 【解析】解法一：设所求直线的斜率为，则直线方程为．代入椭圆方程，并整理得 ．由韦达定理得． ∵是弦中点，∴．故得．所以所求直线方程为． 解法二：设过的直线与椭圆交于、，则由题意得 ①－②得． ⑤ 将③、④代入⑤得，即直线的斜率为． 所求直线方程为． 考点四 弦长及其应用 例1、过椭圆的左焦点且斜率为的弦的长是 ． 【答案】 【解析】设点、，在椭圆中，，，， 所以，椭圆的左焦点坐标为，则直线的方程为， 联立，可得，， 由韦达定理可得，， 所以，. 例2、已知椭圆与直线交于A，B两点，且，则实数m的值为(    ) A．±1 B．± C． D．± 【答案】A 【解析】由，消去y并整理，得3x2＋4mx＋2m2－2＝0． 设，则，． 由题意，得，解得．故选:A 例3、已知椭圆C的焦点分别为F1，F2，长轴长为6，设直线交椭圆C于A，B两点. (1)求线段 AB的中点坐标； (2)求△OAB的面积. 【答案】(1)(2) 【解析】(1)由已知条件得椭圆的焦点在轴上，其中，，从而， ∴椭圆的标准方程是：， 设，，线段的中点为， 联立方程组，消去得，. ，由韦达定理可得，， ，，即线段中点坐标为. (2)点O到直线的距离， 由韦达定理知， 所以. 考点五 中点弦及其应用 例1、椭圆内有一点，则以为中点的弦所在直线的斜率为(    ) A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设以点为中点的弦所在直线与椭圆相交于点，，，，斜率为． 则，，两式相减得， 又，，，代入解得．故选：D． 例2、椭圆内有一点，设某条弦过点P且以P为中点，那么这条弦所在直线的方程为(    ) A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设满足题意的直线与椭圆交于两点，则，， 两式相减得，即. 又直线过，由此可得所求的直线方程为， 所以弦所在直线的方程为，故选：B. 例3、已知椭圆()的一条弦所在的直线方程是，弦的中点坐标是，则椭圆的离心率是( ) A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设直线与椭圆相交于，两点，弦的中点坐标是， 则，，直线的斜率. 由，得，，， 故椭圆的离心率.故选：B. 考点六 椭圆的实际应用 例1、如图是一个椭圆形拱桥，当水面在处时，在如图所示的截面里，桥洞与其倒影恰好构成一个椭圆.此时拱顶离水面，水面宽，那么当水位上升时，水面宽度为(    ) A． B． C． D． 【答案】A 【解析】以图中水面所在的直线为轴，水面的垂直平分线所在直线为轴，建立平面直角坐标系，根据已知条件可知：桥洞与其倒影恰好构成的椭圆方程为：， 当水位上升时，水面的宽度也即当时，直线被椭圆所截的弦长. 把代入椭圆方程可得：， 所以当水位上升时，水面的宽度为，故选：. 例2、韶州大桥是一座独塔双索面钢砼混合梁斜拉桥，具有桩深，塔高、梁重、跨大的特点，它打通了曲江区、浈江区、武江区交通道路的瓶颈，成为连接曲江区与芙蓉新城的重要交通桥梁，大桥承担着实现韶关“三区融合”的重要使命，韶州大桥的桥塔外形近似椭圆，若桥塔所在平面截桥面为线段，且过椭圆的下焦点，米，桥塔最高点距桥面米，则此椭圆的离心率为(    ) A． B． C． D． 【答案】D 【解析】如图按椭圆对称轴所在直线建立直角坐标系， 设椭圆方程为， 令，即，解得，依题意可得， 所以，所以，所以． 故选：D． 举一反三 1.椭圆上一点P到椭圆一个焦点的距离为3，则P到另一个焦点的距离=____. 【答案】7 2.求椭圆16x2+25y2=400的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点的坐标. 【答案】椭圆的长轴和短轴长分别是，离心率，焦点，椭圆的四个顶点是 3．若点在椭圆上，则下列说法正确的是(    ) A．点不在椭圆上 B．点不在椭圆上 C．点在椭圆上 D．无法判断上述点与椭圆的关系 【答案】C 【解析】点与点关于原点对称，点与关于轴对称，点与关于轴对称， 若点在椭圆上，根据椭圆的对称性，，，三点都在椭圆上，故选：C 4．(多选)点在椭圆的内部，则的值可以是(    ) A． B． C．1 D． 【答案】BC 【解析】由题意知，解得．故选：BC 5．点在椭圆的外部，则a的取值范围是(    ) A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为点在椭圆的外部，所以,解得,故选：B 6.在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的中心为原点，焦点在x轴上，离心率为．过点的直线l交C于A，B两点，且的周长为16，那么C的方程为______ 【答案】。 7.长轴长等于20，离心率等于，求椭圆的标准方程。 【答案】或 8．已知、是椭圆的两个焦点，以线段为边作正三角形，若边的中点在椭圆上，则椭圆的离心率是(    ) A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设的中点为，由题意得：，， 由椭圆定义得：，所以，故选：B． 9．已知椭圆分别是的左，右焦点，为上一点，若线段的中点在轴上，，则的离心率为(    ) A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由于线段的中点在轴上,是的中点，所以轴， ，，所以， 由椭圆定义可得，故选：A    10．已知直线y=kx-1与焦点在x轴上的椭圆C:总有公共点，则椭圆C的离心率取值范围是(　　) A． B． C． D． 【答案】D 【解析】   因为椭圆焦点在x轴上，所以b2<4，又因为b>0，所以0<b<2； 易知直线y=kx-1过定点且与椭圆总有公共点，所以该定点位于椭圆内或椭圆上， 即，解之得，所以b≥1，综上1≤b<2，故故选：D. 11.椭圆的一个顶点与两焦点构成等边三角形，则此椭圆的离心率是（ 　） 【答案】D 12.椭圆上一点到两焦点的距离分别为，焦距为，若成等差数列，则椭圆的离心率为＿＿＿＿＿ 【答案】 13.以椭圆两焦点为直径的圆交椭圆于四个不同点，顺次连结这四个点和两个焦点，恰好围成一个正六边形，则这个椭圆的离心率等于＿＿＿＿。 【答案】 14.已知椭圆C：的左焦点为F，C与过原点的直线相交于A,B两点，连接AF,BF，若|AB|=10，|BF|=8，则C的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】 B 【解析】如图所示，在ΔAFB中，|AB|=10，|BF|=8， 由余弦定理得 ， 设为椭圆的右焦点，连接根据对称性可得四边形是矩形。，，解得a=7,c=5.故选B。 15.斜率为的直线l与椭圆交于不同的两点，且这两个交点在x轴上的射影恰好是椭圆的两个焦点，则该椭圆的离心率为（ ） A． B． C． D． 【答案】两个交点横坐标是－c，c所以两个交点分别为代入椭圆 两边乘2a2b2，则c2(2b2+a2)=2a2b2 ∵b2=a2―c2 c2(3a2―2c2)=2a4―2a2c2 2a4―5a2c2+2c4―2a2c2 2a4―5a2c2+2c4=0 (2a2―c2)(a2―2c2)=0 ，或 ∵0＜e＜1所以故选A。 16.已知椭圆的右焦点为F．短轴的一个端点为M，直线交椭圆E于A，B两点．若|AF|+|BF|＝4，点M到直线l的距离不小于，则椭圆E的离心率的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设左焦点F，连接AF1，BF1．则四边形BF1AF是平行四边形，故|AF1|＝|BF|，所以|AF|+|AF1|＝4＝2a，所以a=2，设M(0，b)，则，故b≥1，从而a2-c2≥1，0＜c2≤3，0＜c≤，所以椭圆E的离心率的取值范围是，故选A． 17.已知椭圆，以，，为系数的关于的方程无实根，求其离心率的取值范围。 【答案】由已知，，所以，即， 不等式两边同除可得，解不等式得或. 由椭圆的离心率，所以所求椭圆离心率. 18.已知点F1、F2分别是椭圆的左、右焦点，过F1且垂直于x轴的直线与椭圆交于A、B两点，若△ABF2是锐角三角形，则该椭圆的离心率e的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】∵点F1、F2分别是椭圆的左、右焦点， 过F1且垂直于x轴的直线与椭圆交于A、B两点，∴F1（－c，0），F2（c，0），，， ∵△ABF2是锐角三角形，∴∠AF2F1＜45°，∴tan∠AF2F1＜1，∴，整理，得b2＜2ac， ∴a2－c2＜2ac，两边同时除以a2，并整理，得e2+2e－1＞0，解得，或，（舍）， ∴0＜e＜1，∴椭圆的离心率e的取值范围是。故选B。 19．若直线与椭圆相切，则实数m的值等于(    ) A． B． C． D． 【答案】B 【解析】将直线与椭圆联立，得，由题意可知.故选：B 20．直线：与椭圆的位置关系是(    ) A．相交 B．相切 C．相离 D．相切或相交 【答案】A 【解析】方法1： ∵，即：，∴直线l恒过定点， 又∵椭圆∴，∴定点M在椭圆内，∴直线l与椭圆相交. 方法2： ∴恒成立， ∴直线l与椭圆相交.故选：A. 21．直线与曲线的公共点的个数是(    )． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【解析】当时，曲线，即，双曲线右半部分；一条渐近线方程为：，直线与渐近线平行；当时，曲线，即，椭圆的左半部分； 画出曲线和直线的图像，如图所示：    根据图像知有个公共点.故选：B 22.若直线与椭圆恒有公共点，求实数的取值范围。 【答案】时，直线与椭圆恒有公共点 23.已知点P（4，2）是直线被椭圆所截得线段的中点，求直线的方程. 【答案】直线的方程为x+2y－8=0 24.若直线与椭圆恒有公共点，求实数的取值范围。 【答案】时，直线与椭圆恒有公共点 25.已知椭圆中，，离心率. (1)求椭圆的方程； (2)设直线与椭圆交于、两点，求. 【答案】(1)(2) 【解析】(1)由题知，，即，又，解得，所以椭圆方程为. (2)设，，联立直线与椭圆方程得， 整理得，则，，. 所民认. 26．已知椭圆C：的离心率，上顶点为A，右顶点为B，△AOB(O为坐标原点)的面积为． (1)求C的方程； (2)过C的右焦点的直线l与C交于P，Q两点，若．求l的方程． 【答案】(1)(2) 【解析】(1)依题意，解得，所以椭圆的方程为. (2)右焦点为，当直线的斜率不存在时，由，得，不符合题意. 所以直线的斜率存在，设直线的方程为， 由消去并化简得：， 由于直线过焦点，所以直线与椭圆有两个交点，设， 则， 所以 ，， 所以直线的方程为. 27．已知椭圆的离心率为，且椭圆上任意一点到椭圆两个焦点的距离之和为.直线交椭圆于不同的两点， (1)求椭圆的方程； (2)椭圆左焦点为，求的面积. 【答案】(1)(2) 【解析】(1)由已知有，解得，则椭圆的方程为. (2) 消去，整理得，解得，， 如图    则，，则， 直线的方程为，到直线的距离. 所以的面积为. 28．已知椭圆的短轴长为，右顶点为. (1)求椭圆的标准方程； (2)设，直线过交椭圆于，两点，问：面积是否有最大值，若没有，说明理由；若有，求出最大值. 【答案】(1)(2)有， 【解析】(1)由题意可知，得；又因为右顶点为，所以； 故椭圆的标准方程为. (2)由题意可知，直线的斜率不为0，故设直线的方程为， 因为点在椭圆内，所以直线与椭圆必定有两个交点， 设点，，联立得， 由韦达定理可得，， 如图所示，    ，令，则()， 设，则，当时，恒成立， 即在上单调递减，故，所以的面积的最大值为. 30.若椭圆的弦AB被点平分.则直线AB的方程为(    ) A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设，则满足， 两式作差得，即， 又被点平分，故，且直线的斜率存在，所以，整理得，即， 则所在直线方程为，化简得.故选：A. 31．已知直线与椭圆交于两点，若点恰为弦的中点，则椭圆的离心率是(    ) A． B． C． D． 【答案】A 【解析】依题意，直线的斜率为，设，则，且， 由两式相减得：，于是， 解得，此时椭圆，显然点在椭圆内，符合要求， 所以椭圆的离心率.故选：A 32．已知椭圆的右焦点为，过点且斜率为1的直线交椭圆于两点.若的中点坐标为，则的方程为(    ) A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设，则，由已知有，， 作差得，则， 所以，解得，则的方程为.故选：D． 33．椭圆具有这样的光学性质：从椭圆的一个焦点发出的光线，经过椭圆反射后，反射光线都经过椭圆的另一焦点．电影放映机聚光灯泡的反射镜轴截面是椭圆的一部分，灯丝(看成一个点)在椭圆的右焦点处，灯丝与反射镜的顶点的距离，过焦点且垂直于轴的弦，在轴上移动电影机片门，将其放在光线最强处，则片门应离灯丝(    ) A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题设知，解得所以片门放在光线最强处，片门应离灯丝为．故选：C. 34．如图，一种电影放映灯的反射镜面是旋转椭圆面(椭圆绕其对称轴旋转一周形成的曲面)的一部分．灯丝位于椭圆的一个焦点上，卡门位于另一个焦点上．由椭圆一个焦点发出的光线，经过旋转椭圆面反射后集中到另一个焦点．已知此椭圆的离心率为，且，则灯丝发出的光线经反射镜面反射后到达卡门时所经过的路程为(    ) A．9cm B．10cm C．14cm D．18cm 【答案】A 【解析】设椭圆的方程为，因为此椭圆的离心率为，且， 所以，所以，所以根据题意，结合椭圆的定义得灯丝发出的光线经反射镜面反射后到达卡门时所经过的路程为cm.故选：A 35．光线从椭圆的一个焦点发出,被椭圆反射后会经过椭圆的另一个焦点;光线从双曲线的一个焦点发出,被双曲线反射后的反射光线等效于从另一个焦点射出.如图,一个光学装置由有公共焦点,的椭圆与双曲线构成,现一光线从左焦点发出,依次经与反射,又回到了点,历时秒;若将装置中的去掉,此光线从点发出,经两次反射后又回到了点,历时秒;若,则与的离心率之比为 A． B． C． D． 【答案】B 【解析】如图,由双曲线定义得:①, 由椭圆定义得: ②, ②①得:; 椭圆双曲线“复合”光学装置中,光线从出发到回到左焦点走过的路程为: 对于单椭圆光学装置,光线经过次反射后回到左焦点, 路程为; 由于两次光速相同,路程比等于时间比,,..故选:B. 课 后 作 业 1．已知椭圆，则下列各点不在椭圆内部的是(    ) A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由椭圆方程为，因为，所以点在椭圆内部，A错误； 因为，所以点在椭圆内部，B错误；因为，所以点在椭圆外部，C正确；因为，所以点在椭圆内部，D错误.故选：C. 2．已知椭圆，直线，则直线l与椭圆C的位置关系为(    ) A．相交 B．相切 C．相离 D．不确定 【答案】A 【解析】对于直线，整理得， 令，解得，故直线过定点. ∵，则点在椭圆C的内部，所以直线l与椭圆C相交.故选：A. 3．若直线与：没有交点，则过点的直线与椭圆的交点个数是(    ) A．至多为 B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意得，圆心到直线的距离，即， 则点在圆内，由椭圆几何性质知点也在椭圆内， ∴与椭圆的交点个数为.故选：B 4．(多选)若椭圆的离心率为，则实数的值可能为(    ) A． B． C． D．4 【答案】AD 【解析】因为椭圆的离心率为，当焦点在轴上时，即，得到，由，解得；当焦点在轴上时，即，得到，由，解得.故选：AD. 5．已知椭圆的离心率，则的值为(    ) A．3 B．或 C． D．3或 【答案】D 【解析】当焦点在轴上，即时，则，可得，解得； 同理当焦点在轴，即时，则，可得，解得；故选：D. 6．开普勒第一定律也称椭圆定律､轨道定律，其内容如下：每一行星沿各自的椭圆轨道环绕太阳，而太阳则处在椭圆的一个焦点上.将某行星看作一个质点，绕太阳的运动轨迹近似成曲线，行星在运动过程中距离太阳最近的距离称为近日点距离，距离太阳最远的距离称为远日点距离.若行星的近日点距离和远日点距离之和是18(距离单位：亿千米)，近日点距离和远日点距离之积是16，则(    ) A．39 B．52 C．86 D．97 【答案】D 【解析】根据椭圆方程，得长半轴，半焦距， 近日点距离为，远日点距离为， 近日点距离和远日点距离之和是， 近日点距离和远日点距离之积是， 解得，则.故选：D. 7．若直线y=kx+1与焦点在x轴上的椭圆总有公共点，那么m的取值范围是（ ） A．（0，5） B．（0，1） C．[1，5] D．[1，5） 答案：D 解析： 直线y=kx+1过定点（0，1），定点在椭圆的内部或椭圆上时直线y=kx+1与焦点在x轴上的椭圆总有公共点，∴，得m≥1，∴m的取值范围是1≤m＜5。 8．嫦娥五号完成了人类航天史上的壮举，在我国航天事业发展史上具有里程碑意义.嫦娥五号返回时要经过多次变轨，根据开普勒第一定律，嫦娥五号以椭圆轨道环绕地球运动，地球处于其中一个焦点上，嫦娥五号在近地点处加速即可保持近地距离而增大远地距离，由月地转移轨道Ⅰ进入月地转移轨道Ⅱ.若某探测器的月地转移轨道Ⅱ的远地距离是轨道Ⅰ的3倍，月地转移轨道Ⅰ的离心率是轨道Ⅱ的.则月地转移轨道Ⅰ的离心率为(    ) A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设月地转移轨道Ⅰ的长半轴为，焦半距为，离心率为，轨道Ⅱ的长半轴为，焦半距为， 所以，解得:,,则，整理为：， 两边同时除以，得，.故选：B 9．已知椭圆E，直线与椭圆E相切，则椭圆E的离心率为(    ) A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意，联立椭圆和直线的方程得： 整理得：， 因为椭圆和直线相切，则， 化简得：，则椭圆的离心率，故选：B. 10．直线与椭圆的位置关系是(     ) A．相离 B．相切 C．相交 D．无法确定 【答案】C 【解析】联立，则,所以方程有两个不相等的实数根， 所以直线与椭圆相交故选：C. 11．已知直线与椭圆相交于、两点，若线段的中点纵坐标为，则(    ) A． B． C． D． 【答案】D 【解析】联立直线与椭圆方程得，整理得， 设、，则 线段的中点纵坐标为，解得，故选：D . 12．若椭圆的弦的中点为，则弦的长为(　　) A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设，因为弦的中点为，可得， 又因为在椭圆上，可得，两式相减可得， 可得，即直线的斜率为， 所以弦的直线方程为，即， 联立方程组，整理得，可得， 由弦长公式，可得.故选：A. 13．直线被椭圆所截得的弦的中点坐标是(　　) A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设弦为,,由，消去y得，即. ，，所以弦的中点的横坐标是， 代入直线方程中，得.所以弦的中点坐标是.故选：A. 14.过点作斜率为的直线与椭圆相交于A，B两点，若M是线段AB的中点，则的值为(    ) A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设，则，两式相减得 又，，则，则，.故选：A 15．已知椭圆四个顶点构成的四边形的面积为，直线与椭圆C交于A，B两点，且线段的中点为，则椭圆C的方程是(    ) A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设，，则，，两式作差并化简整理得 ，因为线段AB的中点为，所以，， 所以，由，得，又因为，解得，， 所以椭圆C的方程为．故选：A． 16．已知直线过椭圆C；的一个焦点，与C交于A，B两点，与平行的直线与C交于M，N两点，若AB的中点为P，MN的中点为Q，且PQ的斜率为，则C的方程为(　　) A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设，则，两式作差得 所以,若O为坐标原点，则，同理，所以O，P，Q三点共线， 即，所以，又过点，即椭圆的焦点，所以 解得，所以C的方程为故选：C 17．(多选)已知椭圆的右焦点为，过点的直线交椭圆于两点．若的中点坐标为，则(    ) A．直线的方程为 B． C．椭圆的标准方程为 D．椭圆的离心率为 【答案】ABD 【解析】因为直线过点和点，所以直线的方程为， 代入椭圆方程，消去，得， 所以的中点的横坐标为，即， 又，所以，离心率为， 所以圆的方程为．故选：ABD．    18．(多选)已知椭圆的右焦点为，直线与椭圆交于、两点，则(    ) A．的周长为20 B．的面积为 C．线段中点的横坐标为 D．线段的长度为 【答案】ACD 【解析】依题意，直线过椭圆的左焦点，椭圆长轴长， 所以的周长，A正确； 由消去y得：，设，则，， 因此线段中点的横坐标为，C正确； 线段的长度为，D正确； 点到直线的距离， 所以的面积为，B错误.故选：ACD 19．已知椭圆的右顶点为A，P、Q为C上关于坐标原点对称的两点，若直线AP，AQ的斜率之积为，则C的离心率为(    ) A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题意可知：，设，则，可得， 则，又因为点在椭圆上，则，整理得， 可得，即， 所以C的离心率.故选：A.    20．已知直线与椭圆恒有公共点，则实数的取值范围为 . 【答案】 【解析】直线，令，解得，所以直线恒过定点， 直线与椭圆恒有公共点， 即点在椭圆内或椭圆上，，即，又，否则是圆而非椭圆， 或，即实数的取值范围是.故答案为： 21．过椭圆内一点引一条恰好被点平分的弦，则这条弦所在直线的方程是 【答案】 【解析】椭圆即，设弦的两端点分别为,，,，则， 则，，两式作差可得：，． 直线过点，这条弦所在直线的方程是，即． 22．直线截椭圆所得弦的中点M与椭圆中心连线的斜率为 ． 【答案】 【解析】设线与椭圆的交点坐标为，则， 可得， 因为在椭圆上，则，两式相减得， 整理得，即,所以. 23．在椭圆上有两个动点M、N，K（2，0）为定点，若，则的最小值为________． 答案： 解析：M在椭圆，可设M（6cosα，3sinα）（0≤α＜2π）， 则， 由K（2，0），可得 当时，取得最小值， 故答案为：． 24．已知椭圆的离心率为，点在椭圆上. (1)求椭圆的标准方程； (2)过点的直线交椭圆于两点，求的取值范围. 【答案】(1)(2) 【解析】(1)设椭圆的半焦距为，由题意可得，解得， 所以椭圆的标准方程为. (2)当直线的斜率不存在时，则，可得，所以； 当直线的斜率存在时，设， 联立方程，消去y得， 则，可得， 则， 令，则， 可得， 因为，所以； 综上所述：的取值范围为.    25．已知椭圆：的离心率为，且其中一个焦点与抛物线的焦点重合． (1)求椭圆的方程； (2)若直线：与椭圆交于不同的A，B两点，且满足(为坐标原点)，求弦长的值． 【答案】(1)(2) 【解析】(1)由得焦点，则椭圆的焦点为， 因为椭圆离心率为，所以，解得，则， 所以椭圆的方程为． (2)设，由得，， 易得，则，，， 因为，所以，解得， 所以．    26．已知圆经过椭圆的左焦点和上顶点． (1)求椭圆的方程； (2)直线与椭圆交于两点，若，求的值． 【答案】(1)(2) 【解析】(1)解：对于圆, 令得，解得，即与轴的交点为， 令得，解得，即与轴的交点为 因为圆经过椭圆的左焦点和上顶点，椭圆的焦点在轴上， 所以为椭圆的左焦点，为椭圆的上顶点， 所以，， 所以椭圆的方程为 (2)解：因为直线与椭圆交于两点， 所以联立方程得， 所以，，解得， 设，则， 因为， 所以， 整理得，解得，满足， 所以，. 学科网（北京）股份有限公司 $$