2025年高二数学秋季开学摸底考（北师大版2019）

2025年秋季高二开学摸底考试模拟卷 数学•全解全析 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的． 1．已知复数，则的实部与虚部的差为（    ） A． B．1 C． D． 【答案】A 【分析】根据复数的除法运算得出复数的实部及虚部即可求解. 【详解】化简复数，得到．所以复数z的实部为，虚部为． 则的实部与虚部的差为． 故选：A. 2．“是第四象限角”是“是第二或第四象限角”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】由象限角的知识结合充分和必要条件的定义作出判断. 【详解】当是第四象限角时，，则，即是第二或第四象限角.当为第二象限角，但不是第四象限角，故“是第四象限角”是“是第二或第四象限角”的充分不必要条件． 故选：A 3．已知分别为的三个内角的对边，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据正弦定理，由角化边，得到，再根据余弦定理求出. 【详解】根据已知条件，得，， ，, 故选：C. 4．设，，，则有（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用三角恒等变换化简、、，结合正弦函数的单调性可得出、、的大小关系. 【详解】， ， ， 因为函数在上为增函数，且， 故，即. 故选：C. 5．光岳楼位于山东聊城古城中央，主体结构建于明洪武七年（1374年），它是迄今为止全国现存古代建筑中最古老、最雄伟的木构楼阁之一，享有“虽黄鹤、岳阳亦当望拜”之誉.光岳楼的墩台为砖石砌成的正四棱台，如图所示，该墩台上底面边长约为32m，下底面边长约为34.5m，高约为9m，则该墩台的斜高约为（参考数据：）（    ） A．9.1m B．10.9m C．11.2m D．12.1m 【答案】A 【分析】根据题意画出正四棱台，结合正四棱台相关性质直接计算即可. 【详解】如图所示，设该正四棱台为，上下底面中心分别为， 分别取的中点，连接， 在平面内，作交于， 则，，， 显然四边形是矩形，则，， 所以， 在直角中，， 即该墩台的斜高约为9.1m. 故选：A 6．已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意得，解一元二次方程即可得解. 【详解】因为，所以， 化简得， 解得或（舍去）． 故选：D． 7． 在中，，，且与交于点，若，则（    ） A． B． C． D．1 【答案】B 【分析】根据平面向量共线定理得到，，利用、分别表示出，再根据平面向量基本定理得到方程组，解得、，再代入计算可得. 【详解】因为，， 所以，， 依题意、、三点共线，故， 所以 ， 、、三点共线，故， 则 ， 所以，解得， 所以，又，所以， 所以. 故选：B 8．已知函数，记方程在上的根从小到大依次为，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由辅助角公式将方程转化成，再结合正弦函数图像及对称性求解即可. 【详解】， 则，即， 即 ∵，∴ 令，则, 函数在上的图象如下图所示， 由图可知，与共有5个交点， 所以： 其中， 即，， 解得， 所以. 故选：C 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9． 已知复数，其中为虚数单位，则下列结论正确的有（    ） A．复数z的共轭复数的模为1 B．复数z在复平面内对应的点在第一象限 C．复数z是方程的解 D． 【答案】AD 【分析】先将复数化简后，再逐个分析判断即可. 【详解】， 对于A，因为，所以，所以，所以A正确， 对于B，因为，所以复数z在复平面内对应的点在第四象限，所以B错误， 对于C，因为， 所以复数z不是方程的解，所以C错误， 对于D，因为，所以D正确. 故选：AD 10．在中，内角所对的边分别为，则下列说法正确的是（    ） A．若，则是锐角三角形 B．若是锐角三角形，则 C．若，，，则满足这组条件的三角形有两个 D．若，则 【答案】BD 【分析】由正弦定理化角为边可得，结合余弦定理可得为锐角，举反例判断A，根据条件可得，，，结合正弦函数性质及诱导公式判断B，根据正弦定理解三角形求，根据结果判断C，由条件结合余弦定理可得，根据正弦定理化边为角，化简可得，判断D. 【详解】设的外接圆半径为， 由正弦定理可得，，， 对于A，因为，所以， 由余弦定理可得，又， 所以为锐角，由于无法确定，的大小，故无法判断是否为锐角三角形， 例如：当，，时，，此时为钝角三角形，A错误， 对于B，因为是锐角三角形， 所以，，， 所以，，， 因为函数在上单调递增， 所以，B正确； 对于C， 由正弦定理可得， 又，，， 所以，化简可得， 所以满足条件的角不存在， 所以满足这组条件的三角形不存在，C错误， 对于D，由余弦定理可得，又， 所以，故， 所以，又， 所以， 所以， 所以，故， 所以或，， 即或，， 又，，故， 所以，所以，D正确； 故选：BD. 11．已知正方体中，，点M，P，N分别是线段，，的中点．则以下选项正确的是（   ）    A．直线平面 B．平面平面 C．直线、、三线共点 D．过M，N，P三点作正方体的截面，截面的周长为． 【答案】ACD 【分析】利用线面平行的判定推理判断A；作出过点的正方体的截面，计算判断BD；借助三角形中位线性质判断C. 【详解】在棱长为2的正方体中，点分别是棱的中点， 对于A，连接，，平面，平面，则平面，A正确； 对于B，直线与的延长线交于点，连接与分别交于点， 由，得，则，由，得， ，则直线与不平行，而平面，于是与必相交， 又平面，平面，即平面与平面有公共点，B错误；    对于C，由，令直线，则是的中点， 同理直线，是的中点，因此重合，C正确； 对于D，由选项B知，五边形是过三点的正方体截面， ，而，则，同理， 因此五边形周长等于，D正确. 故选：ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12． 已知，则 ． 【答案】 【分析】利用诱导公式求出的值，再由余弦的二倍角公式可得答案. 【详解】因为，所以， 则 . 故答案为：. 13．已知是边长为4的正三角形，点P为内一点，且，则等于 . 【答案】 【分析】设的中点为，以为原点，边所在直线为轴，边所在直线为轴建立平面直角坐标系，设，根据求出的坐标，从而利用数量积的坐标运算得解. 【详解】设的中点为，以为原点，边所在直线为轴，边所在直线为轴建立平面直角坐标系，如图，则，，，设， ∵， ∴，∴，∴，则， ∴. 故答案为： 14． 在四棱锥中，底面ABCD是平行四边形，E是棱PA的中点，F在棱BC上，满足，G在棱PB上，满足D，E，F，G四点共面，则的值为 ． 【答案】 【分析】通过延长DF，交AB的延长线于点Q，先证明点G即EQ与PB的交点，利用及相似三角形，证得，由得到，，推出即得. 【详解】 如图，延长DF，交AB的延长线于点Q，连接EQ，EQ与PB的交点即为G. 理由如下：设D，E，F共面，因，则平面， 又因平面，故三点共线，即. 取AB的中点M，连接EM，因，由可得, 因,则,又E是棱PA的中点，则,则得, 故有，又，所以，故． 【点睛】关键点点睛：本题主要考查通过四点共面确定点的位置的方法，属于较难题. 解题的关键在于先由，通过两个平面的相交，证明点在交线上，从而确定点的位置. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤. 15．（13分） 记的内角的对边分别为，已知. (1)求； (2)设的中点为，若，求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用正弦定理边化角，结合三角恒等变换求解即可； （2）利用和和向量数量积的运算律联立解出和，再根据三角形的面积公式求解即可. 【详解】（1）因为的内角的对边分别为， ， 所以由正弦定理边化角可得①， 又因为中，所以②， 将②式代入①式可得， 因为，， 所以，即， 因为，所以，. （2）因为为中点，， 所以③， ④， ③④联立解得，， 所以，的面积. 16．（15分）如图，在中，，，，为边中点，为边上靠近点的三等分点，线段、相交于点. (1)求的值； (2)求的余弦值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用向量数量积结合三角形的几何特征求解即可； （2）对向量用 表示出来，然后对向量进行平方，进而得到，进而用向量的数量积逆运算求解两个向量的夹角余弦进而求解即可. 【详解】（1）令 ，          ， . （2） ， ， ，易知 为等边三角形， . ，. 17．（15分） 如图，在直三棱柱中，所有棱长均为4，D是AB的中点． (1)求证：平面； (2)求异面直线与所成角的正弦值． 【答案】(1)证明过程见解析 (2) 【分析】（1）连接交于，利用三角形中位线定理，结合线面平行的判定定理进行证明即可； （2）根据（1）的结论，结合异面直线所成角定理、直棱柱的性质、余弦定理、同角的三角函数关系式进行求解即可. 【详解】（1）连接交于， 在直三棱柱中，所有棱长均为4， 因此四边形是正方形，所以是的中点，而D是AB的中点， 因此有，而平面，平面， 所以平面； （2）由（1）可知：， 因此异面直线与所成角为（或其补角）， 因为是正方形，所以， 在直三棱柱中，所有棱长均为4， 因此四边形是正方形，因此有， 在直三棱柱中，易知为直角三角形， 因此有， 由余弦定理可知：， 因此. 18．（17分） 如图，某公园有一块扇形人工湖OMN，其中圆心角，半径为1千米，为了增加观赏性，公园在人工湖中划分出一片荷花池，荷花池的形状为矩形(四个顶点都落在扇形边界上)；再建造一个观景台，形状为，记 (1)当角取何值时，荷花池的面积最大？并求出最大面积. (2)若在OA的位置架起一座观景桥，已知建造观景桥的费用为每千米8万元不计桥的宽度；且建造观景台的费用为每平方千米16万元，求建造总费用的范围. 【答案】(1)，最大值为(平方千米)； (2)万元 【分析】(1)三角函数相关知识，利用角来表示矩形边长，进而表示出面积和角的函数关系式，求函数最值即可； (2)由题意可求得建造总费用，利用换元法及二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）由题意可得，其中， 在中，，则 所以 因为，所以， 所以当，即时，矩形的面积取最大值， 所以当时，荷花池的面积最大，最大面积(平方千米)； （2）由(1)可知，则 ， 设建造总费用为y万元， 则 令， 因为，所以，所以， 则， 所以 所以建造总费用的范围为万元． 19．（17分）定义：区间的长度为，区间的长度为． (1)已知不等式在上的解集为，求的长度． (2)已知，函数． ①求在上的零点之和； ②若不等式在上的解集为，求的长度的最大值． 【答案】(1) (2)① ；② 【分析】（1）解不等式可得，结合区间长度的定义即可求解； （2）①由已知解方程可得在上有4个零点，设的两根为，的两根为，结合三角函数的图象与性质即可求解；②由①结合已知条件可知的长度为，由同角三角函数的基本关系结合基本不等式可知，由两角差的余弦公式可得，由此可得的范围，即可求解. 【详解】（1）由题意得， 得，得， 因为，所以，即， 故的长度为； （2）①由，得，， 由，得或， 所以方程在上均有两个实数根， 即在上有4个零点， 设的两根为，的两根为， 得， 且， 则， 所以在上的零点之和为； ②由，得或，由①可得， 则的长度为， 易得， 则 ， 当且仅当，即时等号成立， 所以， 由，得，所以， 所以，故的长度的最大值为. 1 / 19 学科网（北京）股份有限公司 $$ 学校__________________班级__________________姓名__________________准考证号__________________ ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍密﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍封﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍线﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 2025年秋季高二开学摸底考试模拟卷 数学·答题卡 准考证号： 姓 名：_________________________________________ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 注意事项 一、选择题（每小题5分，共40分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 二、选择题（全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分，共18分） 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 11 [A] [B] [C] [D] 三、填空题（每小题5分，共15分） 12．____________________ 13．____________________ 14．____________________ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 四、解答题（共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（13分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 16．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19．（17分） 数学 第4页（共6页） 数学 第5页（共6页） 数学 第6页（共6页） 数学 第1页（共6页） 数学 第2页（共6页） 数学 第3页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 数学 第 1 页（共 6 页） 数学 第 2 页（共 6 页） 数学 第 3 页（共 6 页） 学科网（北京）股份有限公司 学 校 __ __ __ __ __ __ __ __ __ 班 级 __ __ __ __ __ __ __ __ __ 姓 名 __ __ __ __ __ __ __ __ __ 准 考 证 号 __ __ __ __ __ __ __ __ __ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ 密 ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ 封 ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ 线 ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 2025 年秋季高二开学摸底考试模拟卷 数学·答题卡 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 一、选择题（每小题 5 分，共 40 分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 二、选择题（全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分，共 18 分） 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 11 [A] [B] [C] [D] 三、填空题（每小题 5 分，共 15 分） 12．____________________ 13．____________________ 14．____________________ 四、解答题（共 77 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（13 分） 准考证号： 姓 名：_________________________________________ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清 楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用 2B 铅笔填涂；非选择题必须用 0.5mm 黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答 题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出 区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题 无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 注意事项 16．（15 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学 第 4 页（共 6 页） 数学 第 5 页（共 6 页） 数学 第 6 页（共 6 页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17．（15 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（17 分） 19．（17 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025年秋季高二开学摸底考试模拟卷 数 学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．考试范围：北师大版2019必修第二册第一章～第六章（平行关系） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的． 1．已知复数，则的实部与虚部的差为（    ） A． B．1 C． D． 2．“是第四象限角”是“是第二或第四象限角”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．已知分别为的三个内角的对边，若，则（   ） A． B． C． D． 4．设，，，则有（   ） A． B． C． D． 5．光岳楼位于山东聊城古城中央，主体结构建于明洪武七年（1374年），它是迄今为止全国现存古代建筑中最古老、最雄伟的木构楼阁之一，享有“虽黄鹤、岳阳亦当望拜”之誉.光岳楼的墩台为砖石砌成的正四棱台，如图所示，该墩台上底面边长约为32m，下底面边长约为34.5m，高约为9m，则该墩台的斜高约为（参考数据：）（    ） A．9.1m B．10.9m C．11.2m D．12.1m 6．已知，则（   ） A． B． C． D． 7．在中，，，且与交于点，若，则（    ） A． B． C． D．1 8．已知函数，记方程在上的根从小到大依次为，则的值为（   ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9．已知复数，其中为虚数单位，则下列结论正确的有（    ） A．复数z的共轭复数的模为1 B．复数z在复平面内对应的点在第一象限 C．复数z是方程的解 D． 10．在中，内角所对的边分别为，则下列说法正确的是（    ） A．若，则是锐角三角形 B．若是锐角三角形，则 C．若，，，则满足这组条件的三角形有两个 D．若，则 11．已知正方体中，，点M，P，N分别是线段，，的中点．则以下选项正确的是（   ）    A．直线平面 B．平面平面 C．直线、、三线共点 D．过M，N，P三点作正方体的截面，截面的周长为． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12．已知，则 ． 13．已知是边长为4的正三角形，点P为内一点，且，则等于 . 14．在四棱锥中，底面ABCD是平行四边形，E是棱PA的中点，F在棱BC上，满足，G在棱PB上，满足D，E，F，G四点共面，则的值为 ． 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤. 15．（13分）记的内角的对边分别为，已知. (1)求； (2)设的中点为，若，求的面积． 16．（15分）如图，在中，，，，为边中点，为边上靠近点的三等分点，线段、相交于点. (1)求的值； (2)求的余弦值. 17．（15分）如图，在直三棱柱中，所有棱长均为4，D是AB的中点． (1)求证：平面； (2)求异面直线与所成角的正弦值． 18．（17分）如图，某公园有一块扇形人工湖OMN，其中圆心角，半径为1千米，为了增加观赏性，公园在人工湖中划分出一片荷花池，荷花池的形状为矩形(四个顶点都落在扇形边界上)；再建造一个观景台，形状为，记 (1)当角取何值时，荷花池的面积最大？并求出最大面积. (2)若在OA的位置架起一座观景桥，已知建造观景桥的费用为每千米8万元不计桥的宽度；且建造观景台的费用为每平方千米16万元，求建造总费用的范围. 19．（17分）定义：区间的长度为，区间的长度为． (1)已知不等式在上的解集为，求的长度． (2)已知，函数． ①求在上的零点之和； ②若不等式在上的解集为，求的长度的最大值． 试题 第3页（共8页） 试题 第4页（共8页） 试题 第1页（共4页） 试题 第2页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年秋季高二开学摸底考试模拟卷 数学·答案及评分参考 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的． 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 A A C C A D B C 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 题号 9 10 11 答案 AD BD ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12． 13. 14. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤. 15．（13分） （1）因为的内角的对边分别为， ， 所以由正弦定理边化角可得①， 又因为中，所以②， 将②式代入①式可得， 因为，， 所以，即， 因为，所以，. 6分 （2）因为为中点，， 所以③， ④， ③④联立解得，， 所以，的面积. 13分 16．（15分） （1）令 ，          ， . 7分 （2） ， ， ，易知 为等边三角形， . 11分 ，. 15分 17．（15分） （1）连接交于， 2分 在直三棱柱中，所有棱长均为4， 因此四边形是正方形，所以是的中点，而D是AB的中点， 因此有，而平面，平面， 所以平面； 6分 （2）由（1）可知：， 因此异面直线与所成角为（或其补角）， 因为是正方形，所以， 9分 在直三棱柱中，所有棱长均为4， 因此四边形是正方形，因此有， 11分 在直三棱柱中，易知为直角三角形， 因此有， 13分 由余弦定理可知：， 因此. 15分 18．（17分） （1）由题意可得，其中， 在中，，则 所以 ， 5分 因为，所以， 所以当，即时，矩形的面积取最大值， 所以当时，荷花池的面积最大，最大面积(平方千米)； 7分 （2）由(1)可知，则 ， 设建造总费用为y万元， 则， 12分 令， 因为，所以，所以， 则， 所以 所以建造总费用的范围为万元． 17分 19．（17分） （1）由题意得， 得，得， 因为，所以，即， 故的长度为； 5分 （2）①由，得，， 由，得或， 6分 所以方程在上均有两个实数根， 即在上有4个零点， 8分 设的两根为，的两根为， 得， 且， 则， 所以在上的零点之和为； 11分 ②由，得或，由①可得， 则的长度为， 易得， 则 ， 当且仅当，即时等号成立， 15分 所以， 由，得，所以， 所以，故的长度的最大值为. 17分 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年秋季高二开学摸底考试模拟卷 数 学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．考试范围：北师大版2019必修第二册第一章～第六章（平行关系） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的． 1．已知复数，则的实部与虚部的差为（    ） A． B．1 C． D． 2．“是第四象限角”是“是第二或第四象限角”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．已知分别为的三个内角的对边，若，则（   ） A． B． C． D． 4．设，，，则有（   ） A． B． C． D． 5．光岳楼位于山东聊城古城中央，主体结构建于明洪武七年（1374年），它是迄今为止全国现存古代建筑中最古老、最雄伟的木构楼阁之一，享有“虽黄鹤、岳阳亦当望拜”之誉.光岳楼的墩台为砖石砌成的正四棱台，如图所示，该墩台上底面边长约为32m，下底面边长约为34.5m，高约为9m，则该墩台的斜高约为（参考数据：）（    ） A．9.1m B．10.9m C．11.2m D．12.1m 6．已知，则（   ） A． B． C． D． 7．（2025·山东淮坊·开学考试）在中，，，且与交于点，若，则（    ） A． B． C． D．1 8．已知函数，记方程在上的根从小到大依次为，则的值为（   ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9．（2025·甘肃张掖·开学考试）已知复数，其中为虚数单位，则下列结论正确的有（    ） A．复数z的共轭复数的模为1 B．复数z在复平面内对应的点在第一象限 C．复数z是方程的解 D． 10．在中，内角所对的边分别为，则下列说法正确的是（    ） A．若，则是锐角三角形 B．若是锐角三角形，则 C．若，，，则满足这组条件的三角形有两个 D．若，则 11．已知正方体中，，点M，P，N分别是线段，，的中点．则以下选项正确的是（   ）    A．直线平面 B．平面平面 C．直线、、三线共点 D．过M，N，P三点作正方体的截面，截面的周长为． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12．（2025·黑龙江大庆·开学考试）已知，则 ． 13．已知是边长为4的正三角形，点P为内一点，且，则等于 . 14．（2025·河南许昌·开学考试）在四棱锥中，底面ABCD是平行四边形，E是棱PA的中点，F在棱BC上，满足，G在棱PB上，满足D，E，F，G四点共面，则的值为 ． 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤. 15．（13分）（2025·江苏南京·开学考试）记的内角的对边分别为，已知. (1)求； (2)设的中点为，若，求的面积． 16．（15分）如图，在中，，，，为边中点，为边上靠近点的三等分点，线段、相交于点. (1)求的值； (2)求的余弦值. 17．（15分）（2025·湖南邵阳·开学考试）如图，在直三棱柱中，所有棱长均为4，D是AB的中点． (1)求证：平面； (2)求异面直线与所成角的正弦值． 18．（17分）（2025·安徽马鞍山·开学考试）如图，某公园有一块扇形人工湖OMN，其中圆心角，半径为1千米，为了增加观赏性，公园在人工湖中划分出一片荷花池，荷花池的形状为矩形(四个顶点都落在扇形边界上)；再建造一个观景台，形状为，记 (1)当角取何值时，荷花池的面积最大？并求出最大面积. (2)若在OA的位置架起一座观景桥，已知建造观景桥的费用为每千米8万元不计桥的宽度；且建造观景台的费用为每平方千米16万元，求建造总费用的范围. 19．（17分）定义：区间的长度为，区间的长度为． (1)已知不等式在上的解集为，求的长度． (2)已知，函数． ①求在上的零点之和； ②若不等式在上的解集为，求的长度的最大值． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $$