精品解析：广东省梅州市2024-2025学年高二下学期期末考试数学试题

梅州市高中期末考试试卷 高二数学 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知角，则“α为第二象限角”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 某次高二数学调研测试中，考生成绩X服从正态分布．若，则从参加这次考试的考生中任意选取1名考生，该考生的成绩高于90的概率为（ ） A. B. C. D. 4. 我国新能源汽车的卓越性能赢得全球人民的信赖，某品牌新能源汽车凭借科研创新、广告宣传和可靠的售后保障，在全球赢得了很好的营销局面，下表为该品牌新能源汽车的科研经费投入和全球市场规模统计． 科研经费（单位：百亿元） 2 4 6 12 16 市场规模（单位：百万辆） 1 1.5 2 3 3.5 如此得到y关于x的经验回归方程：，估计当该品牌新能源汽车的科研经费投入20（百亿元）时，全球市场规模将达到（ ）百万辆． A. 4 B. 4.14 C. 4.36 D. 4.58 5. 用0，1，2，3组成没有重复数字的四位偶数有（ ）个 A. 8 B. 10 C. 12 D. 16 6. 已知为函数的导函数，导函数的图象的大致形状如图所示，则下列关于函数的信息，正确的是（ ） A. B. C. 在处取得最小值 D. 在处取得极大值 7. 一个车间有3台车床，其中A型号2台，B型号1台，它们各自独立工作．设A型车床发生故障的概率为，B型车床发生故障的概率为，记同时发生故障的车床数为，则（ ） A. B. C. D. 8. 下列判断正确的（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 关于的二项展开式，下列说法正确的是（ ） A. 展开式在合并同类项之后共有7项 B. 展开式中常数项为15 C. 展开式系数之和为1 D. 展开式的最后一项的系数最大 10. 下图是函数的部分图象，下列说法正确的是（ ） A. 点的坐标为 B. 的一个可能值是 C. 将函数的图象向右平移个单位长度后，所得图象对应的函数是奇函数 D. 11. 在一个不透明盒子中装有材质、大小完全相同的n个小球，将它们分别编号为1，2，3，…，n．每次从盒子中随机抽取一个小球，记录编号后放回，直至取遍所有小球后停止摸球，记总的摸球次数为，下列结论正确的是（ ） A. B. C. ，其中 D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. ______． 13. 已知直线与曲线相切，则______． 14. ，，使成立，则实数a的取值范围为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知函数． （1）求的最小正周期； （2）解方程：； （3）当时，求的值域． 16. 乒乓球，是一种世界流行球类体育项目，被称为我国的“国球”，在2025年世界乒乓球锦标赛上，我国运动员共收获4金1银2铜，以强大统治力再次展现国乒底色．为了解学生喜爱乒乓球运动是否与性别有关，某校以“是否为乒乓球的球迷”为问题，在高二年级随机抽取了100名学生作为样本，统计得到如下的列联表： 是球迷 不是球迷 合计 男生 40 15 55 女生 20 25 45 合计 60 40 100 附：临界值表及参考公式： α 010 0.05 0.01 2.706 3841 6.635 （1）依据的独立性检验，判断学生喜爱乒乓球运动是否与性别有关联； （2）在所调查的球迷中按男女生进行分层抽样，随机抽取6名学生，再从这6名学生中随机抽取2人去观看比赛，求这2名学生中男生人数X的分布列． 17. 对于集合，如果任意去掉其中一个元素之后，剩余的所有元素组成集合，并且都能分为两个集合B和C，满足，，且B的所有元素之和与C的所有元素之和相等，则称集合A为“可分集合”．分别判断下列集合是否为“可分集合”，并说明理由： （1）； （2）． 18. 已知函数，． （1）讨论函数的单调区间； （2）若不等式在上恒成立，求实数a的取值范围． 19. 某超市计划每天订购一种面包，每个面包的成本价为4元，售价为7元，当天如果没有售完，剩余的面包以每个2元的价格处理掉．根据销售经验，每天需求量与当天超市的客流量有关：如果超市的客流量不低于5000，需求量为150个；如果超市的客流量位于区间，需求量为100个：如果超市的客流量低于3000，需求量为60个．为了确定订购计划，统计了前100天的客流量数据，得到下面的频数统计表： 客流量 天数 6 14 27 23 21 9 以超市的客流量位于各区间的频率作为客流量位于该区间的概率． （1）求该超市这种面包一天的需求量不少于100个的概率： （2）若该超市计划每天订购这种面包120个，求一天销售这种面包的利润的数学期望； （3）设该超市一天销售这种面包的利润为Y（单位：元）．当该超市这种面包一天的进货量n（单位：个）为多少时，Y的数学期望达到最大值？ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 梅州市高中期末考试试卷 高二数学 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据补集和交集的定义即可求解. 【详解】,故， 故选：B 2. 已知角，则“α为第二象限角”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据象限角的性质即可结合充分必要条件的定义求解. 【详解】若α是第二象限角，则，故充分性成立， 若，则是第二象限角或者第三象限角或者终边在轴负半轴上，故必要性不成立，“α为第二象限角”是“”的充分不必要条件， 故选：A 3. 某次高二数学调研测试中，考生成绩X服从正态分布．若，则从参加这次考试的考生中任意选取1名考生，该考生的成绩高于90的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据正态分布的对称性即可求解. 【详解】由以及正态曲线的对称轴为， 故， 故选：B 4. 我国新能源汽车的卓越性能赢得全球人民的信赖，某品牌新能源汽车凭借科研创新、广告宣传和可靠的售后保障，在全球赢得了很好的营销局面，下表为该品牌新能源汽车的科研经费投入和全球市场规模统计． 科研经费（单位：百亿元） 2 4 6 12 16 市场规模（单位：百万辆） 1 1.5 2 3 3.5 如此得到y关于x的经验回归方程：，估计当该品牌新能源汽车的科研经费投入20（百亿元）时，全球市场规模将达到（ ）百万辆． A. 4 B. 4.14 C. 4.36 D. 4.58 【答案】C 【解析】 【分析】求出样本中心代入方程可得值，即可根据代入求解. 【详解】由表中数据可得， 故样本中心为， 故， 故当时，， 故选：C 5. 用0，1，2，3组成没有重复数字的四位偶数有（ ）个 A. 8 B. 10 C. 12 D. 16 【答案】B 【解析】 【分析】根据个位数字是否为0，即可结合排列组合求解. 【详解】若0在个位，则有种情况， 若0不在个位，则从百位和十位中选一个位置放0，2放在个位，另外两个数字全排列，故有， 故总共有个， 故选：B 6. 已知为函数的导函数，导函数的图象的大致形状如图所示，则下列关于函数的信息，正确的是（ ） A. B. C. 在处取得最小值 D. 在处取得极大值 【答案】A 【解析】 【分析】根据导函数的图像可知原函数的单调性，即可结合选项逐一求解. 【详解】根据图象可知：当或时，， ，故在处取得极大值，在处取得极小值，因此，故BCD错误， 由于函数在单调递减，故，A正确， 故选：A 7. 一个车间有3台车床，其中A型号2台，B型号1台，它们各自独立工作．设A型车床发生故障的概率为，B型车床发生故障的概率为，记同时发生故障的车床数为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据相互独立事件的概率乘法公式即可求解. 【详解】, 故选：D 8. 下列判断正确的（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】对A，构建函数，利用函数单调性判断；对B，利用对数函数单调性判断；对CD，比较函数即可. 【详解】对于A，令，， 若；若, 所以函数在单调递增，在单调递减， 所以，则，即，故A错误； 对于B，，故B错误； 对于C，D，对函数，当；当， 由，所以，，故C错误，D正确. 故选：D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 关于的二项展开式，下列说法正确的是（ ） A. 展开式在合并同类项之后共有7项 B. 展开式中常数项为15 C. 展开式的系数之和为1 D. 展开式的最后一项的系数最大 【答案】AC 【解析】 【分析】根据二项式展开式的性质即可求解A，根据通项即可求解BD，利用赋值法即可求解C. 【详解】对于A，由于，故展开式共有7项，A正确， 对于B，的通项为， 故常数项为，故B错误， 对于C，令则系数和为，故C正确， 对于D， 展开式的最后一项的系数为，因此最后一项的系数并不是最大的，故D错误， 故选：AC 10. 下图是函数的部分图象，下列说法正确的是（ ） A. 点的坐标为 B. 的一个可能值是 C. 将函数的图象向右平移个单位长度后，所得图象对应的函数是奇函数 D. 【答案】BC 【解析】 【分析】根据点与之间的距离为，求出点的坐标，即可判断A；将点代入求出的表达式，即可判断B；将函数的图象向右平移个单位长度后，得到的表达式，再判断的奇偶性，即可判断C；由B得到的表达式，再分别判断的正负，即可判断D. 【详解】因为函数的周期，所以， 因为点在的右侧，解得，即点的坐标为，故A错误； 函数过点，所以， 即，解得， 所以当时，，故B正确； 由B可知， 所以将函数的图象向右平移个单位长度后， 所得图象对应的函数 ， 因为，所以为奇函数，故C正确； 由B可知， 所以 ， 而 ， 所以，故D错误. 故选：BC 11. 在一个不透明盒子中装有材质、大小完全相同的n个小球，将它们分别编号为1，2，3，…，n．每次从盒子中随机抽取一个小球，记录编号后放回，直至取遍所有小球后停止摸球，记总的摸球次数为，下列结论正确的是（ ） A. B. C. ，其中 D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于ABC，可用分步计数原理求相关概率求解，对于D，根据题意列出分布列，表示出期望，再利用错位相减法求和判断. 【详解】对于A，时，3次停止，共有种， 其中恰好在第3次摸完的情况：第1次任意摸一个并记录编号，第2次只能摸第1次记了编号的， 第3次摸剩下未记编号的，故共有种，则，故A正确； 对于B，，，则，故B错误； 对于C，，， 所以，故C正确； 对于D，， 所以分布列为： 2 3 , , 两式相减可得, 所以，时，，故D正确； 故选：ACD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. ______． 【答案】 【解析】 【分析】根据和差角公式即可求解. 【详解】 , 故答案为： 13. 已知直线与曲线相切，则______． 【答案】2 【解析】 【分析】设切点坐标为，利用导数的几何意义求得切线方程，与已知切线方程比较可得答案. 【详解】设直线与曲线相切与点， 则，又的导函数为， 所以， 所以曲线在点处的切线方程为， 由已知可得，， 所以，， 故答案为：. 14. ，，使成立，则实数a的取值范围为______． 【答案】 【解析】 【分析】由题意转化为求函数的最大值，分别根据对勾函数及二次函数的性质求最大值即可得解. 【详解】由在上单调递减，在单调递增可知， ， 设，则由题意，， 由图象开口向上，对称轴为， 当时，即时，， 解得； 当时，即时，， 解得. 综上，实数a的取值范围为. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知函数． （1）求的最小正周期； （2）解方程：； （3）当时，求的值域． 【答案】（1）； （2） （3）. 【解析】 【分析】（1）利用二倍角公式以化简函数，然后判断即可； （2）根据（1）的结果，计算即可； （3）利用整体法以及正弦函数的性质计算. 【小问1详解】 因为 ， 所以函数的最小正周期． 【小问2详解】 由方程， 即有，， 于是，或，， 所以 【小问3详解】 因为，所以， 所以， 则， 所以的值域为． 16. 乒乓球，是一种世界流行球类体育项目，被称为我国的“国球”，在2025年世界乒乓球锦标赛上，我国运动员共收获4金1银2铜，以强大统治力再次展现国乒底色．为了解学生喜爱乒乓球运动是否与性别有关，某校以“是否为乒乓球的球迷”为问题，在高二年级随机抽取了100名学生作为样本，统计得到如下的列联表： 是球迷 不是球迷 合计 男生 40 15 55 女生 20 25 45 合计 60 40 100 附：临界值表及参考公式： α 0.10 0.05 0.01 2.706 3.841 6.635 （1）依据的独立性检验，判断学生喜爱乒乓球运动是否与性别有关联； （2）在所调查球迷中按男女生进行分层抽样，随机抽取6名学生，再从这6名学生中随机抽取2人去观看比赛，求这2名学生中男生人数X的分布列． 【答案】（1）依据的独立性检验，学生喜爱乒乓球运动是否与性别有关； （2）分布列见解析. 【解析】 【分析】（1）计算卡方，即可与临界值比较作答， （2）根据超几何的概率公式求解概率即可. 【小问1详解】 零假设为：学生喜爱乒乓球运动与性别无关， 则由列联表可得： ， ， 并根据小概率值的独立性检验，推断不成立， 因此学生喜爱乒乓球运动与性别有关． 【小问2详解】 依题意，所调查的球迷人数为60人，其中男生人数为40人，女生人数为20人，男生与女生人数比为， 所以采用分层抽样的方法抽取的6人中有男生4人，女生2人， 所以从这6名学生中随机抽取2人，这2名同学中男生人数X的可能值为0，1，2， ， ， ， X的分布列为： 0 1 2 P 17. 对于集合，如果任意去掉其中一个元素之后，剩余的所有元素组成集合，并且都能分为两个集合B和C，满足，，且B的所有元素之和与C的所有元素之和相等，则称集合A为“可分集合”．分别判断下列集合是否为“可分集合”，并说明理由： （1）； （2）． 【答案】（1）不是“可分集合”，理由见解析； （2）是“可分集合”，理由见解析. 【解析】 【分析】（1）根据可“可分集合”的定义，当去掉2时，即可判断， （2）根据可“可分集合”的定义，即可逐一论证去掉任何一个元素均满足 “可分集合”的定义求解. 【小问1详解】 集合不是“可分集合”，理由如下： 因为， 当去掉元素2时，计算知： ，，． 可见集合去掉元素2后，剩余元素组成集合不可能分为两个交集为空集、且各自所有元素之和相等的集合，即集合不是“可分集合”． 【小问2详解】 集合是“可分集合”， 理由如下： ， ， ， ， ， ， ． 因此任意去掉集合中的一个元素之后，剩余的所有元素组成集合总能分为两个交集为空集、且各自所有元素之和相等的集合． 18. 已知函数，． （1）讨论函数的单调区间； （2）若不等式在上恒成立，求实数a的取值范围． 【答案】（1）答案见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）求导，即可对讨论，结合导函数的正负即可求解， （2）构造函数，求导，根据导函数的正负，求解函数的最值即可求解. 【小问1详解】 对函数求导：， ①当时，，所以在R单调递增； ②当时， 由可得：，由可得：， 所以在单调递减，在单调递增， 综上所述，当时，在R单调递增； 当时，在单调递减，在单调递增； 【小问2详解】 令， 求导得：，， 令， 因，由， 可得（即）在上单调递增， 当时，在上恒成立， 故得在上单调递增，则， 即有，符合题意； 当时，， 令，则， 当时，；当时，， 则在上单调递减，在上单调递增， 故， 所以，又在上单调递增，且， 故，使得， 则当时，，当时，， 即在上单调递减，在上单调递增， 故，不符合题意； 综上所述，实数a的取值范围是. 19. 某超市计划每天订购一种面包，每个面包的成本价为4元，售价为7元，当天如果没有售完，剩余的面包以每个2元的价格处理掉．根据销售经验，每天需求量与当天超市的客流量有关：如果超市的客流量不低于5000，需求量为150个；如果超市的客流量位于区间，需求量为100个：如果超市的客流量低于3000，需求量为60个．为了确定订购计划，统计了前100天的客流量数据，得到下面的频数统计表： 客流量 天数 6 14 27 23 21 9 以超市的客流量位于各区间的频率作为客流量位于该区间的概率． （1）求该超市这种面包一天的需求量不少于100个的概率： （2）若该超市计划每天订购这种面包120个，求一天销售这种面包的利润的数学期望； （3）设该超市一天销售这种面包利润为Y（单位：元）．当该超市这种面包一天的进货量n（单位：个）为多少时，Y的数学期望达到最大值？ 【答案】（1） （2）250 （3）100个 【解析】 【分析】（1）根据题意可知这种面包一天需求量不少于100对应的客流量不少于3000，根据给定统计表即可计算出此概率； （2）根据给定进货量120，结合人流情况分别计算对应的日利润及概率，综合几种情况求出利润的数学期望； （3）根据题给条件，按照进货量60，100，150分别讨论利润Y的相应函数，结合对应概率列出对应的期望值的函数，判断函数单调性，确定对应的最大期望值，比较最大期望时的进货量，最终确定进货量n. 【小问1详解】 根据题意这种面包一天的需求量不少于100个对应的客流量不少于3000，则其概率为： 故该超市这款新面包日需求量不少于100个的概率为． 【小问2详解】 若该超市计划每天订购这种面包120个，设这款新面包的日利润为X， 则依题意，日利润X的可能值有三种，分别为： 当客流量在5000以上时，； 当客流量位于区间时，； 当客流量低于3000时，， 分别对应的概率为： ； ； ； 所以该超市计划每天订购这种面包120个，一天销售这种面包的利润的数学期望． 【小问3详解】 根据题意，这种面包的需求量不多于150个，按需求量60，100，150分类讨论： ①当，， 此时，该超市一天销售这种面包的利润为Y的数学期望: ，函数单调递增. 当时，取最大值，此时； ②时： 当客流量在3000以上时，，； 当客流量低于3000时，，. 此时，该超市一天销售这种面包的利润为Y的数学期望: 函数单调递增，当时， ③ 当客流量在5000以上时，，; 当客流量位于区间时，,; 当客流量低于3000时，，. 此时，该超市一天销售这种面包的利润为Y的数学期望: ，函数单调递减，当时取最大值，. 综上，可以发现当时， 该超市一天销售这种面包的利润的数学期望取得最大值：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$