精品解析：内蒙古乌海市第二中学2024-2025学年八年级上学期期中考试数学试题

2024-2025学年第一学期初二年级期中考试卷数学卷 分值：100分 考试时间：90分钟 一、单选题（共10小题，每小题3分，共30分） 1. 体育精神就是健康向上、不懈奋斗的精神，下列关于体育运动的图标中是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 安装空调一般会采用如图的方法固定，其根据的几何原理是（ ） A. 两点确定一条直线 B. 两点之间线段最短 C. 三角形的稳定性 D. 垂线段最短 3. 计算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，已知，以点为圆心，以任意长为半径画弧①，分别交，于点，，再以点为圆心，以长为半径画弧，交弧①于点，画射线．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 5. 已知，，则的值为（ ） A. B. C. 1 D. 5 6. 下面给出几种三角形：（1）有两个角为的三角形；（2）三个外角都相等的三角形；（3）一边上的高也是这边上的中线的三角形；（4）有一个角为的等腰三角形，其中是等边三角形的个数是（ ） A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 7. 如图所示，在边长为的正方形中挖去一个边长为的小正方形，再把剩余的部分剪拼成一个矩形，通过计算阴影部分的面积，验证了一个等式是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在中，，，，将沿着射线的方向平移得到，连接，若，则的周长为（ ） A. 20 B. 24 C. 36 D. 9. 如图，在中，，，点在上，将沿直线翻折后，点落在点处，边与边相交于点，如果，那么的大小是( ) A. B. C. D. 10. 如图，为线段上一动点（不与，重合），在同侧分别作等边和等边，与交于点，与交于点，与交于点，连接，则有以下五个结论：①；②；③；④；⑤．其中正确的有（ ） A. ①③⑤ B. ①②⑤ C. ①②③⑤ D. ①②③④⑤ 二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分） 11. 计算：______． 12. 已知一个正多边形的一个内角是120º，则这个多边形的边数是_______． 13. 如图，是等边三角形，于点D，于点E，若，则的长度为_______． 14. 如图，，将一副直角三角板如下摆放，图中点、、在同一直线上，则的度数为_________． 15. 如图，中，，，，垂直平分，点P为直线上一动点，则周长的最小值为________． 16. 已知，如图DC平分，DB平分的外角，若，则__________． 三、解答题 17. 计算： （1）； （2）． 18. 如图，在平面直角坐标系中，点A，B，C的坐标分别是，，． （1）作出的高，的中线； （2）求三角形的面积； （3）画出 关于y轴的对称图形． 19. 先化简，再求值，其中． 20. 如图，，，，求的度数和的长． 21. 如图，在中，，于点，于点，，相交于点，． （1）求证：； （2）若，求的长． 22. 如图1，在中，是它的角平分线． （1）求证：； （2）如图2，在中，是它的角平分线，且，请同学们探究线段、、三者的数量关系，并证明． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年第一学期初二年级期中考试卷数学卷 分值：100分 考试时间：90分钟 一、单选题（共10小题，每小题3分，共30分） 1. 体育精神就是健康向上、不懈奋斗的精神，下列关于体育运动的图标中是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形．解题的关键在于熟练掌握：在平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形叫做轴对称图形． 【详解】解：选项A、B、D的图形不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形； 选项C的图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形； 故选：C． 2. 安装空调一般会采用如图的方法固定，其根据的几何原理是（ ） A. 两点确定一条直线 B. 两点之间线段最短 C. 三角形的稳定性 D. 垂线段最短 【答案】C 【解析】 【分析】根据三角形具有稳定性即可进行解答． 【详解】根据题意可得，图中的几何原理为：三角形具有稳定性． 3. 计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】对每个选项进行计算判断即可． 【详解】解：A. 和不是同类项，不能合并，选项错误； B. ，选项错误； C. ，选项正确； D. ，选项错误． 故选：C． 【点睛】本题考查了合并同类项、积的乘方、同底数幂的乘法、完全平方公式，熟练掌握整式的运算法则是解题的关键． 4. 如图，已知，以点为圆心，以任意长为半径画弧①，分别交，于点，，再以点为圆心，以长为半径画弧，交弧①于点，画射线．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了尺规作图以及全等三角形的判定与性质，根据题意得出证即可求解． 【详解】解：由题意可得： ∵， ∴ ∴ ∴ 故选：C 5. 已知，，则的值为（ ） A. B. C. 1 D. 5 【答案】A 【解析】 【分析】先根据多项式乘以多项式运算法则把（1-m）（1-n）化简，再把m+n=3，mn=-1整体代入化简的结果即可得问题的答案． 【详解】∵（1-m）（1-n） =1-n-m+mn =1-（m+n）+mn， 又∵m+n=3，mn=-1， ∴原式=1-3+（-1）=-3． 故选：A． 【点睛】此题考查了多项式乘多项式，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 6. 下面给出几种三角形：（1）有两个角为的三角形；（2）三个外角都相等的三角形；（3）一边上的高也是这边上的中线的三角形；（4）有一个角为的等腰三角形，其中是等边三角形的个数是（ ） A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了等边三角形的判定．根据等边三角形的判定定理：有两个角都是的三角形或有三边相等的三角形或有一个角是的等腰三角形是等边三角形，分析并作答即可． 【详解】解：①有两个角为的三角形是等边三角形，故①正确； ②∵三个外角都相等， ∴相邻的三个内角都相等， 又∵三角形的内角和为， ∴三个内角都是， ∴三个外角都相等的三角形是等边三角形，故②正确； ③一边上的高也是这边上的中线的三角形是等腰三角形，不一定是等边三角形，故③错误； ④有一个角是的等腰三角形是等边三角形，故④正确， ∴能证得等边三角形的有①②④，共3个， 故选：B． 7. 如图所示，在边长为的正方形中挖去一个边长为的小正方形，再把剩余的部分剪拼成一个矩形，通过计算阴影部分的面积，验证了一个等式是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平方差公式的几何背景，根据阴影部分的面积相等列出面积的表达式是解题的关键． 分别表示出两个图形中阴影部分的面积，然后根据两个阴影部分的面积相等即可得解． 【详解】解：左边图形中，阴影部分的面积， 右边图形中，阴影部分的面积， ∵两个图形中的阴影部分的面积相等， ∴， 故选：C． 8. 如图，在中，，，，将沿着射线的方向平移得到，连接，若，则的周长为（ ） A. 20 B. 24 C. 36 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是平移的性质．根据平移性质，判定为等边三角形，然后求解． 【详解】解：由题意，得， ． 由平移性质，可知，， ，且， 为等边三角形， 的周长． 故选：B． 9. 如图，在中，，，点在上，将沿直线翻折后，点落在点处，边与边相交于点，如果，那么的大小是( ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了折叠的性质，三角形内角和定理以及平行线的性质，根据三角形内角和定理及平行线的性质，掌握以上知识是解题的关键．在中，利用三角形内角和定理可求出的度数，由折叠的性质可得出，，由，利用平行线的性质可得出，再结合，即可求出的度数，于是得到结论． 【详解】解：在中，，， ． 由折叠的性质可知：，． ， ， ， 即， ． ， 故选：A． 10. 如图，为线段上一动点（不与，重合），在同侧分别作等边和等边，与交于点，与交于点，与交于点，连接，则有以下五个结论：①；②；③；④；⑤．其中正确的有（ ） A. ①③⑤ B. ①②⑤ C. ①②③⑤ D. ①②③④⑤ 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、平行线的判定与性质等知识，由于和是等边三角形，可知，，，从而证出，可推知；由得，加之，，得到，再根据 推出为等边三角形，又由，根据内错角相等，两直线平行，可知正确；根据 中，可知③正确；根据可知，可知错误；由，得到，由，得到，故正确．熟记相关几何性质与判定，灵活运用是解决问题的关键． 【详解】解：和是等边三角形， ， ，即， 在和中， ， ，故正确； ， ， 又， ，即， 又， ， ， 又，可知为等边三角形， ， ，故正确； ， ，故③正确； ，， ，即， ，， ，则，故错误； ， ， ， ，故正确； 故选：C． 二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分） 11. 计算：______． 【答案】## 【解析】 【分析】根据单项式与多项式相乘的运算法则计算即可． 【详解】 故答案为：． 【点睛】本题主要考查单项式与多项式相乘，牢记单项式与多项式相乘的运算法则（单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加）是解题的关键． 12. 已知一个正多边形的一个内角是120º，则这个多边形的边数是_______． 【答案】6 【解析】 【分析】一个正多边形的每个内角都相等，根据内角与外角互为邻补角，因而就可以求出外角的度数．根据任何多边形的外角和都是360度，利用360除以外角的度数就可以求出外角的个数，即多边形的边数． 【详解】解：∵一个正多边形的一个内角是120º， ∴这个正多边形的一个外角为：180º-120º=60º， ∵多边形的外角和为360º， ∴360º÷60º =6， 则这个多边形是六边形． 故答案为：6． 【点睛】考查了多边形内角与外角，根据外角和的大小与多边形的边数无关，由外角和求正多边形的边数，是常见的题目，需要熟练掌握． 13. 如图，是等边三角形，于点D，于点E，若，则的长度为_______． 【答案】1.5 【解析】 【分析】本题考查等边三角形的性质、含30度角的直角三角形的性质，先根据等边三角形的性质得到，然后利用含30度角的直角三角形的性质得到，进而可求解． 【详解】解：∵是等边三角形，， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：1.5． 14. 如图，，将一副直角三角板如下摆放，图中点、、在同一直线上，则的度数为_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的知识点是平行公理、平行线的性质、邻补角、直角三角板的特征，解题关键是梳理掌握平行线性质． 过点作，由平行公理推得后，再根据平行线的性质得，最后根据直角三角板的特征即可得解． 【详解】解：过点作， ， ， ，， ， 依题得：，，， ， ． 故答案为：． 15. 如图，中，，，，垂直平分，点P为直线上一动点，则周长的最小值为________． 【答案】14 【解析】 【分析】本题考查了轴对称-最短路线问题的应用、垂直平分线的性质、三角形周长，解答本题的关键是准确找出动点的位置．由图形可得：周长，因为，所以求出的最小值即可求出周长的最小值，根据题意知点A关于直线EF的对称点为点B，故当点P与点E重合时，的值最小，即可得到结论． 【详解】解：如图所示，连接，， ∵直线垂直平分， ∴A，B关于直线对称， ∴，， 在中， ， ∴当P和E重合时，C、P、B三点共线， 此时，的值最小，最小值等于的长， ∴周长的最小值， 故答案为：14． 16. 已知，如图DC平分，DB平分的外角，若，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】如图所示，过点D作DG⊥BE交BE延长线于G，DF⊥AB于F，DH⊥AC交CA延长线于H，由角平分线的性质可得DF=DH，证明Rt△AFD≌Rt△AHD得到∠HAD=∠FAD；然后根据角平分线的定义和三角形外角的性质求出∠BAC=2∠BDC=40°，即可得到答案． 【详解】解：如图所示，过点D作DG⊥BE交BE延长线于G，DF⊥AB于F，DH⊥AC交CA延长线于H， ∵CD、BD分别是∠ACB和∠ABE的角平分线， ∴DF=DG，DH=DG， ∴DF=DH， 又∵AD=AD， ∴Rt△AFD≌Rt△AHD（HL）， ∴∠HAD=∠FAD； ∵CD、BD分别是∠ACB和∠ABE的角平分线， ∴，， ∵∠BAC+∠ACB=∠ABE，∠BDC+∠BCD=∠DBE， ∴∠BAC+2∠BCD=2∠BCD+2∠BDC， ∴∠BAC=2∠BDC=40°， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了角平分线的性质与定义，全等三角形的性质与判定，三角形外角的性质，熟知角平分线的性质是解题的关键． 三、解答题 17. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查整式的混合运算，熟练掌握相关运算法则是解答的关键． （1）利用单项式乘多项式以及整式的加减运算法则求解即可； （2）利用平方差公式计算即可求解． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 18. 如图，在平面直角坐标系中，点A，B，C的坐标分别是，，． （1）作出的高，的中线； （2）求三角形的面积； （3）画出 关于y轴的对称图形． 【答案】（1） 如图，线段，线段即为所求； （2）3 （3）如图，即为所求． 【解析】 【分析】本题考查作图-轴对称变换， 三角形的高及中线等知识，解题的关键是掌握轴对称变换的性质，正确作出图形． （1）根据三角形的高及中线的定义作出图形； （2）利用三角形面积公式求解； （3）利用轴对称变换的性质分别作出A， B， C的对应点，，，再顺次连接即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：； 【小问3详解】 略 19. 先化简，再求值，其中． 【答案】，3 【解析】 【分析】本题考查整式的混合运算及代数式求值，先利用完全平方公式化简原式，再代值求解即可． 【详解】解： ， 当时， 原式． 20. 如图，，，，求的度数和的长． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查的是全等三角形的性质，线段的和差关系，根据全等三角形的性质得到，，再根据线段的和差关系求出的长即可． 【详解】解：， ， ，， ，， ， ． 21. 如图，在中，，于点，于点，，相交于点，． （1）求证：； （2）若，求的长． 【答案】（1） 证明：， ， ， ，， ， 在与中 ， . （2） 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定是本题的关键． （1）先根据角的代换求得，再由“”可证； （2）由全等三角形的性质可得，由等腰三角形的性质可得答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：， ， ， ， ， . 22. 如图1，在中，是它的角平分线． （1）求证：； （2）如图2，在中，是它的角平分线，且，请同学们探究线段、、三者的数量关系，并证明． 【答案】（1） 证明：作，，垂足为E、F， 平分， ， ； （2）， 解：在上截取，连接，如图， 平分， ， 又， ， ，，， 又，且， ， ， ， ， 即． 【解析】 【分析】本题考查角平分线的性质、等腰三角形的判定、全等三角形的判定与性质、三角形的外角性质，添加辅助线是解答的关键． （1）作，，垂足为E、F，根据角平分线的性质得到，再利用三角形的面积公式求解即可； （2）在上截取，连接，先证明，得到，，，再利用三角形的外角性质和等角对等边得到，进而可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $