精品解析：吉林省长春市绿园区2024-2025学年八年级下学期期末数学试卷

吉林省长春市绿园区2024-2025学年八年级下学期期末数学试卷 本试卷包括三道大题，共24小题，共8页．全卷满分120分．考试时间为120分钟． 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将条形码准确粘贴在条形码区域内． 2．答题时，考生务必按照考试要求在答题卡上的指定区域内作答，在草稿纸、试卷上答题无效． 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 函数中，自变量x的取值范围是（ ） A B. C. D. 2. “白日不到处，青春恰自来．苔花如米小，也学牡丹开．”这是清朝袁枚所写五言绝句《苔》，这首咏物诗启示我们身处逆境也要努力绽放自己，要和苔花一样尽自己所能实现人生价值．苔花也被称为“坚韧之花”．袁枚所写的“苔花”很可能是苔类孢子体的苞荫，某孢子体的苞荫直径约为，将数据0.0000084用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 已知反比例函数的图象在二、四象限，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 4. 一次演讲比赛中，评委将从演讲内容、演讲能力、演讲效果三个方面为选手打分．各项成绩均按百分制计，然后再按演讲内容占、演讲能力占、演讲效果占计算选手的综合成绩（百分制）．某选手上述三项成绩分别为分，分，分．这名选手的综合成绩为（ ） A. 分 B. 92分 C. 分 D. 94分 5. 若将直线向上平移2个单位，则平移后得到的直线与y轴的交点坐标为（ ） A. （0，2） B. （0，－5） C. （1，0） D. （0，－1） 6. 已知四边形是平行四边形，当时，它是（ 　　） A. 正方形 B. 菱形 C. 矩形 D. 平行四边形 7. 如图，在中，的平分线交于点，过点A作，垂足为点，若，，则的长为（ ） A 8 B. 13 C. 16 D. 18 8. 如图，在平面直角坐标系中，是反比例函数图象上第三象限上的点，连结并延长交该函数第一象限的图象于点，过点作轴交函数的图象于点，连结．若的面积为3，则的值为（ ） A. 3 B. C. 4 D. 7 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 9. 计算：_____________． 10. 甲、乙、丙、丁四名同学参加立定跳远训练，他们成绩的平均数相同，方差如下：，，则这四名同学中成绩最稳定的是_________． 11. 如图，在矩形中，对角线相交于点，，则______． 12. 如图，在平面直角坐标系中，点是坐标原点．函数图象相交于点，若关于的不等式的解集是，则点的坐标是________________． 13. 如图，在中，，于点E，若，则______． 14. 如图，在正方形中，对角线、相交于点O，过点O作射线、分别交边、于点E、F，且，连结．给出下面四个结论： ①； ②； ③四边形的面积为正方形面积的； ④． 上述结论中，所有正确的序号是__________． 三、解答题:本题共10小题,共78分． 15. 先化简，再求值：，其中 16. 如图，在中，点A、C分别在的延长线上，且．求证：四边形是平行四边形． 17. 无人机是现代科技领域的重要创新之一，使用无人机对茶园进行病虫害防治，可以提高效率．已知使用无人机每小时对茶园打药的作业面积是人工每小时对茶园打药的作业面积的6倍，若使用无人机对600亩茶园打药的时间比人工对300亩茶园打药的时间少20小时，求使用无人机每小时对茶园打药的作业面积． 18. 图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图，所画图形的顶点均在格点上． （1）在图①中画一个面积为4的四边形，使该四边形是中心对称图形，且不是轴对称图形． （2）在图②中画一个面积为4的菱形，且邻边不垂直． （3）在图③中画一个面积为4的矩形，使其边都是无理数，且邻边不相等． 19. 如图，在中，平分交于点，点在线段上，点在的延长线上，且，连结． （1）求证：四边形菱形； （2）若，则菱形的周长是__________． 20. 小刚在今年的全校篮球联赛中表现优异，下表是他在这场联赛中，分别与甲队和乙队各四场比赛中的得分统计（其中得分、篮板、失误的单位均是分）． 场次 对阵甲队 对阵乙队 得分 篮板 失误 得分 篮板 失误 第一场 21 10 2 25 17 2 第二场 29 10 2 31 15 0 第三场 24 14 3 16 12 4 第四场 26 10 5 2 8 2 平均值 11 3 18.5 13 2 （1）小刚在对阵甲队时的平均每场得分a的值是 ． （2）小刚在这8场比赛的篮板统计中，众数是 分，中位数是 分． （3）如果规定综合得分为：平均每场得分平均每场篮板平均每场失误，且综合得分越高表现越好，通过计算说明小刚在对阵哪一个队时表现更好． 21. 小明从家出发，外出散步，到一个公共健身区活动了一会后，继续散步了一段时间到达了超市，然后回家，如图是小明在散步过程中离家的路程（米）与离开家的时间（分）之间的函数图象，根据图象信息解答下列问题． （1）小明散步的速度为__________米／分； （2）求小明回家过程中与之间的函数关系式； （3）在整个过程中，当小明距离超市的路程是100米时，直接写出小明离开家的时间． 22. 如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，矩形的顶点在反比例函数的图象上，轴于点A．点D为边中点，过点D作交该函数图象于点E，过点E作轴于点F，过点E的正比例函数的图象与该函数的另一个交点为点G． （1） ． （2）求点E坐标及四边形的面积． （3）当正比例函数的值大于反比例函数的值时，直接写出x的取值范围． 23. 【教材呈现】华师版八年级下册数学教材第121页习题19.3第2小题及部分答案如下． 2．如图，在正方形中，．求证：． 证明：设与交于点O， 四边形是正方形， ． ．．．．．． 根据上述内容，请你把上述证明过程补充完整． 【类比探究】如图①，在正方形中，点E、F、G、H分别在线段上，且．则的值为____________． 【拓展探究】如图②，在正方形中，点E为上一点，分别交于F、G，垂足为点O．若正方形的边长为12，，则四边形的面积为____________． 24. 如图，在矩形中，，连结．动点从点出发，沿方向以每秒2个单位长度的速度向终点运动，同时动点从点出发，沿方向以每秒1个单位长度的速度向终点运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点运动的时间是秒（），过点作于点，连结． （1）用含的式子表示的长度：____________； （2）求证：四边形是平行四边形； （3）连结，当时，求的值； （4）当点关于点的对称点在的边上时，直接写出的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 吉林省长春市绿园区2024-2025学年八年级下学期期末数学试卷 本试卷包括三道大题，共24小题，共8页．全卷满分120分．考试时间为120分钟． 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将条形码准确粘贴在条形码区域内． 2．答题时，考生务必按照考试要求在答题卡上的指定区域内作答，在草稿纸、试卷上答题无效． 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 函数中，自变量x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据分式有意义的条件计算即可． 【详解】∵函数有意义， ∴． 即， 故选A． 【点睛】本题考查了函数有意义的条件，熟练掌握分母不为零是解题的关键． 2. “白日不到处，青春恰自来．苔花如米小，也学牡丹开．”这是清朝袁枚所写五言绝句《苔》，这首咏物诗启示我们身处逆境也要努力绽放自己，要和苔花一样尽自己所能实现人生价值．苔花也被称为“坚韧之花”．袁枚所写的“苔花”很可能是苔类孢子体的苞荫，某孢子体的苞荫直径约为，将数据0.0000084用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了科学记数法，关键是理解运用科学记数法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，据此求解即可． 【详解】解：． 故选：C． 3. 已知反比例函数的图象在二、四象限，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由题意根据反比例函数的性质即可确定的符号，进行计算从而求解． 【详解】解：因为反比例函数的图象在二、四象限， 所以，解得. 故选：D. 【点睛】本题考查反比例函数的性质，注意掌握反比例函数，当 k＞0时，反比例函数图象在一、三象限；当k＜0时，反比例函数图象在第二、四象限内． 4. 一次演讲比赛中，评委将从演讲内容、演讲能力、演讲效果三个方面为选手打分．各项成绩均按百分制计，然后再按演讲内容占、演讲能力占、演讲效果占计算选手的综合成绩（百分制）．某选手上述三项成绩分别为分，分，分．这名选手的综合成绩为（ ） A. 分 B. 92分 C. 分 D. 94分 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了加权平均数的计算，熟练掌握公式是解题的关键．根据加权平均数计算公式进行计算，即可求解． 【详解】解： 故选：A． 5. 若将直线向上平移2个单位，则平移后得到的直线与y轴的交点坐标为（ ） A. （0，2） B. （0，－5） C. （1，0） D. （0，－1） 【答案】D 【解析】 【分析】先求出平移后得到的直线解析式，再求出当时，的值即可得． 【详解】解：将直线向上平移2个单位后得到的直线解析式为，即为， 当时，， 即平移后得到的直线与轴的交点坐标为， 故选：D． 【点睛】本题考查了一次函数图象的平移、一次函数图象与坐标轴的交点坐标，熟练掌握一次函数图象的平移规律是解题关键． 6. 已知四边形是平行四边形，当时，它是（ 　　） A 正方形 B. 菱形 C. 矩形 D. 平行四边形 【答案】C 【解析】 【分析】对角线相等的平行四边形是矩形，根据矩形的判定定理即可得出答案． 【详解】因为对角线相等的平行四边形是矩形， 故选：C． 【点睛】本题考查了矩形的判定定理，掌握判定定理是本题的关键． 7. 如图，在中，的平分线交于点，过点A作，垂足为点，若，，则的长为（ ） A. 8 B. 13 C. 16 D. 18 【答案】D 【解析】 【分析】首先利用平行四边形的性质及角平分线的性质得到，然后利用等腰三角形的三线合一的性质得到，利用勾股定理求得，即可求得答案． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ， ， 的平分线交于点E， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， 故选：D． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质及等腰三角形的判定与性质的知识，解题的关键是证得，难度不大． 8. 如图，在平面直角坐标系中，是反比例函数图象上第三象限上的点，连结并延长交该函数第一象限的图象于点，过点作轴交函数的图象于点，连结．若的面积为3，则的值为（ ） A. 3 B. C. 4 D. 7 【答案】C 【解析】 【分析】先设点A坐标，根据反比例函数的对称性表示B的坐标，由结合点C在上表示点C坐标，进而表示出的面积，进行计算即可． 【详解】∵点A在双曲线第三象限的分支上 ∴设点A，则B ∵轴交反比例函数的图象与点C ∴C ∵的面积为3 ∴ 解得： 故选：C． 【点睛】本题考查了反比例函数与几何图形的综合问题，能熟练的将点的坐标转化为线段长度，表示出三角形的面积是解题的关键． 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 9. 计算：_____________． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查了实数的运算及零次幂，结合定义依次把，算出即可． 【详解】解：原式． 故答案为：3． 10. 甲、乙、丙、丁四名同学参加立定跳远训练，他们成绩的平均数相同，方差如下：，，则这四名同学中成绩最稳定的是_________． 【答案】丁 【解析】 【分析】本题主要考查方差的意义，熟练掌握方差的意义是解题关键． 根据方差的意义，即“方差越小，数据波动越小”即可求解． 【详解】解：∵，，，， 丁的方差最小， 成绩最稳定的是丁， 故答案为：丁． 11. 如图，在矩形中，对角线相交于点，，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，等边三角形的判定和性质，由矩形的性质可得，进而可得为等边三角形，即得，据此即可求解，掌握矩形的性质是解题的关键． 【详解】解：∵四边形矩形， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∴， 故答案为：． 12. 如图，在平面直角坐标系中，点是坐标原点．函数图象相交于点，若关于的不等式的解集是，则点的坐标是________________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系，观察图象得出函数的图象交点的横坐标为，然后代入已知的函数解析式即可求解． 【详解】解：∵关于的不等式的解集是， ∴函数的图象交点的横坐标为， 当时，， ∴点的坐标是， 故答案为：． 13. 如图，在中，，于点E，若，则______． 【答案】 【解析】 【分析】证明，，由，可得，结合，可得． 【详解】解：∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； 故答案为： 【点睛】本题考查的是等腰三角形的性质，平行四边形的性质，三角形的内角和定理的应用，熟记基本几何图形的性质是解本题的关键． 14. 如图，在正方形中，对角线、相交于点O，过点O作射线、分别交边、于点E、F，且，连结．给出下面四个结论： ①； ②； ③四边形的面积为正方形面积的； ④． 上述结论中，所有正确的序号是__________． 【答案】①②③ 【解析】 【分析】此题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等，理解正方形的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质，勾股定理是解决问题的关键． ①根据正方形性质得，由此得，由此可依据“”判定和全等，据此可对结论①进行判定；②由得，据此可对结论②进行判定；③由得，则，再根据正方形的性质得，据此可对结论③进行判定；④由结论②正确得，在中由勾股定理得，则，再根据为斜边得，则，据此可对结论④进行判定，综上所述即可得出答案． 【详解】解：①∵四边形为正方形，对角线相交于点， ， ， ， ， ， 在和中， ， ，故结论①正确； ②由①的结论正确得：， 故结论②正确； ③由①的结论正确得：， ， ， ∵四边形为正方形， ， ， ∴， ∴，故结论③正确； ④结论②正确得：， 在中，由勾股定理得：， ， 在中，为斜边， ， ， ， 故结论④不正确， 综上所述：正确的结论是①②③． 故答案为：①②③． 三、解答题:本题共10小题,共78分． 15. 先化简，再求值：，其中 【答案】；3． 【解析】 【分析】本题考查分式化简求值，先通分算括号内的，把除化为乘，再约分，化简后将x的值代入计算即可，解题的关键是掌握分式的基本性质． 【详解】解：原式 ； 当时， 原式 16. 如图，在中，点A、C分别在的延长线上，且．求证：四边形是平行四边形． 【答案】见解析 【解析】 【分析】此题考查平行四边形的判定与性质，掌握平行四边形的基本判定方法是解决问题的关键． 根据平行四边形的性质得出，得出，再由平行四边形的性质和判定即可证明． 【详解】证明：四边形是平行四边形， ， ， ， 即， 四边形是平行四边形， ∴， 四边形是平行四边形． 17. 无人机是现代科技领域的重要创新之一，使用无人机对茶园进行病虫害防治，可以提高效率．已知使用无人机每小时对茶园打药的作业面积是人工每小时对茶园打药的作业面积的6倍，若使用无人机对600亩茶园打药的时间比人工对300亩茶园打药的时间少20小时，求使用无人机每小时对茶园打药的作业面积． 【答案】使用无人机每小时对茶园打药的作业面积是60亩． 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用，弄清题意，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键． 设人工每小时对茶园打药的作业面积是x亩，根据等量关系列出分式方程即可求解 【详解】解：设人工每小时对茶园打药的作业面积是x亩，则使用无人机每小时对茶园打药的作业面积是亩． 由题意，得． 解得． 经检验，是原方程的解，且符合题意． 答：使用无人机每小时对茶园打药的作业面积是60亩． 18. 图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图，所画图形的顶点均在格点上． （1）在图①中画一个面积为4的四边形，使该四边形是中心对称图形，且不是轴对称图形． （2）在图②中画一个面积为4的菱形，且邻边不垂直． （3）在图③中画一个面积为4的矩形，使其边都是无理数，且邻边不相等． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3）见解析 【解析】 【分析】本题考查了画中心对称图形、菱形、矩形、平行四边形，以及勾股定理与无理数等知识点，熟练掌握网格作图的方法是解题关键． （1）结合网格特点和中心对称图形的定义，画出一个面积为的平行四边形即可； （2）结合网格特点和菱形的面积公式，画出一个对角线长分别为和的菱形即可； （3）结合网格特点和勾股定理、矩形的判定画图即可得． 【小问1详解】 解：平行四边形即为所作： 【小问2详解】 解：菱形即为所作： 【小问3详解】 解：矩形形即为所作： 19. 如图，在中，平分交于点，点在线段上，点在的延长线上，且，连结． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，则菱形的周长是__________． 【答案】（1）见解析 （2）12 【解析】 【分析】本题考查了菱形的判定与性质，等腰三角形的性质，等边三角形的判定与性质，熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键． （1）要证四边形是菱形，先根据等腰三角形三线合一得、，结合证其为平行四边形，再由证得菱形； （2）先得到，那么可证明是等边三角形，则，再由菱形的四边相等可求解周长． 【小问1详解】 证明：，平分于点， ，． ， 四边形是平行四边形． ，点在的延长线上， ， 是菱形． 【小问2详解】 解：四边形是菱形， ， ，， ． ∴是等边三角形， ∴， ∴菱形的周长是， 故答案为：12． 20. 小刚在今年的全校篮球联赛中表现优异，下表是他在这场联赛中，分别与甲队和乙队各四场比赛中的得分统计（其中得分、篮板、失误的单位均是分）． 场次 对阵甲队 对阵乙队 得分 篮板 失误 得分 篮板 失误 第一场 21 10 2 25 17 2 第二场 29 10 2 31 15 0 第三场 24 14 3 16 12 4 第四场 26 10 5 2 8 2 平均值 11 3 18.5 13 2 （1）小刚在对阵甲队时的平均每场得分a的值是 ． （2）小刚在这8场比赛的篮板统计中，众数是 分，中位数是 分． （3）如果规定综合得分为：平均每场得分平均每场篮板平均每场失误，且综合得分越高表现越好，通过计算说明小刚在对阵哪一个队时表现更好． 【答案】（1）25 （2）10，11 （3）小刚在对阵甲队时表现更好，理由见解析 【解析】 【分析】（1）根据平均数的计算方法求解即可； （2）根据众数，中位数的概念求解即可； （3）根据“综合得分”的计算方法求出小刚在对阵甲队和乙队时的得分，然后比较求解即可． 本题考查了平均数，众数，中位数，加权平均数的计算，掌握以上计算方法是关键． 【小问1详解】 解： ， 小刚在对阵甲队时的平均每场得分的值是25． 故答案为：25； 【小问2详解】 解：在这8场比赛的篮板统计数据中，10出现的次数最多， 众数是10， 从小到大排列为：8，10，10，10，12，14，15，17， 在中间的两个数为10，12， 中位数为， 故答案为：10；11； 【小问3详解】 解：小刚在对阵甲队时的“综合得分”为：， 对阵乙队时的“综合得分”为：， ， 小刚在对阵甲队时表现更好． 21. 小明从家出发，外出散步，到一个公共健身区活动了一会后，继续散步了一段时间到达了超市，然后回家，如图是小明在散步过程中离家的路程（米）与离开家的时间（分）之间的函数图象，根据图象信息解答下列问题． （1）小明散步的速度为__________米／分； （2）求小明回家过程中与之间的函数关系式； （3）在整个过程中，当小明距离超市的路程是100米时，直接写出小明离开家的时间． 【答案】（1）80 （2） （3）或 【解析】 【分析】本题考查的是一次函数图象的综合应用，利用已知信息和图象所给的数据分析题意是解题关键． （1）根据路程除以时间即可求出结论； （2）运用待定系数法求出小明回家过程中与之间的函数关系式即可； （3）求出小明从公共健身区到达超市表示的直线解析式，然后结合题意可确定到超市之前的时间；再由（2）中结果确定从超市回家过程中满足条件的情况即可． 【小问1详解】 解：（米/分）， 故答案为：80． 【小问2详解】 设y与x之间的函数关系式为． 由题意，得． 解得． ∴y与x之间的函数关系式为． 【小问3详解】 设小明从公共健身区到达超市表示的直线解析式为 将代入得， 解得， ∴， ∵小明距离超市的路程是100米时， ∴， 解得：； 当小明从超市回家的过程中，距离超市100米时， ， 解得：； ∴明离开家的时间为分或分． 22. 如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，矩形的顶点在反比例函数的图象上，轴于点A．点D为边中点，过点D作交该函数图象于点E，过点E作轴于点F，过点E的正比例函数的图象与该函数的另一个交点为点G． （1） ． （2）求点E的坐标及四边形的面积． （3）当正比例函数的值大于反比例函数的值时，直接写出x的取值范围． 【答案】（1）8 （2），四边形的面积为4 （3）或 【解析】 【分析】本题考查的是反比例函数与一次函数的交点问题，能利用函数图象求出不等式的取值范围是解题的关键． （1）直接把点代入反比例函数，求出的值即可； （2）根据点为边中点求出点坐标，进而可得出点坐标，由轴，轴可知四边形是正方形，进而可得出其面积； （3）先求出点坐标，再由函数图象可直接得出结论． 【小问1详解】 解：∵点在反比例函数的图象上， ， 解得， 故答案为：8； 【小问2详解】 解：∵点为边中点，， ∴， ∵， ∴反比例函数的解析式为， ∵交该函数图象于点， ∴当时，， 解得， ∴， ∴， ∵轴，轴，， ∴四边形是正方形， ∴四边形的面积； 【小问3详解】 解：∵， ∴， ∴当或时，正比例函数的值大于反比例函数的值． 23. 【教材呈现】华师版八年级下册数学教材第121页习题19.3第2小题及部分答案如下． 2．如图，在正方形中，．求证：． 证明：设与交于点O， 四边形正方形， ． ．．．．．． 根据上述内容，请你把上述证明过程补充完整． 【类比探究】如图①，在正方形中，点E、F、G、H分别在线段上，且．则的值为____________． 【拓展探究】如图②，在正方形中，点E为上一点，分别交于F、G，垂足为点O．若正方形的边长为12，，则四边形的面积为____________． 【答案】教材呈现：见解析；类比探究：1；拓展探究： 【解析】 【分析】本题考查的是正方形的性质、全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质及勾股定理应用，理解题意，作出辅助线，综合运用这些知识点是解题关键． 教材呈现：直接证明即可证明结论； 类比探究：过点A作交于点M，作交的延长线于点N，证明即可证明结论； 拓展探究：先求出，进而求出面积． 【详解】解：教材呈现： 证明：设与交于点O， ∵四边形是正方形， ∴， ∴． ∵， ∴． ∴． ∴． ∴． ∴． 类比探究：解：过点A作交于点M，作交的延长线于点N， ∵四边形是正方形， ∴， ∴四边形是平行四边形，四边形是平行四边形， ∴， 在正方形中，， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，即， ∴； 拓展探究：， 由类比探究知，， 正方形的边长为12，， , ， 则四边形的面积 ． 24. 如图，在矩形中，，连结．动点从点出发，沿方向以每秒2个单位长度的速度向终点运动，同时动点从点出发，沿方向以每秒1个单位长度的速度向终点运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点运动的时间是秒（），过点作于点，连结． （1）用含的式子表示的长度：____________； （2）求证：四边形是平行四边形； （3）连结，当时，求的值； （4）当点关于点的对称点在的边上时，直接写出的值． 【答案】（1） （2）见解析 （3） （4）3或4 【解析】 【分析】本题考查了几何中的动点问题，涉及了含度角的直角三角形的性质：度角所对的直角边是斜边的一半，平行四边形的判定与性质等知识点，掌握相关结论即可； （1）由题意得：，结合，即可求解； （2）由题意可知，推出；根据，推出，即可求证； （3）由题意得，根据，推出，即可求解； （4）分类讨论当在边上时，当在边上时，两种情况即可求解； 【小问1详解】 解：由题意得：， ∵，， ∴， 故答案为： 小问2详解】 证明：由题意可知， ∴ 又∵， ∴， ∴四边形为平行四边形； 【小问3详解】 解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ ∵， ∴ 即， 解得； 【小问4详解】 解：当在边上时，如图所示： 由矩形的对称性可知：点为矩形对角线的交点， ∴， 即，解得：； 当在边上时，如图所示： ∵， ∴点是的中点， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴，即， 解得：； 综上所述：的值为3或4 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $