1.2一定是直角三角形吗 同步练习 北2025—2026学年北师大版数学八年级上册

第一章 勾股定理 1.2一定是直角三角形吗 七年级数学上册北师大版（2024） 原卷 知识梳理 一、勾股定理的逆定理 勾股定理的逆定理:如果三角形三边长分别为a，b，c，满足a²+b²=c²，则这个三角形是以c为斜边的直角三角形。 二、勾股定理逆定理的证明 勾股定理逆定理的证明:如图，AB=c，AC=b,CB=a，当a²+b²=c²，证明:△ABC是直角三角形。 证明:过点A作AD垂直于CB交CB于点D，设CD=x. 根据勾股定理b²- x²=c²-(a±x)²将a²+b²=c²代入得±2ax=0，∴x=0 ∴点D与点C重合∴AC⊥CB∴△ABC为直角三角形 注:勾股定理的逆定理主要用于证明三角形是直角三角形. 三、勾股数 像15，8，17 这样，能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，即满足不定方程a²+b²=c²的三个正整数，称为勾股数(又称为高数或毕达哥拉斯数) 显然, 以a、b、c为三边长的三角形一定是直角三角形, 勾股数满足两个条件:①满足勾股定理；②三个正整数 熟悉下列勾股数: ①3、4、5; ②5、12、13:③8、15、17:④7、24、25:⑤9、40、41..... 如果a、b、c是勾股数，当t为正整数时，以at、bt、ct为三角形的三边长，此三角形必为直角三角形， 提示: (1) n²-1，2n，n²+1(n>l,n是自然数)是直角三角形的三条边长: (2) 2n²+2n,2n +1, 2n²+2n+1(n是自然数)是直角三角形的三条边长; (3) m²-n²，m²+n²，2mn(m>n,m、n是自然数)是直角三角形的三条边长: 例1.下列各组数据中，不是勾股数的是( ) A.3，4，5 B.7，24，25 C.8，15，17 D.10,12,14 四、直角三角形的判定（用勾股定理） （1)勾股定理的逆定理的作用是判定某一个三角形是否是直角三角形. （2)勾股定理的逆定理是把“数”转为“形”，是通过计算来判定一个三角形是否为直角三角形。 （3)当a²+b²<c²时，此三角形为钝角三角形;当a²+b²>c²时，此三角形为锐角三角形. 例2.下列条件中，不能判定ABC为直角三角形的是( ) A.a：b：c=5:12:13 B.∠A:∠B:∠C=2:3:5 C.a=9k,b=40k,c=41k(k>0) D.a=3²，b=4²，c=5² 同步练习 1.判断下列三角形是直角三角形吗?（括号内填“是”或“不是”） （ ） （ ） （ ） （ ） 2.△ABC中，如果三边满足关系BC²=AB²+AC²，则△ABC的直角是( ) A.∠C B.∠A C.∠B D.不能确定 3.△ABC三边分别为a、b、c，下列能说明△ABC是直角三角形的是( ) A.b²=a²-c² B.a:b:c=1:2:2 C.2∠C=∠A+∠B D.∠A:∠B:∠C=3:4:5 4.下列各组数是勾股数的是( ) A.4，5，6 B. 6，8，10 C.3²，4²，5² D. 7，12，13 5.△ABC的三边为a,b,c且(a+b)(a-b) =c²,则该三角形是( ) A.锐角三角形 B.以c为斜边的直角三角形 C.以b为斜边的直角三角形 D.以a为斜边的直角三角形 6.如图，在4x4的正方形网格中(每个小正方形边长均为1)，点A，B，C在格点上，连接AB,AC，BC，则△ABC的形状是( ) A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.无法确定 7.在学习“勾股数”的知识时，小明发现了一组有规律的勾股数，并将它们记录在如下的表格中， 则当a=24时，b+c的值为( ) A.162 B.200 C.242 D.288 8.满足a²+b²=c²的三个正整数，称为勾股数.请把下列三组勾股数补充完整: ①____，8，10 ； ②5，_____，13 ； ③8，15，___. 9.若一个三角形的三边长的平方分别为:3²，4²，x²则此三角形是直角三角形的x²的值是　 　 . 10.如图是单位长度为1的网格图，A、B、C、D是4个网格线的交点，以其中两点为端点的线段中，任意取3条，能够组成____个直角三角形， 11.《九章算术》提供了许多整勾股数，如(3，4，5)，(5，12，13)，(7，24，25)等，并把一组勾股数中最大的数称为“弦数”，后人在此基础上进一步研究，得到如下规律:若m是大于1的奇数，把它平方后拆成相邻的两个整数，那么m与这两个整数构成组勾股数:若m是大于2的偶数，把它除以2后再平方，然后把这个平方数分别减1，加1得到两个整数，那么m与这两个整数构成组勾股数，由上述方法得到的勾股数称为“由m生成的勾股数”，根据以上规律，“由8生成的勾股数”的“弦数”是　 　 . 12.如图，正方形网格中，每个小正方形的边长为1,请判断△ABC是不是直角三角形，并说明理由. 13.已知Rt△ABC中，∠C=90°，AH=3，CH=4，AC=5，求BH的长. 14.已知，如图，AB=3，AD=4，BC=13，CD=12，且∠A=90°. (1)求BD的长. (2)判断△BCD是什么三角形，并说明理由? 15.如图所示，在△ABC中，AB:BC:CA=3:4:5，且周长为36cm，点P从点A开始沿边向B点以每秒1cm的速度移动，点Q从点B沿BC边向点C以每秒2cm的速度移动，如果同时出发，问过3秒时，△BPQ的面积为多少? 16.如图(1)是超市的儿童玩具购物车，图(2)为其侧面简化示意图，测得支架AC=24cm，CB=18cm，两轮中心的距离AB=30cm，求点C到AB的距离，(结果保留整数) 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第一章 勾股定理 1.2一定是直角三角形吗 七年级数学上册北师大版（2024） 参考答案与试题解析 知识梳理 一、勾股定理的逆定理 勾股定理的逆定理:如果三角形三边长分别为a，b，c，满足a²+b²=c²，则这个三角形是以c为斜边的直角三角形。 二、勾股定理逆定理的证明 勾股定理逆定理的证明:如图，AB=c，AC=b,CB=a，当a²+b²=c²，证明:△ABC是直角三角形。 证明:过点A作AD垂直于CB交CB于点D，设CD=x. 根据勾股定理b²- x²=c²-(a±x)²将a²+b²=c²代入得±2ax=0，∴x=0 ∴点D与点C重合∴AC⊥CB∴△ABC为直角三角形 注:勾股定理的逆定理主要用于证明三角形是直角三角形. 三、勾股数 像15，8，17 这样，能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，即满足不定方程a²+b²=c²的三个正整数，称为勾股数(又称为高数或毕达哥拉斯数) 显然, 以a、b、c为三边长的三角形一定是直角三角形, 勾股数满足两个条件:①满足勾股定理；②三个正整数 熟悉下列勾股数: ①3、4、5; ②5、12、13:③8、15、17:④7、24、25:⑤9、40、41..... 如果a、b、c是勾股数，当t为正整数时，以at、bt、ct为三角形的三边长，此三角形必为直角三角形， 提示: (1) n²-1，2n，n²+1(n>l,n是自然数)是直角三角形的三条边长: (2) 2n²+2n,2n +1, 2n²+2n+1(n是自然数)是直角三角形的三条边长; (3) m²-n²，m²+n²，2mn(m>n,m、n是自然数)是直角三角形的三条边长: 例1.下列各组数据中，不是勾股数的是( ) A.3，4，5 B.7，24，25 C.8，15，17 D.10,12,14 例1.[答案]D [分析]分别求出两小边的平方和和最长边的平方，看看是否相等即可 【解答】解:A、3²+4²=9+16=25，5²=25 ∴3²+4²=5², 即3，4，5是勾股数，故本选项不符合题意: B. 7²+24²=49+576=625，25²=625， ∴7²+24²=25², 即7，24，25是勾股数，故本选项不符合题意; C.8²+15²=64+225=289，17²=289, ∴8²+15²=17², 即 8，15，17是勾股数，故本选项不符合题意: D.10²+12²=100+144=244，14²=196, ∴10²+12²≠14², 即10，12，14不是勾股数，故本选项符合题意; 故选:D. [点睛]本题考查了勾股数，如果两数的平方和等于第三个数的平方，那么这三个数叫勾股数. 四、直角三角形的判定（用勾股定理） （1)勾股定理的逆定理的作用是判定某一个三角形是否是直角三角形. （2)勾股定理的逆定理是把“数”转为“形”，是通过计算来判定一个三角形是否为直角三角形。 （3)当a²+b²<c²时，此三角形为钝角三角形;当a²+b²>c²时，此三角形为锐角三角形. 例2.下列条件中，不能判定ABC为直角三角形的是( ) A.a：b：c=5:12:13 B.∠A:∠B:∠C=2:3:5 C.a=9k,b=40k,c=41k(k>0) D.a=3²，b=4²，c=5² 例2.【解答】解析A.因为a:b:c=5:12:13,设a=5x,b=12x,c= 13x,(5x)²+(12x)²=(13x)²,所以△ABC是直角三角形; B.因为∠A:∠B:∠C=2:3:5,且∠A+∠B+∠C=180°,所以∠C=180°×=90°,所以△ABC是直角三角形; C.因为(9k)²=(41k)²-(40k)²,所以△ABC是直角三角形; D.因为(3²)²≠(5²)²-(4²)²,所以△ABC不是直角三角形. 故选 D. 同步练习 1.判断下列三角形是直角三角形吗?（括号内填“是”或“不是”） （ ） （ ） （ ） （ ） 1.【答案为】：是，不是，是，是 2.△ABC中，如果三边满足关系BC²=AB²+AC²，则△ABC的直角是( ) A.∠C B.∠A C.∠B D.不能确定 2.【答案为】：B 3.△ABC三边分别为a、b、c，下列能说明△ABC是直角三角形的是( ) A.b²=a²-c² B.a:b:c=1:2:2 C.2∠C=∠A+∠B D.∠A:∠B:∠C=3:4:5 3.【解答】解:A、由可根据勾股定理逆定理得△ABC是直角三角形，故符合题意; B、由a:b:c=1:2:2可得,则△ABC是等腰三角形，故不符合题意; C、由2∠C=∠A+∠B结合三角形内角和可得∠C=60°，但不能判定△ABC是直角三角形，故不符合题意; D、由∠A: ∠B: ∠C=3:4:5结合三角形内角和可得，所以△ABC不是直角三角形; 故选A. [总结]本题主要考查勾股定理逆定理及三角形内角和，熟练掌握勾股定理逆定理及三角形内角和是解题的关键. 4.下列各组数是勾股数的是( ) A.4，5，6 B. 6，8，10 C.3²，4²，5² D. 7，12，13 4.【答案为】：B 5.△ABC的三边为a,b,c且(a+b)(a-b) =c²,则该三角形是( ) A.锐角三角形 B.以c为斜边的直角三角形 C.以b为斜边的直角三角形 D.以a为斜边的直角三角形 5.【解答】解:由题意，a²-b²=c², ∴b²+c²=a², 此三角形三边关系符合勾股定理的逆定理， 所以此三角形是以a为斜边的直角三角形。 故选:D. [总结]考查了勾股定理的逆定理，解答此题要用到勾股定理的逆定理:已知三角形ABC的三边满足a²+b²=c²，则三角形ABC是直角三角形。 6.如图，在4x4的正方形网格中(每个小正方形边长均为1)，点A，B，C在格点上，连接AB,AC，BC，则△ABC的形状是( ) A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.无法确定 6.【解答】解:由题意得:AC²=1²+2²=5，AB²=2²+4²=20 ，BC²=3²+4²=25， ∵5+20=25， ∴AC²+ AB²=BC², ∴∠BAC=90°, ∴△ABC为直角三角形. 故选:B. [总结]本题考查的了勾股定理和勾股定理的逆定理，掌握勾股定理和逆定理是解决问题的关键. 7.在学习“勾股数”的知识时，小明发现了一组有规律的勾股数，并将它们记录在如下的表格中， 则当a=24时，b+c的值为( ) A.162 B.200 C.242 D.288 7.【解答】解:从表中可知:a依次为6，8，10，12，14，16，18，20，22，24，..， 即24=2×(10+2). b依次为8，15，24，35，48，…，即当a=24时，b=12²-1=143, c依次为10，17，26，37，50，…，即当a=24时，c=12²+1=145, 所以当a=24时，b+c=143+145=288 故选:D. [总结]本题考查了勾股数，能根据表中数据得出b=(n+2)²-1,c=(n+2)²+1是解此题的关键. 8.满足a²+b²=c²的三个正整数，称为勾股数.请把下列三组勾股数补充完整: ①____，8，10 ； ②5，_____，13 ； ③8，15，___. 8.【答案为】：6，12，17 9.若一个三角形的三边长的平方分别为:3²，4²，x²则此三角形是直角三角形的x²的值是　 　 . 9.【解答】根据勾股定理的逆定理列出方程求解，有4²是斜边或者x²是斜边两种情况. 当4²是斜边时，3²+x²=4²，x²=4²-3²=7; 当x²是斜边时，x²=3²+4²=5²， 故答案为：5²或7. 10.如图是单位长度为1的网格图，A、B、C、D是4个网格线的交点，以其中两点为端点的线段中，任意取3条，能够组成____个直角三角形， 10.【解答】[详解]解:由勾股定理得: AD²=BD²=1²+3²=10. AC²=1²+2²=5, AB²=2²+4²=20, BC=CD²=25, ∴AD²+BD²=AB², AC²+AB²=BC², ∴能够组成2个直角三角形， 故答案为:2. [总结]本题考查了勾股定理、勾股定理的逆定理，解题的关键是熟练掌握勾股定理，由勾股定理的逆定理得出直角三角形, 11.《九章算术》提供了许多整勾股数，如(3，4，5)，(5，12，13)，(7，24，25)等，并把一组勾股数中最大的数称为“弦数”，后人在此基础上进一步研究，得到如下规律:若m是大于1的奇数，把它平方后拆成相邻的两个整数，那么m与这两个整数构成组勾股数:若m是大于2的偶数，把它除以2后再平方，然后把这个平方数分别减1，加1得到两个整数，那么m与这两个整数构成组勾股数，由上述方法得到的勾股数称为“由m生成的勾股数”，根据以上规律，“由8生成的勾股数”的“弦数”是　 　 . 11.[分析]直接根据题意分别得出由8生成的勾股数的*弦数”进而得出答案. 【解答】解:∵由8生成的勾股数的"弦数”记为A. ∴()²=16，16-1=15，16+1=17, 故A=17, 故答案为: 17 . [总结]本题考查勾股数问题,能理解题中的计算方式，并能依此计算是解决此题的关键.需注意在计算“由m 生成的勾股数”时，m分奇偶计算方式不同. 12.如图，正方形网格中，每个小正方形的边长为1,请判断△ABC是不是直角三角形，并说明理由. 12.【解答】如图所示：由勾股定理得AC²=6²+8²=100，BC²=2²+4²=20，AB²=8²+4²=80 ∵ BC²+AB²=20+80=100，AC²=100， ∴BC²+AB²=AC² ∴△ABC是直角三角形. 13.已知Rt△ABC中，∠C=90°，AH=3，CH=4，AC=5，求BH的长. 13.【解答】：∵AH= 3,CH=4,AC=5, ∴ AH² + CH² = AC², ∴△ACB是直角三角形， ∴∠AHC=90°，∠CHB=90°, ∴AB² - AC² = BC², BC²= CH² + BH², ∴AB² - AC² = CH² + BH², ∴(AH + BH)² - AC² =CH² + BH², ∵AH= 3,CH=4,AC =5, ∴(3 + BH)² - 5² = 4² + BH², 解得BH= 即BH的长是 【总结】根据AH=3,CH=4,AC =5，利用勾股定理的逆定理可以判断△AHC的形状，从而可以得到∠BHC=90°，再根据勾股定理即可得到BH的长. 14.已知，如图，AB=3，AD=4，BC=13，CD=12，且∠A=90°. (1)求BD的长. (2)判断△BCD是什么三角形，并说明理由? 14.[答案](1)5 (2)直角三角形，理由见解析 [分析](1)根据勾股定理求解即可; (2)根据勾股定理的逆定理求解即可。 【解答】(1)如图，在△ABD中，AB=3，AD=4，∠A=90°, ∴由勾股定理得BD²= AB²+AD²=3²+4²=25, 即BD=5 (2) △BCD是直角三角形，理由如下: 在△BCD中，BC=13，CD=12，BD=5， ∴BC²=169，BD² +CD²=5²+12²=169, ∴BC²=BD² +CD², ∴△BCD是直角三角形， [总结]本题考查了勾股定理，勾股定理的逆定理。注意:勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中. 15.如图所示，在△ABC中，AB:BC:CA=3:4:5，且周长为36cm，点P从点A开始沿边向B点以每秒1cm的速度移动，点Q从点B沿BC边向点C以每秒2cm的速度移动，如果同时出发，问过3秒时，△BPQ的面积为多少? 15.[分析]设AB为3xcm，则BC为4xcm，AC为5xcm，根据周长为36cm，可求出x的值，从而得到△ABC的三边长，得到△ABC是直角三角形，然后根据点P从点A开始沿边向B点以每秒1cm的速度移动:点Q从点B沿BC边向点C以每秒2cm的速度移动，如果同时出发，即可求出，△BPQ的面积. 【解答】]解:设AB为3xcm，则BC为4xcm，AC为5xcm, ∵周长为36cm， AB+BC+AC=36cm, ∴3x+4x+5x=36, 解得x=3, ∴AB=9cm，BC=12cm，AC=15cm, ∴AB²+BC²=AC², ∴△ABC是以AC为斜边的直角三角形，即∠ABC=90°， 过3秒时，BP=9-3×1=6(cm)，BQ=2×3=6(cm), ∴=BP·BQ=×6×6=18(cm²). 故过3秒时，△BPQ的面积为18cm². 16.如图(1)是超市的儿童玩具购物车，图(2)为其侧面简化示意图，测得支架AC=24cm，CB=18cm，两轮中心的距离AB=30cm，求点C到AB的距离，(结果保留整数) 16.【解答】解:过点C作CE⊥AB于点E,则CE的长即点C到AB的距离， 在△ABC中,∵AC=24,CB=18,AB=30， ∴AC²+CB² =24² +18²=900,AB²=30² =900， ∴ AC²+BC² =AB², ∴△ABC 为直角三角形,即∠ACB=90°. ∵=AC·BC=cE·AB， ∴AC·BC=CE·AB， 即 24×18=CE×30, ∴CE=14.4≈14. 即点C到AB的距离约为14cm. 学科网（北京）股份有限公司 $$