精品解析：吉林省白城市实验高级中学2024-2025学年高二下学期7月期末考试数学试题

白城实验高中2024-2025学年度高二下学期期末考试 数学试卷 一､单项选择题（本大题共8小题，每题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 掷两枚质地均匀的骰子，设“第一枚出现奇数点”，“第二枚出现偶数点”，则与的关系为（ ）． A. 互斥 B. 互为对立 C. 相互独立 D. 相等 【答案】C 【解析】 【分析】根据互斥、对立、独立事件的定义判断即可. 【详解】解：掷两枚质地均匀的骰子，设“第一枚出现奇数点”，“第二枚出现偶数点”， 事件与能同时发生，故事件与既不是互斥事件，也不是对立事件，故选项A，B错误； ，，，， 因为，所以与独立，故选项C正确； 事件与不相等，故选项D错误. 故选：C. 2. 已知，对任意都有，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】不妨设，则原不等式等价于，构造函数，则在上为减函数，从而有在上恒成立，注意到，然后对分和两种情况进行讨论即可求解. 【详解】解：由题意，不妨设， 因为， 所以，即， 令， 则，所以在上为减函数， 所以在上恒成立， 因为在上单调递减，所以， 当时，，所以在上单调递减， 所以成立，符合题意； 当时，令，得， 所以在上单调递增， 所以当时，，不符合题意. 综上，实数的取值范围是. 故选：C. 3. 在手工课上用半径为2的圆制作一个圆锥，要求圆锥的侧面积是底面面积的2倍，则制作的最大圆锥的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据圆锥的侧面展开图、圆锥的体积公式求解． 【详解】设制作的圆锥的母线长为，底面半径为， 则，所以， 此时圆锥的高， 则圆锥的体积． 又，所以，当时，圆锥的体积最大，最大体积为， 故选：B． 4. 函数且的图象恒过定点，若且，则的最小值为（ ） A. 9 B. 8 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求出函数过定点的坐标，再利用基本不等式求最值. 【详解】函数且的图象恒过定点，所以， ， ， 当且仅当，即等号成立， 所以的最小值为. 故选：B. 5. 如图所示，下列频率分布直方图显示了三种不同的分布形态.图（1）形成对称形态，图（2）形成“右拖尾”形态，图（3）形成“左拖尾”形态，根据所给图作出以下判断，正确的是（    ） A. 图（1）的平均数中位数众数 B. 图（2）的平均数<众数<中位数 C. 图（2）的众数中位数<平均数 D. 图（3）的平均数中位数众数 【答案】ACD 【解析】 【详解】根据平均数，中位数，众数的概念结合图形分析判断. 【分析】图（1）的分布直方图是对称的，所以平均数=中位数=众数，故A正确； 图（2）众数最小，右拖尾平均数大于中位数，故B错误，C正确； 图（3）左拖尾众数最大，平均数小于中位数，故D正确. 故选：ACD. 6. 如图，图案共分9个区域，有6中不同颜色的涂料可供涂色，每个区域只能涂一种颜色的涂料，其中2和9同色、3和6同色、4和7同色、5和8同色，且相邻区域的颜色不相同，则涂色方法有 A. 360种 B. 720种 C. 780种 D. 840种 【答案】B 【解析】 【详解】试题分析：由图可知，区域2,3,5,7不能同色，所以2和9同色、3和6同色、4和7同色、5和8同色，且各区域的颜色均不相同，所以涂色方法有种，故应选. 考点：1、涂色问题；2、排列组合. 7. 已知i为虚数单位，复数z满足，则z的虚部为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设，利用复数相等的性质与四则运算求得，从而得解. 【详解】依题意，设， 因为，所以， 即， 所以，解得， 则，的虚部为. 故选：B. 8. 把物体放在冷空气中冷却，如果物体原来的温度是θ1°C，空气的温度是θ0°C，那么t min后物体的温度θ（单位：°C），可由公式求得，其中k是一个随着物体与空气的接触情况而定的常数．现有60°C的物体，放在15°C的空气中冷却，3分钟以后物体的温度是42°C．则k的值为（精确到0.01） （ ） （参考数据：，） A. 0.51 B. 0.28 C. 0.17 D. 0.07 【答案】C 【解析】 【分析】根据所给数据代入方程即可求得结果. 【详解】由题可得，， ， . 故选：C． 二､多项选择题（本大题共3小题.每题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得部分分.） 9. 已知不等式的解集是，则下列结论正确的是（ ） A. 不等式的解集是 B. 不等式的解集是 C. 不等式的解集是或 D. 不等式的解集是 【答案】ABD 【解析】 【分析】 根据不等式的解与系数的关系得到，，依次代入不等式解得答案. 【详解】的解集是，故且，即， ，即，即，解集为，A正确； ，即，即，解集为， B正确C错误； ，即，即，解集为， D正确. 故选：ABD. 【点睛】本题考查了根据不等式的解求参数，解不等式，意在考查学生的计算能力和转化能力，确定是解题的关键. 10. 已知函数（其中）的部分图象如图所示，则（ ） A. 的最小正周期为 B. 的图象关于直线对称 C. D. 是的一个零点 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据图像求出函数解析式，然后逐项判断即可. 【详解】由图像可知， 设函数周期为，则由图像知，所以A正确； 则，所以， 由图像知为函数的一个最小值，所以， 得， 所以，所以， 由，得直线为的图象对称轴，B正确； ，所以D错误； ，C正确； 故选：ABC 11. 下列求导运算正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用导数的运算求解判断. 【详解】A. 因为，所以，故正确； B.因为，所以，故错误； C. 因为，所以，故正确； D. 因为，所以，故正确. 故选：ACD 三､填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.） 12. 已知非零向量，满足，，若，则在方向上的投影向量的坐标为_______． 【答案】 【解析】 【分析】根据已知求出.结合已知推得，求出，然后即可根据投影向量得出答案. 【详解】由已知可得，. 因为， 所以， 解得或（舍去）， 所以，， 所以，向量在向量方向上的投影向量为，坐标为. 故答案为：. 13. 已知函数，若，且在区间内有最大值，无最小值，则______________ 【答案】##. 【解析】 【分析】根据区间内最值情况和函数值相等可确定且，由此可求得. 【详解】区间内有最大值，无最小值，， 当时，取得最大值，即， 解得：， 又，即，，又，. 故答案为：##. 14. 某中学开展劳动实习，学生加工制作零件，零件的截面如图所示．O为圆孔及轮廓圆弧AB所在圆的圆心，A是圆弧AB与直线AG的切点，B是圆弧AB与直线BC的切点，四边形DEFG为矩形，BC⊥DG，垂足为C，tan∠ODC=，，EF=12 cm，DE=2 cm，A到直线DE和EF的距离均为7 cm，圆孔半径为1 cm，则图中阴影部分的面积为________cm2． 【答案】 【解析】 【分析】利用求出圆弧所在圆的半径，结合扇形的面积公式求出扇形的面积，求出直角的面积，阴影部分的面积可通过两者的面积之和减去半个单位圆的面积求得. 【详解】设，由题意，，所以， 因为,所以， 因为，所以， 因为与圆弧相切于点，所以， 即为等腰直角三角形； 在直角中，，， 因为，所以， 解得； 等腰直角的面积为； 扇形的面积， 所以阴影部分的面积为. 故答案为：. 【点睛】本题主要考查三角函数在实际中应用，把阴影部分合理分割是求解的关键，以劳动实习为背景，体现了五育并举的育人方针. 四､解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.） 15. 党的二十大报告提出：“全方位夯实粮食安全根基，牢牢守住十八亿亩耕地红线，确保中国人的饭碗牢牢端在自己手中.”粮食事关国运民生，粮食安全是“国之大者”，与社会和谐、政治稳定、经济持续发展等息息相关，粮稳则天下安.现有某品种杂交水稻，从中随机抽取15株作为样本进行观测，并记录每株水稻的生长周期(单位：天)，按从小到大排序结果如下： 93 97 98 101 103 104 107 108 109 110 112 116 121 124 126 已知这组样本数据的分位数、分位数分别为. （1）求； （2）在某科研任务中，把该品种所有生长周期位于区间的稻株记为“高产稻株”，其余记为“低产稻株”.现从该品种水稻中随机抽取3株，设其中高产稻株有株，求的分布列与数学期望（以样本中高产稻株的频率作为该品种水稻的一株稻株属于高产稻株的概率）. 【答案】（1）； （2）X的分布列为 0 1 2 3 【解析】 【分析】（1）利用百分位数的定义，分析题干中数据即可得解； （2）根据题意求得高产稻株的频率，进而得到，利用二项分布的概率公式与期望公式求得其分布列与期望，从而得解. 【小问1详解】 依题意，样本数据的个数， 因为，故分位数为第2项数据，即， 因为，故分位数为第12项与第13项数据的平均数，即. 【小问2详解】 因为区间，样本数据中共有10个数据位于该区间， 故由题意，该品种水稻的一株稻株属于高产稻株的概率为， 则随机变量的所有可能取值为0，1，2，3，且. ， ， 故X的分布列为 0 1 2 3 所以的数学期望. 16. 设为等差数列的前项和，其中，且. （1）求常数的值，并写出的通项公式； （2）记，数列的前项和为，若对任意的，都有，求常数的最小值. 【答案】（1）， （2）4 【解析】 【分析】（1）由递推关系求出，再由等差数列性质求出，即可得出通项公式； （2）由错位相减法求和，再代入不等式转化为恒成立，利用单调性分析求解. 【小问1详解】 由及，得. 因为数列是等差数列，所以，解得， 所以，所以公差， 所以. 【小问2详解】 由（1）知， 所以①， 所以②， ①—②，得， 所以， 由，得，设， 则. 因为，所以，即数列为递减数列. 又， 所以当时，恒有，故. 17. 已知函数是R上的奇函数. （1）求的值； （2）用定义证明在上为减函数； （3）若对于任意，不等式恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）； （2）由（1）知. 任取，则 因为，所以，所以， 又因为，故， 所以，即 所以在上为减函数. （3）. 【解析】 【分析】（1）由奇函数的性质可得，从而可求出的值； （2）直接利用函数单调性的定义证明即可； （3）将不等式转化为，再由在上为减函数，可得，即，构造函数，利用二次函数的性质求出其最小值即可 【详解】解：（1）由函数是R上的奇函数知， 即，解得. （2）略 （3）不等式可化为 因为是奇函数，故 所以不等式可化为 由（2）知在上为减函数，故即 即对于任意，不等式恒成立. 设易知 因此 所以实数的取值范围是. 18. 如图，四棱锥S—ABCD中，底面ABCD为菱形，，侧面SAB⊥侧面SBC，M为AD的中点． （1）求证：平面SMC⊥平面SBC； （2）若AB与平面SBC成角时，求二面角的大小， 【答案】（1） 因为，又M为AD的中点， 所以， 又， 所以， 又M为AD的中点，底面为菱形，， 所以， 所以， 因为，，， 平面，平面， 所以平面， 因为平面， 所以平面平面， （2） 【解析】 【分析】（1）由线面垂直与面面垂直的判定定理求解即可； （2）取的中点，连接，由题意可得，取的中点，连接，可证明是二面角的平面角，求出角的大小即可求解 【小问1详解】 略 【小问2详解】 取的中点，连接，又， 所以， 又平面平面，平面平面，平面， 所以平面， 又与平面所成的角为， 所以， 又， 所以， 由（1）知平面，又平面， 所以， 又， 所以， 取的中点，连接， 因为， 所以， 所以是二面角的平面角， 又， 所以， 又， 所以，即， 所以二面角的大小为， 19. 已知抛物线的焦点为，准线与轴的交点为，过点的直线与抛物线交于不同的两点，且当为的中点时，. （1）求抛物线的方程. （2）记抛物线在两点处的切线的交点为，是否存在直线使与的面积相等？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由. 【答案】（1） （2）不存在，理由如下： 由（1）知，设直线， 将直线与抛物线的方程联立消得， 则. 设抛物线在点处的切线方程为， 与抛物线的方程联立消得，则，得. 设抛物线在点处的切线方程为，同理可得. 联立，消得，所以轴. 故，，假设存在直线使与的面积相等，则，得. 又，解得或，此时重合，与题意矛盾， 故不存在直线使与的面积相等. 【解析】 【分析】（1）由为的中点，分别表示出，，的坐标，再利用抛物线的定义表示出即可求出的值，从而得到抛物线的方程； （2）设直线，将直线与抛物线的方程联立方程，由韦达定理得到，再分别设出过和两点的切线方程，分别与抛物线联立方程，利用，化简得到：，，再联立两条切线方程，化简可得轴，分别表示出与的面积，利用面积相等，化简即可得到答案. 【小问1详解】 由题意知，当为的中点时，设，则，则，所以， 所以，解得，所以抛物线的方程为. 【小问2详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 白城实验高中2024-2025学年度高二下学期期末考试 数学试卷 一､单项选择题（本大题共8小题，每题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 掷两枚质地均匀的骰子，设“第一枚出现奇数点”，“第二枚出现偶数点”，则与的关系为（ ）． A. 互斥 B. 互为对立 C. 相互独立 D. 相等 2. 已知，对任意都有，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 3. 在手工课上用半径为2的圆制作一个圆锥，要求圆锥的侧面积是底面面积的2倍，则制作的最大圆锥的体积为（ ） A. B. C. D. 4. 函数且的图象恒过定点，若且，则的最小值为（ ） A. 9 B. 8 C. D. 5. 如图所示，下列频率分布直方图显示了三种不同的分布形态.图（1）形成对称形态，图（2）形成“右拖尾”形态，图（3）形成“左拖尾”形态，根据所给图作出以下判断，正确的是（    ） A. 图（1）的平均数中位数众数 B. 图（2）的平均数<众数<中位数 C. 图（2）的众数中位数<平均数 D. 图（3）的平均数中位数众数 6. 如图，图案共分9个区域，有6中不同颜色的涂料可供涂色，每个区域只能涂一种颜色的涂料，其中2和9同色、3和6同色、4和7同色、5和8同色，且相邻区域的颜色不相同，则涂色方法有 A. 360种 B. 720种 C. 780种 D. 840种 7. 已知i为虚数单位，复数z满足，则z的虚部为（ ） A. B. C. D. 8. 把物体放在冷空气中冷却，如果物体原来的温度是θ1°C，空气的温度是θ0°C，那么t min后物体的温度θ（单位：°C），可由公式求得，其中k是一个随着物体与空气的接触情况而定的常数．现有60°C的物体，放在15°C的空气中冷却，3分钟以后物体的温度是42°C．则k的值为（精确到0.01） （ ） （参考数据：，） A. 0.51 B. 0.28 C. 0.17 D. 0.07 二､多项选择题（本大题共3小题.每题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得部分分.） 9. 已知不等式的解集是，则下列结论正确的是（ ） A. 不等式的解集是 B. 不等式的解集是 C. 不等式的解集是或 D. 不等式的解集是 10. 已知函数（其中）的部分图象如图所示，则（ ） A. 的最小正周期为 B. 的图象关于直线对称 C. D. 是的一个零点 11. 下列求导运算正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 三､填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.） 12. 已知非零向量，满足，，若，则在方向上的投影向量的坐标为_______． 13. 已知函数，若，且在区间内有最大值，无最小值，则______________ 14. 某中学开展劳动实习，学生加工制作零件，零件的截面如图所示．O为圆孔及轮廓圆弧AB所在圆的圆心，A是圆弧AB与直线AG的切点，B是圆弧AB与直线BC的切点，四边形DEFG为矩形，BC⊥DG，垂足为C，tan∠ODC=，，EF=12 cm，DE=2 cm，A到直线DE和EF的距离均为7 cm，圆孔半径为1 cm，则图中阴影部分的面积为________cm2． 四､解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.） 15. 党的二十大报告提出：“全方位夯实粮食安全根基，牢牢守住十八亿亩耕地红线，确保中国人的饭碗牢牢端在自己手中.”粮食事关国运民生，粮食安全是“国之大者”，与社会和谐、政治稳定、经济持续发展等息息相关，粮稳则天下安.现有某品种杂交水稻，从中随机抽取15株作为样本进行观测，并记录每株水稻的生长周期(单位：天)，按从小到大排序结果如下： 93 97 98 101 103 104 107 108 109 110 112 116 121 124 126 已知这组样本数据的分位数、分位数分别为. （1）求； （2）在某科研任务中，把该品种所有生长周期位于区间的稻株记为“高产稻株”，其余记为“低产稻株”.现从该品种水稻中随机抽取3株，设其中高产稻株有株，求的分布列与数学期望（以样本中高产稻株的频率作为该品种水稻的一株稻株属于高产稻株的概率）. 16. 设为等差数列的前项和，其中，且. （1）求常数的值，并写出的通项公式； （2）记，数列的前项和为，若对任意的，都有，求常数的最小值. 17. 已知函数是R上的奇函数. （1）求的值； （2）用定义证明在上为减函数； （3）若对于任意，不等式恒成立，求实数的取值范围. 18. 如图，四棱锥S—ABCD中，底面ABCD为菱形，，侧面SAB⊥侧面SBC，M为AD的中点． （1）求证：平面SMC⊥平面SBC； （2）若AB与平面SBC成角时，求二面角的大小， 19. 已知抛物线的焦点为，准线与轴的交点为，过点的直线与抛物线交于不同的两点，且当为的中点时，. （1）求抛物线的方程. （2）记抛物线在两点处的切线的交点为，是否存在直线使与的面积相等？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $