精品解析：江西省南昌市立德朝阳中学2024-2025学年七年级上学期期中数学试卷

南昌市2023—2024学年第一学期期中形成性测试 七年级（初一）数学试卷 说明：本卷共有六个大题，23个小题，全卷满分120分，考试时间120分钟． 一、选择题（本大题6小题，每小题3分，共18分，每小题只有一个正确选项） 1. 下列四个数中，小于且大于的有理数是（ ） A. B. C. D. 2. 下面场景的关系中是反比例关系的为（ ） A. 一袋的大米，每天吃大米的量和天数； B. 某车间一天生产2000个螺栓，生产天数和生产总数： C. 面包店一天卖出100个面包，卖的天数和卖出的总量： D. 圆柱的高一定，其底面积和体积． 3. 下列运算正确的是 （ ） A. B. C. D. 4. 对有理数、，定义运算*如下：，如：．试求的值．（ ） A. B. C. 6 D. 8 5. 使成立的条件是（ ） A. B. C. D. 6. 若代数式的值与字母x的取值无关，则的值为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共48分） 7. 我国是历史上最早认识和使用负数的国家．如果把收入6元记作元，那么支出8元记作______． 8. 计算，结果用科学记数法表示为______ 9. 光在不同介质中由于折射率的不同会产生不同的传输速度，比如在纯净水中其速度大约为米/秒，其中近似数精确到__________位． 10. 某商品进价是a元，先按进价提高100元定价，后又按定价的8折出售，则该商品的售价为______元．（用含a的式子表示） 11. 按一定规律排列的单项式：第n个单项式是_________． 12. 已知m，n为常数，单项式与多项式的和是一个单项式，则的值为______ 三、（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13. 计算： （1）； （2）． 14. 若a，b，c是有理数，，且，求的值． 15. 数学老师布置了一道思考题“计算：”甲乙丙三位同学仔细思考了一番，分别用了一种不同的方法解决了这个问题． 甲同学的解法是：原式； 乙同学的解法是：原式的倒数为， 所以； 丙同学的解法是：原式； （1）你认为解答过程完全正确的是 ．（将正确答案的序号填在横线上） A．只有甲同学 B．只有乙同学 C．甲乙同学都正确 D．三位同学解题过程都正确 （2）请你运用恰当的解法解答下面的问题． 计算：； 16. 已知． （1）求； （2）当时，求的值． 17. 已知有理数，，，且． （1）如图，在数轴上将a、b、c三个数填在相应的括号中： （2）化简： 四．（本大题3小题，每小题8分，共24分） 18. 一架直升机从高度为450米的位置开始，先以20米/秒的速度上升60秒，后以12米/秒的速度下降120秒，规定上升为正，下降为负，求： （1）这时直升机的高度是多少米？ （2）直升机每上升1米耗油毫升，每下降1米耗油毫升（其中），问这架直升机在上升和下降的过程中共耗油多少毫升？ （3）若是小于的最大整数，求（2）问中的值． 19. 已知，有7个完全相同的边长为m、n的小长方形（如图1）和两个阴影部分的长方形拼成1个宽为10的大长方形（如图2），小明把这7个小长方形按如图所示放置在大长方形中． （1）当时，大长方形的面积为__________； （2）请用含m，n的代数式表示下面的问题：大长方形的长：__________；阴影A的面积：__________；阴影B的周长__________； （3）请说明阴影A与阴影B的周长的和与m的取值无关． 20. “整体思想”是中学数学解题中的一种重要的思想方法，在多项式化简与求值中应用广泛． （1）把看成一个整体，将合并的结果是__________ （2）①已知，则__________； ②已知，则__________； （3）已知，求代数式的值． 五、（本大题2小题，每小题9分，共18分） 21. 小华打算和朋友们在家小聚，经过商量大家决定点外卖．某餐厅在美团和饿了么平台有以下点餐金额采用不同的优感惠策略，在美团平台实施方案如下： 美团平台一次性点餐金额 优惠措施 不超过元 无优惠 超过元，但不超过元 减元 超过元 减元 在饿了么平台实施方案如下： 饿了么平台一次性点餐金额 优惠措施 不超过元的部分 无优惠 超过元，但不超过元的部分 打折 超过元的部分 打折 （1）若小华点餐金额为元，那么在美团和饿了么平台上的实际付款金额分别是多少？ （2）若小华点餐金额为元，那么小华在美团和饿了么平台上的实际付款金额分别是多少？（用含的代数式表示） （3）若小华在两个平台各点单一次，两次点餐金额共元．其中美团点餐金额比饿了么点餐金额低，设美团的点餐金额是元，求两次实际付款金额共多少？（用含的代数式表示） 22. 我国是最早采用十进制进行计算的国家，研究发现，使用十进制跟我们有十根手指头有关．进制也就是进位制，是人们规定的一种进位方法，对于任何一种进制——X进制，就表示某一位置上的数运算时是逢X进一位，十进制是逢十进一，二进制就是逢二进一，十六进制是逢十六进一，以此类作，X进制就是逢X进一．为与十进制进行区分，我们常把用X进制表示的数a写成． X进制的数转化为十进制数的方法：X进制表示的数中，从右边数起，第一位上的1表示，第二位上的1表示，第三位上的1表示，第四位上的1表示，故转化为十进制为：（规定当时，） 例如：． 根据材料，完成以下问题： （1）把下列进制表示的数转化为十进制表示的数： ， ； （2）一个四进制三位数与七进制三位数之和能被8整除（，且a，b均为整数），求a的值； （3）若一个八进制数与一个六进制数之差为220，则称这两个数为“坤鹏数”，试判断与是否为“坤鹏数”并说明理由． 六、（本大题共12分） 23. 已知数轴上两点M、N对应的数分别为、4，点P为数轴上任意一点，其对应的数为x． （1）一般地，数轴上表示数m和数n的两点之间的距离等于．则MN的长为 ． （2）利用绝对值的几何意义，探索的最小值，当 时，有值最小值为 ；当点P到点M，点N的距离相等时，x的值为 ． （3）数轴上是否存在点P，使点P到点M，点N的距离之和是20？若存在，求出x的值；若不存在，请说明理由．（写出必要解答过程） （4）如果点P以每秒1个单位长度的速度从点M出发沿数轴向右运动，同时点Q从点N出发以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左运动，当点Q到达点M时，点P与Q同时停止运动．设点P的运动时间为t秒．当点P、点Q与点M三个点中，其中一个点到另外两个点的距离相等时，直接写出t的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 南昌市2023—2024学年第一学期期中形成性测试 七年级（初一）数学试卷 说明：本卷共有六个大题，23个小题，全卷满分120分，考试时间120分钟． 一、选择题（本大题6小题，每小题3分，共18分，每小题只有一个正确选项） 1. 下列四个数中，小于且大于的有理数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查有理数的比较大小，根据“两个负数比较大小，绝对值大的反而小”即可判断． 【详解】解：∵， ∴， ∴小于且大于的有理数是． 故选：B 2. 下面场景的关系中是反比例关系的为（ ） A. 一袋的大米，每天吃大米的量和天数； B. 某车间一天生产2000个螺栓，生产天数和生产总数： C. 面包店一天卖出100个面包，卖的天数和卖出的总量： D. 圆柱的高一定，其底面积和体积． 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了反比例关系，熟练掌握其定义是解题的关键． 判断两个量是否为反比例关系，需满足它们的乘积为定值，据此解题即可． 【详解】解：A：设每天吃量千克，天数天，则，乘积为定值，符合反比例关系，故该选项符合题意； B：每天生产2000个螺栓，总数量，天数与总数量成正比例关系，故该选项不符合题意； C：每天卖出100个，总数量，天数与总数量成正比例关系，故该选项不符合题意； D：圆柱体积（为定值），底面积与体积成正比例关系，故该选项不符合题意． 故选：A． 3. 下列运算正确的是 （ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查合并同类项，根据合并同类项的运算法则逐项判断即可． 【详解】解：A、，原计算错误，此选项不符合题意； B、，原计算错误，此选项不符合题意； C、和不是同类项，不能合并，原计算错误，此选项不符合题意； D、，原计算正确，此选项符合题意． 故选：D． 4. 对有理数、，定义运算*如下：，如：．试求的值．（ ） A. B. C. 6 D. 8 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了新定义运算，理解题目的意思是解题的关键． 根据定义的新运算规则，代入计算即可． 【详解】解：由题意知， ． 故选：D． 5. 使成立的条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查绝对值方程．分3种情况进行讨论求解即可． 【详解】解：∵， 当， ，不成立； 当时，，解得，不符合题意； 当时，，成立； ∴； 故选D． 6. 若代数式的值与字母x的取值无关，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了整式的加减运算，积的乘方运算的逆运算，关键是正确理解题意：代数式的值与x无关，即合并同类项后的系数为0．把代数式去括号，合并为关于x的代数式，令含有字母x的项的系数为零，可求出m，n的值，从而求出的值． 【详解】解： ∵代数式的值与x的取值无关 ∴，， ∴，， ∴， 故选：B． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共48分） 7. 我国是历史上最早认识和使用负数的国家．如果把收入6元记作元，那么支出8元记作______． 【答案】元 【解析】 【分析】本题考查了正负数的实际意义，明确具有相反意义的量可以用正负数表示是关键； 根据正负数可以表示具有相反意义的量解答即可． 【详解】解：把收入6元记作元，那么支出8元记作元； 故答案为：元． 8. 计算，结果用科学记数法表示为______ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查用科学记数法表示绝对值大于1的数．科学记数法的表示形式为的形式，其中为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正数；当原数的绝对值时，n是负数．熟记相关结论即可． 【详解】解：， 故答案为： 9. 光在不同介质中由于折射率的不同会产生不同的传输速度，比如在纯净水中其速度大约为米/秒，其中近似数精确到__________位． 【答案】百万 【解析】 【分析】本题考查了科学记数法以及精确度，将用科学记数法表示的数还原，科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于时，n是正数；当原数的绝对值小于1时，n是负数．即可作答． 【详解】解： ∴近似数精确到百万位， 故答案为：百万 10. 某商品进价是a元，先按进价提高100元定价，后又按定价的8折出售，则该商品的售价为______元．（用含a的式子表示） 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了列代数式在现实生活中的实际应用问题；根据题意直接列出代数式，化简即可解决问题． 【详解】解：商品的售价为元， 故答案为：． 11. 按一定规律排列的单项式：第n个单项式是_________． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了整式规律问题的解决能力，关键是能准确理解题意，并进行规律的归纳．根据题意归纳出各项系数的符号和字母指数的规律． 【详解】解：第1个单项式是， 第2个单项式是， 第3个单项式是，， 第4个单项式是， 第个单项式是，即， 故答案为： 12. 已知m，n为常数，单项式与多项式的和是一个单项式，则的值为______ 【答案】1或或 【解析】 【分析】本题考查了同类项的定义和合并同类项，全面分类、正确求解是关键； 根据题意分以下两种情况：①当单项式与单项式是同类项，且，②当单项式与单项式是同类项，且；根据同类项的定义分别求解即可. 【详解】解：根据题意分以下两种情况： ①当单项式与单项式是同类项，且，符合题意， 此时，解得或， 当，时，， 当，时，； ②当单项式与单项式是同类项，且，符合题意， 此时，解得或， 当，时，， 当，时，； 综上，的值为1或或； 故答案为：1或或. 三、（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2）0 【解析】 【分析】本题主要考查了有理数混合运算，熟练掌握有理数混合运算法则和简便运算的方法是解题的关键． （1）根据有理数加减混合运算法则，进行计算即可； （2）根据乘法分配律，进行简便计算即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 14. 若a，b，c是有理数，，且，求的值． 【答案】或 【解析】 【详解】解：， ， ∴a，b同号，b，c异号 ∴当时， ∴当时， 15. 数学老师布置了一道思考题“计算：”甲乙丙三位同学仔细思考了一番，分别用了一种不同的方法解决了这个问题． 甲同学的解法是：原式； 乙同学的解法是：原式的倒数为， 所以； 丙同学的解法是：原式； （1）你认为解答过程完全正确的是 ．（将正确答案的序号填在横线上） A．只有甲同学 B．只有乙同学 C．甲乙同学都正确 D．三位同学解题过程都正确 （2）请你运用恰当的解法解答下面的问题． 计算：； 【答案】（1）C （2） 【解析】 【分析】本题考查了有理数的运算，乘法分配律，熟练掌握有理数的乘除运算法则、准确计算是解题的关键； （1）根据有理数的运算法则即可做出判断； （2）观察所求的式子，可以按照乙同学的解法求解． 【小问1详解】 解：甲同学的解法：原式，运算过程正确； 乙同学的解法：原式的倒数为， 所以，运算过程正确； 丙同学的解法：原式，除法没有分配率，运算过程错误； 所以甲乙同学的运算过程都正确，丙同学的运算过程错误； 故选：C； 【小问2详解】 解： ； ． 16. 已知． （1）求； （2）当时，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了整式的加减以及代数式求值，注意计算的准确性即可； （1）利用整式的加减运算法则即可求解； （2）由题意得，代值计算即可； 【小问1详解】 解：， ； 【小问2详解】 解： ， 解得， ； 17. 已知有理数，，，且． （1）如图，在数轴上将a、b、c三个数填在相应的括号中： （2）化简： 【答案】（1） 在数轴上表示如下： （2） 【解析】 【分析】本题考查了数轴与绝对值，整式的加减运算，根据题意判断式子正负是解题关键． （1）由题意可知，，再填写数轴即可； （2）由题意可知，再取绝对值符号化简即可． 【小问1详解】 解：有理数，，，且， 则，， 【小问2详解】 解：由题意，可知， 所以 ． 四．（本大题3小题，每小题8分，共24分） 18. 一架直升机从高度为450米的位置开始，先以20米/秒的速度上升60秒，后以12米/秒的速度下降120秒，规定上升为正，下降为负，求： （1）这时直升机的高度是多少米？ （2）直升机每上升1米耗油毫升，每下降1米耗油毫升（其中），问这架直升机在上升和下降的过程中共耗油多少毫升？ （3）若是小于的最大整数，求（2）问中的值． 【答案】（1）210米；（2）升；（3）13040 【解析】 【分析】)先求出直升机上升、下降的米数，再根据上升为正，下降为负求解； 分别求出直升机上升、下降的耗油量，相加即得一共的耗油量； 小于的最大整数为4，将代入中得到的式子即可求解． 【详解】解：直升机上升了米， 直升机下降了米， 则这时直升机的高度是米． 直升机上升的过程中耗油量为：（升）， 直升机下降的过程中耗油量为：（升）， 故这架直升机在上升和下降的过程中共耗油为： （升）． 是小于的最大整数， ． 则当时，． 【点睛】本题考查正数与负数、列代数式及求代数式的值．理解题意是解题的关键. 19. 已知，有7个完全相同的边长为m、n的小长方形（如图1）和两个阴影部分的长方形拼成1个宽为10的大长方形（如图2），小明把这7个小长方形按如图所示放置在大长方形中． （1）当时，大长方形的面积为__________； （2）请用含m，n的代数式表示下面的问题：大长方形的长：__________；阴影A的面积：__________；阴影B的周长__________； （3）请说明阴影A与阴影B的周长的和与m的取值无关． 【答案】（1）130； （2）；；； （3）． 【解析】 【分析】（1）求出长方形的长，然后利用长乘以宽求出面积即可； （2）分别表示出阴影A和阴影B的长和宽，根据长方形面积公式得出阴影A的面积，长方形的周长公式阴影B的周长； （3）求出阴影A的周长，再求出阴影A和阴影B的周长和即可． 【小问1详解】 解：大长方形的面积为， 故答案为：； 【小问2详解】 大长方形的长为， 阴影A的面积为， 阴影B的周长， 故答案为：，，； 【小问3详解】 解：阴影A的周长为， ∴和为， ∴阴影A与阴影B的周长的和与m的取值无关． 【点睛】本题考查整式的混合运算的应用，解题关键是能根据图形和题意正确列出代数式，熟练掌握整式混合运算的运算顺序和运算法则． 20. “整体思想”是中学数学解题中的一种重要的思想方法，在多项式化简与求值中应用广泛． （1）把看成一个整体，将合并的结果是__________ （2）①已知，则__________； ②已知，则__________； （3）已知，求代数式的值． 【答案】（1） （2）①；② （3） 【解析】 【分析】本题考查了整式的化简及求值，解题的关键是熟练掌握整式的运算法则以及整体代入思想． （1）把看成一个整体，根据乘法分配律的逆运算，即可进行化简； （2）①把看成一个整体进行化简，再代入值计算即可； ②把看成一个整体进行化简，再代入值计算即可； （3）将代数式提取一个，化为，再将，整体代入计算即可． 【小问1详解】 解： ， ； 故答案为： 【小问2详解】 解：①， ， 故答案为：； ②， ； 故答案为： 【小问3详解】 解：，， ． 五、（本大题2小题，每小题9分，共18分） 21. 小华打算和朋友们在家小聚，经过商量大家决定点外卖．某餐厅在美团和饿了么平台有以下点餐金额采用不同的优感惠策略，在美团平台实施方案如下： 美团平台一次性点餐金额 优惠措施 不超过元 无优惠 超过元，但不超过元 减元 超过元 减元 在饿了么平台实施方案如下： 饿了么平台一次性点餐金额 优惠措施 不超过元的部分 无优惠 超过元，但不超过元的部分 打折 超过元的部分 打折 （1）若小华点餐金额为元，那么在美团和饿了么平台上的实际付款金额分别是多少？ （2）若小华点餐金额为元，那么小华在美团和饿了么平台上的实际付款金额分别是多少？（用含的代数式表示） （3）若小华在两个平台各点单一次，两次点餐金额共元．其中美团点餐金额比饿了么点餐金额低，设美团的点餐金额是元，求两次实际付款金额共多少？（用含的代数式表示） 【答案】（1）美团：元；饿了么：元． （2）美团：元；饿了么：当时，元，当时，元． （3） 当时，，此时两次实际付款金额总共为 元； 当时，，此时两次实际付款金额总共为 元； 当时，，此时两次实际付款金额总共为 元． 【解析】 【分析】本题考查了列代数式的知识点，理解题意是解题的关键．小问按照表格中优惠政策列式计算即可．小问根据美团的优惠政策，时，只有一种情况，代入列式即可；根据饿了么的优惠政策，时，有或两种情况，代入列式即可． 小问根据题意，我们可以分成三种情况：当时，；当时，；当时，，代入列式即可． 【小问1详解】 解：因为，所以优惠元， 所以在美团平台上实际付款金额：元； 因为，所以优惠打折， 所以在饿了么平台上实际付款金额：元． 【小问2详解】 解：因为小华点餐金额为n元， 所以在美团平台上的实际付款金额为元； 所以在饿了么平台上的实际付款金额：当时，元，当时，元． 【小问3详解】 略 22. 我国是最早采用十进制进行计算的国家，研究发现，使用十进制跟我们有十根手指头有关．进制也就是进位制，是人们规定的一种进位方法，对于任何一种进制——X进制，就表示某一位置上的数运算时是逢X进一位，十进制是逢十进一，二进制就是逢二进一，十六进制是逢十六进一，以此类作，X进制就是逢X进一．为与十进制进行区分，我们常把用X进制表示的数a写成． X进制的数转化为十进制数的方法：X进制表示的数中，从右边数起，第一位上的1表示，第二位上的1表示，第三位上的1表示，第四位上的1表示，故转化为十进制为：（规定当时，） 例如：． 根据材料，完成以下问题： （1）把下列进制表示的数转化为十进制表示的数： ， ； （2）一个四进制三位数与七进制三位数之和能被8整除（，且a，b均为整数），求a的值； （3）若一个八进制数与一个六进制数之差为220，则称这两个数为“坤鹏数”，试判断与是否为“坤鹏数”并说明理由． 【答案】（1），； （2）的值是1 （3）与不是坤鹏数，理由如下： ，， ， ， 为正整数，且， 与不是坤鹏数． 【解析】 【分析】本题考查了乘方的应用，整式的加减，理解X进制的数转化为十进制数的方法是解题关键． （1）根据已知X进制的数转化为十进制数的方法计算即可； （2）根据已知X进制的数转化为十进制数的方法分别计算与，从而得出，再根据能被8整除，确定的值即可； （3）根据已知X进制的数转化为十进制数的方法分别计算与，从而得出，求出的值作比较即可． 【小问1详解】 解：， ， 故答案为：，； 【小问2详解】 解：， ， ， 能被8整除， 能被8整除， ，且a，b均为整数 仅当时，，能被8整除； 即能被8整除时，的值是1； 【小问3详解】 略 六、（本大题共12分） 23. 已知数轴上两点M、N对应的数分别为、4，点P为数轴上任意一点，其对应的数为x． （1）一般地，数轴上表示数m和数n的两点之间的距离等于．则MN的长为 ． （2）利用绝对值的几何意义，探索的最小值，当 时，有值最小值为 ；当点P到点M，点N的距离相等时，x的值为 ． （3）数轴上是否存在点P，使点P到点M，点N的距离之和是20？若存在，求出x的值；若不存在，请说明理由．（写出必要解答过程） （4）如果点P以每秒1个单位长度的速度从点M出发沿数轴向右运动，同时点Q从点N出发以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左运动，当点Q到达点M时，点P与Q同时停止运动．设点P的运动时间为t秒．当点P、点Q与点M三个点中，其中一个点到另外两个点的距离相等时，直接写出t的值． 【答案】（1）12 （2）；12； （3）存在，x的值是或8 （4）t的值为4或6或3或4.8 【解析】 【分析】（1）根据数轴上两点距离公式求解即可； （2）结合的几何意义分析求解即可；根据题意结合数轴上两点距离公式列出关于的方程，求出方程的解即可得到的值； （3）可分为点在点的左侧、点在点和点之间、点在点的右侧三种情况计算，即可获得答案； （4）分三种情况：当时，当时，当时，分别列出方程解答即可． 【小问1详解】 解：， 即的长为12． 故答案为：12； 【小问2详解】 ∵的几何意义是：数轴上表示数的点到表示数的点的距离、数轴上表示数的点到表示数的点的距离、数轴上表示数的点到表示数4的点的距离之和， ∴当数轴上表示数的点与表示数的点重合时，它们的距离和有最小值，最小值为表示数的点与表示数4的点之间的距离，即最小值为12， ∴当时，的值最小； 当点到点、从点的距离相等时， 可有， 解得 ． 故答案为：12；；； 【小问3详解】 存在，的值是或8．理由如下： 分三种情况讨论： 当点在点的左侧时， 根据题意，可得， 解得； 当点在点和点之间时， 则，方程无解， 即点不可能在点和点之间； 当点在点的右侧时， 可有， 解得． 综上所述，的值是或8； 【小问4详解】 由题意可知，，秒后，点表示的数为，点表示的数为， 当时，可有， 解得或（舍去）； 当时，可有， 解得或3； 当时，可有， 解得或0（舍去）． 综上所述，的值为4或6或3或4.8． 【点睛】本题主要考查了数轴上两点之间的距离、数轴上动点问题、绝对值、一元一次方程的应用等知识，解题关键是运用数形结合和分类讨论的思想分析问题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $