贵州省贵阳市普通高中2024-2025学年高一下学期期末监测数学试题

启用前★注意保密 贵阳市普通中学2024-2025学年度第二学期期末监测 高一数学 2025.7 注意事项： 1.本试卷共6页，满分100分，考试时间120分钟 2.答案一律写在答题卡上，写在试卷上的不给分 3.考试过程中不得使用计算器. 一、选择题（本大题共8小题，每小题4分，共32分。每小题有四个选项，其中只有一 个选项正确，请将你认为正确的选项填写在答题卷的相应位置上。) 1.已知复数z=1-2i,则z的虚部为 A.-2 B.2 C.-2i D.2i 2.已知a=(3,4),则与a垂直的单位向量坐标为 c停( D.(专 3.新能源汽车凭借环保、节能等优势，受到越来越多消费者的青睐某品牌为评估旗下 新能源汽车在市场中的竞争力，统计了6个不同地区该品牌新能源汽车专卖店在一 周内的销售数量（单位：辆），数据如下：18,22,25,28,30,35.则这组数据的上 四分位数（第75百分位数）是 A.22 B.28 C.30 D.35 高一数学试卷第1页（共6页） 4.一个盒子中装有6支圆珠笔，其中3支一等品，2支二等品和1支三等品，若从中任 取2支，记事件A=“恰有1支一等品”，事件B=“2支都是二等品”，事件C=“没 有三等品”，下列说法正确的是 A.事件A与事件B互斥 B.事件B与事件C互斥 C.事件A与事件C对立 D.事件B与事件C对立 5,设m,n是两条不同的直线，a,B是两个不同的平面，下列命题中错误的是 A.若m∥n,n⊥a,a∥B,则m⊥B B.若m⊥B,n⊥B,n⊥a,则m⊥a C.若m⊥a,m/∥n,n∥B,则a⊥B D.若m⊥n,mca,ncB,则a⊥B 6.某数学建模活动小组在开展主题为“空中不可到达两点的测距问题”的探究活动中， 抽象并构建了如图所示的几何模型，该模型中MA、NB均与水平面ABC垂直并已 测得可直接到达的两点间距离AC=3m、BC=4m,在C处观测M的仰角为45°， 观测N的仰角为60°，且∠MCN=45°，则M与N之间的距离为 A.2√7m B.√30m C.4v2m D.√34m 7.如图是一个圆台的侧面展开图，若两个半圆的半径分别是4和6，则该圆台的体积是 A.19N5元 B 19V5元 3 38π C.38π D. 3 高一数学试卷第2页（共6页） 8.已知P是边长为2的正六边形ABCDEF内部一点（包含边界），则AP.(AB+AF) 的最大值为 A.2 B.4 C.6 D.8 二、多项选择题（本题共2小题，每小题4分，共8分。在每小题给出的选项中，有多项 符合题目要求，全部选对得4分，部分选对得2分，有选错得0分，) 9.一个古典概型的样本空间和事件A,B关系用Vam图表示，如图所示，其中()=24， n(A)=12,n(B)=8,n(AUB)=16,则下列结论中正确的是 A.n(AB)=4 B.P(4B)= 6 C.P(AB) 3 D.A与B相互独立 10.如图，在棱长为1的正方体ABCD-A,B,CD,中，N为线段AB上的动点（含端 点)，则下列选项中正确的是 令直线CN所成角的 B B.直线CN与平面ACD平行 C.当N为线段AB上中点时，平面AWC⊥平面ABC D.NA+WC的最小值为√2+√2 三、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分。请将你认为正确的答案填在答题 卷的相应位置上。) 11.已知事件A与事件B互斥，若P(A0=0.5,P(B)=0.2,则PAUB)= 12.一个边长为3的正方形，若用“斜二侧”画法作出其直观图，则其直观图的面积 为 高一数学试卷第3页（共6页） 13.已知等边△4BC的边长为1，CB=a,CA=b,AB=c,那么ab+b:c+ca= 14.已知一组数据2,3，m,8,m+2,9的平均数为8，则m=_:这组数 据的方差为 15.在正三棱锥P-ABC中，AB=√6，PA=2,且P、A、B、C四个顶点均在球 O的球面上，则球O被平面PAB所截圆的面积为， 四、解答题（本大题共4小题，每小题8分，共32分。解答应写出文字说明，证明过程 或演算步骤。) 16.(本小题满分8分) 已知平面向量a=(2,3), b=(-2,4). (1)求向量2a+3b的坐标； (2)当实数k为何值时，ka-b与2a+3b共线. 17.(本小题满分8分) 记△4BC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且 bsin A=3a. 1-cosB (1)求B的大小： (2)若b=22,△4BC的面积为2√5，求△4BC的周长. 高一数学试卷第4页（共6页） 18.(本小题满分8分) 为了让同学们更好的了解垃圾分类，贵阳市某中学高一年级1000名学生进行了垃圾分类 知识测试（满分100分），将全部测试成绩分组得[50,60)、[60,70)、[70,80) [80,90)、[90,100]五个组，已知前三组的频率分别为0.04、0.16、0.2，后两组的频 率之比为3：2，请回答下列问题： (1)求后两组的频率，并补全如图所示频率分布直方图： (2)结合频率分布直方图，估计该 频率 组距 中学本次垃圾分类知识测试成绩的 0.036 平均分（同一组中的数据用该组区 0.032 间的中间值代表)： 0.028 (3)若垃圾分类知识测试中将成绩 0.024 [80,90)称为良好，[90,100]称为优 0.020 0.016 秀按照比例分配的分层随机抽样， 0.012 现从测试成绩为良好和优秀的两组 0.008 同学中抽取5人，然后从5人中随机 0.004 抽取2人进行访谈，求这2人成绩都 5060 708090100成绩/分数 为优秀的概率 19.(本小题满分8分) 如图所示，在四棱锥P-ABCD中， PA⊥底面ABCD,且四边形ABCD为直角梯 形，AB⊥BC,BC=2AD,E为PC中点. (1)证明：DE∥平面PAB; B (2)若PB=BC=2,PA=√5，求直线 AC与平面PBC所成角的正弦值， 五、阅读与探究（本大题1个小题，共8分。解答应写出文字说明，条理清晰。） 20.(本小题满分8分) 形如z=a+bi(a,b∈R)的数称为复数的代数形式.任何一个复数z=a+bi都可以表示 a=rcose 成r(cosB+isin)的形式，即 b=rsi血0，其中r为复数z的模，0是以x轴非负半轴 高一数学试卷第5页（共6页） 为始边，向量OZ所在射线（射线OZ)为终边的角，称为复数z=a+bi的辐角，规定 0≤0<2π范围内的辐角0的值为辐角的主值，记为argz. z=(cos0+isin)叫做复数的三角形式. 根据复数乘法运算的三角表示知：z2=((cos0+isin0)}2=r2(cos20+isin20).推广 到n次幂有：z”=(r(cos0+isin0)”=r"(cosn0+isin ne),此结论称为棣莫弗定理. 下面我们利用棣莫弗定理探究1的3次方根： 设z=r(cos0+isin0)(r>0)是1的3次方根，则z3=1=cos0+isin0. (r(cos0+isin))=r(cos30+isin30)=cos0+isin0. 因为相等的复数的模相等，辐角可以相差2π的整数倍， r3=1, r=1, 所以 即 30=0+2kπ(k∈Z), 2kπ 0= (k∈Z). 3 所以1的3次方根是cos +isin2k 3 .(kEZ). 由三角函数周期性可得，1的3次方根为：%=cos0+isin0=1; %=os2+isin2红-1+ 322 i:W2=cos- +isin 4r=-1_5; 3 3 322 请结合材料回答以下问题： (1)将z=1+√3i表示成三角形式（辐角取主值）： (2)在复数范围内，求出1的8次方根： (3)在复数范围内是否存在满足以下条件的集合S={a,4,42,,a}: (i)0eS;(i)任意m,n∈{01,2,3,4,5,6,7}，都有aman∈S. 若存在，请确定集合S；若不存在，请说明理由， 高一数学试卷第6页（共6页）高一数学参考答案与评分建议 一、选择题（本大题共8小题，每小题4分，共32分。） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 A A D D B D 二、多项选择题（本题共2小题， 每小题4分，共8分。） 题号 9 10 答案 ACD BCD 三、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分。） 11.0.7 12. 92 13. 2 14.12,19 15. 8π 5 四、解答题（本大题共5小题，每小题8分，共40分。解答应写出文字说明，证明过程或 演算步骤。) 16.解：(1)2a+3b=(4,6)+(-6,12)=(-2,18) 。+。,,。,,。,,,,,,。,，。,,。,,,,。+，”19卡99，，，万个 (2)ka-b=(2k,3k)-(-2,4)=(2k+2,3k-4) 2a+3b=(-2,18), 由ka-b与2a+3b共线，可得-6k+8=36k+36, 解得k=一了 2 ,…8分 17.解：(1)由正弦定理得 sinBsinA=√3sinA 1-cos B 因为sinA≠0， 所以sinB=V51-cosB,即sin8+）=5 32 在△ABC中，所以B= 3 ……4分 高一数学第1页（共5页） 1 (2)由S4c=5 acsin B=23,得ac=8, 2 由余弦定理cosB=4+c2-B1 得a2+c2-8=ac, 2ac 得(a+c)2=3ac+8=32,得a+c=4V2, 所以a+b+c=62 所以△4BC的周长为628分 18.解：(1)后两组的频率之和为：1-0.04-0.16-0.2=0.6，因为后两组的频率之比为3：2， 所以[80,90)的频率为0.6×2=036，[90,100]的频率为0.6×2=0.24： 3 规半 、证 0位 0 10成城/分数 3分 (2)设该中学本次垃圾分类知识测试成绩的平均分为x, 则x=55×0.04+65×0.16+75×0.2+85×0.36+95×0.24=81 所以该中学本次垃圾分类知识测试成绩的平均分为81分 5分 (3)现从测试成绩为良好和优秀的两组同学中按照比例分配的分层随机抽样法抽取5人， 因为良好和优秀两组的频率之比为3：2，所以「8090)中抽取3人，设为a,b,c, [90,100]中抽取2人，设为m,n, “从5人中随机抽取2人”对应的样本空间为：2={ab,ac,am,an,bc,bm,bn,Cm,cn,mn}: 而事件A=“这2人成绩都为优秀”={mn}，故P(A)=, 10 高一数学第2页（共5页） 即这2人成绩都为优秀的概 …8分 10 19解：(1)作PB中点F,连接EF、AF 因为E为PC中点，所以EFI/BC.且EF=}BC 2 又四边形ABCD为直角梯形，AB⊥BC. 所以AD//BC,且AD=二BC 所以EF∥AD,且EF=AD 所以四边形ADEF为平行四边形. B 所以AFIIDE 又AFC平面PAB,DEC平面PAB. 所以DE∥平面PAB. …4分 (2)因为PA⊥平面ABCD,BCC平面ABCD 所以PA⊥BC 又AB⊥BC,PA∩AB=A,PA、ABc平面PAB 所以BC⊥平面PAB。 作AG⊥PB,垂足为点G,连接CG,AC. 因为AGC平面PAB. 所以BC⊥AG 因为AG⊥PB,PB∩BC=B,PB、BCC平面PBC. 所以AG⊥平面PBC. 由线面角定义知，∠ACG即为直线AC与平面PBC所成角. 所以sin∠ACG=AG AC 因为PB=BC=2,PA=V5」 所以AB=1,AC=V5 高一数学第3页（共5页） 由等面积法： 4B-PAPB,AG,知G=y 2 所以sin∠ACG= 5 10 8分 20.解：(1)由于z=1+V3i,故=2. 15 所以z=2(5 2 2 所以：0s0=,n0=5(0≤0<20 2 2 此时0=，故z=2cos+isin 2分 (2)设z=r(cos0+isin0)是1的8次方根. 由棣莫弗定理可得：r(cos80+isin80)=1=cos0+isin0. r8=1 r=1 所以 o=0+2xke)甲0-经传ez 4 所以z=c0s +im经依e0, 4 由三角函数周期可得，1的8次方根为： %=1、%= 221 2 2 %三-小%三- 2V 22 i、w=-i、w,= 22 …5分 (3)存在. 由集合S需满足的条件可知：a2,a4,a42,a4,aa4,aas,aa,a4,∈S. 因为S={a,4,a2,,4,},所以a,4,42,,a,互不相同且都不为0. 高一数学第4页（共5页） 从而有S={a2,a4,a4,a4,aa4,a4s,aa6,aa,} a".(aa)(aa)(aa)(aa)(aas)-(aoas)-(apa)=aoaaz.....a 化简得：a,3=1.同理可得：a,3=a8=a,8=a8=a3=a=a,=a,=1. 由此可知，集合S由1的8个8次方根组成 8分 高一数学第5页（共5页）