精品解析：广东省深圳市罗湖外语初中学校2024一2025学年下学期 九年级数学期中学业质量检测卷

罗湖外语初中学校2024—2025学年度第二学期 九年级数学期中学业质量检测 说明：1．本学科试题从第1页至第6页，共6页．满分100分，考试时间90分钟． 2．答题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目的指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案：不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效． 3．考生务必保持答题卡的整洁．考试结束时，只交回答题卷，本卷自行保管． 一、单选题（每小题3分，共24分） 1. 下列字母图案中，是中心对称图形的为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形的识别，解题关键是掌握中心对称图形的概念，利用其概念依次判断即可． 【详解】解：A、该图形能绕一点旋转度，使旋转前后的两个图形互相重合，故是中心对称图形，符合题意； B、该图形不能绕一点旋转度，使旋转前后的两个图形互相重合，故不是中心对称图形，不符合题意； C、该图形不能绕一点旋转度，使旋转前后的两个图形互相重合，故不是中心对称图形，不符合题意； D、该图形不能绕一点旋转度，使旋转前后的两个图形互相重合，故不是中心对称图形，不符合题意；   故选：A ． 2. 下列式子运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了同底数幂乘除法计算，幂的乘方计算和合并同类项，根据相关计算法则求出对应选项中式子的结果即可得到答案． 【详解】解：A、与不是同类项，不能合并，原式计算错误，不符合题意； B、，原式计算正确，符合题意； C、，原式计算错误，不符合题意； D、，原式计算错误，不符合题意； 故选：． 3. 如图是由五个相同的小正方体搭成的几何体，它的主视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】分析：找到从正面看所得到的图形即可． 解答：解：从正面看可得到从左往右三列正方形的个数依次为：2，1，1，故选B． 4. 方程的解是（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了解分式方程，通过去分母将分式方程转化为整式方程，解出后代入分母检验即可求解． 【详解】解： 即 解得 检验：将代入原方程的分母，，，故符合题意；   故选： D． 5. 某学校将国家级非物质文化遗产“抖空竹”引入阳光特色大课间．某同学“抖空竹”的一个瞬间如图1所示，若将图1抽象成图2的数学问题：，，，则的大小是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】延长，交于点，利用同位角求出的度数，再利用“三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和”求． 【详解】解：延长，交于点，如图． ， ， 在中，， ． 故选：A． 【点睛】本题考查了平行线的性质，三角形外角的性质，熟练掌握相关性质定理是解题的关键． 6. 如图，学校种植园是长米，宽米的距离．为便于管理，现要在中间开辟一横两纵三条等宽的小道，使种植面积为平方米．若设小道的宽为米，则下面所列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】把阴影部分分别移到矩形的上边和左边，可的种植面积为一个矩形，根据种植的面积为600列出方程即可． 【详解】解：把阴影部分分别移到矩形的上边和左边，可得： 新矩形的长为米，宽为米， ∴可列方程为：， 故选C． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是理解题意，能够正确表示种植面积的长与宽． 7. 一辆汽车油箱中剩余的油量与已行驶的路程的对应关系如图所示，如果这辆汽车每千米的耗油量相同，当油箱中剩余的油量为时，那么该汽车已行驶的路程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意所述，设函数解析式为y=kx+b，将（0，50）、（500，0）代入即可得出函数关系式． 【详解】解：设函数解析式为y=kx+b， 将（0，50）、（500，0）代入得 解得： ∴函数解析式为 当y=35时，代入解析式得：x=150 故选A 【点睛】本题考查了一次函数的简单应用，解答本题时要注意细心审题，利用自变量与因变量的关系进行解答． 8. 如图，一辆自行车竖直摆放在水平地面上，右边是它的部分示意图，测得，则点A到BC的距离（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 过点A作，垂足为D，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，即可解答． 【详解】解：过点A作，垂足为D， 在中，， ∴， ∴点A到的距离为， 故选：A． 二、填空题（每题3分，共15分） 9. 因式分解：2a2﹣8=_____． 【答案】2（a+2）（a－2）． 【解析】 【分析】首先提取公因数2，进而利用平方差公式分解因式即可． 【详解】2a2－8=2（a2－4）=2（a+2）（a－2）． 故答案为2（a+2）（a－2）． 考点：因式分解． 【点睛】此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，熟练应用乘法公式是解题关键． 10. 不等式组的解集是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组，先求出每个不等式的解集，再根据 “同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）”求出不等式组的解集即可． 【详解】解： 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴原不等式组的解集为， 故答案为：。 11. 无论是“轻罗小扇”，还是“羽扇纶巾”，当古诗词遇上扇子，更显古朴韵味，扇面书画，扇骨雕琢，是文人雅士的宠物．如下图，当折扇所在扇形的圆心角为时，折扇的外观看上去是比较美观的，若此扇形的半径，则此时折扇所在扇形的弧长为______．（结果保留） 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查弧长的计算，关键是掌握弧长公式．弧长公式：（弧长为l，圆心角度数为n，圆的半径为r），由此即可计算． 【详解】解：根据题意得：弧的长． 故答案为：． 12. 如图，在矩形中，点在轴上，点在轴上，反比例函数的图象与矩形交于，点，当时，则的面积为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数比例系数的几何意义，过点作轴于点，交于点，可得，即得，得到，设，则，，可得，，进而求出即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：如图，过点作轴于点，交于点， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， 设，则，， ∴，， ∴，， ∴， 故答案为：． 13. 如图，菱形的对角线、相交于点，点在上，连接，点在上，连接，若，，，，则线段的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质，勾股定理，由菱形的性质可得，，，，即得，得到，，进而得，过点作于，由三角形面积可得，利用勾股定理分别求出即可求解，掌握菱形的性质是解题的关键． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴，，，， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， 过点作于， 则， ∴， 解得， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 三、解答题（共61分） 14. 计算： 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了实数的混合运算，根据特殊角的三角函数值、零指数幂、二次根式的性质和负整数指数幂分别运算，再合并即可，掌握实数的运算法则是解题的关键 ． 【详解】解：原式 ． 15. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简求值，先利用分式的性质和运算法则进行化简，再把代入化简后的结果中计算即可求解，掌握分式的性质和运算法则是解题的关键． 【详解】解：原式 ， 当时，原式． 16. 2022年4月15日是第七个全民国家安全教育日．为增强师生的国家安全意识，我区某中学组织了“国家安全知识竞赛”，根据学生的成绩划分为、、、四个等级，根据图中提供的信息，回答下列问题： （1）参加知识竞赛的学生共有 人； （2）扇形统计图中， ，等级对应的圆心角为 度； （3）小永是四名获等级的学生中的一位，学校将从获等级的学生中任选人，参加区举办的知识竞赛，求小永被选中参加区知识竞赛的概率． 【答案】（1） （2）， （3） 【解析】 【分析】本题主要考查条形统计图与扇形统计图综合，用列表法或树状图法求概率； （1）根据等级的频数及所占的百分比即可得出总的人数； （2）用等级的频数除以总人数即可得出的值；用度乘以等级所占的比例即可； （3）用列表法表示出所有等可能的结果，然后用概率公式求解即可． 【小问1详解】 （人）， 故答案为：， 【小问2详解】 ，． 故答案为：，； 【小问3详解】 设小永用表示，其他三位同学分别用、、，从中任意选取人，所有可能出现的情况如下： 共有种等可能出现的情况，其中小永被选中的有种， 所以小永被选中参加区知识竞赛的概率为． 17. 某文具店用1200元购进了A、B两种羽毛球拍．已知A种羽毛球拍进价为每副12元，B种羽毛球拍进价为每副10元．文教店在销售时A种羽毛球拍售价为每副15元，B种羽毛球拍售价为每副12元，全部售完后共获利270元． （1）求这个文教店购进A、B两种羽毛球拍各多少副？ （2）若该文教店以原进价再次购进A、B两种羽毛球拍，且购进A种羽毛球拍的数量不变，而购进B种羽毛球拍的数量是第一次的2倍，B种羽毛球拍按原售价销售，而A种羽毛球拍降价销售．当两种羽毛球拍销售完毕时，要使再次购进的羽毛球拍获利不少于340元，A种羽毛球拍最低售价每副应为多少元？ 【答案】（1）这个文具店购进A种羽毛球排50副，B种羽毛球排60副 （2）A种羽毛球排每副的最低售价为14元 【解析】 【分析】此题考查了二元一次方程组和一元一次不等式的应用，根据题意正确列出方程组和不等式是解题的关键． （1）设文具店购进A种羽毛球排x副，B种羽毛球排y副，根据用1200元购进了A、B两种羽毛球拍和全部售完后共获利270元列出方程组，解方程组即可得到答案； （2）设A种羽毛球排每副的最低售价为m元，根据再次购进的羽毛球拍获利不少于340元列出一元一次不等式，解不等式即可． 【小问1详解】 解：设文具店购进A种羽毛球排x副，B种羽毛球排y副， 由题意，得， 解得：， 即这个文具店购进A种羽毛球排50副，B种羽毛球排60副； 【小问2详解】 设A种羽毛球排每副的最低售价为m元，由题意，得 ， 解得：， 故A种羽毛球排每副的最低售价为14元． 18. 如图，P为外一点，，是的切线，A，B为切点，点C在上，连接，，． （1）求证：； （2）连接，若，的半径为5，，求的长． 【答案】（1） 证明：过O作于H，如图：    ∴， ∴， ∵是的切线， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）10． 【解析】 【分析】本题考查了矩形的判定与性质，切线的性质，勾股定理等知识，掌握相关知识是解题的关键． （1）过O作于H，得到，根据切线的性质得到，根据余角的性质得到，根据等腰三角形的性质即可得到结论； （2）连接，延长交于E，根据切线的性质得到，，根据矩形的性质得到，，根据勾股定理即可得到结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：连接，延长交于E，如图： ∵，是的切线， ∴，， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴． 19. 图①所示的室外吊床因其轻便易于携带且舒适度高成为了人们户外露营的一种热门选择． 【问题背景】小明与家人利用周末到户外露营，聪明的小明发现吊床的高度会随吊床的承重发生变化而改变，于是他想深入探究吊床最低点距离地面的高度与吊床承重的关系，请你帮助小明完成调查探究： 【数学建模】为了方便计算，小明将图①现实问题抽象成图②所示的平面图；吊床搭建在树和树（两树与地面垂直）之间，两端的悬挂高度相等，最低点离地面竖直高度为（单位：），家人体重为（单位：）；为保障一定的离地高度，小明收集了一些数据； 【数据收集】数据如下： 爸爸 妈妈 小明 弟弟 妹妹 （厘米） 【任务一】描点：①请你将以上表格中的数据在如下直角坐标系中描出； 感知：②小明猜想与的关系式可能为______（只填字母） 、一次函数 、二次函数 、反比例函数 【任务二】在任务一的猜想下，当小明平躺在吊床正中间时，请你求出吊床最低点相较于自然状态（无承重）时下降的高度？ 【答案】任务一： ①描点如下： ②； 任务二： 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的应用，根据图象判断出与的函数关系是解题的关键． 任务一：①根据表格描出各点即可；②根据①所描各点判断即可； 任务二：设，利用待定系数法求出二次函数解析式，求出时的值，进而即可求解； 【详解】解：任务一：①略 ②由①图可知与的关系式是二次函数 ， ∴小明猜想与的关系式可能为 ， 故答案为：； 任务二：设， 把，，代入得， , 解得， ∴， 当时，， ∴当小明平躺在吊床正中间时，吊床最低点相较于自然状态时下降的高度为． 20. 定义：把一组对角相等且一组对边相等的四边形称为“美好四边形”． 例如：在图中，四边形中，，，像这样的四边形为“美好四边形”． 特例探索 （1）如图，请判断平行四边形______（填“是”或“不是”）美好四边形； 归纳证明 （2）如图，若四边形是“美好四边形”，，，猜想与的数量关系，并说明理由； 拓展应用 （3）如图，在中，，，点为中点，连接． ①请在图和备用图中分别画出以为等边的所有“美好四边形”； （温馨提示：不限作图工具，不要求写作法及证明，请在图上标明字母） ②在（3）的条件下，将射线绕点旋转交直线于点，若美好四边形的面积为，请直接写出的长． 【答案】（1）是； （2）或，理由如下： 当时，如图， 则“美好四边形”是平行四边形， ∴； 当与不平行时， 如图，平移线段至，使点平移后的对应点为，连接，， 由平移的性质可得，，， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴四点共圆， ∴，， ∴， ∴； ∴综上所述，或； （3）①如图所示： ②或 【解析】 【分析】（1）根据“美好四边形”的定义，结合平行四边形的性质即可得出结论； （2）分两种情况：或与不平行，画出示意图，再利用平行四边形的性质、等边对等角、圆的基本性质等知识即可解答； （3）①以为边向右构造等边，作的外接圆，以点为圆心，长为半径画圆，两圆交于点、，连接、、、，根据“美好四边形”的定义和等边三角形的性质，得到四边形和四边形都是“美好四边形”，则以为等边的所有“美好四边形”即为所求；②分两种情况：或与不平行，画出示意图，利用解直角三角形、图形的面积公式、勾股定理、相似三角形的性质与判定等知识即可解答． 【详解】解：（1）∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴平行四边形是美好四边形； 故答案为：是； （2）略 （3）①以为边向右构造等边，作的外接圆，以点为圆心，长为半径画圆，两圆交于点、，连接、、、， ∵等边， ∴， 由作图可得，，， ∵， ∴， ∴四边形和四边形都是“美好四边形”， ∴以为等边的所有“美好四边形”即为所求； ②当时，则“美好四边形”是平行四边形， 如图，作于点，于点， ∵平行四边形， ∴，，，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∵在中，，， ∴，， ∵平行四边形的面积为， ∴， ∴，， ∵点为中点， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵在中，， ∴， ∴； 当与不平行时， 如图，作平行四边形，延长至使得，连接、， ∵平行四边形， ∴，，，， 又∵， ∴是等边三角形， ∴，， ∵，， ∴，， ∴， ∴，即， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∵四边形的面积为， ∴， 设等边的边长为， 则， 解得：或（舍去负值）， ∴， ∴，； 延长与交于点，作于，于，于，于， ∵在中，，， ∴，， ∴，， ∴， ∵点为中点， ∴，， ∴在中，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，即， ∵， ∴在中，， ∴， 由（2）中的结论得，， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴，即， ∴， ∵，即， ∴， ∴，， ∴，， ∴， ∵，， ∴，即， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴； ∴综上所述，的长为或． 【点睛】本题考查了新定义图形、平行四边形的性质与判定、圆周角定理、解直角三角形、等边三角形的性质与判定、相似三角形的性质与判定、全等三角形的性质与判定等知识点，理解“美好四边形”的定义，结合图形添加辅助线构造全等三角形和相似三角形是解题的关键．本题属于几何综合题，需要较强的几何推理和辅助线构造能力，适合有能力解决几何难题的学生． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 罗湖外语初中学校2024—2025学年度第二学期 九年级数学期中学业质量检测 说明：1．本学科试题从第1页至第6页，共6页．满分100分，考试时间90分钟． 2．答题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目的指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案：不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效． 3．考生务必保持答题卡的整洁．考试结束时，只交回答题卷，本卷自行保管． 一、单选题（每小题3分，共24分） 1. 下列字母图案中，是中心对称图形的为（ ） A. B. C. D. 2. 下列式子运算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图是由五个相同的小正方体搭成的几何体，它的主视图是（ ） A. B. C. D. 4. 方程的解是（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5. 某学校将国家级非物质文化遗产“抖空竹”引入阳光特色大课间．某同学“抖空竹”的一个瞬间如图1所示，若将图1抽象成图2的数学问题：，，，则的大小是（　　） A. B. C. D. 6. 如图，学校种植园是长米，宽米的距离．为便于管理，现要在中间开辟一横两纵三条等宽的小道，使种植面积为平方米．若设小道的宽为米，则下面所列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 一辆汽车油箱中剩余的油量与已行驶的路程的对应关系如图所示，如果这辆汽车每千米的耗油量相同，当油箱中剩余的油量为时，那么该汽车已行驶的路程为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，一辆自行车竖直摆放在水平地面上，右边是它的部分示意图，测得，则点A到BC的距离（　　） A. B. C. D. 二、填空题（每题3分，共15分） 9. 因式分解：2a2﹣8=_____． 10. 不等式组的解集是______． 11. 无论是“轻罗小扇”，还是“羽扇纶巾”，当古诗词遇上扇子，更显古朴韵味，扇面书画，扇骨雕琢，是文人雅士的宠物．如下图，当折扇所在扇形的圆心角为时，折扇的外观看上去是比较美观的，若此扇形的半径，则此时折扇所在扇形的弧长为______．（结果保留） 12. 如图，在矩形中，点在轴上，点在轴上，反比例函数的图象与矩形交于，点，当时，则的面积为______． 13. 如图，菱形的对角线、相交于点，点在上，连接，点在上，连接，若，，，，则线段的长为______． 三、解答题（共61分） 14. 计算： 15. 先化简，再求值：，其中． 16. 2022年4月15日是第七个全民国家安全教育日．为增强师生的国家安全意识，我区某中学组织了“国家安全知识竞赛”，根据学生的成绩划分为、、、四个等级，根据图中提供的信息，回答下列问题： （1）参加知识竞赛的学生共有 人； （2）扇形统计图中， ，等级对应的圆心角为 度； （3）小永是四名获等级的学生中的一位，学校将从获等级的学生中任选人，参加区举办的知识竞赛，求小永被选中参加区知识竞赛的概率． 17. 某文具店用1200元购进了A、B两种羽毛球拍．已知A种羽毛球拍进价为每副12元，B种羽毛球拍进价为每副10元．文教店在销售时A种羽毛球拍售价为每副15元，B种羽毛球拍售价为每副12元，全部售完后共获利270元． （1）求这个文教店购进A、B两种羽毛球拍各多少副？ （2）若该文教店以原进价再次购进A、B两种羽毛球拍，且购进A种羽毛球拍的数量不变，而购进B种羽毛球拍的数量是第一次的2倍，B种羽毛球拍按原售价销售，而A种羽毛球拍降价销售．当两种羽毛球拍销售完毕时，要使再次购进的羽毛球拍获利不少于340元，A种羽毛球拍最低售价每副应为多少元？ 18. 如图，P为外一点，，是的切线，A，B为切点，点C在上，连接，，． （1）求证：； （2）连接，若，的半径为5，，求的长． 19. 图①所示的室外吊床因其轻便易于携带且舒适度高成为了人们户外露营的一种热门选择． 【问题背景】小明与家人利用周末到户外露营，聪明的小明发现吊床的高度会随吊床的承重发生变化而改变，于是他想深入探究吊床最低点距离地面的高度与吊床承重的关系，请你帮助小明完成调查探究： 【数学建模】为了方便计算，小明将图①现实问题抽象成图②所示的平面图；吊床搭建在树和树（两树与地面垂直）之间，两端的悬挂高度相等，最低点离地面竖直高度为（单位：），家人体重为（单位：）；为保障一定的离地高度，小明收集了一些数据； 【数据收集】数据如下： 爸爸 妈妈 小明 弟弟 妹妹 （厘米） 【任务一】描点：①请你将以上表格中的数据在如下直角坐标系中描出； 感知：②小明猜想与的关系式可能为______（只填字母） 、一次函数 、二次函数 、反比例函数 【任务二】在任务一的猜想下，当小明平躺在吊床正中间时，请你求出吊床最低点相较于自然状态（无承重）时下降的高度？ 20. 定义：把一组对角相等且一组对边相等的四边形称为“美好四边形”． 例如：在图中，四边形中，，，像这样的四边形为“美好四边形”． 特例探索 （1）如图，请判断平行四边形______（填“是”或“不是”）美好四边形； 归纳证明 （2）如图，若四边形是“美好四边形”，，，猜想与的数量关系，并说明理由； 拓展应用 （3）如图，在中，，，点为中点，连接． ①请在图和备用图中分别画出以为等边的所有“美好四边形”； （温馨提示：不限作图工具，不要求写作法及证明，请在图上标明字母） ②在（3）的条件下，将射线绕点旋转交直线于点，若美好四边形的面积为，请直接写出的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $