3.1勾股定理探究（2）学案2025-2026学年苏科版八年级数学上册

丹阳市实验学校教育集团初中数学八年级学案 课题：3.1勾股定理(2) 编码20240801025 学习目标：1.通过拼图,用面积的方法说明勾股定理的正确性. 2.通过实例应用定理,培养学生的知识应用技能，感受勾股定理的文化价值. ( 400 64 A )学习过程: 一、情境引入 1.如图,64、400分别为直角三角形直角边和斜边所在正方形的面积， 则图中字母A所代表的正方形面积是 . 2. 在Rt△ABC中，∠C=90°.(1) 已知：a=6，ｂ=8，则c= . (2) 已知：c=13，b=5，求a= . 二、例题精选 例1.剪4个全等的直角三角形，把它们拼成下图，称为“弦图”弦图，最早是由三国时期的数学家赵爽在为《周髀算经》作法时给出的.你能用不同方法表示大正方形的面积吗?　如何利用弦图验证勾股定理的？ 　　　　　　 　　 同质训练：1、用4个完全相同的直角三角形，然后将它们拼成如图所示的图形，你能利 这个图验证勾股定理吗？把你的想法与大家交流一下. 2、如图，把火柴盒放倒，在这个过程中，也能验证勾股定理，你能利用这个图验证勾股定理吗？ 　　　　　　　　　　 例2. 在直角三角形中，两边的长为5，4，求第三边的平方. 同质训练： 1.在直角三角形中，两边的长为6，8，求第三边的平方. 2.在Rt△ABC中，∠C=90°. (1) 已知：a=40，c=41，求b； (2) 已知: a:b=3:4, c=15,求a、b. 3.一个直角三角形的三边长为三个连续偶数,则它的三边长分别为 . 4.直角三角形两条直角边的长分别为5、12，则斜边上的高为 . 例3.如图 ，为了求出湖两岸的A、B两点之间的距离，一个观测者在点C设桩，使三角形ABC恰好为直角三角形.通过测量，得到AC长160米，BC长128米.问从点A穿过湖到点B有多远？ 同质训练： 1.假期中，小明和同学们到某海岛上去探宝旅游，按照探宝图，他们登陆后先往东走8千米，又往北走2千米，遇到障碍后又往西走了3千米，再折向北走了6千米处往东一拐，仅走了1千米就找到宝藏，问登陆点A到宝藏埋藏点B的距离是多少千米？ 2.勾股定理的证法多样，其中“面积法”是常用方法，当四个全等的直角三角形如图摆放时，你能用“面积法”来证明勾股定理． 《3.1勾股定理（2）》作业纸 编码20240801025 班级 姓名 A.基础巩固 1.（8分）填空： 在RtΔABC中,∠C=900. ①若a=6,c=10 ,则b= ； ②若a:b=3:4,c=10,则a=____，b=____； ③若a=6,b=8,则斜边c上的高h=______. 2.选择：（8分） ①若直角三角形的三边为6、8、x，则x的长为 （ ） A.6 B.8 C.10 D.以上答案均不对 ②如图，△ABC中，∠B=90°，两直角边AB=7，BC=24，三角形内 有一点P到各边的距离相等，则这个距离为 （ ） A．1 B．3 C．4 D．5 ③如图所示，有一块直角三角形纸片，两直角边AB=6，BC=8，将三角形ABC折叠,使AB落在斜边AC上,折痕为AD,则BD的长为 （ ） A．3 B．4 C．5 D．6 ④直角三角形的两直角边长为5、12，则其斜边上的高为 （ ） A．6 B．8 C． D． 3.（12分）①如图3，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形,其中最大的正方形的边长是7cm,则正方形A、B、C、D的面积之和是______. ②如图4,小方格的面积为1,那么图中以格点为端点且长度为5的线段有 条. 图3 图4 图5 ( 图 3 )③如图5,这是美国第20届总统加菲尔德的构图,其中RtΔABC和RtΔBED是完全相同的.AB=CD=a,BC=DE=b,∠C=∠D=90°, AC=CE=c. 请你试用此图形验证勾股定理的正确性. 4.（7分）如图，△ABC中，∠C=90°，CD ⊥AB 于D， AC=12，BC=9，求CD的长. 5.（8分）如图，长2.5m的梯子靠在墙上，梯子的底部离墙角1.5m，求梯子的顶端与地面的距离h. 6.（3分）如图，将边长为6cm的正方形纸片ABCD折叠，使点D落在AB边中点E处，点C落在点Q处，痕为FH，则线段AF的长为 ( ) A．2 B． C． D．4 7.（3分）设a、b是直角三角形的两条直角边，若该三角形的周长为6，斜边长为2.5，则ab的值为___________． 8.（3分）如图，以Rt△ABC的三边为斜边分别向外作等腰直角三角形．若斜边AB＝3，则图中阴影部分的面积为______________． 9.（6分）一个等腰三角形底边长为10cm，腰长为13cm，则底边上的高为 ,腰上的高为 . B.强化提高 10.（10分）如图,P为正方形ABCD内一点，将△ABP绕B顺时针旋转90°到△CBE的位置，若BP＝a.求：以PE为边长的正方形的面积. 11．（10分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝1，AC＝2，AB的中垂线DE交AB于点D，交AC于点E．延长DE交BC的延长线于点F，连接AF．求AF的长． 12.（12分）如右图,折叠长方形（四个角都是直角，对边相等）的一边，使点D落在BC边上的点F 处，若AB=8，AD=10. （1）求BF与CF的长； （2）求EC的长. C.能力提升 13.（10分）勾股定理神秘而美妙，它的证法多样，其巧妙各有不同，其中的“面积法”给了小聪灵感．他惊喜地发现，当两个全等的直角三角形如图①或图②摆放时，都可以用“面积法”来证明．下面是小聪利用图①证明勾股定理的过程： 将两个全等的直角三角形如图①所示摆放，其中∠DAB＝90º，求证：a2+b2=c2． 证明：连接DB，过点D作边BC上的高，交BC的延长线于点F，则DF＝EC＝b-a． ∵， 又∵， ∴． 请参照上述证法，利用图②完成下面的证明． 将两个全等的直角三角形如图②所示摆放，其中∠DAB＝90º．求证：a2+b2=c2． 证明：连接____________________________________________________________． ∵_______________________________________________________， 又∵_____________________________________________________， ∴___________________________________________________________________． ∴． 学科网（北京）股份有限公司 $$