专题 1.4 线段垂直平分线与角平分线（知识梳理 + 题型精析 +同步练习）- 基础知识专项突破讲练2025-2026学年八年级数学上册（苏科版 2024）

专题 1.4 线段垂直平分线与角平分线 目录 一知识梳理 1 （一）线段的垂直平分线 1 （二）角平分线 3 二知识体系思维导图 5 三题型分类精析 5 【题型1】垂直平分线性质与判定辨析 5 【题型2】利用垂直平分线性质求值与证明 7 【题型3】利用垂直平分线判定求值与证明 9 【题型4】利用垂直平分线性质与判定求值与证明 12 【题型5】尺规作图——垂直平分线 15 【题型6】角平分线性质与判定辨析 17 【题型7】利用角平分线性质求值与证明 20 【题型8】利用角平分线判定求值与证明 23 【题型9】利用角平分线性质与判定求值与证明 25 【题型10】尺规作图——角平分线 29 四同步练习 32 【基础巩固（12题）】 32 【能力提升（12题）】 41 【中考真题5题】 53 一.知识梳理 （一）线段的垂直平分线 1.定义：垂直于一条线段并且平分这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（也称为中垂线）；如图1，，为线段中点，则为线段垂直平份线. 图1 2. 性质定理：线段垂直平分线上的点到这条线段的两个端点的距离相等，​ 数学语言：如图2 点是线段的垂直平分线上一点， （垂直平分线上的点到线段两端的距离相等）. 图2 证明：直线是线段的垂直平分线， ， 在和中 3.判定定理：到一条线段的两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上. 图3 数学语言：（如图3）， 点是线段的垂直平分线上一点（到一条线段的两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上）. 证明：过点作，垂直为， 在和中 （） 为线段的垂直平分线. 4.尺规作图：分别以线段的两个端点为圆心，以大于线段长度一半的长为半径画弧，两弧交于两点；​过这两个交点作直线，这条直线就是该线段的垂直平分线.如图4，的垂直平分线如图所示，作图中，要保留作图痕迹. 图4 （二）角平分线 1.定义：从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线，叫做这个角的平分线; 2.性质定理：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等; 图5 数学语言：如图5，为的角平分线，,, （角平分线上的点到这个角的两边的距离相等）. 证明：为的角平分线， 又,, 在和中 （） 特别注意：解题过程中，学生容易漏掉“,”这个条件。 3.判定定理：在一个角的内部，到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上; 图6 数学语言：如图6，,, 为的角平分线（在一个角的内部，到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上） 证明：,, 在和中 （） 4.尺规作图：以角的顶点为圆心，任意长为半径画弧，交角的两边于两点；分别以这两个交点为圆心，以大于这两点间距离一半的长为半径画弧，在角的内部交于一点；过角的顶点和这个交点作射线，这条射线就是该角的平分线. 图7 特别注意：（1）作图中 “半径大于线段一半”、角平分线作图中 “在角内部交于一点” 不然就没有交点。​ （2）角平分线作图和垂直平分线作图题是中考常考点. 二．知识体系思维导图 三．题型分类精析 【题型1】垂直平分线性质与判定辨析 【例题 1】（24-25八年级上·山东枣庄·期中）如图，直线是线段的垂直平分线，是上一点，下列说法不一定正确的是（   ） A． B． C．点、关于直线对称 D． 【答案】B 【分析】本题考查了垂直平分线的性质，根据线段垂直平分线的性质，即可作出判断． 解：∵直线是线段的垂直平分线，是上一点， ∴，点、关于直线对称，，故A，C，D选项正确， 不能判断，故B选项不正确； 故选：B． 【变式1】（2025·河北沧州·模拟预测）如图，把折叠，使点与点重合，展开后得到折痕与交于点，交于点，连接，则下列结论正确的是（　　） A．平分 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了折叠的性质，线段垂直平分线的性质，掌握线段垂直平分线的任一点到线段两个端点的距离相等是解题的关键． 由题中折叠可知，为线段的垂直平分线，可得到，即可求解． 解：由题中折叠可知，为线段的垂直平分线， ，故C正确，符合题意， 其余选项均不能证明，不符合题意， 故选：C． 【变式2】（2025·山东威海·中考真题）我们把两组邻边分别相等的四边形称之为“筝形”．在四边形中，对角线交于点O．下列条件中，不能判断四边形是筝形的是（　　） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】本题考查了线段垂直平分线的判定和性质以及全等三角形的判定与性质等知识； 根据线段垂直平分线的判定和性质可判断A选项，证明可判断B、C选项，由，不能判断，即可判断D选项，进而可得答案. 解：A、∵，， ∴垂直平分， ∴， ∴四边形是筝形； B、∵，，， ∴， ∴， ∴四边形是筝形； C、∵，，， ∴， ∴，， ∴四边形是筝形 【题型2】利用垂直平分线性质求值与证明 【例题 2】（24-25七年级下·陕西·期末）如图，在中，垂直平分，连接，，延长交的延长线于点F，，过点D作于点E，． （1）请判定与是否相等？为什么？ （2）与互补吗？请说明理由． 【答案】（1），见分析；（2）与互补，见分析 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，线段垂直平分线的性质，证明是解题的关键。 （1）由线段垂直平分线的性质得到，再证明，则可证明． （2）由全等三角形的性质可得，由平角的定义可得，则，即与互补． 解：（1）解：，理由如下： ∵垂直平分， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． （2）解：与互补，理由如下： ∵， ∴， ∴， ∴，即与互补． 【变式1】（24-25七年级下·河南驻马店·期末）如图，直线是中边的垂直平分线，点是直线上的一动点．若，，，则周长的最小值是（    ）． A．13 B．10 C．11 D．12 【答案】B 【分析】本题考查垂直平分线的性质及轴对称求最短距离问题．根据题意得到周长的最小值是直接求解即可得到答案． 解：如图，连接， ∵直线是中边的垂直平分线，点是直线上一动点， ∴， ∴， ∴最小为， ∵，， ∴． 故选：B． 【变式2】（24-25七年级下·重庆·期末）如图，在中，垂直平分，交于点F，交于点E，于点D，且．若， ，则的周长为 【答案】32 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键．连结，设，根据线段垂直平分线的性质可逐步求得，，，再计算，即可求得答案． 解：连结， 设，则，， 垂直平分， ，， ，， ， ， 的周长为． 故答案为：32． 【题型3】利用垂直平分线判定求值与证明 【例题 3】（24-25七年级下·上海闵行·阶段练习）如图，已知：，，点E在的延长线上． （1）求证：垂直平分； （2）求证： 【答案】（1）详见分析；（2）详见分析 【分析】本题考查全等三角形的判定，线段垂直平分线的性质性质． （1）由线段垂直平分线性质定理的逆定理，即可证明问题; （2）由线段垂直平分线的性质定理推出，即可证明． 解：（1）证明：∵，， ∴点A和D都在线段的垂直平分线上， ∴垂直平分； （2）证明：由（1）知垂直平分， ∴， 在和中， ， ∴． 【变式1】（24-25八年级上·山东德州·期末）在一次数学实践活动课上，老师指导学生进行折纸活动，下图是小睿、小志、小芳三位同学的折纸示意图（的对应点是），分析他们折纸情况说法正确的是（   ） A．小睿折出的是中边上的中线 B．小睿折出的是中的平分线 C．小志折出的是中边上的中线 D．小芳折出的是中边上的高 【答案】B 【分析】本题考查了折叠的性质、中线、高以及角平分线，可根据折叠的性质：折叠前后两个图形全等，对应边相等，对应角相等，进行作答． 解：A、B、根据折叠后对应角相等可知：， 是的平分线，故A选项说法错误，B选项说法正确； C、根据折叠后对应角相等可知：， ∵， ， ，但是的高，不是中线，故C选项说法错误； D、根据折叠可知：，， ∴垂直平分， ∴小芳折出的是中边上的垂直平分线， 选项D说法错误． 故选：B． 【变式2】（24-25八年级上·山东德州·阶段练习）两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”，如图，四边形是一个筝形，其中，，得到如下结论：①；②；③，其中正确的结论有 （填序号）． 【答案】①②③ 【分析】本题考查垂直平分线的判定、全等三角形的判定，根据垂直平分线的判定得出是的垂直平分线，根据证明，即可得解．解题的关键是掌握：到一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上． 解：∵， ∴点在的垂直平分线上， ∵， ∴点在的垂直平分线上， ∴是的垂直平分线， ∴，， ∴①②正确， 在和中， ， ∴， ∴③正确， ∴正确的结论有①②③． 故答案为：①②③． 【题型4】利用垂直平分线性质与判定求值与证明 【例题4】（24-25八年级下·广东茂名·阶段练习）如图，在中，边的垂直平分线分别交，于点M，D，边的垂直平分线分别交，于点，，，的延长线交于点O． （1）试判断点O是否在的垂直平分线上，并说明理由； （2）若，求的度数． 【答案】（1）点O在BC的垂直平分线上，理由见分析；（2） 【分析】本题考查了轴对称的性质，垂直平分线的判定与性质，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． （1）连接，，，根据垂直平分线的性质可得出，，则，从而即可求解； （2）由四边形内角和可得的度数，根据题意得即可求解；. 解：（1）解：点在的垂直平分线上，理由如下： 如图所示，连接，，， ∵，分别是，的垂直平分线， ∴，， ∴， ∴点在的垂直平分线上； （2）解：∵，分别垂直平分，， ∴，均为轴对称图形， ∴，， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴． 【变式1】（24-25八年级下·陕西西安·期末）如图，点、在直线上，点、在直线上，于点，连接、、、，，若，则的长为（　　） A．11 B．10 C．9 D．8 【答案】A 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质和线段垂直平分线的判定定理，根据题意可证明垂直平分，则由线段垂直平分线的性质即可得到答案． 解：∵， ∴点P在线段的垂直平分线上， 又∵， ∴垂直平分， ∴， 故选：A． 【变式2】（22-23八年级上·河南周口·期末）如图，在中，，垂足为D，PQ是BC边的垂直平分线，交BC于点Q，交AC于点P，．若的周长是，，则的长是 ． 【答案】/8厘米 【分析】先根据垂直平分线的性质得到，，，再求出，，即可求出． 解：∵，， ∴是线段的垂直平分线， ∴， ∵PQ是BC边的垂直平分线， ∴，， ∴， ∵的周长是， ∴， ∴， 即， ∵，， ∴． 故答案为： 【点拨】本题考查了线段垂直平分线的定义和性质，熟知线段垂直平分线的性质和定义，结合题意进行线段的转化是解题关键． 【题型5】尺规作图——垂直平分线 【例题 5】（2025·广西崇左·模拟预测）如图，已知． （1）尺规作图：作边的垂直平分线，交于点D，交于点E；（保留作图痕迹，不要求写作法，标明字母） （2）在（1）的条件下，连接．若的周长为16，，求的周长． 【答案】（1）见详解；（2） 【分析】此题考查垂直平分线的作图和性质． （1）利用基本作图作出的垂直平分线； （2）根据线段垂直平分线的性质得，，再利用三角形的周长的定义和等线段代换得到，然后计算的周长． 解：（1）解：如图，为所作； （2）解：垂直平分， ，， ∴ 的周长为， 即， ， 即， 的周长为． 【变式1】（2025·湖南娄底·二模）如图，在中，分别以点A和点C为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线交于点D，连接，若，则的长是（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质及尺规作图，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键．由作图过程可知，直线为线段的垂直平分线，根据线段垂直平分线的性质可得，根据即可求解． 解：由作图过程可知，直线为线段的垂直平分线， ， ， ， 故选：A． 【变式2】（24-25八年级上·吉林·期中）如图，在中，以点为圆心，的长为半径作圆弧交于点，再分别以点和点为圆心，大于的长为半径作圆弧，两弧分别交于点和点，连接交于点．若，，，则的周长为 ． 【答案】17 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质和作图，由作图可得垂直平分，则根据线段垂直平分线的性质得到，然后利用等量代换即可得到的周长． 解：由作图可得垂直平分， ∴， ∴的周长为， 故答案为：17． 【题型6】角平分线性质与判定辨析 【例题6】（24-25八年级上·河北保定·期末）如图，M，N分别是边，上的点，点P在射线上，下列条件不能说明平分的是（   ） A．，， B．， C．， D．，， 【答案】C 【分析】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，角平分线的判定，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定方法．根据角平分线的判定可以直接判定平分，判断A不符合题意；根据三角形全等的判定和性质可以直接判断B、D不符合题意，C选项无法判断平分． 解：A．根据，，，利用角平分线的判定可知平分，故A不符合题意； B．∵，，， ∴， ∴， ∴平分，故B不符合题意； C．，，不能判定平分，故C符合题意； D．∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴平分，故D不符合题意； 故选：C． 【变式1】（24-25八年级下·黑龙江大庆·开学考试）如图，在中，，平分，于，下列结论：①；②；③；④；⑤与的面积之比即与的长度之比．其中正确的是 ． 【答案】①②③ 【分析】根据角平分线的性质，即可判断①；通过证明即可得到，即可判断②；根据直角三角形的两个锐角互余即可判断③；根据已知条件无法证明即可判断④；根据两个三角形的高相等，面积比就等于底的比即可判断⑤． 解：①∵，平分，， ∴，故①正确； ②在和中， ， ∴， ∴， ∴，故②正确； ③在中，在中， ∴，故③正确； ④无法证明，故④错误； ∵和中， ∴， ∵， ∴与的面积之比不等于与的长度之比，故⑤错误； 综上分析可知：正确的有①②③． 故答案为：①②③． 【点拨】本题主要考查了角平分线的性质，直角三角形两个锐角互余，三角形全等的判定，解题的关键是熟练掌握相关知识． 【变式2】（24-25八年级下·江西吉安·阶段练习）如图，在中，的外角平分线与的外角平分线相交于点．则下列结论正确的是（　　） A．点平分 B．平分 C．平分 D． 【答案】B 【分析】本题考查了角平分线的性质和判定，解题的关键是熟知角平分线上的点到角两边的距离相等． 过点分别作的垂线，垂足分别为，然后根据角平分线的性质和判定即可求解． 解：过点分别作的垂线，垂足分别为， ∵外角的平分线相交于点， ∴，， ∴， ∴点在平分线上， ∴平分， 故选：． 【题型7】利用角平分线性质求值与证明 【例题7】（24-25八年级上·天津·期中）如图，在中，平分，点是的中点，于点，于点．求证：． 【答案】见分析 【分析】本题考查角平分线的性质，全等三角形的判定及性质．根据角平分线的性质得到，再证明，即可得证结论． 解：证明：平分，，， ，， 是的中点， 在和中， ， ∴， ． 【变式1】（24-25八年级下·广东梅州·阶段练习）如图，在四边形中，是它的对角线，，若平分，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了全等三角形的判定和性质、角平分线的性质定理等知识，熟练掌握角平分线的性质定理是关键．过点作，垂足分别为，证明，即可得到答案． 解：过点作，垂足分别为， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故选：B 【变式2】（24-25七年级下·重庆·期末）如图，在中，是边上的高，在左侧作，点B为延长线上一点，连接，使得，若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查的是全等三角形的判定与性质，三角形的内角和定理的应用，角平分线的性质，作出合适的辅助线是解本题的关键.如图，过作于，记的交点为，可得，，证明，，可得，再进一步求解即可. 解：如图，过作于，记的交点为， ∵是边上的高，在左侧作， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 故答案为： 【题型8】利用角平分线判定求值与证明 【例题 8】（24-25八年级下·黑龙江绥化·期中）【定理】如图1．因为于于，所以___________． 【运用】如图2，在四边形中，，求证：平分． 【答案】【定理】平分；【运用】证明见分析 【分析】本题考查角平分线的判定定理、全等三角形的判定及性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）利用角平分线的判定定理，通过于于，即可判定平分； （2）通过作垂线构造全等三角形，得，进而利用角平分线的判定定理，即可完成证明． 解：定理：于于， 平分， 故答案为：平分； 运用：如图所示，过点作于点，过点作交的延长线于点， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ，， 平分． 【变式1】（24-25八年级下·陕西咸阳·期中）如图，在中，，是内一点，过点作于点，于点于点，若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查角平分线的判定，三角形的内角和定理，根据题意易得分别平分，根据三角形的内角和定理，进行求解即可． 解：∵点作于点，于点于点，， ∴分别平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 故选D． 【变式2】（24-25八年级下·河南郑州·期末）如图，在中，，点在内部，且到三边的距离相等，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了角平分线的判定和性质，三角形的内角和定理，解题的关键是熟练掌握角平分线的判定和性质．由三角形的内角和定理可得与的度数和，根据角平分线的判定和性质，结合三角形的内角和定理，计算即可． 解：∵在中，， ∴， ∵点在内部，且到三边的距离相等， ∴平分，平分， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：． 【题型9】利用角平分线性质与判定求值与证明 【例题9】（24-25七年级下·福建福州·期末）如图，点E在的平分线上，过点E作于点F，于点G，且． （1）求证：是的平分线： （2）求证：． 【答案】（1）见分析；（2）见分析 【分析】此题考查了角平分线的性质定理和判定定理，全等三角形的性质和判定等知识，解题的关键是掌握以上知识点． （1）过点E作于点H，根据角平分线的性质定理和判定定理求解即可； （2）证明出，得到，同理可得，进而求解即可． 解：（1）过点E作于点H 点E在的平分线上， ， ， ． 又 是的平分线． （2）， 在和中 ， 同理可得， ． 【变式1】（24-25八年级上·湖北武汉·期末）如图，四边形中，对角线平分，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了角平分线的定义、角平分线的性质和判定、三角形外角的定义及性质，熟练掌握角平分线上的点到角的两边的距离相等是解此题的关键．作于，于，于，根据角平分线的性质可得，再由三角形外角的性质及角平分线的定义可得，即可得到答案． 解：如图，作于，于，于， 平分，，， ， ， ∴ ∵ ∴ ，， ， 平分， ，， ， ， 平分， ， 平分， ， ， 故选：B． 【变式2】（24-25八年级上·湖北武汉·期中）如图，在四边形中，对角线平分，，，，那么的度数为 （用含α、β的关系式表示）． 【答案】 【分析】本题主要考查了角平分线的判定与性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．过点作于点，过点作于点，过点作于点，判定为的平分线，为的平分线，即可得出的度数． 解：如图，过点作于点，过点作于点，过点作于点， 又是的平分线， ， 又，， ， 为的平分线， ， ． 为的平分线， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 【题型10】尺规作图——角平分线 【例题 10】（24-25七年级下·重庆·期末）如图，在中，，，． （1）作的角平分线，交于点F，连接（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； （2）求证：，请将以下推导过程补充完整． 证明：∵平分， ∴， 在和中， （② ） 又∵， ∵ ∴（⑤ ） 【答案】（1）作图见分析；（2）见分析 【分析】本题考查的是作角平分线，全等三角形的判定与性质； （1）根据作已知角的角平分线的步骤作图即可； （2）根据题干信息的提示逐步完善推理过程与推理依据即可. 解：（1）解：如图，作图如下： （2）证明：∵平分， ∴， 在和中， （②） 又∵， ， ， ∵， ， ， ， ∴（⑤同位角相等，两直线平行） 【变式1】（2025·湖南湘西·模拟预测）如图，在中，，，以A为圆心，任意长为半径画弧分别交、于点M、N，大于的长为半径画弧，连接并延长交于点D，则下列说法：①是的平分线；②；③点在的垂直平分线上；④．其中正确的个数是中正确的个数是（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】A 【分析】①根据作图的过程可以判定是的角平分线； ②利用角平分线的定义可以推知，则由直角三角形的性质来求的度数； ③利用等角对等边可以证得的等腰三角形，由垂直平分线的判定定理可以证明点在的垂直平分线上； ④根据直角三角形的性质得出，再由线段垂直平分线的性质得出，进而可得出结论． 解：①根据作图的过程可知，是的平分线．故①正确； ②如图，在中，，， ， 又是的平分线， ， ，即，故②正确； ③， ， 点在的垂直平分线上，故③正确； ， ， ， ，故④正确． 综上分析可知：正确的有4个， 故选：A． 【点拨】本题考查了作角平分线，垂直平分线的判定，含30度角的直角三角形的性质，等腰三角形的性质，掌握基本作图是解题的关键． 【变式2】（2025·辽宁丹东·二模）如图，在中，为的外角，以点为圆心，任意长为半径作弧，分别交于点，分别以点为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点，作射线，以点为圆心，任意长为半径作弧，分别交于点，分别以点为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点，作射线交射线于点，则的度数为 ． 【答案】/度 【分析】本题主要考查了三角形外角的性质，角平分线的定义及其尺规作图，根据平角的定义得到，由作图方法可知，分别平分，根据角平分线的定义可得的度数，再根据三角形外角的性质即可得到答案． 解：∵， ∴， 由作图方法可知，分别平分， ∴， ∴， 故答案为：． 四．同步练习​ 【基础巩固（12题）】 一、单选题 1．（24-25八年级下·辽宁丹东·期中）如图，在中，垂直平分，在中，垂直平分，若，，则的周长为（   ） A．24 B．22 C．20 D．18 【答案】B 【分析】此题考查了垂直平分线的性质，根据垂直平分线的性质得到，，，进而求解即可． 解：∵垂直平分， ∴ ∵垂直平分， ∴， ∴的周长为． 故选：B． 2．（24-25七年级下·海南海口·期末）如图，在直角三角形中，，根据尺规作图的痕迹，以下结论不一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了尺规作角平分线和作垂线，角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握角平分线的性质是解决问题的关键．根据尺规作图的痕迹，得到是的角平分线，，根据角平分线的性质，，再逐项判断即可． 解：∵根据尺规作图的痕迹，是的角平分线，， ∴，A不符合题意；C不符合题意； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，D不符合题意； 无法证明，B符合题意； 故选：B． 3．（24-25八年级下·陕西西安·期中）如图，，点为与的平分线的交点，于，若，则与两平行线之间的距离是（    ） A．3 B．4 C．6 D．8 【答案】C 【分析】本题主要考查了角平分线的性质，平行线之间的距离， 作，可知点F，O，G三点共线，再根据角平分线的性质得，可得答案． 解：过点O作，分别交于点F，G， ∴， ∴点F，O，G三点共线． ∵分别是的平分线，且， ∴， ∴， ∴与两平行线之间的距离是6． 故选：C． 4．（2025·陕西榆林·二模）如图，在中，，点O是内一点，连接，连接并延长交于点D，若，则的长为（   ） A．4 B．5 C．2 D．6 【答案】A 【分析】本题考查线段垂直平分线的判定，解题的关键是明确题意，利用线段垂直平分线的判定定理解答问题． 根据，可知直线是线段的垂直平分线，由与交于点，从而可以得到的长，本题得以解决． 解：∵， ∴点，点在线段的垂直平分线上， ∴直线是线段的垂直平分线， ∵与交于点， ∴， ∵， ∴， 故选：A． 5．（2025·陕西西安·二模）如图，是的边上的一点，经过的中点且垂直于．若，，则的长为（   ） A．27 B．12 C．7 D．5 【答案】C 【分析】本题考查垂直平分线的性质，根据垂直平分线得到，然后根据线段的和差解题即可． 解：∵垂直平分， ∴， ∴， 故选：C． 二、填空题 6．（24-25八年级上·河北廊坊·期末）如图中、，点D是的中点，过点D作交的延长线于点E，连接，若，，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了垂直平分线的判定与性质，根据点D是的中点，，推出是的垂直平分线，得到，再根据点D是的中点，得到，进而得到，即可求解． 解：∵在中，点D是的中点，， ∴是的垂直平分线， ∴， ∵， ∴， ∵点D是的中点，， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 7．（24-25七年级下·陕西·期末）如图，是的角平分线，是的高线，于点，于点，若，，，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了角平分线的性质定理，三角形高的计算，根据角平分线的性质得到，根据面积的计算得到，由此即可求解． 解：∵是的角平分线，，， ∴， ∴， ∴， ∵是的高线，， ∴， 故答案为： ． 8．（24-25八年级上·江苏扬州·期中）如图，，是的中点，平分，若，则 ． 【答案】/40度 【分析】本题考查了角平分线的判定和性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．作于，根据平行线的性质求出，根据角平分线的判定定理得到，计算即可． 解：作于． ∵， ∴， ∴， ∴． ∵平分，，， ∴． ∵是的中点， ∴， ∴， 又，， ∴． 故答案为:． 9．（24-25八年级下·河南郑州·期末）如图，在中，的垂直平分线与，分别交于点，，的垂直平分线与，分别交于点，，已知，，则的周长为 ． 【答案】11 【分析】本题考查了线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．先根据线段的垂直平分线的性质得到、，根据三角形的周长，代入数据计算即可． 解：是的垂直平分线， ， 是的垂直平分线， ， ，， 的周长， 故答案为：． 10．（24-25七年级下·四川成都·期末）如图，在中，，按以下步骤作图：①以点A为圆心，以小于长为半径作弧，分别交，于点M，N；②分别以M，N为圆心，以大于的长为半径作弧，在内两弧交于点O；③作射线，交于点D．若的长为3，，则的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查了角平分线的性质及其尺规作图， 过点作于点，根据作图可得为的角平分线，根据角平分线的性质可得，再利用三角形面积计算公式求解即可． 解：过点作于点， 根据作图可知为的角平分线， ∵ ∴， ∵， ∴， 故答案为：。 三、解答题 11．（2025八年级下·全国·专题练习）如图，点，分别在的边，上，的平分线与的垂直平分线交于点，于点，于点．求证：． 【答案】见分析 【分析】本题主要考查了角平分线的性质，全等三角形的性质与判定，线段垂直平分线的性质，连接，，由线段垂直平分线的性质得到，由角平分线的性质得到，据此可证明，则可证明． 解：证明：如图所示，连接，， 垂直平分， ， ，，平分， ，， ， ． 12．（24-25八年级下·陕西西安·期中）如图，平分，于点E，于点F，且． （1）求证：． （2）若．求的值． 【答案】（1）见分析；（2） 【分析】本题考查了直角三角形全等的判定定理与性质、角平分线的性质等知识点，熟练掌握直角三角形全等的判定方法是解题关键． （1）先根据角平分线的性质可得，再根据直角三角形全等的判定定理即可得证； （2）先根据全等三角形的性质可得，再根据直角三角形全等的判定定理与性质可得，然后根据线段的和差即可得． 解：（1）证明：平分，，， ． 在和中， ∵ ． （2）解：由（1），得， ． ，， ． 在和中， ∵ ， ， ， ． 【能力提升（12题）】 一、单选题 1．（24-25八年级下·河南郑州·期中）如图，在中，，根据尺规作图痕迹，以下结论错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由尺规作图的痕迹可得，平分，根据同角的余角相等，角平分线的性质，由于不是的垂直平分线，不能证明解答即可． 解：根据基本作图，得平分，故， 故C选项正确，不符合题意； 根据基本作图，得， 故， 故A选项正确，不符合题意； 根据题意，得， 故D选项正确，不符合题意； 无法证明，故无法证明， 故B选项错误，符合题意； 故选：B． 【点拨】本题考查了角的平分线的基本作图，垂线的基本作图，角的平分线的性质定理，余角的性质，熟练掌握性质，正确理解作图是解题的关键． 2．（2025·江苏泰州·二模）如图，在中，D是延长线上一点，与的角平分线交于点E，连接．若要求的度数，只需要知道下列哪个角的度数（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查角平分线的性质和判定，作于点，于点，交的延长线于点，根据角平分线的性质，推出，进而得到平分，得到，即可得出结果． 解：作于点，于点，交的延长线于点， ∵与的角平分线交于点E， ∴， ∴， ∴平分， ∴， ∴只需要知道的度数即可求出的度数； 故选C． 3．（24-25八年级下·湖南永州·期中）如图，在中，，平分，，，垂足分别为E，F，已知，．求阴影部分面积为（　　）      A．12 B．24 C．18 D．20 【答案】A 【分析】本题考查了角平分线的性质定理，全等三角形的判定与性质，添加辅助线，构造全等三角形是解题的关键．在上取点G，使得，连结，根据角平分线的性质定理证明，得到，再证明，即可根据三角形面积公式求解． 解：在上取点G，使得，连结， ，，， ， ， 平分，，， ，， ， ，，， ， ， ， ， 即阴影部分面积为12． 故选：A． 4．（24-25八年级上·河北保定·期中）数学老师提出问题：已知线段，，利用尺规作图作，使线段，分别为三角形的一条直角边和斜边．小明所作的图如图所示，下列作图步骤中，小明的作图顺序是（   ） ①以点为圆心，的长为半径画弧，交射线于点； ②画直线； ③分别以点，为圆心，大于线段的长为半径画弧，交于点； ④以点为圆心，线段的长为半径画弧，交直线于点，连接； ⑤画射线，并在上截取线段 A．⑤①③②④ B．⑤④③②① C．⑤③②①④ D．⑤①④③② 【答案】A 【分析】本题考查了尺规作图——复杂作图、线段垂直平分线的性质等，掌握基本作图的方法是解题的关键．根据尺规作直角三角形的方法进行判断即可． 解：小明的作图顺序是⑤①③②④， 故选：A． 5．（24-25八年级上·福建莆田·期中）如图，在五边形中，，，在直线，上分别找一点，，使得的周长最小，此时的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查中垂线的判定和性质，等边对等角，延长至点，延长至点，连接，推出垂直平分，垂直平分，得到，进而得到的周长，得到当四点共线时，的周长最小，根据等边对等角，三角形的内角和定理，求出的度数即可． 解：延长至点，延长至点，连接， 则：， ∵， ∴垂直平分，垂直平分， ∴， ∴的周长， ∴当四点共线时，的周长最小， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； 故选A． 二、填空题 6．（24-25八年级上·河北保定·期中）如图，在中，，点D在的外部，且平分，过点D作，交的延长线于点E，，交于点F，连接．若，，则的度数为 ． 【答案】/63度 【分析】本题考查了角平分线的判定和性质，三角形的外角性质等知识点，熟练掌握其性质并能正确进行计算是解决此题的关键．如图，连接，过点作，交的延长线于点，证明平分平分，利用三角形的外角性质求得，进一步计算即可求解． 解：如图，连接，过点作，交的延长线于点， ，，， 平分， 平分，，， ， ， 平分， ， ， ， 故答案为：． 7．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，的三边长分别是6，9，12，其三条角平分线将其分为三个三角形，则等于 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了角平分线性质的实际应用和三角形面积的求法，作辅助线很关键． 过点O作于于于F，得到，从而得到． 解：过点O作于于于F， ∵是三角形三条角平分线的交点， ， ， ． 故答案为：． 8．（24-25七年级下·陕西西安·期末）如图，在锐角中，平分，，若、分别是、上的动点，当最小时， （用含的代数式表示）． 【答案】 【分析】本题考查了垂线段最短，四边形内角和，角平分线的性质，先结合平分，平分，则过点C作，交于一点，过点E作，运用角平分线的性质得，则最小，则，根据，即可作答． 解：依题意，过点C作，交于一点，过点E作 ∵平分，， ∴， 即（垂线段最短） ∵，， ∴ ∵ ∴． 故答案为： 9．（22-23八年级上·上海静安·期中）如图，在四边形中，为的中点，连接，延长交的延长线于点．若，则 ．    【答案】2 【分析】根据可知，再根据是的中点可求出，利用可得， 可得，，结合已知可得是线段的垂直平分线，根据线段垂直平分线的性质判断出即可证得，进而即可求解． 解：∵， ∴， ∵是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴，， 又∵， ∴是线段的垂直平分线， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：2． 【点拨】本题主要考查了线段的垂直平分线的性质和全等三角形的判定，熟练掌握线段的垂直平分线的性质和全等三角形的判定方法是解题的关键． 10．（24-25七年级下·江西景德镇·期末）如图所示，线段，的垂直平分线相交于点O．若，则 ． 【答案】/64度 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，等边对等角，三角形外角的性质，解题的关键是正确作出辅助线． 由线段垂直平分线的性质，可得线段长度相等，从而可得角相等，根据三角形外角的性质，进行角之间的运算即可． 解：如图，连接并延长，点为延长线上的一点， ∵点在线段的垂直平分线上， ∴， ∴ ∴， ∵点在线段的垂直平分线上， ∴， ∴ ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故答案为：． 三、解答题 11．（24-25七年级下·四川成都·期中）如图，在中，为边上的高，是的角平分线， 点为上一点，连接． （1）求证：平分； （2）连接交于点，若，求证：． 【答案】（1）证明见分析；（2）证明见分析 【分析】（1）先由角平分线定义得到，再由三角形外角性质得到，则，从而推出即可得证； （2）过点作于点于点，如图所示，先由角平分线的性质得到，由三角形面积公式得到，接着证明，得到，数形结合，由角度之间的关系得到即可得证． 解：（1）证明：∵是的角平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵为边上的高， ∴， ∴， ∴， ∴平分； （2）证明：过点作于点于点，如图所示： ∵平分，， ∴， ∵，即， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点拨】本题考查几何综合，涉及角平分线定义、三角形外角性质、角平分线的判定、角平分线的性质定理、三角形面积公式、三角形全等的判定与性质等知识．熟记相关几何判定与性质，数形结合找准相关角度之间的关系是解决问题的关键． 12．（24-25八年级上·广西南宁·阶段练习）综合与探究 【图形呈现】如图1，在中，是高，平分，． 【初步探究】（1）若，，试求的度数； 【探究发现】（2）善于思考的小聪，在（1）问的思考过程中发现，图1中，与始终存在固定的数量关系，请直接写出，与之间的数量关系：______； 【拓展探究】（3）勇于创新的小敏在图1的基础上，作垂直平分，交的延长线于点，连接，如图2，小敏通过观察和测量，发现，和存在如下数量关系：，请你证明这一数量关系的正确性． 【答案】（1）的度数为；（2）；（3）证明见分析． 【分析】（1）先利用和的度数求出C，然后结合垂线和角平分线的定义求出和，最后求出的大小； （2）先用和表示出，然后结合垂线与角平分线的定义表示出和，最后再求出与的数量关系； （3）利用垂直平分线的性质得到，，证明，得到，再利用与分别是与的外角得到与与的关系，最后借助平分将无关的角消去得到的数量关系． 解：（1）， 平分 ， 故答案为：． （2），理由如下： 在中，， ，平分， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：； （3）∵垂直平分， ∴，， 在和中， ∴， ∴，即， ∵是的外角，是的外角， ∴，， ∵平分， ∴， ∴， ∴． 【点拨】本题考查了三角形的内角和定理，角平分线的定义，线段垂平分线的性质，全等三角形的判定与性质，解题的关键是熟练应用整体思想用含有和的式子表示相关角． 【中考真题5题】 一、单选题 1．（2025·四川达州·中考真题）如图，在中，，线段的垂直平分线交于点E，交于点D，则的周长为（   ）    A．21 B．14 C．13 D．9 【答案】C 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，根据线段垂直平分线的性质可得，据此根据三角形周长计算公式求解即可． 解：∵线段的垂直平分线交于点E，交于点D， ∴， ∴的周长， 故选：C． 2.（2024·青海·中考真题）如图，平分，点P在上，，，则点P到的距离是（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】C 【分析】本题考查了角平分线的性质定理．过点P作于点E，根据角平分线的性质可得，即可求解． 解：过点P作于点E， ∵平分，，， ∴， 故选：C． 3．（2025·辽宁·中考真题）如图，在中，，，，的平分线与相交于点．在线段上取一点，以点为圆心，长为半径作弧，与射线相交于点和点，再分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点，作射线，与相交于点，连接．则的周长为（　　） A．12 B．14 C．16 D．18 【答案】B 【分析】本题考查尺规作图作垂线，全等三角形的判定和性质，中垂线的判定和性质，根据作图可知，证明，得到，，进而求出的长，得到垂直平分，得到，进而推出的周长等于的长即可． 解：由作图可知，，设交于点，则：， ∵平分， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴垂直平分，， ∴， ∴的周长为； 故选B 二、填空题 4.（2024·江苏宿迁·中考真题）如图，在中，，是高，以点A为圆心，长为半径画弧，交于点E，再分别以B、E为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在的内部交于点F，作射线，则 ． 【答案】/10度 【分析】本题主要考查角平分线的作法及三角形内角和定理，根据题意得出平分，然后利用三角形内角和定理求解即可． 解：因为， 所以， 根据题意得：平分， 所以， 因为为高， 所以， 所以, 所以， 故答案为：． 三、解答题 5．（2024·四川南充·中考真题）如图，在中，点D为边的中点，过点B作交的延长线于点E． （1）求证：． （2）若，求证： 【答案】（1）见分析；（2）见分析 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，中垂线的判定和性质： （1）由中点，得到，由，得到，即可得证； （2）由全等三角形的性质，得到，进而推出垂直平分，即可得证． 解：（1）证明：为的中点， ．            ；                              在和中，       ； （2）证明： 垂直平分， ． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题 1.4 线段垂直平分线与角平分线 目录 一知识梳理 1 （一）线段的垂直平分线 1 （二）角平分线 3 二知识体系思维导图 5 三题型分类精析 5 【题型1】垂直平分线性质与判定辨析 5 【题型2】利用垂直平分线性质求值与证明 6 【题型3】利用垂直平分线判定求值与证明 7 【题型4】利用垂直平分线性质与判定求值与证明 8 【题型5】尺规作图——垂直平分线 9 【题型6】角平分线性质与判定辨析 9 【题型7】利用角平分线性质求值与证明 10 【题型8】利用角平分线判定求值与证明 11 【题型9】利用角平分线性质与判定求值与证明 12 【题型10】尺规作图——角平分线 13 四同步练习 14 【基础巩固（12题）】 14 【能力提升（12题）】 17 【中考真题5题】 21 一.知识梳理 （一）线段的垂直平分线 1.定义：垂直于一条线段并且平分这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（也称为中垂线）；如图1，，为线段中点，则为线段垂直平份线. 图1 2. 性质定理：线段垂直平分线上的点到这条线段的两个端点的距离相等，​ 数学语言：点是线段的垂直平分线上一点（如图2）， （垂直平分线上的点到线段两端的距离相等）. 图2 证明：直线是线段的垂直平分线， ， 在和中 3.判定定理：到一条线段的两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上. 图3 数学语言：（如图3）， 点是线段的垂直平分线上一点（到一条线段的两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上）. 证明：过点作，垂直为， 在和中 （） 为线段的垂直平分线. 4.尺规作图：分别以线段的两个端点为圆心，以大于线段长度一半的长为半径画弧，两弧交于两点；​过这两个交点作直线，这条直线就是该线段的垂直平分线.如图4，的垂直平分线如图所示，作图中，要保留作图痕迹. 图4 （二）角平分线 1.定义：从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线，叫做这个角的平分线; 2.性质定理：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等; 图5 数学语言：为的角平分线（如图5），,, （角平分线上的点到这个角的两边的距离相等）. 证明：为的角平分线， 又,, 在和中 （） 特别注意：解题过程中，学生容易漏掉“,”这个条件。 3.判定定理：在一个角的内部，到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上; 图6 数学语言：如图6，,, 为的角平分线（在一个角的内部，到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上） 证明：,, 在和中 （） 4.尺规作图：以角的顶点为圆心，任意长为半径画弧，交角的两边于两点；分别以这两个交点为圆心，以大于这两点间距离一半的长为半径画弧，在角的内部交于一点；过角的顶点和这个交点作射线，这条射线就是该角的平分线. 图7 特别注意：（1）作图中 “半径大于线段一半”、角平分线作图中 “在角内部交于一点” 不然就没有交点。​ （2）角平分线作图和垂直平分线作图题是中考常考点. 二．知识体系思维导图 三．题型分类精析 【题型1】垂直平分线性质与判定辨析 【例题 1】（24-25八年级上·山东枣庄·期中）如图，直线是线段的垂直平分线，是上一点，下列说法不一定正确的是（   ） A． B． C．点、关于直线对称 D． 【变式1】（2025·河北沧州·模拟预测）如图，把折叠，使点与点重合，展开后得到折痕与交于点，交于点，连接，则下列结论正确的是（　　） A．平分 B． C． D． 【变式2】（2025·山东威海·中考真题）我们把两组邻边分别相等的四边形称之为“筝形”．在四边形中，对角线交于点O．下列条件中，不能判断四边形是筝形的是（　　） A．， B．， C．， D．， 【题型2】利用垂直平分线性质求值与证明 【例题 2】（24-25七年级下·陕西·期末）如图，在中，垂直平分，连接，，延长交的延长线于点F，，过点D作于点E，． （1）请判定与是否相等？为什么？ （2）与互补吗？请说明理由． 【变式1】（24-25七年级下·河南驻马店·期末）如图，直线是中边的垂直平分线，点是直线上的一动点．若，，，则周长的最小值是（    ）． A．13 B．10 C．11 D．12 【变式2】（24-25七年级下·重庆·期末）如图，在中，垂直平分，交于点F，交于点E，于点D，且．若， ，则的周长为 【题型3】利用垂直平分线判定求值与证明 【例题 3】（24-25七年级下·上海闵行·阶段练习）如图，已知：，，点E在的延长线上． （1）求证：垂直平分； （2）求证： 【变式1】（24-25八年级上·山东德州·期末）在一次数学实践活动课上，老师指导学生进行折纸活动，下图是小睿、小志、小芳三位同学的折纸示意图（的对应点是），分析他们折纸情况说法正确的是（   ） A．小睿折出的是中边上的中线 B．小睿折出的是中的平分线 C．小志折出的是中边上的中线 D．小芳折出的是中边上的高 【变式2】（24-25八年级上·山东德州·阶段练习）两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”，如图，四边形是一个筝形，其中，，得到如下结论：①；②；③，其中正确的结论有 （填序号）． 【题型4】利用垂直平分线性质与判定求值与证明 【例题4】（24-25八年级下·广东茂名·阶段练习）如图，在中，边的垂直平分线分别交，于点M，D，边的垂直平分线分别交，于点，，，的延长线交于点O． （1）试判断点O是否在的垂直平分线上，并说明理由； （2）若，求的度数． 【变式1】（24-25八年级下·陕西西安·期末）如图，点、在直线上，点、在直线上，于点，连接、、、，，若，则的长为（　　） A．11 B．10 C．9 D．8 【变式2】（22-23八年级上·河南周口·期末）如图，在中，，垂足为D，PQ是BC边的垂直平分线，交BC于点Q，交AC于点P，．若的周长是，，则的长是 ． 【题型5】尺规作图——垂直平分线 【例题 5】（2025·广西崇左·模拟预测）如图，已知． （1）尺规作图：作边的垂直平分线，交于点D，交于点E；（保留作图痕迹，不要求写作法，标明字母） （2）在（1）的条件下，连接．若的周长为16，，求的周长． 【变式1】（2025·湖南娄底·二模）如图，在中，分别以点A和点C为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线交于点D，连接，若，则的长是（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【变式2】（24-25八年级上·吉林·期中）如图，在中，以点为圆心，的长为半径作圆弧交于点，再分别以点和点为圆心，大于的长为半径作圆弧，两弧分别交于点和点，连接交于点．若，，，则的周长为 ． 【题型6】角平分线性质与判定辨析 【例题6】（24-25八年级上·河北保定·期末）如图，M，N分别是边，上的点，点P在射线上，下列条件不能说明平分的是（   ） A．，， B．， C．， D．，， 【变式1】（24-25八年级下·黑龙江大庆·开学考试）如图，在中，，平分，于，下列结论：①；②；③；④；⑤与的面积之比即与的长度之比．其中正确的是 ． 【变式2】（24-25八年级下·江西吉安·阶段练习）如图，在中，的外角平分线与的外角平分线相交于点．则下列结论正确的是（　　） A．点平分 B．平分 C．平分 D． 【题型7】利用角平分线性质求值与证明 【例题7】（24-25八年级上·天津·期中）如图，在中，平分，点是的中点，于点，于点．求证：． 【变式1】（24-25八年级下·广东梅州·阶段练习）如图，在四边形中，是它的对角线，，若平分，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25七年级下·重庆·期末）如图，在中，是边上的高，在左侧作，点B为延长线上一点，连接，使得，若，则 ． 【题型8】利用角平分线判定求值与证明 【例题 8】（24-25八年级下·黑龙江绥化·期中）【定理】如图1．因为于于，所以___________． 【运用】如图2，在四边形中，，求证：平分． 【变式1】（24-25八年级下·陕西咸阳·期中）如图，在中，，是内一点，过点作于点，于点于点，若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【变式2】（24-25八年级下·河南郑州·期末）如图，在中，，点在内部，且到三边的距离相等，则 ． 【题型9】利用角平分线性质与判定求值与证明 【例题9】（24-25七年级下·福建福州·期末）如图，点E在的平分线上，过点E作于点F，于点G，且． （1）求证：是的平分线： （2）求证：． 【变式1】（24-25八年级上·湖北武汉·期末）如图，四边形中，对角线平分，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25八年级上·湖北武汉·期中）如图，在四边形中，对角线平分，，，，那么的度数为 （用含α、β的关系式表示）． 【题型10】尺规作图——角平分线 【例题 10】（24-25七年级下·重庆·期末）如图，在中，，，． （1）作的角平分线，交于点F，连接（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； （2）求证：，请将以下推导过程补充完整． 证明：∵平分， ∴， 在和中， （② ） 又∵， ∵ ∴（⑤ ） 【变式1】（2025·湖南湘西·模拟预测）如图，在中，，，以A为圆心，任意长为半径画弧分别交、于点M、N，大于的长为半径画弧，连接并延长交于点D，则下列说法：①是的平分线；②；③点在的垂直平分线上；④．其中正确的个数是中正确的个数是（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【变式2】（2025·辽宁丹东·二模）如图，在中，为的外角，以点为圆心，任意长为半径作弧，分别交于点，分别以点为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点，作射线，以点为圆心，任意长为半径作弧，分别交于点，分别以点为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点，作射线交射线于点，则的度数为 ． 四．同步练习​ 【基础巩固（12题）】 一、单选题 1．（24-25八年级下·辽宁丹东·期中）如图，在中，垂直平分，在中，垂直平分，若，，则的周长为（   ） A．24 B．22 C．20 D．18 2．（24-25七年级下·海南海口·期末）如图，在直角三角形中，，根据尺规作图的痕迹，以下结论不一定成立的是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级下·陕西西安·期中）如图，，点为与的平分线的交点，于，若，则与两平行线之间的距离是（    ） A．3 B．4 C．6 D．8 4．（2025·陕西榆林·二模）如图，在中，，点O是内一点，连接，连接并延长交于点D，若，则的长为（   ） A．4 B．5 C．2 D．6 5．（2025·陕西西安·二模）如图，是的边上的一点，经过的中点且垂直于．若，，则的长为（   ） A．27 B．12 C．7 D．5 二、填空题 6．（24-25八年级上·河北廊坊·期末）如图中、，点D是的中点，过点D作交的延长线于点E，连接，若，，则的长为 ． 7．（24-25七年级下·陕西·期末）如图，是的角平分线，是的高线，于点，于点，若，，，则的长为 ． 8．（24-25八年级上·江苏扬州·期中）如图，，是的中点，平分，若，则 ． 9．（24-25八年级下·河南郑州·期末）如图，在中，的垂直平分线与，分别交于点，，的垂直平分线与，分别交于点，，已知，，则的周长为 ． 10．（24-25七年级下·四川成都·期末）如图，在中，，按以下步骤作图：①以点A为圆心，以小于长为半径作弧，分别交，于点M，N；②分别以M，N为圆心，以大于的长为半径作弧，在内两弧交于点O；③作射线，交于点D．若的长为3，，则的面积为 ． 三、解答题 11．（2025八年级下·全国·专题练习）如图，点，分别在的边，上，的平分线与的垂直平分线交于点，于点，于点．求证：． 12．（24-25八年级下·陕西西安·期中）如图，平分，于点E，于点F，且． （1）求证：． （2）若．求的值． 【能力提升（12题）】 一、单选题 1．（24-25八年级下·河南郑州·期中）如图，在中，，根据尺规作图痕迹，以下结论错误的是（   ） A． B． C． D． 2．（2025·江苏泰州·二模）如图，在中，D是延长线上一点，与的角平分线交于点E，连接．若要求的度数，只需要知道下列哪个角的度数（   ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级下·湖南永州·期中）如图，在中，，平分，，，垂足分别为E，F，已知，．求阴影部分面积为（　　）      A．12 B．24 C．18 D．20 4．（24-25八年级上·河北保定·期中）数学老师提出问题：已知线段，，利用尺规作图作，使线段，分别为三角形的一条直角边和斜边．小明所作的图如图所示，下列作图步骤中，小明的作图顺序是（   ） ①以点为圆心，的长为半径画弧，交射线于点； ②画直线； ③分别以点，为圆心，大于线段的长为半径画弧，交于点； ④以点为圆心，线段的长为半径画弧，交直线于点，连接； ⑤画射线，并在上截取线段 A．⑤①③②④ B．⑤④③②① C．⑤③②①④ D．⑤①④③② 5．（24-25八年级上·福建莆田·期中）如图，在五边形中，，，在直线，上分别找一点，，使得的周长最小，此时的度数为（   ） A． B． C． D． 二、填空题 6．（24-25八年级上·河北保定·期中）如图，在中，，点D在的外部，且平分，过点D作，交的延长线于点E，，交于点F，连接．若，，则的度数为 ． 7．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，的三边长分别是6，9，12，其三条角平分线将其分为三个三角形，则等于 ． 8．（24-25七年级下·陕西西安·期末）如图，在锐角中，平分，，若、分别是、上的动点，当最小时， （用含的代数式表示）． 9．（22-23八年级上·上海静安·期中）如图，在四边形中，为的中点，连接，延长交的延长线于点．若，则 ．    10．（24-25七年级下·江西景德镇·期末）如图所示，线段，的垂直平分线相交于点O．若，则 ． 三、解答题 11．（24-25七年级下·四川成都·期中）如图，在中，为边上的高，是的角平分线， 点为上一点，连接． （1）求证：平分； （2）连接交于点，若，求证：． 12．（24-25八年级上·广西南宁·阶段练习）综合与探究 【图形呈现】如图1，在中，是高，平分，． 【初步探究】（1）若，，试求的度数； 【探究发现】（2）善于思考的小聪，在（1）问的思考过程中发现，图1中，与始终存在固定的数量关系，请直接写出，与之间的数量关系：______； 【拓展探究】（3）勇于创新的小敏在图1的基础上，作垂直平分，交的延长线于点，连接，如图2，小敏通过观察和测量，发现，和存在如下数量关系：，请你证明这一数量关系的正确性． 【中考真题5题】 一、单选题 1．（2025·四川达州·中考真题）如图，在中，，线段的垂直平分线交于点E，交于点D，则的周长为（   ）    A．21 B．14 C．13 D．9 2.（2024·青海·中考真题）如图，平分，点P在上，，，则点P到的距离是（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 3．（2025·辽宁·中考真题）如图，在中，，，，的平分线与相交于点．在线段上取一点，以点为圆心，长为半径作弧，与射线相交于点和点，再分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点，作射线，与相交于点，连接．则的周长为（　　） A．12 B．14 C．16 D．18 二、填空题 4.（2024·江苏宿迁·中考真题）如图，在中，，是高，以点A为圆心，长为半径画弧，交于点E，再分别以B、E为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在的内部交于点F，作射线，则 ． 三、解答题 5．（2024·四川南充·中考真题）如图，在中，点D为边的中点，过点B作交的延长线于点E． （1）求证：． （2）若，求证： 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$