1.5等腰三角形（5） 学案2025-2026学年苏科版八年级数学上册

初中数学八年级学案 课题：1.5等腰三角形（5） 学习目标：进一步掌握等腰三角形、等边三角形的轴对称性和性质并会应用. 学习过程: 一、知识梳理： ①等腰三角形：等腰三角形是 ，对称轴是 . 等腰三角形 相等（简称 ）； 等腰三角形的 互相重合. （三线合一） ②如果一个三角形是直角三角形,那么其斜边上的中线 ； ③等边三角形是特殊的 ，具备 的一切性质. 除此之外，等边三角形有性质: ， ， . ④等边三角形的判定： 的三角形是等边三角形； 的三角形是等边三角形； 的三角形是等边三角形. 二．例题讲解: 例1. (1)等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为40°，则这个等腰三角形的一个底角的度数为 ． (2)在等腰△ABC中，AB=AC，AC腰上的中线BD将三角形周长分为15和21两部分，则这个三角形的底边长为 ． 同质训练： 1. 等腰三角形一腰上的高与底边的夹角为40°，则这个等腰三角形的一个顶角的度数为______． 2.等腰三角形的底边长为8，一腰上的中线分此三角形的周长成两部分，其差为2，则腰长为( )． A．6 B．5 C．6或10 D．3或5 例2.（三线合一）如图，在△ABC中，AB=AC，AD是BC边上的中线，BE⊥AC于点E．求证：∠CBE=∠BAD． 例3.如图，在△ABC中，点D在AB上，且CD=CB，点E为BD的中点，点F为AC的中点，连结EF交CD于点M，连接AM． （1）求证：EF=AC． （2）若∠BAC=45°，求线段AM、DM、BC之间的数量关系． 同质训练： 1.（等腰三角形的判定与性质）如图，在△ABC中，AB=AC，点D、E、F分别在AB、BC、AC边上，且BE=CF，BD=CE． （1）求证：△DEF是等腰三角形； （2）当∠A=40°时，求∠DEF的度数． 三．当堂检测： 1、如图，△ABC是等边三角形，AD为中线，AD=AE，E在AC上，∠EDC= ． 第1题 第2题 第3题 2、如图，已知等边三角形ABC中，BD=CE，AD与BE交于点P，则∠APE=　　 °． 3、如图，△ABC是等边三角形，CD⊥AB于点D，∠AEB=90°，CD=AE，求证：△EBD是等边三角形． 　 课题：1.5等腰三角形（5） 班级 姓名 A.基础巩固：（3′×12＝36′） 1.已知：如图，△AMN的周长为18，∠B, ∠C的平分线相交于点O,过O点的直线MN∥BC交AB、AC于点M、N，则AB+AC= . 2.已知△ABC中∠BAC=140°，AB、AC的垂直平分线分别交BC于E、F.∠EAF= . 第1题 第2题 第3题 第4题 3．如图，将Rt△ABC绕直角顶点顺时针旋转90°，得到△A′B′C，连结AA′，若∠1=20°，则∠B的度数是 4．如图，在△ABC中，∠A=90°，BD是∠ABC的平分线，DE是BC的垂直平分线， 则∠C= . 5．在直角三角形ABC中，如果斜边上的中线CD=3cm，斜边上的高为2cm，△ABC的面积是___________． 6．到三角形三个顶点距离相等的点是 的交点. 7.已知∠AOB=45°,点P在∠AOB内部,P1与P关于OB对称,P2与P关于OA对称,则P1,O,P2三点构成的三角形是 . 8. 如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=50°，P是ABC内一点，且∠PBC= ∠PCA， 则∠BPC=_____. 第8题 第9题 第10题 第11题 9．如图所示，点A、B在直线l的同侧，AB=4cm，点C是点B关于直线l 的对称点，AC交直线l于点D，AC=5cm，则△ABD的周长为 　　　 cm 10.如图，等腰△ABC中，AB＝AC，ED是AB边中垂线，若BD＝BC，则∠1的度是 ° 11．如图，已知S△ABC＝10m2，AD平分∠BAC，直线BD⊥AD于点D，交AC于点E，连接CD，则S△ADC＝　 　m2． 12．下列命题中，正确的个数有 （ ） ①有一个外角是120°的等腰三角形是等边三角形；②有两个外角相等的等腰三角 形是等边三角形；③有一边上的高也是这边上中线的等腰三角形是等边三角形；④ 三个外角都相等的三角形是等边三角形 A．1个 B．2个 C． 3个 D．4个 13．(10分)如图，在△ABC中，边AB、AC的垂直平分线分别交BC于D、E． （1）若BC＝10，求△ADE的周长； （2）设直线DM、EN交于点O． ①试判断点O是否在BC的垂直平分线上，并说明理由； ②若∠BAC＝100°，求∠BOC的度数． 14．(8分)在ΔABC中，点D在边AC上，DB=BC，点E是CD的中点，点F是AB的中点．（1）试说明：EF=AB； （2）过点A作AG∥EF，交BE的延长线于点G，求证：ΔABE≌ΔAGE． ( A B F E D C ) 15． (10分)在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，AD⊥BC，垂足为G，且AD＝AB． ∠EDF＝60°，其两边分别交边AB，AC于点E，F．（1）求证：△ABD是等边三角形； （2）求证：BE＝AF． B.强化提高 16.(4分)如图，∠ABC、∠ACE的平分线BP、CP交于点P，PF⊥BD，PG⊥BE，垂足分别为F、G，下列结论： ①S△ABP：S△BCP＝AB：BC； ②∠APB+∠ACP＝90°；③∠ABC+2∠APC＝180°，其中正确的结论有（　　） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 17. (10分)如图，△ABC中，∠ACB＝90°，以AC为边在△ABC外作等边三角形ACD，过点D作AC的垂线，垂足为F，与AB相交于点E，连接CE． （1）说明：AE＝CE＝BE； （2）若AB＝15cm，P是直线DE上的一点．则当P在何处时，PB+PC最小，并求出此时PB+PC的值． 18．(10分)如图1，在四边形ABCD中，DC∥AB，AD＝BC，BD平分∠ABC． （1）求证：AD＝DC； （2）如图2，在上述条件下，若∠A＝∠ABC＝60°，过点D作DE⊥AB，过点C作CF⊥BD，垂足分别为E、F，连接EF．判断△DEF的形状并证明你的结论． C. 能力提升 19.(12分)在△ABC中，CA＝CB＝3，∠ACB＝120°，将一块足够大的直角三角尺PMN （∠M＝90°，∠MPN＝30°）按如图所示放置，顶点P在线段AB上滑动，三角尺的直角边PM始终经过点C，并且与CB的夹角∠PCB＝α，斜边PN交AC于点D． （1）当PN∥BC时，判断△ACP的形状，并说明理由； （2）在点P滑动的过程中，当AP长度为多少时，△ADP≌△BPC，为什么？ （3）在点P的滑动过程中，△PCD的形状可以是等腰三角形吗？若可以，请求α的度数，若不可以，请说明理由． 学科网（北京）股份有限公司 $$