贵州省贵阳市清镇市博雅实验学校2024-2025学年高二下学期期末考试数学试题

第 1 页 共 2 页（高二数学） 清镇市博雅实验学校 2024-2025 学年度第二学期期末考试题 高 二 数 学 考试用时：120分钟 卷面总分：150分 一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．已知集合      1,2,3,4,5 , 1,3 , 2,3,5U A B   ，则  U A B ð （ ） A． 1,2,3,4 B． 2,3,4 C． 2,4 D． 4 2． (1 5i)i 的虚部为（ ） A． 1 B．0 C．1 D．6 3．已知 lg 2a  ， lg3b  ，则 lg12可以表示为（ ） A． 2a b B． 2ab C． 2a b D． 2a b 4．4 月 15 日，人工智能模型 OpenAI 推出参数规模达 10 万亿级的 GPT-5，支持 20 万字长文本理解，推理速度较 GPT-4 提升 3 倍.小明等 5 位同学组成人工智能调研小组，准备对 OpenAI、DeepSeek、百度文心一言和腾讯元宝等 4 种人工智能模型展开学习研究，每位同学只调研一种模型，每个模型至少由一位同学调研，则不同的总方案数为（ ） A．180 B．240 C．288 D．360 5．“方斗”常作为盛米的一种容器，其形状是一个上大下小的正四棱台，现有“方斗” 容器如图所示，已知 1 15, 3AB AB  ，现往容器里加米，发现该“方斗”可盛米的总质 量为 98kg，则当米的高度是“方斗”高度的一半时，该“方斗”盛米的质量为（ ） A．36kg B．37kg C．48kg D．49kg 6．已知 ,a b  是两个不共线的平面向量，向量 AB a b    ，  , RAC a b       ，若 / /AB AC   ，则有（ ） A． 2   B． 1   C． 1   D． 1  7．在  4 1 2 n x n x       N 的展开式中，第 2、3、 4项的二项式系数依次成等差数列，则 n （ ） A． 2 B．5 C．6 D．7 8．已知函数        2 1 9 11 0 , , log 3 x f x x x g x x h x x x           的零点分别是 , ,a b c，则（ ） A． a b c  B．b c a  C． c a b  D． a c b  二、多项选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部 选对的得 6 分，部分选对得部分分，有选错得 0 分. 9．对于数据 2，6，8，3，3， 4，6，8，下列说法正确的是（ ） A．极差为6 B．平均数为5 C．没有众数 D．中位数为5 10．数列 na 为等差数列， nS 为其前 n项和，已知 3 116, 2a a   ，则（ ） A． 7 2a   B． 1d  C． 5 30S  D．当 8n  或 9n  时， nS 最大 11．设正实数 m、n满足 2m n  ，则（ ） A．mn的最大值为 1 B． 2 2m n 的最小值为 2 C． m n 的最小值为 2 D． 1 4 m n  的最小值为 9 2 三、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分. 12．已知角 ，  满足   1cos 6    ，   1cos 3 α β  ，则 tan tan   . 13．小珠上午去游泳的概率为 2 3 ，下午去游泳的概率为 1 2 .记小珠在上午不去游泳的条件下，下午去游泳的概率为 1P； 小珠在上午去游泳的条件下，下午去游泳的概率为 2P ，若 1 22P P ，则 2P  . 14．已知空间直角坐标系O xyz 中，过点  0 0 0, ,P x y z 且一个法向量为 ( , , )n a b c  的平面 的方程为      0 0 0 0a x x b y y c z z      ．用以上知识解决下面问题：已知平面 的方程为 2 2 1 0x y z    ，直线 l是两 个平面 3 0x y   与 2 1 0x z   的交线，则直线 l与平面 所成角的余弦值为 ． 四、解答题：本大题共 5 小题，共 78 分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 15．（本题 13 分） 已知数列 na 为等差数列，且 4 2a  ， 8 2a   ．数列 nb 为等比数列，且 1 2b  ， 4 54b  ． (1)求数列 na 和 nb 的通项公式； (2)求 n nb a 的前 n项和 nT ． 第 2 页 共 2 页（高二数学） 16.（本题 15 分） 某景区为测试并推广一款预约游览 APP，上线的第 1、2 两天在 APP 上预约可获得费游览资格，第 3 天开始恢 复为原票价，下表是该景区在该 APP 上前 7 天的预约情况 第 t天 1 2 3 4 5 6 7 预约量 y （万张） 9.03 9 8.58 8.7 8.76 8.74 8.79 经计算得： 7 2 1 140i i t   ， 7 1 1 8.8 7 ii y y    ， 7 1 245.34 i i i i t y    ． (1)由于前两天预约游览免费，所以剔除第 1、2 两天数据，求 y关于 t的线性回归方程及第 5 天的残差： (2)为了调查该 APP 在不同年龄的人群中的推广情况，从第 7 天成人游客中随机抽取 200 人进行分析，所得的部分 数据见下表： 50 岁以下 50 岁（含 50）以上 合计 通过 APP 预约人数 70 其它方式购票人数 80 合计 100 ①完成以上 2×2 列联表： ②如果有 95%的把握认定游客通过 APP 预约游览与其年龄有关，就要进行针对性宣传，请你判断是否需要针对年 龄超过 50 岁（含 50）以上的人群进行宣传．  2 0P x  0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 0x 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 参考公式： 1 2 2 1 ˆ ( ) n i i i n i i x y nxy b x n x        ， ˆâ y bx  ， 2 2 ( ) ( )( )( )( ) n ad bc a b c d a c b d       17.（本题 15 分） 甲汽车配件厂生产了一种塑胶配件，质检人员在这批配件中随机抽取了 100 个，将其质量指标值（单位：分） 作为一个样本，得到如图所示的频率分布直方图．且当配件的质量指标值不小于 80 分时，配件为“优秀品”． (1)求这组数据的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表） (2)以频率估计概率，在甲配件厂生产的这批产品中随机抽取 3 件产品， 随机变量 X 表示：抽得的产品为“优秀品”的个数，求 X 的分布列及数 学期望； 18．（本题 17 分） 已知函数   lnf x x ax  ，    ln 2g x x a x   ，  aR ． (1)若函数  y f x 存在 2 个零点，求 a的取值范围； (2)记      h x f x g x  ， ①当 1a  时，求  h x 的最小值； ②若  h x 的最小值为 2，求 a的取值范围． 19.（本题 17 分） 已知数列 na 满足 1 1 11, 1 4n n a a a    ，其中 *Nn ． (1)设 2 2 1n n b a   ，求证：数列  nb 是等差数列； (2)在（1）的条件下，求数列 13 n n b        的前 n项和 nS ； (3)在（1）的条件下，若 16 ( 1) 2 nbn nnc       ，是否存在实数 ，使得对任意的 *Nn ，都有 1n nc c  ，若存在， 求出 的取值范围；若不存在，说明理由．