1.4线段垂直平分线与角平分线（4）学案2025-2026学年苏科版八年级数学上册

八年级数学教学练案 课题：1.4线段垂直平分线与角平分线（4） 学习目标：1.利用角平分线性质定理和逆定理证明相关结论，做到每一步有根有据． 2.利用角平分线性质定理和逆定理解决实际问题． 学习过程： 一、学习新知 1．问题情境 角平分线性质定理： . 逆定理： . 2． 合作探究 在△ABC中，用直尺和圆规分别作角平分线AD、BE，AD和BE相交于点P，再作∠C 的平分线，你有什么发现？ 结论： . 二．例题精选 例1.已知：如图，△ABC的两内角∠B、∠C的角平分线相交于点P．求证：点P在∠A的角平分线上． 同质训练1:如图，∠ABC的平分线与∠ACB的外角平分线相交于点D，连接AD，求证：AD是∠BAC的外角平分线． 例2.如图,在△ABC 中,AD是∠BAC的外角的平分线,交BC边的垂直平分线DE 于点D,过点D分别作DF⊥BA交BA的延长线于点F,DG⊥AC于点G.(1)求证:BF=CG; (2)试猜想线段AC、AB、AF之间的数量关系,并说明理由. 同质训练2:如图,在 △ABC 中,AC的垂直平分线与∠ABC的平分线交于点D,∠ADC= 66°,求∠ABC 的度数. 三．自主小结 四．当堂检测 1.如图，已知：在△ABC中，∠BAC＝90°，BD平分∠ABC，DE⊥BC于E。试说明BD垂直平分AE. 2．如图，在△ABC中，AD是角平分线，∠B＝50°，∠C＝62°，DE⊥AC， （1）求∠ADE的度数； （2）若DE＝3，求点D到AB的距离． 3．如图，已知在△ABC中，∠ABC＝60°，∠ACB＝40°，BD平分∠ABC，CD平分∠ACB． （1）如图1，求∠BDC的度数； （2）如图2，连接AD，作DE⊥AB，DE＝2，AC＝4，求△ADC的面积． 《1.4线段垂直平分线与角平分线（4）》作业纸 班级： 姓名： A.基础巩固 1.（3’）如图有A、B、C三个居民小区的位置成三角形，现决定在三个小区之间修建一个购物超市，使超市到三个小区的距离相等，则超市应建在 ( ) A．AC、BC两边高线的交点 B．AC、BC两边中线的交点 C．AC、BC两边垂直平分线的交点 D．∠A、∠B两内角平分线的交点 ( A B C ) 第1题 第2题 第3题 2．（3’）如图，△ABC的外角的平分线BD与CE相交于点P，若点P到AC的距离为3，则点P到AB的距离为（　　）A．1 B．2 C．3 D．4 3．（3’）如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，AB＝10，AC＝8，BC＝4，则△ABD与△ACD的面积比是（　　）A．5：4 B．1：1 C．4：5 D．4：3 4．（3’）如图，三条公路两两相交，现计划修建一个油库，计划使得该油库到三条公路的距离相等，则油库的可选位置有（　　）处．A．1 B．2 C．3 D．4 第4题 第5题 第6题 第7题 5．（3’）如图，在△ABC中，O是在△ABC内一点，且点O到在△ABC三边的距离相等，∠BOC＝126°，则∠A的度数为（　　）A．72° B．27° C．54° D．108° 6．（3’）如图，已知BC⊥AB，CD⊥AD，BC＝CD，∠BAD＝110°，则∠BAC＝　 　，根据是　 　． 7.（3’）如图，OP平分∠AOB，PB⊥OB，OA=8 cm，PB=3 cm，则△POA的面积等于 ． 8．（3’）如图，已知点P是△ABC三条角平分线的交点，PD⊥AB于点D，且PD＝1，AB＝5，AC＝4，BC＝6，则△ABC的面积是 　 　． 第8题 第9题 第10题 9．（3’）如图，△ABC的三边AB、BC、CA长分别为3、4、5．其三条角平分线交于点O，则S△ABO：S△BCO：S△CAO＝　 　． 10．（3’）如图，△ABC中，∠CAB和∠CBA的角平分线交于点P，连接PC，若△PAB、△PBC、△PAC的面积分别为S1、S2、S3，则S1　 　S2+S3．（填“＞”“＜”或“＝”） 11．（6’）“西气东输”是造福子孙后代的创世工程，现有两条高速公路l1、l2和两个小镇A、B（如图），准备建一个燃气控制中心站P，使中心站到两条公路的距离相等，并且到两个小镇的距离也相等，请你作出中心站的位置（保留作图痕迹，不写作法）． 12．（6’）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BD是△ABC的一条角平分线．点O是BD上一点，过点O分别作AC、BC的垂线，垂足分别为F、E，连接OC、OA，若∠FCO＝45°，求证：点O在∠BAC的平分线上． 13．（8’）已知：如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的角平分线相交于点P，且PE⊥AB，PF⊥AC，垂足分别为E、F．（1）求证：PE＝PF； （2）若∠BAC＝60°，连接AP，求∠EAP的度数． B.强化提高 14．（3’）如图，∠ABC、∠ACE的平分线BP、CP交于点P，PF⊥BD，PG⊥BE，垂足分别为F、G，下列结论：①S△ABP：S△BCP＝AB：BC；②∠APB+∠ACP＝90°；③∠ABC+2∠APC＝180°，其中正确的结论有（　） A．0个B．1个C．2个 D.3个 第14题 第15题 15．（3’）如图，已知射线OC上的任意一点到∠AOB的两边的距离都相等，点D、E、F分别为边OC、OA、OB上，如果要想证得OE＝OF，只需要添加以下四个条件中的某一个即可，请写出所有可能的条件的序号　 　． ①∠ODE＝∠ODF；②∠OED＝∠OFD；③ED＝FD；④EF⊥OC． 16．（7’）如图，△ABC中，∠B=∠C．点P、Q、R分别在AB、BC、AC上，且PB=QC，QB=RC，求证：点Q在PR的垂直平分线上 17.（7’）如图，在△ABC中，MN是AC边的垂直平分线，过点M作MD⊥AB，ME⊥BC，垂足分别为点D、E，AD=CE．求证： BM平分∠ABC 18.（8’）（1）如图1，在△ABC中，AD平分∠BAC交BC于D，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，则有相等关系 ， ． （2）如图2，在（1）的情况下，如果∠MDN=∠EDF，∠MDN的两边分别与AB、AC相交于M、N两点，其它条件不变，那么又有相等关系AM+　 　=2AF，请加以证明． C. 能力提升 20．（10’）已知∠AOB＝90°，OC是∠AOB的平分线，按以下要求解答问题： （1）将三角板的直角顶点P在射线OC上移动，两直角边分别与OA、OB交于点M、N如图①．求证：PM＝PN． （2）将三角板的直角顶点P在射线OC上移动，一条直角边与OB交于点N，另一条直角边与射线OA的反向延长线交于点M，请在图②中作出图形，并猜想此时PM＝PN是否成立，并说明理由． 21．（12’）请同学们试一试： （1）如图（1），OP是∠MON的平分线，请你利用该图形画一对以OP所在直线为对称轴的全等三角形．（简要说明作图方法） （2）猜想一下：在一个三角形中，两个内角平分线相交而成的一个钝角的度数与第三个内角的度数之间有什么关系？（写出结论，并证明）（温馨提醒：要画图、写已知、求证．） 下面的证明如果要用此题结论，则可以直接用． （3）如图（2）在△ABC中，∠B＝60°，AD，CE分别是∠BAC，∠BCA的平分线，AD，CE相交于点F，请你判别并写出FE与FD之间的数量关系；并证明你的结论． 学科网（北京）股份有限公司 $$