1.4线段垂直平分线与角平分线（1）学案2025-2026学年苏科版八年级数学上册

初中数学八年级学案 课题：1.4线段垂直平分线与角平分线（1） 学习目标：经历线段的折叠过程探索线段的对称性，掌握线段垂直平分线的性质定理。 学习过程： 一、学习新知： （一）探索线段的垂直平分线的性质 1.如图，线段AB的垂直平分线交AB于点O,点P在上。PA与PB相等吗？为什么？ (1) (2) 自学提示：我们可以运用图形运动的方法，利用线段的轴对称性，证明PA=PB.如图（2）,将△POB沿直线翻折，因为 ∠POB=∠POA=90度，所以OB 落在射线OA上. 因为OB=OA，所以点B与点A重合。依据基本事实“两点确定一条直线”，可知PB与PA重合，所以PA=PB.这样仅仅是从感性上说明了PA=PB.你能不能通过理论证明PA=PB. 2. 思考:上题中,当点P在直线上下滑动时,PA=PB这个结论还成立吗? 于是，我们发现了什么结论？ 结论：线段的垂直平分线上的点到 相等。 几何语言：∵PO是线段AB的垂直平分线 ∴PA=PB( ) (二)：进一步探究线段的垂直平分线外的点具备这一性质吗 如图，线段AB的垂直平分线l外的点，到这条线段两端点的距离相等吗？为什么？ 提示：连接PA、PB，PA交l与点Q，再连接QB 二、例题学习： 例1、已知：如图，AB=AC=12 ，AB的垂直平分线分别交AC、AB于D、E， （1）若AD=9，求△ABD的周长。 （2）若△ABD的周长等于30，求DC的长. 同质训练 ：如图，△ABC中，BC＝8，边BC的垂直平分线分别交AB、AC于点E、D，BE＝5，求△BCE的周长． 例2．如图，直线MN和直线DE分别是线段AB，BC的垂直平分线，它们交于P点，请问PA和PC相等吗？请说明理由． 同质训练：在△ABC中，AB边的垂直平分线l1交BC于D，AC边的垂直平分线l2交BC于E，l1与l2相交于点O，△ADE的周长为6cm． （1）求BC的长； （2）分别连结OA、OB、OC，若△OBC的周长为16cm，求OA的长． 三．自主小结： 四．当堂检测： 1.已知：在△ABC中，AB＜AC， BC边上的垂直平分线DE交BC于点D，交AC于点E，AC＝8 cm，△ABE的周长是14 cm，求AB的长． 2.如图，线段AB的垂直平分线与BC的垂直平分线的交点P恰好在AC上，且AC＝10cm，则B点到P点的距离为　 　． 3.如图，在△ABC中，∠ABC＝52°，P为△ABC内一点，过点P的直线MN分别交AB、BC于点M，N，若M在PA的垂直平分线上，N在PC的垂直平分线上，则∠APC的度数为（　　） A．115° B．116° C．117° D．118° 《课题1.4线段垂直平分线与角平分线（1）》作业纸 适度作业 班级： 姓名： A.基础知识必做题 1．(3´)线段垂直平分线上的点到____________________的距离相等． 2．(3´) O为线段AB的垂直平分线MN上一点，OA=3 cm，则OB=_______． 3.(3´)如图，AB的垂直平分线为MN，点P在MN上，则下列结论中，错误的是 （　　） A．PA＝PB B．OA＝OB C．OP＝OB D．PM平分∠APB 第3题 第4题 第5题 第6题 4.(3´)如图，△ABC中，AD⊥BC于点D，且BD＝DC，E是BC延长线上一点，且点C在AE的垂直平分线上．有下列结论：①AB＝AC＝CE；②AB+BD＝DE；③AD＝AE；④BD＝DC＝CE．其中，正确的结论是 （　　） A．只有① B．只有①② C．只有①②③ D．只有①④ 5.(3´)如图，点E、F、G、Q、H在一条直线上，且EF＝GH，直线l为线段FG的垂直平分线，下列说法正确的是（　　） A．AE＝AQ B．AE＝AH C．BF＝BH D．AE＝BE 6.(3´)如图，在△ABC中，AB=a，AC=b，BC边上的垂直平分线DE分别交BC、BA于点D、E，则△AEC的周长为 ( ) A．a+b B．a－b C．2a+b D．a+2b 7.(3´)如图，△ABC的边长AB＝8cm，AC＝10cm，BC＝4cm，作BC的垂直平分线交AC于D，则△ABD的周长为（　　） A．18cm B．14cm C．20cm D．12cm 8.(3´)如图，点B在点A的北偏西50°方向，点C在点B的正东方向，且点C到点B与点A到点B的距离相等，则点A相对于点C的位置是​（　　） A．北偏东25° B．北偏东20° C．南偏西25° D．南偏西20° 9．(3´)如图，在△ABC中，DE垂直平分AC，与AC交于点E，与BC交于点D，∠C＝15°，∠BAD＝60°，则∠ABC＝_______. 第7题 第8题 第9题 第10题 第11题 10.(3´)如图，在△ABC中，DE垂直平分AC交AB于点E，若∠A＝30°，∠ACB＝80°，则∠BCE＝_______． 11.(3´)如图，在△ABC中，∠C＝90°，DE是AB的垂直平分线，且∠BAD：∠CAD＝2：1，则∠B＝_______． 12.(5´)如图，△ABC中，∠C＝90°，DE垂直平分AB，若∠B＝25°，求∠CAE的度数． 13.(5´)如图，AD为△ABC的角平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，连接EF交AD于点O． 求证：AD垂直平分EF； 14．(5´)如图，在△ABC中，∠BAC＝110°，BC＝20，E、G分别为AB、AC的中点，DE⊥AB，FG⊥AC． (1)求△ADF的周长； (2)求∠DAF的度数． 15.(5´)如图，在△ABC中，∠B＝90°，DE垂直平分AB，交AB于点E，交BC于点D，∠1＝∠2，求∠C的度数． 16.(5´)已知：如图，△ABC的边BC的垂直平分线DE分别与AB、BC交于点D、E．求证：AB＞AC． B．基础知识演练题： 17.(3´)如图，线段AB，BC的垂直平分线l1、l2相交于点O．若∠1＝40°，则∠AOC＝ （　　） A．50° B．80° C．90° D．100° 第17题 第18题 第19题 第20题 18.(3´)如图，在△ABC中，点F是边AB，AC的垂直平分线的交点，连接BF，CF，若∠BFC＝110°，则∠A等于 （　　） A．55° B．60° C．65° D．70° 19.(3´)如图，△ABC中，AB＝AC，D是BC的中点，AC的垂直平分线分别交AC、AD、AB于点E、O、F，则图中全等三角形的对数是 （　　） A．1对 B．2对 C．3对 D．4对 20．(3´)分别作出点P关于OA、OB的对称点P1、P2，连接P1P2，分别交OA、OB于点M、N，若P1P2＝5 cm，则△PMN的周长为_______． 21．(4´)如图，在△ABC中，AB＝AC＝32 cm，DE是AB的垂直平分线分别交AB、AC于点D、E． (1)若∠C＝70°，则∠ABE＝_______，∠BEC＝_______． (2)若BC＝21 cm，则△BCE的周长为_______cm． 22.(6´)如图，BD垂直平分AG于D，CE垂直平分AF于E，若BF＝1，FG＝3，GC＝2，求△ABC的周长. C. 能力拓展探究题 23.(6´)如图，在△ABE中，AD⊥BE于D，C是BE上一点，BD＝DC，且点C在AE的垂直平分线上，若△ABC的周长为22cm，求DE的长． 24..(5´)已知：如图，AB＝CD，线段AC的垂直平分线与线段BD的垂直平分线相交于点E．求证：∠ABE＝∠CDE． 25.(9´)在△ABC中，DE垂直平分AB，分别交AB，BC于点D，E，MN垂直平分AC，分别交AC，BC于点M，N． （1）如图①，若∠BAC＝110°，求∠EAN的度数； （2）如图②，若∠BAC＝80°，求∠EAN的度数； （3）若∠BAC＝α（α≠90°），直接写出用α表示∠EAN大小的代数式． 学科网（北京）股份有限公司 $$