精品解析：安徽省安庆市江淮协作区2024-2025学年高一下学期7月期末联合监测数学试题

2024—2025学年第二学期江淮协作区期末联合监测 高一数学 满分：150分 考试时间：120分钟 注意事项： 1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区. 2.选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹签字笔书写，字体工整、笔迹清晰. 3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效. 4.作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑. 5.保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知都是实数，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 2. 已知，则在复平面内，复数z所对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 若全集，集合，，则（ ） A. B. C. D. 4. 五一期间，各大商场为促进消费，通过发送小礼品方式吸引顾客.已知某商场五一发放了300件小礼品，其中老年人、中年人、青年人分别有150人、50人、100人，若按年龄的分层抽样从这300名顾客中随机抽取12人收集他们的意见，则被抽取的老年人比青年人多（ ） A. 4人 B. 3人 C. 2人 D. 1人 5. 已知m，n为两条不同的直线，，为两个不同的平面，则（ ） A. 若，，，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 6. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，且，则的面积为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 7. 若，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知正方体棱切球表面积为，动点E，F分别在线段，上运动，且E，F不与正方体的顶点重合，若，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 将某工厂新生产的10000件产品的质量大小统计如下图所示，则（ ） A. 质量在区间的产品有2000件 B. 质量在区间的频率为0.2 C. 这10000件产品的质量的中位数大于1.15 D. 这10000件产品的质量的众数为1.175 10. 已知函数，，，则（ ） A. 的单调递减区间为 B. 的图象为轴对称图形 C. 的图象关于原点对称 D. 满足的x的取值范围为 11. 如图所示，已知Ox，Oy是平面内相交成角的两条数轴，，分别是与x，y轴正方向同向的单位向量，则称平面坐标系xOy为的仿射坐标系.若在的仿射坐标系下，则把有序实数对叫做向量的仿射坐标，记为.则（ ） A. 在的仿射坐标系下，若，则 B. 在的仿射坐标系下，若，，则 C. 在的仿射坐标系下，若，，则 D. 在的仿射坐标系下，若，，且，则 三、填空题：共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知某圆锥的轴截面是直角边长为2的等腰直角三角形，则该圆锥的体积为__________. 13. 在一次高一学生的答题测试中，10位参加测试的同学答对题目的数量分别为7，7，4，6，8，8，2，5，10，7，则该组数据的平均数为__________；该组数据的第70百分位数为__________. 14. 已知函数，且的所有零点按照从小到大的顺序排列依次为，则的取值范围为__________. 四、解答题：共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 某公司招聘员工需要经过笔试和面试两个流程，且两个流程都通过才能被公司录取.现有甲、乙两人参加应聘，其中甲通过笔试和面试的概率分别为0.8、0.5，乙通过笔试和面试的概率分别为0.6、0.7，两人是否通过笔试与面试及是否被公司录取均相互独立. （1）试通过计算比较甲、乙两人谁被公司录取的概率更大； （2）求甲、乙两人中仅有1人被该公司录取的概率. 16. 已知函数（，）的周期为，且过点. （1）求，的值； （2）求函数在上的单调递减区间. 17. 定义：复数（）的三角形式为，其中，，是复数的模，是复数的辐角，规定范围内的辐角的值为辐角的主值，记作. （1）求出方程所有复数根，并求这些根的辐角的主值； （2）已知，，求. 18. 如图所示，已知正方体的体积为64，点M为线段的中点，过点A，M的平面与直线平行. （1）求平面与正方体的表面形成的截面图形的面积； （2）求证：平面平面； （3）点E是侧面内的动点，满足平面，当线段最短时，求四面体的外接球的表面积. 19. 已知中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，点M在线段BC上，，，线段AM，BN交于点P.（注：，分别表示，的面积） （1）求的值； （2）若， （ⅰ）求值； （ⅱ）求的最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024—2025学年第二学期江淮协作区期末联合监测 高一数学 满分：150分 考试时间：120分钟 注意事项： 1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区. 2.选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹签字笔书写，字体工整、笔迹清晰. 3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效. 4.作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑. 5.保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知都是实数，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】判断“”和“”之间的逻辑推理关系，即得答案. 【详解】由题意当时，由推不出，此时； 当时，，则可得， 故“”是“”的必要不充分条件， 故选：B 2. 已知，则在复平面内，复数z所对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】A 【解析】 【分析】根据复数的运算法则，化简复数，结合复数的几何意义，即可求解. 【详解】由题意，复数， 可得在复平面内，复数z所对应的点为，位于第一象限. 故选：A. 3 若全集，集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据补集、交集运算求解即可. 【详解】依题意，， 故. 故选：C 4. 五一期间，各大商场为促进消费，通过发送小礼品的方式吸引顾客.已知某商场五一发放了300件小礼品，其中老年人、中年人、青年人分别有150人、50人、100人，若按年龄的分层抽样从这300名顾客中随机抽取12人收集他们的意见，则被抽取的老年人比青年人多（ ） A. 4人 B. 3人 C. 2人 D. 1人 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，利用分层抽样的方法，分别求得抽取的老年人和青年人的人数，即可求解. 【详解】由题意知，老年人、中年人、青年人分别有150人、50人、100人， 可得老年人、中年人、青年人的比例分别为， 故抽取的12人中老年人抽取了人， 青年人抽取了人，则老年人比青年人多2人. 故选：C. 5. 已知m，n为两条不同的直线，，为两个不同的平面，则（ ） A. 若，，，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，结合线面位置关系的判定定理和性质定理，逐项分析判断，即可求解. 【详解】对于A中，若，，，则，所以A错误； 对于B中，，则与平行，相交或异面，所以B错误； 对于C中，若，则与平行，相交或异面，所以C错误； 对于D中，由，可得，又由，根据垂直与同一平面的两直线平行，可得，所以D正确. 故选：D. 6. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，且，则的面积为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，利用余弦定理化简求得，且，，再由余弦定理，列出方程，求得的值，结合三角形的面积公式，即可求解. 【详解】因为，可得，解得， 又因为，可得，， 因为，由余弦定理， 即，解得， 所以. 故选：B. 7. 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】依题意，，构造函数，利用单调性得，即，判断A选项，由判断B，利用作差法结合 的正负无法判断，可得与的大小无法比较，并举反例说明，判断CD选项. 【详解】依题意，，令， 因为，均在上单调递减，故在上单调递减， 则， ，故， ，若，则， 若，则不存在，B错误， 因为， ，的正负无法判断，故与的大小无法比较. 反例如下：取，可得， 此时，CD都不成立， 故选：A. 8. 已知正方体的棱切球表面积为，动点E，F分别在线段，上运动，且E，F不与正方体的顶点重合，若，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，求得，将平面，，展开到同一平面，连接，的得到，在中，利用余弦定理，求得的长，即可得到答案. 【详解】由题意，可得，因为，解得， 将平面，，展开到同一平面，如图所示， 由题意，可得， 连接，交于，交于， 则， 在中，，， 由余弦定理得， 所以，即实数取值范围为. 故选：D. 二、选择题：共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 将某工厂新生产的10000件产品的质量大小统计如下图所示，则（ ） A. 质量在区间的产品有2000件 B. 质量在区间的频率为0.2 C. 这10000件产品的质量的中位数大于1.15 D. 这10000件产品的质量的众数为1.175 【答案】BD 【解析】 【分析】根据矩形面积即可求解AB，根据中位数和众数的计算即可求解CD. 【详解】依题意，因为，故A错误； ，B正确； 前三块小矩形的面积依次为0.05，0.2，0.28，而， 故这10000件产品质量的中位数小于1.15，故C错误； 众数为，故D正确； 故选:BD. 10. 已知函数，，，则（ ） A. 的单调递减区间为 B. 的图象为轴对称图形 C. 的图象关于原点对称 D. 满足的x的取值范围为 【答案】ABC 【解析】 【分析】求得函数的解析式，结合指数函数的性质，可判定A正确；求得，可判定B正确；由函数奇偶性的定义和判定方法，可判定C正确；把不等式转化为，得到，求得不等式的解集，可判定D错误. 【详解】对于A中，因为， 则的单调递减区间为，所以A正确； 对于B中，因为，故的图象的对称轴为，所以B正确； 对于C中，因为，可得的定义域为关于原点对称， 且，所以为奇函数， 所以函数图象关于原点对称，所以C正确； 对于D中，由，可得，即， 可得，解得，所以D错误. 故选：ABC. 11. 如图所示，已知Ox，Oy是平面内相交成角的两条数轴，，分别是与x，y轴正方向同向的单位向量，则称平面坐标系xOy为的仿射坐标系.若在的仿射坐标系下，则把有序实数对叫做向量的仿射坐标，记为.则（ ） A. 在的仿射坐标系下，若，则 B. 在的仿射坐标系下，若，，则 C. 在的仿射坐标系下，若，，则 D. 在的仿射坐标系下，若，，且，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】由，利用向量的数量积的运算律，可判定A正确；根据向量的数量积的计算公式，可判定B错误；利用向量的夹角公式，求得的值，可判定C正确；由，求得，结合向量的夹角公式和三角函数的性质，可判定D正确. 【详解】对于A中，因为，可得，所以A正确； 对于B中，，，所以，所以B错误； 对于C中，由， 且， ， 所以，所以C正确； 对于D中，由， ， ， 又因为，所以， 可得对任意恒成立， 因为，所以，解得， 又因为，所以， 所以， 因为，可得， 所以的最大值为，所以D正确. 故选：ACD. 三、填空题：共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知某圆锥的轴截面是直角边长为2的等腰直角三角形，则该圆锥的体积为__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，利用圆锥的几何结构特征，求得圆的底面半径和高，结合体积公式，即可求解. 【详解】由圆锥的轴截面是直角边长为2的等腰直角三角形，可得斜边长为，斜边上的高为， 所以圆锥的底面半径为，高为，所以所求体积. 故答案为：. 13. 在一次高一学生的答题测试中，10位参加测试的同学答对题目的数量分别为7，7，4，6，8，8，2，5，10，7，则该组数据的平均数为__________；该组数据的第70百分位数为__________. 【答案】 ①. 6.4 ②. 7.5 【解析】 【分析】根据平均数及百分位数的定义求解. 【详解】将数据从小到大排列得到：2，4，5，6，7，7，7，8，8，10， 平均数为. ，故第70百分位数为. 故答案为：； 14. 已知函数，且的所有零点按照从小到大的顺序排列依次为，则的取值范围为__________. 【答案】 【解析】 【分析】令函数，画出函数的图象，根据的零点分布与的零点分布情况，结合函数图象，可得，进而求得的取值范围. 【详解】令函数，函数的图象，如图所示， 由题意知，的零点为的图象与的交点横坐标，且 令，解得，结合函数图象，可得，所以， 因为，所以， 所以的取值范围为. 故答案为：. 四、解答题：共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 某公司招聘员工需要经过笔试和面试两个流程，且两个流程都通过才能被公司录取.现有甲、乙两人参加应聘，其中甲通过笔试和面试的概率分别为0.8、0.5，乙通过笔试和面试的概率分别为0.6、0.7，两人是否通过笔试与面试及是否被公司录取均相互独立. （1）试通过计算比较甲、乙两人谁被公司录取的概率更大； （2）求甲、乙两人中仅有1人被该公司录取的概率. 【答案】（1）乙 （2） 【解析】 【分析】（1）记甲被公司录取为事件A，乙被公司录取为事件B，利用独立事件的概率乘法公式，分别求得和，比较大小，即可得到结论； （2）由（1）得到和，结合独立事件的概率乘法公式和互斥事件的概率加法公式，即可求解. 【小问1详解】 解：记甲被公司录取为事件A，乙被公司录取为事件B， 则，， 因为，故乙被该公司录取的概率更大. 【小问2详解】 解：由（1）可知，，， 故甲、乙两人中仅有1人被该公司录取的概率： . 16. 已知函数（，）的周期为，且过点. （1）求，的值； （2）求函数在上的单调递减区间. 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意，利用正弦型函数的周期的定义，得到，即可求解，将代入中，结合，即可求出； （2）由（1）知，利用正弦型函数的图象与性质，列出不等式，即可求解单调递减区间，又，在上的单调递减区间.. 【小问1详解】 依题意，，解得； 将代入中，得，故， 解得；因为，故； 【小问2详解】 由（1）可知， 令， 则，即， 故的单调递减区间为. 又，令，解得， 综上所述，在上的单调递减区间为. 17. 定义：复数（）的三角形式为，其中，，是复数的模，是复数的辐角，规定范围内的辐角的值为辐角的主值，记作. （1）求出方程的所有复数根，并求这些根的辐角的主值； （2）已知，，求. 【答案】（1）复数根分别为，，主值分别为， （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意，求得方程的根，，结合辐角主值的计算方法，即可求解； （2）根据三角恒等变换的公式，化简得到，结合辐角主值的概念，即可求解. 【小问1详解】 由题意，方程，即，解得，即， 故方程的所有复数根为，， 对于复数，可得，所以，又由，则； 对于，可得，所以，又由，则， 故，的辐角的主值分别为和. 【小问2详解】 由题意，可得 ， 所以，解得，所以 18. 如图所示，已知正方体的体积为64，点M为线段的中点，过点A，M的平面与直线平行. （1）求平面与正方体的表面形成的截面图形的面积； （2）求证：平面平面； （3）点E是侧面内的动点，满足平面，当线段最短时，求四面体的外接球的表面积. 【答案】（1）18 （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）根据题意，求得正方体的棱长，取的中点，得到梯形为所求截面图形，结合梯形的面积公式，即可求解； （2）根据题意，分别证得和，结合线面垂直的判定定理，证得平面，进而证得平面平面. （3）分别取的中点，证得平面和平面，证得平面平面，得到点在线段PQ上，且点为线段的中点时，最短，连接交于点，得到四面体的外接球的球心在上，结合球的截面圆的形状，列出方程组，求得的值，即可求解. 【小问1详解】 解：取的中点，连接，易知， 所以梯形为所求截面图形， 如图所示，设正方体的棱长为， 因为正方体的体积为，可得，解得， 则，，， 故所求梯形面积. 【小问2详解】 因为正方形，可得； 又因为平面，平面，所以； 因，且平面，所以平面； 因为平面，所以平面平面. 【小问3详解】 如图所示，分别取的中点，连接， 在正方体中，可得， 因为平面，且平面，则平面， 同理可证：平面， 又因为，且平面，所以平面平面， 因为平面，且点是侧面内的动点，则点在线段PQ上， 又因为，故当点为线段的中点时，最短， 设，在直角中，点为的外心， 连接交于点，则平面， 则四面体的外接球的球心在上， 设四面体的外接球的球心为点，则长即外接球半径r； 设，则，因为，， 在直角中，， 在直角中，， 联立方程组，，解得，， 故外接球的表面积为. 19. 已知中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，点M在线段BC上，，，线段AM，BN交于点P.（注：，分别表示，的面积） （1）求的值； （2）若， （ⅰ）求的值； （ⅱ）求的最大值. 【答案】（1） （2）（ⅰ）3；（ⅱ） 【解析】 【分析】（1）设，求得，，根据、P、N三点共线，列出方程，求得，得到为AM中点，进而求得的值； （2）（ⅰ）由，求得，利用正弦定理得到，进而得到，等式两边同除，即可得证； （ⅱ）解法1：由（ⅰ）得，化简，令，得到，转化为有实数解，结合二次函数的性质，即可求解； 解法2：由正弦定理得到，设，利用海伦公式，化简得到令，得到，结合二次函数的性质，即可求解. 【小问1详解】 解：由题意，设， 可得， ， 因为、P、N三点共线，可得，所以，解得， 所以为AM中点，则，即. 【小问2详解】 解：（ⅰ）由题意知：，， 因为，所以，可得， 由正弦定理，可得，所以， 因为，可得，所以， 即， 等式两边同除，可得. （ⅱ）解法一：由（ⅰ）知，，可得， 所以， 令，，则， 即有实数解； ①若，可得，，即，符合题意，此时； ②若，则满足，即， 解得且； 综合①②，的最大值为； 解法二：因为，可得，由正弦定理得：， 设，则， 由海伦公式可知，其中， 可得 ， 令，可得， ①当时，此时； ②当时，该方程为开口向下的二次函数，在顶点处取最大值 所以时，y取值最大，即时，最大， 所以，所以，解得， 此时， 综上可得的最大值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $