山东省青岛市2024-2025学年高一下学期期末学业水平检测数学试卷

2024一2025学年度第二学期期末学业水平检测 高一数学试题 2025.07 本试卷4页，19小题，满分150分.考试用时120分钟 注意事项： 1,答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上，并将 准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置， 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如 需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写 在本试卷上无效. 3,考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的. 1.已知2=2-，则云的虚部为 A.-1 B.0 c.1 D.2 2.若数据x1,x2,…,xn的方差为1，则数据3x-1,3x3-1,…,3xn-1的方差为 A.1 B.3 C.8 D.9 3.已知向量a=(1,2),b=(+2,),若a∥b,则1= A.4 B.-4 c.1 D.-1 4.已知△ABC的面积为5，BC=2AB:B=,则AC= A.√6 B.√5 c.√2 D.1 5.所有顶点都在两个平行平面上的多面体叫做“拟柱体”，两个平行平面之间的距离为h.“拟 柱体”2的统一体积公式为V=二h(L+4M+N)(其中L,M,N分别为2的上底面面 6 积、中截面（与上下底面平行且距离相等的截面）面积、下底面面积).如图：在多面 体ABCDEF中，底面ABCD是边长为2的正方形，AB∥EF,EF=4,点E到底 面ABCD的距离是2，则该多面体的体积为、 16 A.5 B. 3 c号 D.6 6.已知a,B为不同的平面，m,n为不同的直线，则 A.若m∥a,n∥a,则m∥n B.若m∥n,nca,则m∥a C.若m⊥a,n⊥x,则m∥n D.若m⊥a,m⊥n,则n∥a 高一数学试题 第」页共4虱 7.在复平面内，复数1+2i,√互+√i,V5-√2i,a+i对应的点乙，乙2，Z,Z在同一 个圆周上，则实数a= A.-2 B.-1 C.-1或2 D.-2或2 8.已知对任意平面向量AB=(x,y),把AB绕其起点沿逆时针方向旋转日角得到向量 AP=(xcos0-ysin0,xsin0+ycos0),叫做把点B绕点A沿逆时针方向旋转B角 得到点P.已知平面内点A(2,1)，,B3,1+√)，把点B绕点A沿顺时针方向旋转后 得到点P的坐标为 A.(L,1+V3) B.1,2) C.(2,0) D.(4,1) 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中， 有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.某校举办了数学知识竞赛，已知该校有1000名学生，随机抽取100名学生的成绩，整理 频率/组距 成如图所示的频率分布直方图，则 0.045 A.a=0.025 B.估计该校学生成绩的众数为70 0.020 C.估计该校学生成绩的中位数为68.3 0.005L D.估计该校学生成绩的平均数在65到75之间 045556$758595.成镜先：1 ,10.假设P(A)=0.2,P(B)=05,P(C)=0.8,则 A.A与C互为对立 B.若P(AUB)=0.6,则P(AB)=0.1 C.若AsB,则P(AB)=0.5 D.若A,B相互独立，则P(AB)=0.4 11.已知正四棱台的上、下底面的边长之比为1：2，其内切球的半径为1，则该正四棱合 A.上底面边长√2 B.下底面边长√2 C.高为2 D.体积为 8 三、填空题：本大题共3个小题，每小题5分，共15分. 12.一组数据1,2,4,6,7,8,11,12的第25百分位数是 13.将函数/)=s血2x的图象向右平移名个单位长度，得到函数y=8因)的图象，则 8)在[0，]上的最小值为 4.已约三楼锥P-ABC的体积为y,户AL平面ABC,PA=2,ACB=骨着三被 锥P-ABC的外接球半径最大值为√，则V的最大值为」 高一数学试题 第2页共4页 四、解答题：共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.(13分) 某企业拟招聘部分技术人员，有200.人参与竞聘，其中研究生50人，本科生150人， 现采用分层抽样的方式，对他们的竞聘成绩（满分10分）进行调查，其中研究生竞聘成绩 的抽样数据如下：7,7,8,9,9， (1)请根据上述数据计算研究生竞聘成绩样本的平均数和方差； (2)若本科生竞聘成绩样本的平均数为6，方差为1，求整体样本数据的平均数0和方差32. 参考公式：若总体划分为2层，通过分层随机抽样，各层抽取的样本量、样本平均数 和样本方差分别为：m,元，；n,,.记总的样本平均数为而，样本方差为2，则 而=m证+应 g2=1m+在-可2]+m+-]} m+n’ m+n 16.(15分) 如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为正方形，PA⊥底面ABCD,PA=AB, E为线段PB的中点， (I)证明：AE⊥平面PBC; (2)求AC与平面PBC所成角的大小， 17.(15分) 如图，在平面四边形ABCD中，△ABC是等边三角形，点E,F分别是CD,AC的中 点，AD=L,CD=2,∠ADC=120°. (I)求AC; (2)求sin∠CAD; (3)求FEFB. B 高一数学试题 第3页共4页 18.(17分) 如图，由三棱锥P-ABC顶点P出发的三条棱两两垂直.设PA=a,PB=b,PC=c. (1)若a=b=c=2,求点P到平面ABC的距离； (2)若△ABC的面积为8，二面角A-BC-P的大小为60°. (i)求△PBC的面积； (ⅱ)求三棱锥P一ABC体积的最大值： 19.(17分) 在某密码通信系统中，字母只通过符号“⊙”和“⑧”传输，每个符号（⊙或⑧）】 的传输可能出错，传输结果相互独立.系统只有两种传输模式： 模式1：若首次传输或前一位传输正确时，则： 当发送“⊙”时，正确接收的概率为p,错误接收的概率为1一P; 当发送“⑧”时，正确接收的概率为9，错误接收的概率为1一9· 模式2：若前一位传输错误，则当前位错误概率变为r,r=max{1-p,1-q}. 假设P,9,r∈(0,1)，已知字母A的密码为“⊙⑧”，字母G的密码为“⑧⑧⊙”， (1)若p=0.6,q=0.8.求字母A正确接收的概率； (2)若p+9=1,在字母G接收的3个符号中，记B=“收到⊙的个数为1”，C=“收 到⊙的个数为2”，试比较P(B)和P(C)的大小. 高一数学试题 第4页共4页2024一2025学年度第二学期期末学业水平检测 高一数学试题 2025.7 本试卷4页，19小题，满分150分.考试用时120分钟. 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自已的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上，并将准 考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置： 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑. 如需要改动，用橡皮干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡 上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选 项中，只有一项是符合题目要求的. 1已知2=2-日，则z的虚部为 A.-1 B.0 C.1 D.2 答案小 2.若数据x,x2,…,,.的方差为1，则数据3c1一1,3x2-1,…,3x-1的方差为 A.1 B.3 C.8 D.9 答案D 3.已知向量d=(1,2),b=（-2,t),若d/6,则t= A.4 B.-o4 C.1 D.-1 答案B 4.已知△ABC的面积为V3,BC=2AB,B=交，则AC= A.6 B.√3 C.√2 D.1 答案A 5.所有顶点都在两个平行平面上的多面体叫做“拟柱体”，两个平行平面之间的距离为 h.“拟柱体”Q的统一体积公式为V=石hL+4M+N)(其中L,M,N分别为2的上底 面面积、中截面（与上下底面平行且距离相等的截面）面积、下底面面积).如图：在多面 体ABCDEF中，底面ABCD是边长为2的正方形，AB∥EF,EF=4,点E到底面 ABCD的距离是2，则该多面体的体积为 A.5 B.16 3 C. D.6 答案B 6.已知，B为不同的平面，m,n为不同的直线，则 A.若m/o/a,n/o/a,则m/om. B.若m/om,nca,则m/o/a C.若m⊥&，n⊥a,则m/om' D.若m⊥&，m⊥n,则n/o/e 答案C 7.在复平面内，复数1+2i,√2+√3i,√3一√2i,a+i对应的点Z1,Z2,Z3,Z4在同一个圆 周上，则实数a= A.-2 B.-1 C.-1或2 D.-2或2 答案D 8.已知对任意平面向量AB=(x,y),把AB绕其起点沿逆时针方向旋转0角得到向量 AP=(xcost0-ysin0,xsin0+ycos0),叫做把点B绕点A沿逆时针方向旋转0角得到 点P.已知平面内点A(2,1),B(3,1+√3)，把点B绕点A沿顺时针方向旋转于后得到 点P的坐标为 A.(1,1+√3) B.(1,2) C.(2,0) D.(4,1) 答案D 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选 项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的 得0分. 9.某校举办了数学知识竞赛，已知该校有1000名学生，随机抽取100名学生的成绩，整 理成如图所示的频率分布直方图，则 频率/组距 0.045 0.020*-… 0.005- 0455565758595成绩/分 A.a=0.025 B.估计该校学生成绩的众数为70 C.估计该校学生成绩的中位数为68.3 D.估计该校学生成绩的平均数在65到75之间 答案ABD 10.假设P(A)=0.2,P(B)=0.5,P(C)=0.8,则 A.A与C互为对立 B.若P(AUB)=0.6,则P(AB)=0.1 C.若A二B,则P(AB)=0.5 D.若A,B相互独立，则P(AB)=0.4 【答案】BD 11.已知正四棱台的上、下底面的边长之比为1：2，其内切球的半径为1，则该正四棱台 A.上底面边长√2 B.下底面边长√2 C.高为2 D.体积为 答案 ACD 三、填空题：本大题共3个小题，每小题5分，共15分. 12.一组数据1,2,4,6,7,8,11,12的第25百分位数是 答案3 13.将函数f(x)=sin2x的图象向右平移石个单位长度，得到函数y=g(x)的图象，则 g)在[0，]上的最小值为 答案 3 3 14.已知三棱锥P-ABC的体积为V,PA⊥平面ABC,PA=2,LACB=,若三棱 锥P一ABC的外接球半径最大值为√5，则V的最大值为 答案2W3 四、解答题：共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 15.(13分) 某企业拟招聘部分技术人员，有200人参与竞聘，其中研究生50人，本科生150人， 现采用分层抽样的方式，对他们的竞聘成绩（满分10分）进行调查，其中研究生竞聘成绩 的抽样数据如下：7,7,8,9,9. (1)请根据上述数据计算研究生竞聘成绩样本的平均数和方差； (2)若本科生竞聘成绩样本的平均数为6，方差为1，求整体样本数据的平均数ō和方差 s2. 参考公式：若总体划分为2层，通过分层随机抽样，各层抽取的样本量、样本平均数 和样本方差分别为：m,c,s;,,s号.记总的样本平均数为0，样本方差为s2,则o= m远+ng,s2=1{ms+(元-a]+n[s+(何-oP]}. m+n mtn 解析 )平均数为元三(7十7十8十9+9)三8…………3分 方差为：s=(+12+02+1P+1=0.8… 6分 (2)因为研究生有50人，本科生150人，且研究生抽取5人，由于采用分层抽样的方 式，所以本科生抽取15人，…8分 故整体样本数据的平均数而=5×815X6=6.5,…10分 20 整体样本数据的方差g2=20【0.8+(8-65门]+28[1+(6-6.5门]=17 所以整体样本数据的平均数为6.5，方差为1.7. …13分 4 16.(15分) 如图，在四棱锥P一ABCD中，底面ABCD为正方形，PA⊥底面ABCD,PA= AB,E为线段PB的中点， E D (1)证明：AE⊥平面PBC: (2)求AC与平面PBC所成角的人小. 解析(1)证明：因为PA=AB,E为线段PB的中点，所以AE⊥PB, 又PA⊥底面ABCD,底面ABCD为正方形，所以BC⊥AB,BC⊥PA,AB∩PA =A 又AB,PAC平面PAB,所以BC⊥平面PAB… …4分 又AEC平面PAB,所以AE⊥BC,PB OBC=B 所以AE⊥平面PBC………………8分 (2)由(1)知，AE⊥平面PBC, 所以∠ACE为直线AC与平面PBC所成的角… …11分 设PA=AB=BC=2,则AC=2W/2,AE=V2, 在直角三角形AEF中，sin∠ACE=A把=，2=) …14分 2 所以直线AC与平面PBC所成角为30°.…15分 5 17.(15分) 如图，在平面四边形ABCD中，△ABC是等边三角形，点E,F分别是CD,AC的中 点，AD=1,CD=2,∠ADC=120°. D E B (1)求AC: (2)求sin∠CAD: (3)求F正FB. 解粉 (1)在△ACD中， 由余弦定理知AC2=AD2+CD2-2AD·CD·cos∠ADC=1+4-2X1×2× ()=7 所以AC=7 5分 (2)在△ADC中，由正弦定理知： CD AC sinm∠CAD=sin2ADC 所以sin∠CAD=CDsin∠ADC2XY3 =v21 AC V7 7 …10分 (3)因为AABC是等边三角形，所以BF=号AC=引 2 所以F.Fi=FFi·Cos∠BFE…12分 CFE)=0+CAD) =、v2 4 -sin∠CAD 15分 4 6 18.(17分) 如图，由棱锥P-ABC顶点P出发的.条棱两两垂直.设PA=a,PB=b,PC= C. A P B (1)若a=b=c=2,求点P到平面ABC的距离： (2)若△ABC的面积为8，二血角A-BC-P的大小为60°. (i)求△PBC的面积； (ii)求三棱锥P-ABC体积的最大值. 解析 (1)因为a=b=c=2,所以AB=AC=BC=2v2,SAAC=2V3…2分 设P到平面ABC的距离为h,则=}Sch=2考3h3分 又-o=PA-=}×2×2×2×2=手，所以2y3h=h=2g 3 所以P到平面ABC的距离为 …5分 (2)(i)在三棱锥P-ABC中，过P作PD⊥BC于D,连接AD, 因为AP⊥PB,AP⊥PC,PB∩PC=P, 所以AP⊥平面PBC, 故AP⊥BC, 又因为PD⊥BC,PD∩AP=P, 所以BC⊥平面PAD, 所以BC⊥AD, 因此∠ADP为二面角A一BC一P的平面角…8分 所以∠ADP=60°，在直角△PAD中，AD=2PD, 因为SAB=2AD·BC=2×2PD·BC=2Spe=8, 所以SAPEC=4… …11分 (i)在△PBC中，因为SAPRC=bc=4,所以bc=8, …12分 所以BC=Vb2+c2≥√2bC=4,当且仅当b=c=2V2时等号成立；…13分 又因为SAc天BCPD=4,所以PD三B≤2，…14分 在直角△PAD中，AP=√3PD≤2√3， .15分 所以ABc=}SeAP<83,当且仅当6=C=2v2时等号成立 综上，三棱锥P-ABC体积的最大值为8y3 3 …17分 19.(17分) 在某密码通信系统中，字母只通过符号“⊙”和“⑧”传输，每个符号（⊙或⑧）的传输 可能出错，传输结果相互独立.系统只有两种传输模式： 模式1：若首次传输或前一位传输正确时，则： 当发送“⊙”时，正确接收的概率为p,错误接收的概率为1一p: 当发送“⑧”时，正确接收的概率为q,错误接收的概率为1一q: 模式2：若前一位传输错误，则当前位错误概率变为T,r=max{1-p,1-q}. 假设p,g,r∈(0,1)，已知字母A的密码为“⊙⑧”，字母G的密码为“⑧⑧⊙”. (1)若p=0.6,g=0.8.求字母A正确接收的概率： (2)若p+q=1,在字母G接收的3个符号中，记B=“收到⊙的个数为1”，C=“收到 ⊙的个数为2”，试比较P(B)和P(C)的大小. 解析(1)字母A的密码为“⊙⑧”，一共接收2个符号，2个都正确，则字母A正确接 收，所以字母A正确接收的概率为pg=0.6×0.8=0.48…4分 (2)r=max{1-p,1-q}= 1-q,p≥q 11-p,p<q 若字母G接收的3个符号中中，收到“⊙”的个数为1，可分3种情况：传输为“⊙⑧⑧” 或“⑧⊙⑧”或“⑧⑧⊙”， 所以P(B)=(1-q(1-r)(1-p）+q(1-q)r+q2p …7分 =pg(1-r）+pgr+gp=pg+pg2… …9分 同理，若字母G接收的3个符号中中，收到“⊙”的个数为2，可分3种情况：传输为 “⊙⊙8”或“⊙⑧0”或“⑧⊙⊙”，所以P(C)=(1-q)r·r+(1-q)(1-r)p+g(1-q)(1 -r) 8 当p≥q时，r=1-q=p, 所以P(C)=p3+qp2+qp=p(p2+pq+q)=p(p(p+q)+q2)=p(p+q2） 当p<g时，T=1-p=q, 所以P(C)=qp+p3+pq=p(p2+pq+q2)=p(p十q2）…13分 所以P(B)-P(C)=pq-p2=p(q-p)… …14分 若p=q,则P(B)=P(C) 若p>q,则P(B)<P(C) 若p<q,则P(B)>P(C)…17分 9