3.3探索与表达规律（思维导图+知识梳理+练习）2025-2026学年北师大版（数学）七年级上册

3.3 探索与表达规律 一、本节思维导图 二、本节知识梳理 1.数字规律：若是一列整数，可考虑相邻两数的和、差、积、商等规律，也可能是奇、偶、平方等方面的规律；若是等式，可将每个等式对应写好，比较每一行、每一列数字间的关系找规律；若是分数，则分别观察分子、分母的变化规律及它们之间的联系。 2.图形规律：观察数量变化，探究由特殊到一般的关系，用代数式抽象出来；观察图形的拼接，发现规律并类推得到图形的规律性。 3.探索方法：从开始的几个简单特例入手，对比、分析其中保持不变的部分及发展变化的部分，尤其关注变化时与序数的关系，归纳出一般性结论。 三、基础过关练习 （一）数字类末尾数字规律 1．从到连续自然数的平方和的个位数是（     ） A．0 B．3 C．4 D．9 2．“杨辉三角”是中国古代数学的重要成就之一，最早出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法》中．其规律是：从第三行起，每行两端的数都是“1”，其余各数都等于该数“两肩”上的数之和．若将第n行的数字之和记为，则的末位数字是（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 3．观察下列等式：，，，，，，根据其中的规律，可得的和的个位数字是（    ） A． B． C． D． 4．根据，，， 的规律，则的个位数字是（   ） A．3 B．5 C．7 D．1 （二）数字类周期规律 5．如图所示是“奋进小组”设计的一个运算程序，若第一次输入的数是256，则第2025次输出的结果是（   ） A．1 B．4 C．16 D．64 6．如图，把周长为个单位长度的圆放到数轴（单位长度为）上，三点将圆三等将点与数轴上表示的点重合，然后将圆沿着数轴正方向滚动，则对应点可能为（　　） A． B． C． D．以上答案均错误 7．已知点，，，…，（为正整数）都在数轴上，点在原点的左边，且；点在点的右边，且；点在点的左边，且；点在点的右边，且；…，依照上述规律，点与所表示的数分别为（   ） A．， B．， C．， D．， 8．干支纪年是中国传统纪年方法．干支是天干和地支的总称，“甲、乙、丙……”等十个符号叫天干，“子、丑、寅……”等十二个符号叫地支，把干支（天干+地支）顺序相配（甲子、乙丑、丙寅……）正好六十为一周期，周而复始，循环纪律．有人总结出纪年算法的辅助表如下： 十天干 甲 乙 丙 丁 戊 已 庚 辛 壬 癸 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 十二地支 子 丑 寅 卯 辰 巳 午 未 申 酉 戌 亥 4 5 6 7 8 9 10 11 0 1 2 3 由上表还很快算出1984年是甲子年，2000年是庚辰年，那么2025年是（   ） A．丁酉 B．甲辰 C．乙已 D．丙午 （三）数字类等量关系规律 9．以下是一组按一定规律排列的多项式：，…，第n个多项式是（    ） A． B． C． D． 10．下列单项式按一定规律排列：…，其中第个单项式为（   ） A． B． C． D． 11．按一定规律排列的多项式：，…，第n个多项式是（   ） A． B． C． D． （四）数字类新运算规律 12．已知且，我们定义，记为；，记为；；，记为．若将数组中的各数分别作的变换，得到的数组记为；将作的变换，得到的数组记为；；则的值为（　　） A． B． C． D． 13．符号“f”表示一种运算，它对一些数的运算结果如下： （1）； （2）． 利用以上规律计算： ）等于（    ） A．2021 B．2022 C． D． 14．如图，为杨辉三角的一部分，下数表给出了（n＝1，2，3，…）的展开式的系数规律． 根据数表规律得的展开式中第二项是（　　） A． B． C． D． 15．如图，下列图形均是由完全相同的小圆点按照一定规律所组成的，第个图形中一共有个小圆点，第个图形中一共有个小圆点，第③个图形中一共有个小圆点，……，按此规律排列下去，第个图形中小圆点的个数是（   ） A． B． C． D． （五）图形类规律 16．用正方形和三角形按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有4个三角形，第四，个图案中有7个三角形，第③个图案中有10个三角形．．．，按此规律，则第⑨个图案，三角形的个数是（　　） A．27 B．28 C．29 D．30 17．下列图形都是由同样大小的“围棋子”按一定的规律组成，其中第①个图形有1颗“围棋子”，第②个图形一共有6颗“围棋子”，第③个图形一共有16颗“围棋子”，…，则第⑧个图形中“围棋子”的颗数为（   ） A．91 B．106 C．121 D．141 18．按如图所示的规律搭正方形：搭一个小正方形需要4根小棒，搭两个小正方形需要7根小棒，……，则搭6个这样的小正方形需要的小棒数量为（　　） A．19 B．20 C．22 D．25 19．用边长相等的正方形和等边三角形按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案用了4个正方形，第②个图案用了6个正方形，第③个图案用了8个正方形，按此规律排列下去，则第2025个图案中用的（   ） A．4044 B．4046 C．4048 D．4052 20．用正方形按如图所示的规律拼图案，其中图案①中有5个正方形，图案②中有9个正方形，图案③中有13个正方形，图案④中有17个正方形，…，按此规律排列下去，若图案中有2025个正方形，则的值为（   ） A．503 B．504 C．505 D．506 四、综合练习 21．如图，将一张边长为1的正方形纸片分割成7个部分，部分②是部分①面积的一半．部分③是部分②面积的一半，依次类推． (1)阴影部分的面积是多少？ (2)受（1）的启发___________； (3)类比（2）求出的值． 22．《庄子·天下》：“一尺之棰，日取其半，万世不竭．”意思是说：一尺长的木棍，每天截掉一半，永远也截不完．我国智慧的古代人在两千多年前就有了数学极限思想，今天我们运用此数学思想研究下列问题． （规律探索） (1)如图1所示的是边长为1的正方形，将它剪掉一半，则，如图2，在图1的基础上，将阴影部分再裁剪掉—半，则____； 同种操作，如图3，_____； 如图4，________； ……若同种地操作n次，则_________． 于是归纳得到：_________． (2)阅读材料：求的值． 解：设①， 将①×2得：②， 由②-①得：，即． 即 根据上述材料，试求出的表达式，写出推导过程． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 3.3 探索与表达规律 1．从到连续自然数的平方和的个位数是（     ） A．0 B．3 C．4 D．9 【分析】本题考查了数字类规律探究；计算连续自然数平方和的个位数，只需关注每个数平方后的个位数之和的个位． 【详解】解：每个数的平方个位数仅由其个位数字决定．的平方个位依次为，，，，，，，，，，每个数的平方个位数之和为，个位为． 个数包含个完整周期（个数），余下个数为、、，其个位分别为、、． 个周期的个位和为，个位为． 余下数的平方个位为，个位为． 总和的个位为． 故选：C． 2．“杨辉三角”是中国古代数学的重要成就之一，最早出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法》中．其规律是：从第三行起，每行两端的数都是“1”，其余各数都等于该数“两肩”上的数之和．若将第n行的数字之和记为，则的末位数字是（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【分析】本题考查了有理数的乘方，解题关键是找出规律，并用规律求解． 先写出前几个式子，再用表示出，然后求出，即可得出其末位数字． 【详解】解：第n行的数字之和记为， 第1行的数字之和记为， 第2行的数字之和记为， 第3行的数字之和记为， 第4行的数字之和记为， 第5行的数字之和记为， … 依次类推，第n行的数字之和记为， 所以， 即的末位数字是2， 故选：A． 3．观察下列等式：，，，，，，根据其中的规律，可得的和的个位数字是（    ） A． B． C． D． 【分析】本题考查了探数字的变化规律，根据运算规律可知个位数分别为：，，，，，，，每个数一组进行循环，因为，所以个位数之和应是，所以它们的和的个位数是． 【详解】解：，，，，，，， 可知个位数分别为：，，，，，，， 每个数一组进行循环， ， ， ， 的和的个位数字是． 故选：D． 4．根据，，， 的规律，则的个位数字是（   ） A．3 B．5 C．7 D．1 【分析】本题主要考查数字规律，根据所给式子得出规律，令，，求出，得出个位数的规律即可解答． 【详解】解：由题意知：， ， ， 所以，， 令，，则有： ， 因为以2为底的乘方的运算结果个位数字按2，4，8，6循环，且余2， 所以的个位数字为4， 则的个位数字为3． 故选：A． 5．如图所示是“奋进小组”设计的一个运算程序，若第一次输入的数是256，则第2025次输出的结果是（   ） A．1 B．4 C．16 D．64 【分析】本题考查了运算流程图与代数式求值，数字类规律探索，根据流程图正确计算是解题关键．根据流程图依次计算，根据结果发现从第三次开始，输出的结果按4、1循环出现，即可得到答案． 【详解】解：第一次输入的数是256，输出的数是， 第二次输入的数是64，输出的数是， 第三次输入的数是16，输出的数是， 第四次输入的数是4，输出的数是， 第五次输入的数是1，输出的数是， 第六次输入的数是4，输出的数是， 第七次输入的数是1，输出的数是， …… 观察发现，从第三次开始，输出的结果按4、1循环出现， 第2025次输出的结果是4， 故选：B 6．如图，把周长为个单位长度的圆放到数轴（单位长度为）上，三点将圆三等将点与数轴上表示的点重合，然后将圆沿着数轴正方向滚动，则对应点可能为（　　） A． B． C． D．以上答案均错误 【分析】本题考查了数轴上动点的运动，理解图示，找出规律是关键． 根据题意得到点对应的数字为（的整数），点对应的数字为（的整数），点对应的数字为（的整数），由此即可求解． 【详解】解：∵圆的周长为个单位长度，数轴的单位长度为，为圆的三等分点， ∴滚动次后回到点，即每次一循环， ∵起点在的位置， ∴点滚动第一圈是，滚动第二圈是，滚动第三圈是，......，则点对应的数字为（的整数）， 点滚动第一圈是，滚动第二圈是，滚动第三圈是，......，则点对应的数字为（的整数）， 点滚动第一圈是，滚动第二圈是，滚动第三圈是，......，则点对应的数字为（的整数）， ∴，则，不符合题意； ，则，不符合题意； ，则，符合题意； ∴对应点可能为点， 故选：C ． 7．已知点，，，…，（为正整数）都在数轴上，点在原点的左边，且；点在点的右边，且；点在点的左边，且；点在点的右边，且；…，依照上述规律，点与所表示的数分别为（   ） A．， B．， C．， D．， 【分析】本题考查了数轴的应用和数字的变化规律，利用已知条件找到规律是解题的关键．根据题意得出规律：当为奇数时，表示的数为，当为偶数时，表示的数为，把，分别代入即可求解． 【详解】解：由题意可得，点表示的数为，点表示的数为， 点表示的数为，点表示的数为，…… 当为奇数时，表示的数为，当为偶数时，表示的数为， 点表示的数为，点表示的数为， 故选：C． 8．干支纪年是中国传统纪年方法．干支是天干和地支的总称，“甲、乙、丙……”等十个符号叫天干，“子、丑、寅……”等十二个符号叫地支，把干支（天干+地支）顺序相配（甲子、乙丑、丙寅……）正好六十为一周期，周而复始，循环纪律．有人总结出纪年算法的辅助表如下： 十天干 甲 乙 丙 丁 戊 已 庚 辛 壬 癸 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 十二地支 子 丑 寅 卯 辰 巳 午 未 申 酉 戌 亥 4 5 6 7 8 9 10 11 0 1 2 3 由上表还很快算出1984年是甲子年，2000年是庚辰年，那么2025年是（   ） A．丁酉 B．甲辰 C．乙已 D．丙午 【分析】本题考查了规律问题的探索与运用，读懂题目介绍的中国传统纪年方法是解题的关键．天干表10个数为一个周期，地支表12个数为一个周期，2000年是庚辰年，从2000年算起，用25分别除以10和12，根据余数结合天干地支表即可得到答案． 【详解】解：根据题意可知，2000年是庚辰年，那么2000年的天干对应的数字是0，地支对应的数字是8，从2000年开始算起，2025年为第25年， 天干表10个数为一个周期，地支表12个数为一个周期， ，， 那么2025年的天干从0开始数，第5个是乙，2025年的地支与2001年的地支一样，都是数字是9， 2025年对应的天干为乙，地支为巳， 故2025年为乙巳年， 故选：C． 9．以下是一组按一定规律排列的多项式：，…，第n个多项式是（    ） A． B． C． D． 【分析】本题考查多项式排列中的规律．根据题意，把原来多项式拆成两个单项式，分别找出每组单项式的规律即可． 【详解】解：将排列的多项式：，，，，，…，拆成两组单项式为： ， ， 第个单项式为和， 第个多项式是． 故选：B． 10．下列单项式按一定规律排列：…，其中第个单项式为（   ） A． B． C． D． 【分析】本题考查了整式的规律．观察给定单项式找出规律即可． 【详解】解：∵第1项正，第2项负，第3项正，…，符号交替变化， ∴第项符号为， ∵指数依次为3，5，7，…， ∴第项指数为， 综上所述，符号部分为，指数部分为，故第个单项式为， 故选：C． 11．按一定规律排列的多项式：，…，第n个多项式是（   ） A． B． C． D． 【分析】本题主要考查了数字类规律探究，找出次数变化的规律是解答本题的关键． 根据所给多项式次数总结出每个多项式前后两项次数变化的规律即可解答． 【详解】解：∵多项式的x项的系数依次为1、、、、，……，多项式的x项的次数依次为2、3、4、5、6，……， y项的次数依次为1、2、3、4、5，……， ∴第n个多项式的x项的系数为，x项的次数为，y项次数， ∴第个多项式是． 故选：D． 12．已知且，我们定义，记为；，记为；；，记为．若将数组中的各数分别作的变换，得到的数组记为；将作的变换，得到的数组记为；；则的值为（　　） A． B． C． D． 【分析】本题考查了数字类规律变化问题，根据题意可得，，，每三次变换为一个循环，据此解答即可求解，掌握变化规律是解题的关键． 【详解】解：由题意得，， ∴， ， ∴， ， ∴， ， ∴每三次变换为一个循环， ∵， ∴， 故选：． 13．符号“f”表示一种运算，它对一些数的运算结果如下： （1）； （2）． 利用以上规律计算： ）等于（    ） A．2021 B．2022 C． D． 【分析】本题考查数字类规律探究，根据题干，易得：，进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴； 故选B． 14．如图，为杨辉三角的一部分，下数表给出了（n＝1，2，3，…）的展开式的系数规律． 根据数表规律得的展开式中第二项是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据题意得出展开式，据此进行计算即可． 本题主要考查了数字变化的规律，理解题中所给展开式中各项系数与杨辉三角中的每行数之间的对应关系是解题的关键． 【详解】解：由题知， 展开式中各项的系数依次为1，5，10，10，5，1， 所以 所以的展开式中第二项是． 故选：B． 15．如图，下列图形均是由完全相同的小圆点按照一定规律所组成的，第个图形中一共有个小圆点，第个图形中一共有个小圆点，第③个图形中一共有个小圆点，……，按此规律排列下去，第个图形中小圆点的个数是（   ） A． B． C． D． 【分析】本题考查了找规律，代数式求值，解题的关键是由已知图形找到找到规律． 找规律，写出原点个数与序号之间的关系式，计算即可． 【详解】解：观察图形发现： 第个图形中一共有个小圆点， 第个图形中一共有个小圆点， 第个图形中一共有个小圆点， …… ∴第个图形中小圆点的个数是， 故选：． 16．用正方形和三角形按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有4个三角形，第四，个图案中有7个三角形，第③个图案中有10个三角形．．．，按此规律，则第⑨个图案，三角形的个数是（　　） A．27 B．28 C．29 D．30 【分析】本题主要考查了图形类的规律探索，观察可知第n个图形比第个多3个三角形，据此规律求解即可． 【详解】解：由图形可得， 第①个图形：个三角形， 第②个图形：个三角形， 第③个图形：个三角形， ……， 以此类推可得第个图形有个三角形， ∴第⑨个图形有个三角形， 故选：B． 17．下列图形都是由同样大小的“围棋子”按一定的规律组成，其中第①个图形有1颗“围棋子”，第②个图形一共有6颗“围棋子”，第③个图形一共有16颗“围棋子”，…，则第⑧个图形中“围棋子”的颗数为（   ） A．91 B．106 C．121 D．141 【分析】本题考查了规律型中图形的变化类，根据图形中棋子数目的变化找出变化规律是解题的关键．本题的图从②个图开始可以看作是由图①的一个棋子为中心依次向外以五边形的形式向外扩张，棋子依次是的整数倍关系．所以第⑧个图形中棋子的颗数也就容易计算了． 【详解】解：∵第①个图形中棋子的个数为： 第②个图形中棋子的个数为： 第③个图形中棋子的个数为： … ∴第个图形中棋子的个数为： 则第⑧个图形中棋子的颗数为： 故选：D． 18．按如图所示的规律搭正方形：搭一个小正方形需要4根小棒，搭两个小正方形需要7根小棒，……，则搭6个这样的小正方形需要的小棒数量为（　　） A．19 B．20 C．22 D．25 【分析】本题主要考查图形类规律探索；根据图形找出规律计算即可． 【详解】解：搭一个小正方形需要4根小棒，； 搭两个小正方形需要7根小棒， 搭三个小正方形需要10根小棒， 搭四个小正方形需要13根小棒，； 搭五个小正方形需要16根小棒，； 搭六个小正方形需要19根小棒，； ∴搭6个这样的小正方形需要的小棒数量为19． 故选：A． 19．用边长相等的正方形和等边三角形按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案用了4个正方形，第②个图案用了6个正方形，第③个图案用了8个正方形，按此规律排列下去，则第2025个图案中用的（   ） A．4044 B．4046 C．4048 D．4052 【分析】本题考查图形变化的规律，寻找规律列出代数式是解题的关键． 根据所给图形，依次求出正方形的个数，发现规律即可解决问题． 【详解】解：第1个图案中有4个正方形； 第2个图案中有个正方形； 第3个图案中有个正方形； 第4个图案中有个正方形； …… 第个图案中有个正方形； 故第2025个图案中有个正方形， 故选：D． 20．用正方形按如图所示的规律拼图案，其中图案①中有5个正方形，图案②中有9个正方形，图案③中有13个正方形，图案④中有17个正方形，…，按此规律排列下去，若图案中有2025个正方形，则的值为（   ） A．503 B．504 C．505 D．506 【分析】本题考查了图形的变化规律，根据图形的变化规律得出第个图案中有个正方形，即可求解，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：由题意知： 第①个图案中有个正方形， 第②个图案中有个正方形， 第③个图案中有个正方形， 第④个图案中有个正方形， ， ∴第个图案中有个正方形， ∴， 解得：， 故选：D． 21．如图，将一张边长为1的正方形纸片分割成7个部分，部分②是部分①面积的一半．部分③是部分②面积的一半，依次类推． (1)阴影部分的面积是多少？ (2)受（1）的启发___________； (3)类比（2）求出的值． 【分析】本题主要考查了图形规律的探索，有理数的运算． （1）根据题意先表示出①至⑥的面积，再总结规律即可作答； （2）结合（1）的规律，即可作答； （3）结合（1）的规律，即可作答. 【详解】（1）解：①的面积为， ②的面积为， ③的面积为， ④的面积为， ⑤的面积为， ⑥的面积为， 阴影面积与⑥的面积相等，即为； （2）解：仿照题意，将一张边长为1的正方形纸片分割成7个部分，部分②是部分①面积的一半，部分③是部分②面积的一半，依次类推． 数形结合，可得：， 故答案为：； （3）解：仿照题意，将一张边长为1的正方形纸片分割成2024个部分，部分②是部分①面积的一半，部分③是部分②面积的一半，依次类推． 数形结合，可得：． 22．《庄子·天下》：“一尺之棰，日取其半，万世不竭．”意思是说：一尺长的木棍，每天截掉一半，永远也截不完．我国智慧的古代人在两千多年前就有了数学极限思想，今天我们运用此数学思想研究下列问题． （规律探索） (1)如图1所示的是边长为1的正方形，将它剪掉一半，则，如图2，在图1的基础上，将阴影部分再裁剪掉—半，则____； 同种操作，如图3，_____； 如图4，________； ……若同种地操作n次，则_________． 于是归纳得到：_________． (2)阅读材料：求的值． 解：设①， 将①×2得：②， 由②-①得：，即． 即 根据上述材料，试求出的表达式，写出推导过程． 【分析】本题考查了规律探究和乘方的应用，正确理解题意是关键； （1）根据题意提供的方法找到规律解答即可； （2）仿照题目中给的方法解答即可. 【详解】（1）解：如图1所示的是边长为1的正方形，将它剪掉一半，则， 如图2，在图1的基础上，将阴影部分再裁剪掉—半，则； 同种操作，如图3，； 如图4，； ……， 若同种地操作n次，则． 于是归纳得到：； 故答案为：，，，，； （2）解：设①， 则②， ，得， 即. 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$