第18讲 一元一次方程的应用（2）——图形或数字问题 培优提分课件-2024-2025学年浙教版数学七年级上册

第18讲 一元一次方程的应用（2）——图形或数字问题 1 2 1.问题解决的四个步骤;理解问题→制订计划→执行计划→回顾反思，利用数学知识解决生活实际问题通常按这四个步骤进行. 2.图形或数字问题是指利用方程解决图形的面积、线段、角度之间的数量关系、数的进制问题、日历中的数字问题、九宫格等填数字游戏等问题. 3 1.图形问题： （1）常用等量关系：长方形、正方形的周长和面积公式；线段、角之间的等量关系或倍半关系；图形剪、拼前后面积不变等. （2）图形问题中的各种数量关系或等量关系都蕴含在图形中，比较隐蔽，需要认真识别图形，根据图形特征或变化规律发现信息，建立数量关系从而解决问题. 4 2.数字问题： （1）要清楚数字的代数表示方法，如一个三位数，百位、十位和个位的数字分别为 为整数，且 ，则这个三位数表示为 ，其他的十进制数字表示方式类似，再根据数字间的关系找出等量关系列方程. 5 （2）利用自然数的规律表示各数是解决数字问题的重要方法，如偶数 和奇数分别表示为 和 ，连续整数可表示为 ， ，日历中同一列的数字可以表示为 等，再根据数字规律确定 等量关系列出方程. （3）九宫格问题中各行、各列以及对角线上各数字之和相等是解决问 题主要的等量关系，由于等量较多较复杂，合理利用题中已知的数量关 系是关键. 6 知识点一：图形问题 如图，将一张正方形纸片剪去一个宽为 的长方 形纸条，再从剩下的长方形纸片上剪去一个宽为 的 长方形纸条. 7 （1）如果第一次剪下的长方形纸条的周长恰好是第二次剪下的长方形纸条周长的2倍，求原正方形纸片的边长. 思路点拨设原正方形纸片的边长为 ，根据长方形的周长公式 结合第一次剪下的长方形纸条的周长恰好是第二次剪下的长方形纸条周 长的2倍即可得出关于 的一元一次方程，解之即可得出结论. 解题过程 设原正方形纸片的边长为 由题意得 ，解得 原正方形纸片的边长为 8 （2）第一次剪下的长方形纸条的面积能否是第二次剪下的长方形纸条面积的2倍？如果能，请求出正方形纸片的面积；如果不能，请说明理由. 思路点拨设正方形纸片的边长为 根据长方形面积公式列方程，解之即可得出结论. 9 解题过程 第一次剪下的长方形纸条的面积能是第二次剪下的长方形纸 条面积的2倍. 设正方形纸片的边长为 ，则面积为 由题意得 ，解得 第一次剪下的长方形纸条的面积能是第二次剪下的 长方形纸条面积的2倍，正方形纸片的面积是 10 方法提炼 本题考查一元一次方程的实际应用，解题的关键是要利用线段之间的和差关系以及长方形面积与线段长之间的数量关系来建立等量关系列方程. 11 用8个形状和大小都相同 的小长方形，恰好可以拼成如图1所 示的大长方形；若用这8个小长方形 拼成如图2所示的正方形，则中间留 下一个空的小正方形（涂色部分）.设小长方形的长和宽分别为 和 12 （1）由图1，可知 满足的等量关系是_ ________. <m></m> （2）若图2中小正方形的边长为2，求小长方形的面积. [答案] 根据图2可知，小正方形的边长为 . 小正方形的边长为 小长方形的面积 13 知识点二：数字问题 &3& 如图所示为2023年一月份的日历. 14 （1）若将H形框上下左右移动，可框住另外七个数，若设H形框中的七 个数中最中间一个数是 ，请求出H形框中的七个数的和（用含 的代 数式表示）. 思路点拨用 表示出其他六个数并相加即可得到答案. 解题过程 由题意得其他六个数分别是 ， 七个数的和是 15 （2）请问H形框能否框到七个数，使这七个数之和等于168？若能，请写出这七个数；若不能，请说明理由. 思路点拨设H形框中的七个数中最中间一个数是 ，得 ，解得， ，则最大的数是 ，而日历中没有32，故H形框不能框到七个数，使这七个数之和等于168. 16 解题过程 H形框不能框到七个数，使这七个数之和等于168.理由如下： 设H形框中的七个数中最中间一个数是 由题意得 ，解得 此时最大的数是 ，而日历中没有32， 形框不能框到七个数，使这七个数之和等于168. 17 （3）用这样的H形框在2023年二月份的日历中能框出的七个数的和的 最大值是 _____________________________________________________ ______________________________________________________________ ______________________________________________________________. 思路点拨当 ，即 时，框出的七个数的和最大， 最大为 . 解题过程 年二月份的日历中最大的数是28，且 它在第3列， 当 ，即 时，框出的七个数的和最大， 最大为 故答案为140. 18 方法提炼 本题考查一元一次方程的实际应用，解题的关键是读懂题意，掌握日历中行与行之间数字之间的关系，并正确用含 的代数式表示其他六个数. 19 将连续的偶数 排列成 如下的数表，用倒L形框出3个数（如图1）.请 回答下列问题： （1）如图2，若设倒L形框出的3个数中②位置 <m></m> <m></m> 上的数为 ，请用代数式表示： ①位置上的数为_ _____；③位置上的数为________. 20 （2）倒L形框出的3个数之和能等于2024吗？若能，求出这3个数，并表明他们的位置；若不能，请说明理由. [答案] 倒L形框出的3个数之和不能等于2024. 理由如下：由（1）得 ，解得 排在第1列，不能形成倒L形， 倒L形框出的3个数之和不能等于2024. 21 &5& 根据以下素材，探索完成任务. 如何设计宣传牌？ 素材1 如图1所示为长方形宣传牌，长 ，宽 ，拟在上 面书写24个字. （1）中间可以用来设计的部分也是长方形，且长是宽的1.55 倍. （2）四周空白部分的宽度相等. 22 素材2 如图2，为了美观，将设计部分分割成大小相等的左、中、右 三个长方形栏目，栏目与栏目之间的中逢间距相等. 素材3 如图3，每栏划出正方形方格，中间有十字间隔，竖向两列中 间间隔和横向中间间隔宽度比为 续表 23 问题解决 任务1 分析数量关系 设四周宽度为 ，用含 的 代数式分别表示设计部分的长 和宽. 任务2 确定四周宽度 求出四周宽度 的值. 任务3 确定栏目大小 （1）求每个栏目的水平宽度. （2）求长方形栏目与栏目之 间中缝的间距. 续表 24 思路点拨 任务1:根据题意表示出设计部分的长和宽.任务2:由设计的部分也是长方形，且长是宽的1.55倍，列出方程可解得答案.任务3:(1)设每个栏目的水平宽度为 ，每栏竖向两列中间间隔是 ，根据正方形边长相等可得 ，可解得每个栏目的水平宽度为 .(2)列出算式即可求出长方形栏目与栏目之间中缝的间距为 . 25 解题过程 任务1：根据题意，设计部分的长为 ，宽为 任务 设计的部分也是长方形，且长是宽的1.55倍， ，解得 四周宽度是 26 任务3：（1）设每个栏目的水平宽度为 ，竖向两列中间间隔是 ，则横向中间间隔为 由（1）得，设计的部分的宽为 由正方形边长相等可得 ，解得 每个栏目的水平宽度为 （2）由题意得 长方形栏目与栏目之间中缝 的间距为 27 方法提炼 本题考查一元一次方程的实际应用，问题涉及数量比较多，阅读量大，解题的关键是读懂题意，列出方程解决问题. 28 1.小明今年12岁，他爸爸今年39岁，当爸爸年龄是小明年龄的2倍时， 经过的年数是( ) D A.10 B.12 C.14 D.15 2.在等式 的两个“□”内分别填入一个数，使这两个 数互为相反数且等式成立，则第一个“□”内的数是 ( ) A A.6 B.-4 C.4 D.5 29 3.在数学活动课上，兴趣小组的同学们用4块大小不同的 长方形纸板和一块小正方形纸板拼成了一个大正方形， 有关数据如图所示，则拼成的大正方形的面积是 ( ) C A.20 B.25 C.36 D.49 30 4.如图，在2023年8月的日历表中用“ ”框出8，10， 16，22，24五个数，它们的和为80，若将“ ”在图 中换个位置框出五个数，则它们的和可能是 ( ) D A.40 B.56 C.65 D.90 31 [解析] 设正中间的数为 ，则这5个数的和为 当 时，得 ，左上角没有数字，故A选项不符合题意；当 时，得 ，不是整数，故B选项不符合题意；当 时，得 ， 左上角和左下角没有数字，故C选项不符合题意；当 时，得 ，故D选项符合题意. 它们的和可能是90.故选D. 32 5.如图，将10块相同的长方形墙砖拼成一个大长方 形，则长方形墙砖的长为____ 45 6.有一个两位数，个位数字比十位数字大4，且这个两位数比它的各个 数位数字之和的3倍大2，则这个两位数是____. 26 33 7.如图，小强将一张正方形纸片剪去一个宽为 的 长条后，再从剩下的长方形纸片上剪去一个宽为 的长条.如果两次剪下的长条面积正好相等，那么每一 个长条的面积为____ 80 34 8.如图，某小区长方形绿地的长、宽分别为 现计划对其进行扩充，将绿地的长、 宽增加相同的长度后，得到一个新的长方形绿 地.若扩充后的长方形绿地的长是宽的2倍，求新的长方形绿地的长与宽. 35 [答案] 设绿地的长、宽增加的长度为 由题意得 ，解得 新的长方形绿地的长与宽分别为 36 9.学校礼堂舞台正上方有一个长为 的长方形电子显示屏（如 图）.每次活动都会在电子显示屏播出主题活动的标题，由于各次活动 的主题不同，标题字数也就不等，为了制作及显示时方便美观，负责播 出的工作人员对有关数据作出如下规定：边空宽 字宽 字距 ； 若某次主题活动的标题字数为17个字，求字距是多少. 37 [答案] 设字距为 边空宽 字宽 字距 1， 边空宽为 ，字宽为 由题意得 ，解得 字距是 38 10.用一根长为 的铁丝围成一个长方形. （1）若该长方形的长比宽多 ，则该长方形的面积为多少平方厘米？ [答案] 设长方形的宽为 ，则长为 由题意得 ，解得 长方形的长为 ，宽为 这个长方形的面积为 39 （2）若该长方形的长比宽多 ，则该长方形的面积为多少平方厘米？ [答案] 设长方形的宽为 ，则长为 由题意得 ，解得 长方形的长为 ，宽为 这个长方形的面积为 40 （3）通过比较（1）与（2）中长方形的面积的大小，写出你得出的结论. [答案] ， 当长方形的周长一定，长和宽越接近时，面积越大.（答案不唯一，合理即可） 41 11.如图所示为 的方格，每个小方格内均有 之间不 同的数字，要求方格内每一行、每一列以及每一条对角线上的 三个数字之和均相等，图中给出了部分数字，则 处对应的数 字是 ( ) A A.4 B.5 C.7 D.8 42 12.如图，在两个完全相同的大长方形中 各放入五个完全一样的白色小长方形， 得到图1与图2.若 ，则图1与图2 涂色部分周长的差是 ( ) C A. B. C. D. 43 [解析] 设小长方形的宽为 ，长为 ，大长方形的宽为 由图1得 ，由图2得 . 图1中涂色部分的周长为 ， 图2中涂色部分的周长为 ， 涂色部分的周长之差为 .故选C. 44 13.幻方的历史很悠久，传说最早 为夏禹时代的“洛书”.把洛书用今天 的数学符号翻译出来，就是一个三 阶幻方（图1），即在 的方格中填写了9个数，使得每行、每列、 每条对角线上的三个数之和相等.请你解答下列问题： 45 （1）在图2中空格处填上合适的数，使它构成一个三阶幻方. [答案] 由题意得每行、每列的三个数的和为 第一行中间的数为 ，第二行第3个数为 ，第二行第1个数为 ，第三行第 （2）计算图3中 的值为多少时，它能构成一个三阶幻方. [答案] 由题意得 ，解得 1个数为 如图. 46 14.将连续的自然数1到150按如图1所示的方式排列成一个方阵. 47 （1）在图1中，第6行的第3个数是____，第20行的最后一个数是_____. 33 120 [解析] 在图1中，第6行的第3个数是 ，第20行的最后一个数是 故答案为33；120. 48 （2）如图2，用一个正方形在该方阵中任意框出9个数，请用代数方法说明这9个数之和一定是9的倍数. [答案] 设框出的9个数的最中间数为 ，则任意框出9个数的和为 这9个数之和一定是9的倍数. 49 （3）如图3，若用如图所示的长方形在该方阵中任意框出6个数，这6个数之和能等于156吗？如果能，请求出这6个数；如果不能，请说明理由. [答案] 框出的6个数之和能等于156.理由如下： ①当横三竖二时，设这六个数为 ，由 题意得 ， 解得 50 ②当横二竖三时，设这六个数为 ， 由题意得 ，解得 ， 是整数， . 综上所述，框出的6个数之和能等于156，这6个数分别是22，23，24，2 8，29，30. 51 15.某健身广场由6个正方形拼成一 个长方形（如图1），已知中间最 小的正方形 的边长是 ，请按 要求回答下列问题： 52 （1）若设图中最大正方形 的边长是 ，请用含 的代数式分别表 示出正方形 和 的边长. [答案] 若设图中最大正方形 的边长是 ，最小的正方形 的边长是 ，则正方形 的边长为 ，正方形 的边长为 ，正方形 的边长为 53 （2）观察图形的特点可知，长方形相对的两边是相等的（如图1中的 和 ），请根据这个等量关系，求出（1）中 的值及广场（长方 形 ）的面积. [答案] ， ，解得 长方形 的面积为 54 （3）如图2，几块大小不等的正方形纸片 ，无重叠地铺满了一 块长方形.已知正方形纸片 的边长为7，求其余正方形的边长. [答案] 设正方形 的边长为 ，则正方形 的边长为 ，正方形 的边长为 ，正方形 的边长为 ，正方形 的边长为 ，正方形 的边长为 ，正方形 的边长为 ，正方形 的边长为 由题意得 ，解得 正方形 的边长分别为18，15，14，4，8，10，1，9. 55 $$