广东省深圳市高级中学2024-2025学年高一下学期期末考试数学试题

试卷第 1页，共 4页 深圳高级中学 2024-2025 学年第二学期期末考试 高一数学参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 B A B B D D D C BC ABD ACD 11．答案：ACD 【详解】对于 A.取 AB中点 N ，连接 ,FN CN .因为 F为 BD的中点，所以 //FN AD， 因为 FN 平面 AD E ， AD 平面 AD E ，所以 //FN 平面 AD E . 在矩形 ABCD中， // ,AN EC AN EC ，故四边形 ANCE为平行四边形， 所以 //AE CN ，因为CN 平面 AD E ， AE 平面 AD E ，所以 //CN 平面 AD E ，又 CN FN N ，CN 平面CFN，FN 平面CFN ，所以平面 //CFN 平面 AD E ，所以， //CF 平面.故 A正确. 对于 B，假设存在某个位置，使 1DE AC ，取 AE 中点O， 连接 'D O，BO，显然 'D O AE ，而 '' ' , ' , 'O D D DBD OD B  平面 'D OB， AE 平面 'D OB，OB平面 'D OB， AE OB  ，则 BE AB ， 但 2BE  ， 2AB  ，不可能相等，所以不可能有 'BD AE ，所以 B选项错误； 对于 C，假设存在点 F ，使得CF 平面 'ABD 成立， 因为 AB 平面 'ABD ，所以CF AB ， 又因为 BC AB 且CF BC C ， ,CF BC 平面 'BCD ，所以 AB 平面 'BCD ， 又因为 'BD 平面 'BCD ，那么 'AB BD ， 又因为 'AD AB ，则直角边大于斜边，矛盾，所以 C选项正确； 对于 D.由题意得，M 平面 AEF ，M D C ，由D C 平面D BC ，得M 平面D BC ， 延长 ,AE BC交于点H，连接 FH ，则平面 BDC 平面 AEF FH ， 所以M FH ，故 FH DC M  . 由 //EC AB， 1 2 EC AB ，得 ,E C分别为 ,AH BH 的中点， 若 F为D B 的中点，则 //FC D H ， 所以 1 2 CM FC MD DH     ，即 2DM CM  ，故 D正确. 试卷第 2页，共 4页 12． 2 15 13． 1 2 14 .3 15.（1）77.6 82 （2） 5 3 16.（1）连接��交��于�，连接��，∵�、�分别为��、 PD的中点， ∴�� ∥ ��， ∵�� ⊂平面���， PB 平面���，∴��∥平面��� （2）过 P作 PF⊥AD于 F，∵侧面 PAD是正三角形，∴PF⊥AD， ∵ 平面��� ⊥底面 ABCD，平面��� ∩底面 ABCD＝AD，PF 平面 PAD， ∴PF⊥平面 ABCD， 故��−��� = ��−��� = 1 3 ⋅ �△��� ⋅ �� = 1 3 × 1 2 × 4 × 4 × 4 × 3 2 = 16 3 3 17.【答案】(1) 1cos cos 4 A C  (2) 3； 【详解】（1）由题意可得 1 3 1 sin 2 2 2ABC S b b ac B    ，即 2ac b 由正弦定理得 2sin sin sinA C B ，又 π 3 B  ，所以 3sin sin 4 A C  ．又因为 1cos( ) cos( B) cosAcosC sin sin 2 A C A C       所以 1cos cos 4 A C  （2）由正弦定理得 2 2 2 sinAsin = n 2 si b Cac b a B   ， 由余弦定理得 2 2 2 22 cosB= 4 2b a c ac a a   ，即 22 4 2a a a   ，即  22 =0a  ， 解得 2a  ，所以 ABC 的面积 3 3 4 S ac  . 18.（1）设“甲答对”为事件 A,“乙答对”为事件 B，设“到第 4个问题甲胜”为事件 G. 则� = ���� � � = � ���� = � � � � � � � � = 1 2 × 2 3 × 1 2 × 1 3 = 1 18 . （2）设 Ai表示甲在第 i个模块答题中答对的事件，Bi表示乙在第 i 个模块答题中答对的事 件（其中 i=1，2）. 设 Ci表示甲在两个模块答题中答对 i 个的事件，Di表示乙在两个模块答题中答对 i 个的事件 （其中 i=0,1，2）. ①根据独立性假定，得 � �1 = � �1�2 + �1 �2 = 1 2 × 1 4 + 1 2 × 3 4 = 1 2 , � �2 = � �1�2 = 1 2 × 3 4 = 3 8 , 试卷第 3页，共 4页 � �1 = � �1�2 + �1 �2 = 2 3 × 1 3 + 1 3 × 2 3 = 4 9 , � �2 = � �1�2 = 2 3 × 2 3 = 4 9 设 M=”甲、乙共获得 3 枚印章“，则 M=�1�2 ∪ �2�1,且�1�2与�2�1互斥，�1与�2，�2与�1 分别相互独立. 所以� � = � �1�2 + � �2�1 = � �1 � �2 + � �2 � �1 = 1 2 × 4 9 + 3 8 × 4 9 = 7 18 . ② 设 N=”甲、乙至少有一人获得印章“ � �0 = � �1 �2 = 1 2 (1 − �) � �1 = � �1�2 + �1 �2 = 2 3 × 1 − � + 1 3 � = 2 3 − 1 3 � 由已知{ � �0�1 = 1 2 1 − � 2 3 − 1 3 � = 1 12 � �2�2 = 1 2 � 2 3 � = 3 20 所以{ � = 3 5 � = 3 4 � � = 1 − � �0�0 = 1 − 1 2 1 − � 1 3 1 − � = 1 − 1 2 × 2 5 × 1 3 × 1 4 = 1 − 1 60 = 59 60 19．（1）取�1�1的中点�，连接�1�、��， 则由已知有�1�1 = �1�1，�1� = �1�， ∴�1� ⊥ �1�1，�� ⊥ �1�1， 故∠�1��为二面角�1 − �1�1 − �的平面角， ���∠�1�� = ��1 �1� = 33 2 2 = 2， ∴二面角�1 − �1�1 − �的正切值为 2. （2）如图，连接�1�1，∵四边形�1�1�1�1为正方形，则�1�1 ⊥ �1�1， ∴��1 ⊥平面�1�1�1�1，�1�1 ⊂平面�1�1�1�1，则�1�1 ⊥ ��1， ∵�1�1 ∩ ��1 = �1，∴�1�1 ⊥平面�1��1， ∵�1� ⊂平面�1��1， ∴�1� ⊥ �1�1，同理可证�1� ⊥ �1�， ∵�1� ∩ �1�1 = �1，∴�1� ⊥平面 1 1A BC . ∵�1�1 = ��1 = �1�1，∴Rt △ �1��1 ≅ Rt △ �1��1 ≅ Rt △ �1��， ∴��1 = �� = ��1， ∴E为△ �1��1的外心. ∵�1�1 = �1� = ��1， ∴△ �1��1是正三角形； ∴E为正△ �1��1的中心， ∴�� = 2 3 �� = 2 3 × 3 2 × 3 2 = 6. 试卷第 4页，共 4页 （3）如图，由（2）知�� = 6，则 �1� = ��12 − ��2 = 3， ∵�1� = 3 3， ∴�� = �1� − �1� = 2 3，∵�1� ⊥平面 1 1A BC ，�� ⊂平面 1 1A BC ， ∴�� ⊥ �1�，即�1� ⊥ ��，�� ⊥ ��， ∵�� + ��1 = 4 + 7， 即 ��2 + 12 + ��2 + 3 = 4 + 7， 即 ��2 + 12 − 7 = 4 − ��2 + 3， 两边平方后，整理得��2 = 4， 又∵�� > 0，∴�� = 2， （另解： ��2 + 12 − 4 = 7 − ��2 + 3，即 2 2 2 2 4 4 12 4 7 3 PE PE PE PE        ， 即 2 2 2 1 1( 4)( ) 0 12 4 7 3 PE PE PE        ，∴ 2 4PE  ，又∵�� > 0，∴�� = 2） ∴点 P的轨迹是以点 E为圆心，半径为的圆， ∵�1� ⊥平面 1 1A BC ， ∴�1�与平面 1 1A BC 所成的角为∠�1��， 则���∠�1�� = �1� �� = 3 2 ， ∵0 ≤ ∠�1�� ≤ � 2，∴���∠�1�� = 21 7 故直线�1�与平面 1 1A BC 所成角的正弦值为 21 7 试卷第 1页, 共 4页 深圳高级中学 2024-2025 学年第二学期期末考试 高一数学 （满分 150分，考试时间 120分钟） 一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。 在每小题给出的四个选项中， 只有一个选项是正确的。请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上。 1． i i 5 （i为虚数单位）的虚部为 A. 1 B. 5 C. i5 D. 5 2. 一组数据 2, 2, 5, 5, 8, 14, 15, 17的第 25百分位数是 A. 5.3 B. 2 C. 5.4 D. 5 3.和 a （3,1）垂直的一个单位向量的坐标可以是 A.  62 ， B.        10 103 10 10 ， C.  26， D.        10 10 10 103 ， 4.已知  sin m   ,  sin n   , 则 tantan    A. m n m n   B. m n m n   C. n m n m   D. m n n m   5.设 ,  是两个不同的平面, ,m n是两条不同的直线,下列命题中正确的是 A . 若m  , n  , 且 //  , 则 //m n B. 若m  , n  ,且m n ,则  C．若  , n   , 且m n , 则m  D. 若 //m n , //n  ,且m  ,则  6.已知两个随机事件 A和 B,其中      1 3 3, , 2 8 4 P A P B P A B    , 则  P AB  A． 1 4 B． 1 3 C． 1 2 D． 1 8 7.在 ABC 中, 角 , ,A B C的对边分别为 , ,a b c , 已知 ABC 的面积为5 3 , 4, 10   b BA AC   , 则 a= A． 21 B． 31 C． 41 D． 61 8.我国古代举世闻名的数学专著《九章算术》将底面为矩形的棱台称为“刍童”．已知棱台 DCBAABCD  是一个所有侧棱的长相等,高为 2的“刍童”, 42  BAAB , 342  CBBC , 则该“刍童”外接球的表面积为 A．  3 580 B．  3 80 C． 80 D． 55 试卷第 2页, 共 4页 二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分。 在每小题给出的选项中，有 多项符合题目要求。全部选对得 6 分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分， 有选错的得 0分。 9．设复数 z在复平面内对应的点为 Z , 原点为O , i为虚数单位, 则下列说法正确的是 A．若点 Z的坐标为(1,1), 则 z对应的点在第三象限 B．若 2 2 2z  , 则点 Z的集合所构成的图形的面积为 4π C．若 32  iz 是关于 x的方程  Rqpqpxx  ,02 2 的一个根, 则 38 qp D．若 2 3z i  , 则 z的模为 13 10. 有一组样本数据 x1,x2, ⋯ ,xn, 其平均数、中位数、方差、极差分别记为 1a , 1b , 1c , 1d , 由这组数据得 到新样本数据 1y , 2y ,⋯, ny , 其中  1,2, , 0且   i iy kx m i n k , 其平均数、中位数、方差、极差分别 记为 2a , 2b , 2c , 2d , 则 A． mkbb  12 B． 1 2 2 ckc  C． mkdd  12 D. 1 2 1 1 2 ncnax n i i   11．如图 1, 已知矩形 ABCD中, 2, 1AB AD  , E为CD中点, 现将 AED△ 沿 AE翻折后得到如图 2的 四棱锥D ABCE  , 点F是线段D B 上（不含端点）的动点, 则下列说法正确的是 A．当 F 为线段 BD 中点时, //CF 平面 EDA  B． AEBD  C．不存在点F , 使 DABCF 平面 D．当 F 为线段 BD 中点时,过点 FEA ,, 的截面交 DC 于点M , 则 MDCM 2 试卷第 3页, 共 4页 三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。 12．哥德巴赫猜想被誉为“数学王冠上的明珠”，可以表述为“每个大于 2的偶数可以表示为两个素 数的和”,如 30=7+23.素数是除了 1和它自身外，不能被其他自然数整除的大于 1的自然数．在不超 过 15的素数中, 随机选取两个不同的数, 其和等于 16的概率是 . 13．已知 , ,a b c分别为 ABC 三个内角 , ,A B C的对边, 且 cos 3 sin 0b A b A c a    ,则 cos B  . 14. ,3, 3 ,  BCAABCO 的外心为已知 则 )( ACABAO  的最大值为 . 四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．某芯片工厂生产甲型号的芯片, 为了解芯片的某项指标, 从这种芯片中抽取 100件进行检测, 获 得该项指标的频率分布直方图, 如图所示： 假设数据在组内均匀分布, 以样本估计总体, 以事件发生的频率作为相应事件发生的概率. (1)求甲型芯片指标的平均数和第 60百分位数； (2)现采用按比例分层抽样的方式,从甲型芯片指标在［70,90）内取 6件, 再从这 6件中任取 2件, 求 指标在［70,80）和［80,90）内各 1件的概率. 16. 如图, 四棱锥 ABCDP  的侧面 PAD是正三角形, 底面 ABCD是正方形, ABCDPAD 底面且侧面  , AD=4, E为侧棱 PD的中点． (1) 求证：PB//平面 EAC； (2) 求三棱锥 PDCA 的体积． 试卷第 4页, 共 4页 17. 已知 , ,a b c分别为 ABC 三个内角 , ,A B C的对边, 3 B  , AC边上的高等于 3 2 AC． (1) 求cos cosA C的值； (2) 若 2AB  , 求 ABC 的面积． 18.在学校数学活动周中, 高一年级举办了数学答题比赛.题目选自模块 1或模块 2.已知在模块 1的比 赛中, 选手甲、乙答对的概率分别为 3 2, 2 1 在模块 2的比赛中, 选手甲、乙答对的概率分别为 p和 q. 假设甲、乙两人在每个模块中答对与否互不影响.每个人在各模块中的结果也互不影响. （1）若在正式比赛前,甲、乙作为代表参加模块 1的循环答题热身赛.参赛者依次轮流答题, 若答对 则该选手获 1枚印章, 若答错则对手．．获 1枚印章.连续获两枚印章的选手最终获胜.甲回答第 1题, 乙 回答第 2题, 依次轮流答题.求到第 4个问题甲获胜的概率. （2）在正式比赛中, 每个选手均要参加两个模块的比赛, 每个模块回答一个问题, 答对者获 1枚印 章,答错没有印章. （ⅰ）若 3 2, 4 3  qp , 求甲、乙共获得 3枚印章的概率； （ⅱ）若甲没有获得印章, 乙获得 1枚印章的概率为 12 1 , 两人都获得两枚印章的概率为 20 3 .求甲、乙 至少有 1人获得印章的概率. 19．如图, 在棱长为 3的正方体 1 1 1 1ABCD ABC D 中. (1) 求二面角 BCAB  111 的正切值； (2) 的长；求线段交于点与平面若 BEEBCADB ,111 (3) 若点 P是平面 11BCA 内一个动点, 且 741  PBPD , 求直线 PB1 与平面 11BCA 所成角的正弦值.