精品解析：广东省江门市新会区葵城中学2024-2025学年九年级上学期期中考试数学试题

2024-2025学年度第一学期期中考试 九年级数学科试题 一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列方程中，是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，熟练掌握定义是解题的关键．根据一元二次方程的定义（只含一个未知数，未知数最高次数为2，且为整式方程）逐一分析选项即可． 【详解】解：A、方程含分母，属于分式方程，不符合整式方程的要求，故该选项不符合题意； B、方程含根号，属于无理方程，不符合整式方程的要求，故该选项不符合题意； C、 ，整理方程得，方程为一元二次方程，故该选项符合题意； D、，方程中未知数最高次数为3，属于三次方程，故该选项不符合题意． 故选：C． 2. 一元二次方程的两根分别是、，则的值是（ ） A. 4 B. C. 1 D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了根与系数的关系，熟练握一元二次方程根与系数的关系是解本题的关键． 根据题意，由根与系数的关系求出所求即可． 【详解】解：∵一元二次方程的两根为， ， 故选：C． 3. 方程的根是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了因式分解法解一元二次方程，根据因式分解法解方程，当两个因式的乘积为0时，至少有一个因式为0，分别解出对应的根即可． 【详解】解：∵， ∴或， 解得，， 故选：A． 4. 下列说法错误的是（ ） A. 同圆中相等的圆心角所对的弧相等 B. 同圆中相等的弦所对的弧相等 C. 同圆中相等的圆周角所对的弧相等 D. 同圆中相等的弧所对的弦相等 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了同圆中弧、弦、圆心角、圆周角的关系，熟练掌握同圆中弧、弦、圆心角、圆周角的关系是解题的关键．根据同圆中弧、弦、圆心角、圆周角的关系逐一分析各选项的正确性． 【详解】解：A. 同圆中相等的圆心角所对的弧相等，正确，故该选项不符合题意； B. 同圆中相等的弦所对的弧相等，错误，相等的弦可能对应优弧或劣弧，若未明确类型，弧不一定相等，故该选项符合题意； C. 同圆中相等的圆周角所对的弧相等，正确，故该选项不符合题意； D. 同圆中相等的弧所对的弦相等，正确，故该选项不符合题意； 故选：B． 5. 把抛物线向左平移2个单位，再向上平移3个单位，得到的抛物线是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据抛物线平移规则“左加右减，上加下减”进行变换．本题考查抛物线平移的规律，掌握“左加右减，上加下减”是关键． 【详解】解：原抛物线为． ∵向左平移2个单位， ∴，得． ∵向上平移3个单位， ∴整体加3，得． ∴得到的抛物线是． 故选：C． 6. 二次函数的图象过点，则的解为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了抛物线与x轴的交点问题，求抛物线对称轴，把求关于x的一元二次方程的解转化为求二次函数图象与x轴的交点坐标是解题的关键．先求抛物线的对称轴，再根据二次函数的对称性得到二次函数图象与x轴的另外一个交点坐标，从而得到的解． 【详解】解：∵二次函数的对称轴为直线，且函数图象与x轴交于点， ∴二次函数图象与x轴的另一个交点为横坐标满足，解得， ∴方程的解为，， 故选：C． 7. 如图，铅球运动员掷铅球的高度与水平距离之间的函数关系式是，则该运动员此次掷铅球的成绩是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】依题意，该二次函数与x轴的交点的x值为所求．即在抛物线解析式中．令，求x的正数值． 【详解】解：把代入得： ， 解之得：． 又，解得． 故选：D． 【点睛】本题主要考查二次函数的图象及性质，掌握相关知识并灵活应用是解题的关键． 8. 为实施国家劳动教育课程实验，某校开发出一块长为30米、宽为25米的长方形菜园（如图），为了便于管理，现要在中间开辟一纵两横三条等宽的小道，要使种植面积为650平方米．设小道的宽为x米，可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意用x表示出矩形的长和宽是解题的关键．由题意得种植的矩形的长为，宽为，即可求解． 【详解】解：∵小道的宽为x米， ∴需要种植的矩形的长为米，宽为米， 则， 故选：A． 9. 如图，边长为1的正方形绕点A逆时针旋转得到正方形，连接，则的长是（ ） A. B. 1.5 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查图形旋转、等边三角形的判定、正方形的性质及勾股定理等知识．连接、，根据图形旋转前后长度不变且旋转角为，可得是等边三角形，根据勾股定理，求出正方形的对角边长度即可． 【详解】解：如图所示，连接、， ∵四边形是四边形逆时针旋转， ∴，， ∴是等边三角形， ∴， 在中，， ∴， 故选：A． 10. 二次函数的部分图象如图所示，图象过点，对称轴为直线．下列结论：①；②；③；④当时，．其中正确结论有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握该知识点是解题的关键．根据其开口向下，对称轴为，图象过点，可知，，，推出，判断③；根据，，可判断，，从而可判断①；根据图象的对称性，可判定图象与轴的另一个交点为，从而判断④，将，，代入，可得到，从而判断②，最后得出答案． 【详解】解：根据图象，可知其开口向下，对称轴为，图象过点， ，，， ，即，故③正确； ，， ，即， ， ，故①错误； 对称轴为，图象过点， 图象与轴的另一个交点为， 当时，．故④正确； ，， ， ， ， 即，故②错误； 综上，正确的结论有2个； 故选：B． 二、填空题（共5小题，每小题3分，共15分） 11. 抛物线的顶点坐标是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了抛物线的顶点坐标，熟练掌握顶点式是解题的关键．利用抛物线的解析式为顶点式解析式，即可求其顶点坐标． 【详解】解：抛物线的顶点坐标是． 故答案为：． 12. 若点与点是关于原点O的对称点，则________． 【答案】 【解析】 【分析】关于原点对称的点的坐标是横、纵坐标都互为相反数，从而可求解． 【详解】解：∵点与点是关于原点O的对称点， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了关于原点对称的点的坐标特征，掌握这一坐标特征是解题的关键． 13. 在⊙O中，若弦垂直平分半径，则弦所对的圆周角等于_________°． 【答案】120°或60° 【解析】 【分析】根据弦垂直平分半径及OB=OC证明四边形OBAC是矩形，再根据OB=OA，OE=求出∠BOE=60°，即可求出答案. 【详解】设弦垂直平分半径于点E，连接OB、OC、AB、AC，且在优弧BC上取点F，连接BF、CF， ∴OB=AB，OC=AC， ∵OB=OC， ∴四边形OBAC是菱形， ∴∠BOC=2∠BOE， ∵OB=OA，OE=, ∴cos∠BOE=， ∴∠BOE=60°， ∴∠BOC=∠BAC=120°， ∴∠BFC=∠BOC=60°， ∴ 弦所对的圆周角为120°或60°， 故答案为：120°或60°. 【点睛】此题考查圆的基本知识点：圆的垂径定理，同圆的半径相等的性质，圆周角定理，菱形的判定定理及性质定理，锐角三角函数，熟练掌握圆的各性质定理是解题的关键. 14. 若一元二次方程有两个相等的实数根，则______． 【答案】9 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握根的判别式是解题的关键．对于一元二次方程，若，则方程有两个不相等的实数根，若，则方程有两个相等的实数根，若，则方程没有实数根，据此列式求解即可． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有两个相等的实数根， ∴， ∴． 故答案为：9． 15. 二次函数的图象关于原点对称后的图象的解析式为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了根据二次函数的图象的变换求抛物线的解析式，正确记忆基本变换性质是解题关键．先把原二次函数解析式化为顶点式，得到顶点坐标和开口方向，再根据关于原点对称的两点横坐标，纵坐标互为相反数得到对称后二次函数图象的顶点坐标，结合开口方向即可得答案． 【详解】解：二次函数图象的顶点坐标为，开口向上， ∵点关于原点对称的点的坐标为， ∴关于原点对称后二次函数图象的顶点坐标为，开口向下， ∴关于原点对称后二次函数图象的解析式为． 故答案为：． 三、解答题（共8小题，共75分） 16. 解下列方程 （1）； （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． （1）根据配方法得到，解之即可； （2）根据因式分解法得到，解之即可． 【小问1详解】 解： 解得，． 【小问2详解】 解： 或 解得，． 17. 如图三个顶点的坐标分别为． （1）请画出绕点O逆时针旋转的． （2）请画出关于原点O对称的图形，并写出点的坐标． 【答案】（1） 如图所示：即为所求 （2） 如图所示：即为所求 【解析】 【分析】本题考查了旋转和中心对称作图，分别找到对应点即可． （1）分别将点绕点O逆时针旋转即可完成作图； （2）分别找到点关于原点O的对称点即可完成作图．关于原点对称的两点，其横、纵坐标互为相反数． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 18. 如图，绕A点顺时针旋转得，求． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了旋转的性质， 先根据旋转的性质得，再结合求出，进而得出答案. 【详解】解：将绕点A顺时针旋转得， ∴. ∵， ∴， ∴. 19. 如图，A、B是上的点，P是外的点，已知是的切线，并且．求证：直线是的切线． 【答案】 证明：连接，，，如图， ∵A、B是上的点， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵是的切线， ∴， ∴， ∵是半径， ∴与相切． 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，切线的性质和判定定理，熟练掌握以上知识点是解题的关键．连接，，，易证，得到，结合是的切线，即可证明结论． 【详解】略 20. 如图，在中，，，点为垂足，将绕点顺时针旋转，使与重合，点落在点处，延长交的延长线于点，延长交的延长线于点，求证：． 【答案】 证明：∵，， ∴， ∵由旋转而得， ∴，， 在和中，， ∴， ∴． 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质、旋转的性质，先根据三线合一定理得到，再由旋转的性质得到，，证明即可证明，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】略 21. 如图，在中，连接，，，，已知． （1）求的度数； （2）若弧与弧相等，求证：四边形是菱形． 【答案】（1） （2） 证明：连接，如图所示： 由（1）可知，， 弧与弧相等， ， ， 和为等边三角形， ， 四边形是菱形． 【解析】 【分析】本题考查了圆的内接四边形，圆周角定理及其推论，等边三角形的判定，菱形的判定，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）根据圆的内接四边形，可知，从而求得，再利用圆周角定理，可求得； （2）连接，根据弧与弧相等，可算得，结合半径相等，可判定和为等边三角形，从而推出四边形四边相等，从而得证． 【小问1详解】 解：四边形是的内接四边形， ， ， ， ； 【小问2详解】 证明：略． 22. 乐乐童装店在服装销售中发现：进货价每件60元，销售价每件100元的某童装平均每天可售出20件．为了迎接“六一”，童装店决定采取适当的降价措施，扩大销售量，增加盈利．经调查发现：如果每件童装降价1元，那么平均每天就可多售出2件． （1）童装店降价前每天销售该童装可盈利多少元？ （2）如果童装店想每天销售这种童装盈利1200元，同时又要使顾客得到更多的实惠，那么每件童装应降价多少元？ （3）每件童装降价多少元童装店可获得最大利润，最大利润是多少元？ 【答案】（1）800元；（2）20元；（3）每件童装降价15元童装店可获得最大利润，最大利润是1250元． 【解析】 【分析】（1）用降价前每件利润×销售量列式计算即可得； （2）设每件童装降价元，利用“童装平均每天售出的件数×每件盈利＝每天销售这种童装利润”列出方程解答即可得； （3）设每件童装降价元，可获利元，利用（2）中的关系列出函数，再利用二次函数的性质即可得． 【详解】解：（1）（元）， 答：童装店降价前每天销售该童装可盈利800元； （2）设每件童装降价元， 由题意得：， 解得， 因为要使顾客得到更多的实惠， 所以取， 答：每件童装应降价20元； （3）设每件童装降价元，可获利元， 由题意得：， 整理得：， 将二次函数化成顶点式为， 由二次函数的性质可知，当时，取得最大值，最大值为1250， 答：每件童装降价15元童装店可获得最大利润，最大利润是1250元． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用、二次函数的应用，正确建立方程和函数关系式是解题关键． 23. 如图，直线与x轴交于点C，与y轴交于点B，抛物线经过B，C两点． （1）求抛物线的解析式； （2）E是直线BC上方抛物线上的一动点，当点E到直线BC的距离最大时，求点E的坐标； （3）Q是抛物线对称轴上的动点，在抛物线上是否存在点P，使得以P，Q，B，C为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点P的坐标：若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）（2，4） （3）（5，）或（-3，）或（3，） 【解析】 【分析】（1）先利用一次函数的性质求出B、C的坐标，然后把B、C的坐标代入到抛物线解析式中求解即可； （2）要求E到直线BC的最大距离，即要求△BCE面积的最大值，由此转换成求△BCE的面积最大值时点E的坐标即可； （3）分BC为对角线和边两种情况利用平行四边形对角线中点坐标相同进行求解即可． 【小问1详解】 解：∵直线与x轴交于点C，与y轴交于点B， ∴点C的坐标为（4，0），点B的坐标为（0，4）， ∴， ∴， ∴抛物线解析式为； 【小问2详解】 解：如图所示，过点E作EF⊥x轴于F，交直线BC于G，设点E的坐标为（m，），则点G的坐标为（m，-m+4）， ∴， ∴ ， ∴当时，△BEC的面积有最大值， 设点E到BC的距离为h， ∴， ∵BC是定值， ∴当△BEC面积最大时，h有最大值， ∴当点E到直线BC的距离最大时，点E的坐标为（2，4）； 【小问3详解】 解：设点P的横坐标为（n，）， 如图1所示，当BC为以B、C、P、Q组成的平行四边形BCPQ的边时， ∵抛物线解析式为， ∴抛物线对称轴为直线， ∴（平行四边形对角线中点坐标相同）， ∴n=5， ∴点P的坐标为（5，）； 同理如图2所示，当BC为以B、C、P、Q组成的平行四边形BCQP的边时， ∴， ∴n=-3， ∴点P的坐标为（-3，）； 如图3所示，当BC为以B、C、P、Q组成的平行四边形BPCQ的对角线时， ∴， ∴n=3， ∴点P的坐标为（3，）； ∴综上所述，点P的坐标为（5，）或（-3，）或（3，） 【点睛】本题主要考查了二次函数综合，一次函数与坐标轴的交点问题，平行四边形的性质，正确作出辅助线和画图图形是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年度第一学期期中考试 九年级数学科试题 一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列方程中，是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 一元二次方程的两根分别是、，则的值是（ ） A. 4 B. C. 1 D. 3. 方程的根是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 4. 下列说法错误的是（ ） A. 同圆中相等的圆心角所对的弧相等 B. 同圆中相等的弦所对的弧相等 C. 同圆中相等的圆周角所对的弧相等 D. 同圆中相等的弧所对的弦相等 5. 把抛物线向左平移2个单位，再向上平移3个单位，得到的抛物线是（ ） A. B. C. D. 6. 二次函数的图象过点，则的解为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 7. 如图，铅球运动员掷铅球的高度与水平距离之间的函数关系式是，则该运动员此次掷铅球的成绩是（　　） A. B. C. D. 8. 为实施国家劳动教育课程实验，某校开发出一块长为30米、宽为25米的长方形菜园（如图），为了便于管理，现要在中间开辟一纵两横三条等宽的小道，要使种植面积为650平方米．设小道的宽为x米，可列方程为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，边长为1的正方形绕点A逆时针旋转得到正方形，连接，则的长是（ ） A. B. 1.5 C. D. 10. 二次函数的部分图象如图所示，图象过点，对称轴为直线．下列结论：①；②；③；④当时，．其中正确结论有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题（共5小题，每小题3分，共15分） 11. 抛物线的顶点坐标是______． 12. 若点与点是关于原点O的对称点，则________． 13. 在⊙O中，若弦垂直平分半径，则弦所对的圆周角等于_________°． 14. 若一元二次方程有两个相等的实数根，则______． 15. 二次函数的图象关于原点对称后的图象的解析式为______． 三、解答题（共8小题，共75分） 16. 解下列方程 （1）； （2）． 17. 如图三个顶点的坐标分别为． （1）请画出绕点O逆时针旋转的． （2）请画出关于原点O对称的图形，并写出点的坐标． 18. 如图，绕A点顺时针旋转得，求． 19. 如图，A、B是上的点，P是外的点，已知是的切线，并且．求证：直线是的切线． 20. 如图，在中，，，点为垂足，将绕点顺时针旋转，使与重合，点落在点处，延长交的延长线于点，延长交的延长线于点，求证：． 21. 如图，在中，连接，，，，已知． （1）求的度数； （2）若弧与弧相等，求证：四边形是菱形． 22. 乐乐童装店在服装销售中发现：进货价每件60元，销售价每件100元的某童装平均每天可售出20件．为了迎接“六一”，童装店决定采取适当的降价措施，扩大销售量，增加盈利．经调查发现：如果每件童装降价1元，那么平均每天就可多售出2件． （1）童装店降价前每天销售该童装可盈利多少元？ （2）如果童装店想每天销售这种童装盈利1200元，同时又要使顾客得到更多的实惠，那么每件童装应降价多少元？ （3）每件童装降价多少元童装店可获得最大利润，最大利润是多少元？ 23. 如图，直线与x轴交于点C，与y轴交于点B，抛物线经过B，C两点． （1）求抛物线的解析式； （2）E是直线BC上方抛物线上的一动点，当点E到直线BC的距离最大时，求点E的坐标； （3）Q是抛物线对称轴上的动点，在抛物线上是否存在点P，使得以P，Q，B，C为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点P的坐标：若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $