山东省烟台市2024-2025学年高一下学期期末学业水平诊断数学试题

2024~2025学年度第二学期期末学业水平诊断 高一数学 注意率项： 1.本试题离分150分。考试时间为20分钟 2答整藏。务必将姓名和准考正号埔除在答赠纸上， 玉使用答送低时，必领使用Q5毫米的第色签字笔书得，是字迹工整，笔迹清南，加出答愿区 书写的答案无效：在草编纸，试思垂上答题无效， 一选慕：本圆共8小鼠，每小题5分，共0分。在何小思给出的四个虚项中，只有一项 粹合延月夏求。 上.若数据名，，的方差为1，则数据2元+12无+L2与+1,2x+1的方差为 A2 B.3 C 4 D.5 生若正方形水平收置，且边长为2，则其斜二雨直霞图的由积为 A互 B.2 C25 D.4 3巴知一暖能的成面半径为。其衡面晨开图是一个图心角为征的编形，影玩线长为 A2 B.3 C4 D.S 4若数摇3.5.6.89.x,18,21的75%分位数为15。烟x的值为 A12 B.15 C21 D.22 瓜甲、乙丙两人进行投篮筑习，甲每次投中的顺率为08，乙每改经中的：率为0.7.若甲、乙两 人各投蓝一次，且是否投中互影响，恰有一人投中的展率为 A0.38 B.0.44 C.0.56 D.0.62 五，已知m,N是两条不同的直线，《，形是两个不月的平面。则下到命愿正确的是 A若mia,N/a,黑mIa B若m上a,a上B,湖m以B C,若两B,口上B,则m⊥a D.看两上a,n⊥a,则m/∥月 已知正三楼分的上、下底雨的边长分别为1,2，体积为5 12 则其侧棱的长度为 A. BI C.2 n35 2 8,有3个人在一怪7层大楼的度层进入电梯，程没每一个人自第二层开始在每一星离开电候是 等可能的，则怡有两个人在可一层离开电梯的概率 5 1 5 5 高一数学想（第1耳，共4夏） 二，选择愿：本题共3小愿，每小题6分，共18分，在蜂小题给出的选雨中，有多项特合烟 日要裳。全部选对的得6分。露分选对的得留分分。有选储的得0分， 9.下列命圆正确的有 A一条直线和一个点南定一个平面 B.正棱管的侧面是全等的等腰三角形 C.三棱台的各侧棱所在直线竖交于一点 D.底面是平行四边形的四棱柱是平行六雨体 0,烧子中有6个大小。简地克全图月的球，其中3个红球，3个黄林，从中任章3个球，段 事件A■“取出的3个球系少有一个红球”，B=“收出的3个球至多有一个红球”，C= “取出的3个球版有红球又有黄球”，D”“取出的3个螺全是红山螺”，别 A事件C与D互币 县事件A与D互为对之事料 C事件B与C相亚数立 D.事料A与C相互维名 山，知圈，在校长为2的正方体ACD-4民CD中，点E,F,G分别是棱4D,D0,A4的中 点，点P在线段及C上远动，国 A.DP⊥AC B直线F与C所城角约余张组为 5 C=棱蜂G-FP的体积为建值2 3 D若平-！8C,则过E,R,P的平面板正方体底面BCD所得交线韵长度为 5 三，填空娜：本顺共3小，每小想5分，共15分。 12从0,1,3,6,8中随机选2个不同的数。划这两个数之和为偶数的餐率为 【3己知甲，乙两校高一年最的学生人数之比为3：2.在一次数学考式中，甲校高一学生成领 的平均数为70，方差为200，乙棱高一学生成撞的平均数为80.方差为300，则甲，乙 雨校高年圾所有学生成绩的平均数为，为有为一·（本小题第一空2分 第二空3分】 14已点P,A,B,C在竿径为2的可球面上，且AB=AC=、了，∠BAC=120,则三棱 锥P一ABC体积的最大值为 四、解答愿：木愿共5小墓，共7分。解答应写出文字说明、证用过程境宿算步骤。 高数学试额（第2属，共4） 5,(13分)为了解新能想汽车充电情况，某数学兴虚小组在牡区内随机款测了一定数量的： 能源汽车的充电时餐（单位：分钟），历得数挥均在区同20,12上，其朝率分布直方图如 图所示 (L)来颜率分布直方图中的值： 额束/州用 0.02 (2)试估计慎杜区内新使源汽车充电时长的 平均值天： 09175 ()现用比例分配的分层随机抽样方法从充电 时长在[40.100)上的样本中挂取N个样本数据， 0布布价知0胎104分济 若在80,100)上箱取了6个样木数据，求e的值： 1低15分)某学校粗织学生参交通安全和环境保护知识宜讲活动.己知该校高一某账全然 学生参与上述活动的情况如下表所示： 参加文通安全知识宜讲未参如交通安全知识宜讲 参加环境保护知讯宜讲 6人 4人 术参加环境保护知积直讲 5人 30人 (幻从该班随机莲取1名学生。试结计该学生至少参加一项话动的顺率： (2)已知既参如交通安全知识宜讲又参加环境保护知识宜讲的6名学生中。有4名男生和 2名女生联从这6名学生中随机选取2人作为主讲人。求速取的2人中恰有1名男生和1名 女生的版率】 17,(I5分)知图，在客靠结ABCDEF中，面ABFE为距形，AD∥BC,AD⊥AB, AD=AE=2.AB-BC-1 DF-3 (I)求证平面ABFEL平面ABCD: (2)设G为FD中点，求证：CG∥平面ABFE, 商数学试喜（第3项，共4页） 1怎(17分)某学校计划际办人工智能创新裤战赛，桃成春包括个人寡和团队赛两种美整.个 人罪中，每位远手叫答随机给出的4个题且，若答对不少于3个磁目，则其个人零携业成功. 团队赛中。4名速下组成一个团队，且平分成两个小思分别拥授甲，乙两个题用.每个团队 可白主从以下两种参容方式中远择一种参睿：方式一，将甲，乙两个避目随机分配恰牌个小 组，每小粗中的两名速手各自独文答题，看两人中至少一人答对，图鸿小机战成功，若两 小组都热战成功，则该团队线战成功：方式二，将甲，乙两个想目随机分给两个小组，每 小组中的两名这干各白粮立容题。着两人都答对，测该小组携授成功，若两小朗至少有组 桃虚成功，划该团队挑业成功。 )某达于多加个人秦，著北销两个烟答对的概本均为子，后两个想普树的频率均为} 且答道若对与否互不影剩，求填选下个人赛桃根成功的雁率： 《2)阻设某团队的每位莲手答对甲，乙两圈的概率分别为P,AP(D<入<1)，看对任登 户é(0，)，均有这方式二寒时该团队换减成功的颗来更大，求人的取组范国 19.(17分)如图，在三校推A-BCD中，C=CD=BD=2AD=2,LAB⊥AD: 《1)判断直线AB与CD是否猛直。井祝明观由： (2)若二而角A-CD-B的玉切值为2反，求AC的长度 (3)责∠ADC=60,点E在∠BDC的角平分线上（异于点D), 求直线AE与平面ACD所成身的正落值的鼠算范属 B 高数学状题〔见4瓦，先4直)2024~2025学年度第二学期期末学业水平诊断 高一数学参考答案 一、选择题： 1.C2.A3.B4.A5.A6.D7B8.C 二、选择题 9.BCD 10.AC 11.ACD 三、填空题 e月 1874,264143V3 4 四、解答题 15.解：(1)由题意知，(0.02+a+0.0075+0.005+0.0025)×20=1, …2分 解得a=0.015 …4分 (2)元=(30×0.005+50×0.015+70×0.02+90×0.0075+110×0.0025)×20=65， 所以，该社区内新能源汽车充电时长的平均值为65.………………8分 (3)充电时长在[40,60)，[60,80)，[80,100]上的样本数据的比例为 0.015:0.02:0.0075=6:8:3, ……10分 因为在[80,100]上抽取了6个样本数据， 故在[40,60)，[60,80)上应分别抽取12,16个样本数据， ……12分 所以n=12+16+6=34 ……13分 16.解：(1)由题意知，至少参加一项活动的学生人数为：6+4+5=15， …2分 班级学生总数为15+30=45， 4分 因此，该学生至少参加一项活动的概率P=15-」 …6分 453 (2)设4名男生分别为A,B,C,D,2名女生分别为ab, 记这6名学生中随机选取的2人为x和x2,则可用(：，x2}表示样本点， 样本空间2={A,B,{A,C},{A,D),{A,,{A,b,{B,C},{B,D},{B,d,{B,b}, {C,D},{C,a,{C,b},{D,d,{D,b),{a,b},且n(2)=15.…11分 记事件E=“选取的2人中恰有1名男生和1名女生”，则 E={A,a,{A,b},{B,a,{B,b},{C,a,{C,b,(D,a,{D,b},(E)=8.…13分 因为Q中每一个样本点的可能性都相等，所以P(E)=”巴-8 …15分 1(2)15 高一数学答案（第1页，共4页） 17.解：(1)证明：连接AF,因为面ABFE为矩形， 所以AF=√AB2+AE2=√5， …1分 又AD=2,DF=3,满足AD2+AF2=FD2,…2分 G 由勾股定理，△FAD为直角三角形，所以AD⊥AF,…3分 又AB⊥AD,AB∩AF=A,AB,ADC平面ABFE, B 所以AD⊥平面ABFE」 5分 又ADC平面ABCD,所以平面ABFE⊥平面ABCD ……7分 (2)连接BE交AF于点M,连接MG, 则M为AF中点，又因为G为FD中点， 所以MG1AD且MG=AD, 44 …9分 BC且BC=)AD,所以MGI∥BC且MG=BC, 所以，四边形BCGM为平行四边形，……12分 所以CGI∥BM. …13分 又BMC平面ABFE,CG丈平面ABFE, 所以CG/∥平面ABFE 15分 18.解：(1)设A=“选手甲答对第i个题”(i=1,2,3,4),B=“该选手个人赛挑战成功”， 由题意P4)=PA,)号PA)=P心A)=分且44,44相互独立 B=A444+4444+4444+4444+4444 440-号六 ……1分 P444)=4444)号0-3*g2 …3分 32236 P代44，AA)=P氏444，瓦)=号号×2x0-司36 2.21 4 ,5分 P(B)=P(A444)+P(A44A,)+P(AAA,A,)+P(AA4A,)+P(A44,A) 4+2+2+4+4=4 =36+36+56+36*36g …7分 (2)设B=“该团队回答甲题的小组的第1个选手答对甲题”，C=“该团队回答乙题的小 组的第i个选手答对乙题”，则P(B,)=p,P(C)=p,i=1,2 设该团队选择方式i参赛时挑战成功的概率为P(=1,2),则 R=(1-P(B,B2)0-P(CC2) 高一数学答案（第2页，共4页） =(2p-p2)2p-2p2)=p'(2-p)(2-p) +10分 P-1-(1-P(BB2)1-P(CC2) =1-1-p2)1-2p2)=p21+2-22p2) …13分 于是乃-B=p2[222p2-(21+22)p+41-1-2], …14分 令f(p)=222p2-(2元+22)p+4元-1-22，则对p∈(0,1)，恒有f(p)<0 因为抛物线f(D）的开口向上，且对称轴p=22+22>2月：A+2 -=1, 422 413 所以f(p)在(0,1)上单调递减，若f(p)<0,只需f(0)=4入-1-元2≤0， 解得1≤2-√3，或1≥2+√3， …16分 又0<元<1，所以0<1≤2-5，即元的取值范围为(0<1≤2-√5}.…17分 19.解：(1)直线AB与CD不垂直.…1分 事实上，假设AB⊥CD,又AB⊥AD,CD∩AD=D, 所以AB⊥平面ACD.又ACC平面ACD,所以AB上AC.…2分 在R1△ABD和R1△ABC中，AB=AB,BC=BD, 所以R1△ABD2R1△ABC,所以AC=AD=1.…3分 于是AC+AD=CD,与AC+AD>CD矛盾. 所以，假设不成立，即AB与CD不垂直： …4分 (2)设点A在平面BCD内的射影为O,在平面 BCD内，过点O作OP⊥CD,垂足为P,连 接AP,因为AO⊥底面BCD,OP为斜线AP 在面BCD内的射影，CD⊥OP, 由三垂线定理可得，CD⊥AP, …5分 所以∠OPA为二面角A-CD-B的平面角. …6分 点O作OQ⊥BD,垂足为Q,连接AQ,同理可得BD⊥AQ 在RIAABD中，由射影定理可得QD)40SV5 …7分 2 连接O0并延长交CD于点F,则F为CD的中点，且QF= …8分 2 高一数学答案（第3页，共4页） 设OP=x,在Rt△OPF中，OF=2x, 0PAe25,所以40=22x,在RAA00中，00 05=0F+0,u9-2x目87，银0 5 9分 2 此时AC2=Ap2+PC2=9x2+(2-V1-9x2)2=4-2V1-9x2=3, 所以AC=√5. …0分 (3)由已知，点A在底面BCD的射影O在∠BDC的角平分线DE上 …11分 A 在平面BCD内，过点O作OP⊥CD,垂足为P M 连接AP,在平面AOP内，过点O作OM⊥AP, B< 则OM⊥平面ACD E 事实上，由(2)知，CD⊥平面AOP,又OMC平面AOP,所以OMI CD 又AP∩CD=P,所以OM⊥平面ACD. 6 ,oM=6 …12分 3 设DE=元DO,则点E到平面ACD的距离d= …13分 又AE=VAO2+OE2 …14分 3 d √5元 设AE与平面ACD所成角的大小为B,则sin0= ……15分 AE322-2+3 因为2>0，sin0= ViA 5 3 3√22-21+3 2.3 31- ,2 当九=3时，取得“=” 所以，AE与平面ACD所成角的正弦值的取值范围为(O, …17分 高一数学答案（第4页，共4页）