辽宁省锦州市2024-2025学年高一下学期期末考试数学试卷

2024-2025学年度第二学期期末考试 高一数学参考答案及评分标准 一、选择题：本题共8小题，每小题5分：共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的。 BDBA ACDA 二、选操题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合 题目要求。全部选对的得6分，部分远对的得部分分，有选错的得0分。 9.ABD 10.AC 11.ABC 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.-1 13.8 14-号 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(本题满分13分) (1)解：设b=(x,y),b1=2V2∴.√x2+y2=2V2 ……1分 即x2+y2=8① .....2分 a/b∴x-y=0② ……4分 由①②解得b=(2,2)或b-(-2,-2)(每个解1分) ……。6分 (2)解：(5a-2b)1(d+b).(5a-2b)(a+b)=0.…7分 5a2+3a,b-2b2=0,5×2+3a,b-2×8=0,÷a.b=2 9分 设a与b的夹角为6，cos0= ab 2 1@=2x22=主 ………11分 9e[0,d 12分 a与b的夹角为婿 13分 16.(本题满分15分) (1)证明： 法一：取BB,中点H,连接HG,HF 1分 H G,H,F分别为BC,B1B和A1B中点. ·.HG∥BC,HF∥BA B ,A1B1/AB,从而HF∥AB 2分 BC与AB在平面ABC内且相交.… 3分 平面HGF∥平面ABC……4分 高一数学答案第1页共4页 GFC平面HGF.GF∥平ABC·5分 法二： B 连接B,A ……………1分 :F为BA,中点∴F为BA中点 G为BC中G/CA…2分 G ,:CAC面ABC ……………3分 GFL平面ABC ,FG∥平面ABC …………5分 (2)证明：在直棱柱ABC-ABC中，BB,⊥面ABC 6分 :ACC平面ABC,∴.BB⊥AC 7分 不妨设AA1=1~AA1=AC=BC=竖AB,∴AC=BC=1,AB=V2 :CA2+CB2=AB2,AC⊥BC 又，BC与BB1在平面BCC1B1内且相交 AC1平面BCB1C1 10分 :ACC平面ACB1,.平面ACB1⊥平面BCB1C1 ,11分 (3)解：连接MB,MB1 ,BB⊥平面ABC,∴.直线BM为直线BM在平面ABC内的射影 ...12分 ∴.∠BMB是B,M与平面ABC所成的 ………….13分 BM-VBC+CM2=1+- BM= BB2+BM2 +月 所以sn∠B,MB=器=月 ……………15分 17.(本题满分15分) (1)解：因为m=(a,btc),n=(W3sinC+cosC,1), 所以m,n=V3 asinC+acosC+b+c ………1分 又m·n=2b+c),所以V3 asinC+acosC+b+c=2(b+c), 所以3 asin C+acos C=b+c 由正弦定理得：V3 sin Asin C+sin AcosC=sinB+sinC ……2分 所以V3 sin AsinC+sinAcosC=sin(A+C)+sinC …。3分 sin Asin C+sin Acos C sinAcos C+cos Asin C+sin C ..4分 即V3 sinAsinC=cosAsinC+sinC,simC≠o 所以V3sinA-cosA=1 高一数学答案第2页共4页 2si(A-3=1 …………。+0440。……4…，…。…+4g4.4.44…44…4…444… 6分 0<A<,-<A-君<A--君 .7分 所以A=号 ………,8分 (2)解： 法一：AM=AB+子BC=AB+(AC-AB) ……9分 =AB+号AC ………10分 所以AM2=片AB+号ACP ……11分 IAMI2=IAB2+AC2+ABI IACI cos 2 BAC …………12分 4=音+b2+gb,b2+V3b-6=0.b=V5 …14分 aABc=be sin L BAC=×23×V3xsin60°=y, 2 …………。15分 法二：由coS∠AMB=-cos LAMC …。9分 得+学212 _4+)2-b2 2x2x号 2×2×9 ……10分 4a2 即号=-(4+号-b所以b=号a 2 ………………11分 在△ABC中，a2=12+b2-2×2W3×b×cos …… 12分 所以a2=12+a2-2a,即a2+3a-18=0,解得a=3 ..13分 所以b=3 …………………,14分 所以SaAc=×2V3xV3×sn60= 2 ………15分 18.(本题满分17分) (1)证明：在AABD中，AB=AD, O为BD的中点，OA⊥BD ,2分 平面ABDI平面BCD,平面ABDn平面BCD=BD, OAC平面ABD,·OA⊥平面BCD. ………4分 又CDC平面BCD,∴DA L CD …,6分 (2)解：过点E作EN//OA交BD于点N, 过点N作NM/CD交BC于点M,连接EM 。。。。。。。。,。。。,。。。。。。。 7分 OA⊥平面BCD,EN/OA,∴.EN⊥平面BCD 。4.4.44+4+444。。44。 8分 BC平面CBCD,.EN⊥BC 40CD是边长为1的等边三角形，0为BD中点，0B=0D=0C=1 ÷∠0BC=∠0CB,LODC=L0CD, ∠0BC+L0CB+L0DC+∠OCD=180°∴.∠BCD=L0CB+L0CD=90°， 高一数学答案第3页共4页 即DC⊥BC …………………9分 NM//CD,∴.NM⊥BC 10分 又EN,NMC平面ENM,EN nNM=N,BC1平面ENM.......... 11分 YEMC面ENM·BC⊥EM ………………12分 ÷∠EMN是二面角E-BC-D的平面角，·∠EMN=45 ……………13分 即AEMN是等腰直角三角形， DE 2EA,ND 20N .EN-MN-CD- 15分 ∴A0=2EN=1 …16分 V校能A-BecD=a8CDA0=××2×1×sin60×1= 6 ….17分 评卷说明：向量法参考评分标准给分。 19.(本题满分17分) (1)解：依题意，a(3-cosC)=ccosA ………1分 在AABC中由正弦定理得：simA(V3-cosC)=sin C cosA …。2分 3sin A sin A cos C+sin C cos A, 所以v3sinA=sin(A+C),v3sinA=sinB ………3分 则b=3a. ………………4分 由余弦定理，得cosB=a2+c2-b2 a2+a2-3a2 17 2ac 2a号 20 ……5分 (2)解：b=V3a则A为锐角 6分 当tanA最大时cosA最小 ………7分 所以cosA=2+c2-a2-2a2+c2 6 2V3ac 2√3a 2v3a 3 ,8分 当且仅当径=时，即c=V2a时取最小值，此时sinA=停 3 ,9分 故M=2V3sinA=2 ………10分 (3)f(x)=2sin(2x+2 tsinx-2cosx≥2，xeG,恒成立… 12分 =tan学Vxe保，孕恒成立 t>0,…≤1+os7 13分 设()=tan克当x∈原，he)是增函数，则he)>h明=tan日 …15分 又tan导=-a时 2tang 设m=tan营m2+2m-1=0,m=V2-1 .16分 ≤2-1~t>0,t22+1 …………17分 高一数学答案第4页共4页: 20242025学年度第二学期期末考试 高一数学 注意事项： 1.本试卷考试时间为120分钟，满分150分。 2.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 装 3.答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需 改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答题标号：答非选择题时，将答案写在答题卡上相应区域 内，超出答题区域或写在本试卷上无效。 丁 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的 影 1. 已知复数z满足z=1， 则z的虚部为() 1+i A. C. 2 2 为 2.下列四个命题正确的是() 订 A.a∥B,aca,bcB→a∥b B.a⊥B,lcx,mcB→l⊥m 不 C.anB=a,b∥a→b∥a D.I⊥a,mcB,a∥B→1⊥m 3.下列函数为奇函数的是() A.y=tanx B.y=x-sinx C.y=x+cosx D.y=xsinx 要 4. 已知a=3,3),6=（-2,5),则向量a在i上的投影的数量为（) A. 9√29 B.75 17W5 D. 45 29 13 17 15 答 5.如图，攒尖是中国古代建筑中屋顶的一种结构形式，宋代称为撮尖，清代称为攒尖，通常 线 有圆形攒尖、三角形攒尖、八角攒尖，也有单檐和重檐之分.多见于亭阁式建筑，某个园林 建筑为六角攒尖，它的顶部的轮廓可近似看作一个正六棱锥，若此正六棱锥高为1且侧棱 : 长为√2，则棱锥侧面积为() : A.3万 B. 2v5 : 2 : 25 3W6 : D. 5 第5题图 高一数学试卷第1页（共4页） 6.在△ABC中，∠B=4S°，D是BC边上一点，AD-=5,AC-7,DC=3,则AB的长为（) A.55 B.3V6 c.56 D.45 2 7.已知函数f(x)=2cos2r+V3s加2am-(0>0)的最小正周期为京，则下列说法正确的 有() A.0=2 B. 函数代对在0.交]止为减函数 6 C.直线x=产是函数y=)图象的一条对称轴 D.点（径0）是函最y=)图象的一个对称中心 8.在正三棱柱BC-48,G中，AB=2,外接球表面积为64，P为4G的中点，Q为侧面 3 BCCB内（含边界）一点，若P2∥平面ABC,则点Q运动轨迹的长度为() A.5 B.3 c.vo D.4 二、选择趣：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目 要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分， 9.已知1是虚数单位，若复数z1满足i·(z1-2)=1,则（) A.2的共轭复数为- B.=1 C.z3=1 D.若复数z2满足2=1，则，-2的最大值为2 10.已知函数冈=2si加(ar+列(@>0，<)的部分图象如图所示，其中M(.2). n号，0.别() Af(x)的最小正周期为4 B.x∈[0， 2严]时，了)的最大值是5 C.)的图象向右平移2严个单位后为奇函数 3 D.(x)与g(x)=2sin二x有相同的零点 第10题图 2 高一数学试卷第2页（共4页） 11.如图，线段AB为圆O的直径，点E,F在圆O上，EF∥AB,矩形ABCD所在的平面和圆O 所在的平面垂直，且AB=2,EF=AD-1,则下述正确的是() A.OF∥平面BCE B.BF⊥平面ADF C点A到平面CDE的距离为 7 D.三棱锥C-BEF外接球的体积为√5π 第11题图 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12.sin40°(tan10°-V5)=」 D(P) 3.函数y=的图象与函数y=2si元x(-2≤x≤9 的图象所有交点的横坐标之和等于 14.如图，在三棱锥P-ABC的平面展开图中，AC-1, AB=AD=√5，AB⊥AC,AB⊥AD,∠CAE-30°， E(P) F(P) 则cos∠FCB= 第14题图 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.(本题满分13分) 已知a=1,1), 月=25. (1)若a∥6，求6的坐标； (2)若(5a-2b)⊥(a+b),求a与b的夹角. 16.(本题满分15分) 如图，直三棱柱ABC-4BG中，A4=AC=BC= B -AB, 若G,F分别是B,C,AB的中点. (1)求证：GF∥平面ABC (2)求证：平面BCC,B⊥平面ACB,; (3)设M是AC中点，求直线BM与平面ABC所成角的正弦值. 第16题图 高一数学试卷第3页（共4页） IU IU 17.(本题满分15分) 已知a,b,c分别为△ABC三个内角A,B,C的对边，向量m=(a,b叶c,n=(5sinC+ cosC,1),m.n=2(b+c). (1)求A: (2)若c=2V5,BM=2MC,AM2,求△ABC的面积. 装 装 18.(本题满分17分) 如图，在三棱锥A-BCD中，平面ABD⊥平面BCD,AB=AD,O为BD的中点. (1)求证：OA⊥CD: 线( (2)若△OCD是边长为1的等边三角形，点E在AD上，DE-2EA,且二面角E-BC-D的 大小为45°，求三棱锥A-BCD的体积. 内 不 第18题图 19.(本题满分17分) 要 已知△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,其中a[tan600°+sin( +C1- 2 csin(+). 答 2 （1)若c=a,求cosB的值： 线 题( (2)当tanA取最大值时，记M=2W3sinA,求M （3)在2)的条件下设f因=Ms(2x+学，若1e0,+m)时，对于任意的xe(子，经 均有兮-令-兮+受22恒玻立求：的取值范围 12 高一数学试卷第4页（共4页）