精品解析：河南省金科·新未来2024-2025学年高二下学期期末联考考试数学试题

2024～2025年高二下学期期末联考考试 数 学 全卷满分150分，考试时间120分钟． 注意事项： 1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2．请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 3．选择题用2B铅笔在答题卡．上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答；字体工整，笔迹清楚． 4．考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】得到集合，然后根据交集运算即可. 【详解】由题设，且，则． 故选：C． 2. 设偶函数的定义域为，在区间上单调递减，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据偶函数性质得，，再利用其单调性即可比较出大小. 【详解】因为偶函数，则，， 又因为其在区间上单调递减，则， 即. 故选：A. 3. 已知向量，，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据向量共线的坐标表示求出参数，然后根据充分、必要性判断即可. 【详解】向量，，若，则，即， 解得或，故“”是“”的充分不必要条件． 故选：A． 4. 函数的图象的一条对称轴是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据三角函数的图象和性质可得对称轴方程为，求解即可． 【详解】令，得， 显然当时，，所以C正确； 其余选项均不存在整数满足的条件． 故选：C． 5. 已知双曲线C：（，）的一条渐近线方程为，则C的离心率为（ ） A. B. C. 2 D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题可得，然后根据离心率公式计算即可. 【详解】由题设得，所以. 故选：B． 6. 在中，角，，的对边分别为，，，其中，，若这个三角形有两组解，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由正弦定理可得，解不等式组，即可得答案. 【详解】若这个三角形有两组解， 则， 因为，，所以. 故选：D． 7. 杨村四中组织“我爱共青团”知识测试，随机调查高一年级100名学生，将他们的测试成绩（满分100分）按照，，…，分成五组得到如图所示的频率分布直方图，则下列说法正确的是（ ） A. 图中 B. 估计样本数据的第80百分位数为93分 C. 测试成绩高于80分的人数为45人 D. 若每组数据以所在区间的中点值为代表，则这100名学生成绩的平均数为79.5分 【答案】D 【解析】 【分析】由所有矩形面积和为，用频率分布直方图估计百分位数，平均数，样本估计总体逐项判断即可. 【详解】对于A，由，解得，故A错误； 对于B，设第80百分位数为， 由，， 所以，则，解得，故B错误； 对于C，测试成绩高于80分的频率为，故测试成绩高于80分的人数为人，故C错误； 对于D，这100名学生成绩的平均数为 ，故D正确， 故选：D. 8. 已知三棱锥的棱长均为2，点P在内，且，则点P的轨迹的长度（ ） A. B. C. D. π 【答案】C 【解析】 【分析】取CD的中点E，连接BE，过点A作，垂足为H，可求得P在以H为圆心，为半径的圆上，进而计算即可得答案. 【详解】如图1，取CD的中点E，连接BE，过点A作，垂足为H，由， 知，所以，又， 所以，所以点P在以H为圆心，为半径的圆上. 如图2，由，得， 解得（结合图形舍去），所以四边形BGHF是菱形，， 所以点P的轨迹的长度为. 故选：C. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知复数，则（ ） A. B. 的实部与虚部之和为 C. 的共轭复数为 D. 在复平面内对应的点位于第二象限 【答案】BC 【解析】 【分析】利用复数的除法法则将复数化简，即可判断A选项；写出的实部和虚部判断B选项；利用共轭复数的定义写出，判断C选项；再利用复数的几何意义判断D选项即可. 【详解】由题意得，，故A错误； 的实部是，虚部是，则实部与虚部之和为，故B正确； 的共轭复数为，故C正确； z在复平面内对应的点为，位于第四象限，故D错误. 故选：BC. 10. 下列命题中，正确的是 （ ） A. 方差、标准差、极差均能度量一组数据的离散程度 B. 在平均数为的一组样本数据中增加1个比大的数据，则新样本平均数一定比大 C. 若随机变量，则 D. 一组样本点的经验回归方程为，若其中两个样本点和的残差相等，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用方差、极差的意义判断A；计算平均数判断B；利用正态分布的对称性判断C；计算残差判断D. 【详解】对于A，方差、标准差、极差均能度量一组数据的离散程度，A正确； 对于B，令样本容量为，增加的一个数据为，则新样本平均数，B正确； 对于C，，，C错误； 对于D，依题意，，解得，D正确. 故选：ABD 11. 设抛物线的焦点为，直线与抛物线相交于，两点，与轴交于点，，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 与的面积之比为 【答案】BCD 【解析】 【分析】先由抛物线焦半径公式结合题意得到则在第二象限，在第一象限，且，接着联立直线与抛物线方程结合韦达定理求出和p即可判断选项AB；进而求出点A和B和C即可计算求解判断CD. 【详解】由题得且， 则在第二象限，在第一象限，且， 联立， 则， 所以或（舍去）， 所以抛物线，，， 所以可得，， 所以， 直线与轴交于点， 所以， 所以. 所以A错误，BCD正确. 故选：BCD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知，，则______． 【答案】 【解析】 【分析】利用两角和的正切公式求解即可． 【详解】． 故答案为：． 13. 若从0，1，2，3，4，5这六个数字中选3个数字，组成没有重复数字的三位偶数．则这样的三位数一共有______个（用数字作答） 【答案】52 【解析】 【分析】根据给定条件，按个位数字是否为0分类，根据排列计数问题列式，再根据分类计数原理求和即可求解． 【详解】从0，1，2，3，4，5这六个数字中选3个数字， 组成没有重复数字的三位偶数，有两种情况： 第一种，0在个位，有个； 第二种，0不在个位，排个位有种方法，排百位有种方法， 排十位有种方法，此时共有个， 所以符合题意的三位偶数共有个． 故答案为：52 14. 定义在上的函数的导函数为，且，若存在实数x使不等式对于恒成立，则实数m的取值范围为______． 【答案】 【解析】 【分析】求导赋值求得，可得，进一步得函数单调性、最值，故原题条件可转换为对于恒成立，从而可得关于的不等式，解不等式即可得解. 【详解】因为，， 令，，解得：， 所以，令，，所以， 所以，而显然在上单调递增，又， 所以当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增，所以， 存在实数x使不等式对于恒成立， 所以对于恒成立， 所以对于恒成立， 即，解得：或， 则实数m的取值范围为：． 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤． 15. 设 （1）当时，求函数的单调区间； （2）若曲线在点处的切线与曲线也相切，求的值； 【答案】（1）递减区间为(0,2)，递增区间为； （2）； 【解析】 【分析】（1）对求导，根据导数在区间内的符号判断单调区间； （2）利用导数的几何意义求切线方程，再由切线重合得到相关方程求参数值. 【小问1详解】 当时，，定义域为， 所以，令， 所以函数递减区间为(0,2)，递增区间为． 【小问2详解】 由，则曲线在点处的切线的方程为， 设直线与曲线相切于点，且，结合切点在上， 所以，且. 16. 记为数列的前n项和，且满足，． （1）求； （2）求； （3）令，记数列的前n项和为，证明：． 【答案】（1） （2） （3） ， 故，故． 【解析】 【分析】（1）根据已知条件判断数列为等差数列并求出其通项公式，进而得到的表达式； （2）利用与的关系求出； （3）对进行裂项相消求和并证明不等式. 【小问1详解】 由可知数列是首项为1，公差为1的等差数列， 故，即． 【小问2详解】 当时，， 又因为满足上式，故； 【小问3详解】 略 17. 如图，在三棱锥和中，和均是以为斜边的等腰直角三角形，平面平面平面. （1）证明：平面； （2）求二面角的正弦值. 【答案】（1） 取的中点为，连接， 则由是以为斜边的等腰直角三角形可知， 平面平面，平面平面平面， 所以有平面， 由已知平面，可得， 出是以为斜边的等腰直角三角形亦可知， 又，所以， 从而可得四边形为平行四边形，因此有， 又平面平面，所以平面. （2）. 【解析】 【分析】（1）取的中点为，连接，利用面面垂直的性质得到平面，结合已知可得，进而结合已知可得，可证结论； （2）方法一：连接，可得两两垂直，建立空间直角坐标系，求得平面与平面的法向量，利用向量法可求二面角的正弦值； 方法二：连接，设，可证为正三角形.，取的中点为，连接，与的夹角为二面角的平面角，求解即可； 方法三：设二面角为，二面角为，则，取的中点为，连接，设，可得即为二面角的平面角，求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 （方法一）连接，由是以为斜边的等腰直角三角形可知， 由（1）知平面，知两两垂直，以为正交基底 ，建立如图所示的空间直角坐标系. 设，则， 于是. 设平面的一个法向量为，则 由，得，令，得； 设平面的一个法向量为，则 由，得，令，得. 于是， 设二面角为，则 即二面角的正弦值为. （方法二）连接，设，由和均是以为斜边的等腰直角三角形可得1. ，由（1）知平面，所以为直角三角形，从而， 故，即为正三角形. 取的中点为，连接，则，又， 平面平面，平面平面， 所以与的夹角为二面角的平面角， 由（1）亦知，于是与的夹解为二面角的平面角， 即为的补角，从而二面角的正弦值就等于. 连接，在中，， 即二面角的正弦值为. （方法三）因为平面平面，所以平面平面， 设二面角为二面角为，则， 取的中点为，连接， 设，由和均是以为斜边的等腰直角三角形可得 ， 由（1）知平面，所以为直角三角形，从而， 故，即为正三角形，从而， 在中，，所以， 平面平面，平面平面， 所以即为二面角的平面角， 在中，， 从而， 即二面角的正弦值为. 18. 甲、乙两人进行游戏比赛，游戏共五局，先获得三局胜利的人赢得比赛；比赛分为进攻方与防守方，一方进攻则另一方防守，进攻成功或防守成功的人均看作获得本局游戏胜利，一方进攻成功则继续进攻，一方进攻失败则更换进攻方；甲在进攻方胜率为a，乙在进攻方胜率为，甲优先进攻． （1）第二局乙获胜的概率； （2）若，求甲在四局以内赢得比赛的概率； （3）若，记游戏局数为，求的最大值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）设第二局乙获胜为事件A，则有第一局甲进攻甲胜且第二局甲进攻乙胜，第一局甲进攻乙胜且第二局乙进攻乙胜两种情况，再根据独立事件乘法公式计算即可； （2）根据题意比赛可能进行三局或四局，求出对于概率，再相加即可. （3）根据题意比赛可能进行3,4,5局三种情况，求出对于概率，再计算期望，再利用基本不等式和二次函数性质可得最大值. 【小问1详解】 设第二局乙获胜的概率为， 则． 【小问2详解】 设比赛三局甲获胜的概率为，比赛四局甲获胜的概率为， 则， 代入，得甲在四局以内赢得比赛的概率. 【小问3详解】 若，则每局游戏中甲获胜的概率为，失败的概率为． 由题意，． 于是，利用， 因为，所以时，取得最大值． 19. 已知椭圆的离心率为，点在椭圆C上，过点的直线与椭圆C交于，两点（其中，），点B关于x轴的对称点为D点，直线AD与x轴交于点E，直线BD与x轴交于点F． （1）求椭圆C的方程； （2）求点E的坐标； （3）证明：． 【答案】（1） （2） （3） 证明：由（2）有：，可得，又． 所以， 有，得证． 【解析】 【分析】（1）依据题意直接计算即可； （2）假设直线AB的方程为，点E的坐标为，联立椭圆方程，使用韦达定理可得，，结合A，D，E三点共线得到点D ，然后计算即可； （3）由（2）得到，表示，计算可得. 【小问1详解】 设椭圆C的焦距为2c，由，有，． 可得椭圆C的方程为，代入点的坐标，有，可得， 故椭圆C的方程为． 【小问2详解】 解：设直线AB的方程为，点E的坐标为， 联立方程消去x后整理为， 有，， 由A，D，E三点共线，点D的坐标为，有， 有，整理为， 有，又由m的任意性，有，可得， 故点E的坐标为． 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024～2025年高二下学期期末联考考试 数 学 全卷满分150分，考试时间120分钟． 注意事项： 1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2．请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 3．选择题用2B铅笔在答题卡．上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答；字体工整，笔迹清楚． 4．考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 设偶函数的定义域为，在区间上单调递减，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知向量，，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 函数的图象的一条对称轴是（ ） A. B. C. D. 5. 已知双曲线C：（，）的一条渐近线方程为，则C的离心率为（ ） A. B. C. 2 D. 6. 在中，角，，的对边分别为，，，其中，，若这个三角形有两组解，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 7. 杨村四中组织“我爱共青团”知识测试，随机调查高一年级100名学生，将他们的测试成绩（满分100分）按照，，…，分成五组得到如图所示的频率分布直方图，则下列说法正确的是（ ） A. 图中 B. 估计样本数据的第80百分位数为93分 C. 测试成绩高于80分的人数为45人 D. 若每组数据以所在区间的中点值为代表，则这100名学生成绩的平均数为79.5分 8. 已知三棱锥的棱长均为2，点P在内，且，则点P的轨迹的长度（ ） A. B. C. D. π 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知复数，则（ ） A. B. 的实部与虚部之和为 C. 的共轭复数为 D. 在复平面内对应的点位于第二象限 10. 下列命题中，正确的是 （ ） A. 方差、标准差、极差均能度量一组数据的离散程度 B. 在平均数为的一组样本数据中增加1个比大的数据，则新样本平均数一定比大 C. 若随机变量，则 D. 一组样本点的经验回归方程为，若其中两个样本点和的残差相等，则 11. 设抛物线的焦点为，直线与抛物线相交于，两点，与轴交于点，，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 与的面积之比为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知，，则______． 13. 若从0，1，2，3，4，5这六个数字中选3个数字，组成没有重复数字的三位偶数．则这样的三位数一共有______个（用数字作答） 14. 定义在上的函数的导函数为，且，若存在实数x使不等式对于恒成立，则实数m的取值范围为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤． 15. 设 （1）当时，求函数的单调区间； （2）若曲线在点处的切线与曲线也相切，求的值； 16. 记为数列的前n项和，且满足，． （1）求； （2）求； （3）令，记数列的前n项和为，证明：． 17. 如图，在三棱锥和中，和均是以为斜边的等腰直角三角形，平面平面平面. （1）证明：平面； （2）求二面角的正弦值. 18. 甲、乙两人进行游戏比赛，游戏共五局，先获得三局胜利的人赢得比赛；比赛分为进攻方与防守方，一方进攻则另一方防守，进攻成功或防守成功的人均看作获得本局游戏胜利，一方进攻成功则继续进攻，一方进攻失败则更换进攻方；甲在进攻方胜率为a，乙在进攻方胜率为，甲优先进攻． （1）第二局乙获胜的概率； （2）若，求甲在四局以内赢得比赛的概率； （3）若，记游戏局数为，求的最大值． 19. 已知椭圆的离心率为，点在椭圆C上，过点的直线与椭圆C交于，两点（其中，），点B关于x轴的对称点为D点，直线AD与x轴交于点E，直线BD与x轴交于点F． （1）求椭圆C的方程； （2）求点E的坐标； （3）证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $