第3章图形的相似（单元测试·基础卷）数学湘教版九年级上册

2025-2026学年九年级上册数学单元检测卷 第三章图形的相似·基础通关（参考答案） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 A A B B D C A B D C 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．// 12．20 13．（或或或）（答案不唯一）． 14． 15．/0.5 16．秒或4秒 三、解答题（共7小题，共52分） 17．（6分） 【答案】(1)见解析； (2)见解析． 【分析】本题主要考查了作图-相似变换，相似三角形的判定和性质等知识点，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定方法． (1)根据两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，进行画图即可； (2)取格点，连接，交于点，则点即为所求作的点． 【详解】（1）解：如图，，点即为所求作的点（任需画出一个即可）， ，， ， ，， ； （2）解：如图， ， ， ， ， 点即为所求作的点． 18．（6分） 【答案】(1)见详解 (2)2 【分析】（1）由矩形的性质可得，由翻折的性质可得，进而推出，即可得证； （2）由题意可知，，勾股定理得出，根据相似三角形的性质可得，再根据勾股定理计算即可得到答案． 【详解】（1）解：∵四边形是矩形 ∴． 由折叠易得， ∴， ， ∴， ∴． （2）解：在矩形中，． 在中，， ∴． ∵， ∴，即， 19．（7分） 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了正方形的性质，相似三角形的判定，等腰直角三角形的性质， 先根据正方形的性质得和都是等腰直角三角形，再根据等腰直角三角形的性质得，，然后根据两边成比例且夹角相等的两个三角形相似. 【详解】证明：∵，分别是正方形和正方形的对角线， ∴和都是等腰直角三角形，     ∴，， ∴， ∴， ∴． 20．（8分） 【答案】 【分析】本题考查的是相似三角形的应用，熟知相似三角形的对应边成比例是解答此题的关键． 先根据得出，再由相似三角形的对应边成比例即可求出的长． 【详解】解：∵， ， ∴， 即， 解得． 答：池塘的宽为． （8分）【答案】(1)见解析 (2)，， (3) 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—轴对称，坐标与图形，熟知关于轴对称的点的坐标特点是解题的关键． （1）关于关于轴对称的点横坐标互为相反数，纵坐标相同，据此得到A、B、C对应点的坐标，描出，并顺次连接即可； （2）根据（1）所求即可得到答案； （3）利用割补法求解即可． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； （2）解：∵与关于y轴对称，， ∴； （3）解：． 22（8分） 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，全等三角形的判定和性质，菱形的判定，折叠的性质等知识，灵活运用所学是解题的关键． （1）利用同角的余角相等可证明，由折叠的性质结合等量代换得到，结合对顶角相等即可得证； （2）利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到，则，由可知，继而得到，证明得到，再根据折叠的性质可知，从而证明，从而得证． 【详解】（1）证明：， ． ． ． 又由折叠可知， ． 又， ． （2）是斜边的中点， ． ． 又 ， ， 又∵，， ∴， ． 又，由折叠可知， ． 四边形是菱形． 23. （10分） 【答案】(1)， (2)秒或秒 (3) 【分析】本题考查了三角形相似的判定与性质：两组角对应相等的两三角形相似；相似三角形的对应边的比相等．也考查了勾股定理以及分类讨论思想的运用． （1）设运动的时间为t秒，根据题意可得出、含t的代数式； （2）分类：当，即时，；当，即时，，然后分别根据三角形相似的性质得到比例线段求出的值； （3）先计算出，若，则易证得，然后根据三角形相似的性质得到比例线段求出． 【详解】（1）解：∵的两条直角边，，， ∴， ∵点D沿从A向B运动，速度是 /秒，同时，点E沿从B向C运动，速度为/秒， ∴， ， ∴，， 故答案为：， （2）解：当，即时，， ， ， ； 当，即时，， ， ， ； 所以当动点运动秒或秒时，与相似； （3）解： 如图，过点作于， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得，， ∴， ， ， ， ， ， ， ， ∴， ∴， ∴， （秒）． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司4 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025-2026学年九年级上册数学单元检测卷 第三章图形的相似·基础通关 建议用时：90分钟，满分：100分 1、 选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．用2，3，4，6四个数组成比例，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了比例的基本性质，解题的关键是熟练掌握比例的基本性质． 根据比例的基本性质，若两个比相等，则其外项积等于内项积，逐一验证各选项是否符合这一条件即可． 【详解】解：选项A： 外项积： 内项积： 外项积等于内项积，比例成立，符合题意； 选项B： 外项积： 内项积： 外项积不等于内项积，比例不成立，不符合题意； 选项C： 外项积： 内项积： 外项积不等于内项积，比例不成立，不符合题意； 选项D： 外项积： 内项积： 外项积不等于内项积，比例不成立，不符合题意； 故选：A． 2．已知，则下列比例式成立的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了比例的基本性质，熟练掌握内项之积等于外项之积是解题的关键． 利用内项之积等于外项之积计算判断即可． 【详解】解：A、由，得到，故该项正确，符合题意； B、由，得到，故该项错误，不符合题意； C、由，得到，故该项错误，不符合题意； D、由，得到，故该项错误，不符合题意． 故选：A． 3．地图上，图上距离与它所表示的实际距离的比通常称为比例尺，已知一张地图的比例尺为，在此地图上测得某地到太原理工大学（明向校区）的直线距离为，则实际距离为（    ） A．33 B．330 C．550 D．600 【答案】B 【分析】本题考查了比例尺的定义，根据比例尺图上距离实际距离，计算即可得解，熟练掌握比例尺的定义是解此题的关键． 【详解】解：设某地到太原理工大学（明向校区）的实际距离为， ∴， 解得， ∴设某地到太原理工大学（明向校区）的实际距离为， 故选：B． 4．两个相似多边形的相似比为，则它们的面积比为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了相似多边形的性质，熟练掌握相似多边形的性质是解题的关键：相似多边形的对应角相等，对应边成比例；相似多边形对应对角线的比等于相似比；相似多边形周长的比等于相似比；相似多边形中的对应三角形相似，相似比等于多边形的相似比；相似多边形的面积比等于相似比的平方． 根据相似多边形的性质“相似多边形的面积比等于相似比的平方”即可直接得出答案． 【详解】解：两个相似多边形的相似比为， 它们的面积比为：， 故选：． 5．下列图形中一定是相似图形的是（    ） A．两个矩形 B．两个菱形 C．两个直角三角形 D．两个正五边形 【答案】D 【分析】本题考查的是相似图形的概念，掌握“角分别对应相等，边分别对应成比例的两个多边形相似”是解本题的关键． 根据相似图形的定义，结合选项，用排除法求解． 【详解】解：A、两个矩形，对应角相等，对应边不一定成比例，故它们不一定相似； B、两个菱形的对应角不一定相等，故它们不一定相似； C、两个直角三角形，只有一个直角相同，锐角不一定相等，故它们不一定相似； D、两个正五边形，每个内角都为，边对应成比例，符合相似图形的定义，故它们一定相似． 故选：D 6．如图，在中，是上一点，且平分，．若，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，角平分线的定义，等边对等角，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．根据已知可得，再利用角平分线的定义可得，然后利用等腰三角形的性质可得，从而可得，最后证明，从而利用相似三角形的性质进行计算即可解答． 【详解】解：，， ， 平分， ， ， ， ， ， ， ， 或（舍去）， ， 故选：C． 7．如图，在中，D，E分别是边，上的点，，且相似比为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了相似三角形的性质：相似三角形的面积的比等于相似比的平方,先根据相似三角形的性质得到，然后根据比例的性质求解． 【详解】解：∵，且相似比为， ∴， ∴． 故选：A． 8．如图，下列网格由大小相同的小正方形组成，点，，都在正方形网格的格点上．在图中以线段为一边，另一个顶点在格点上，且与相似（但不全等）的格点三角形的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，勾股定理与网格，根据相似三角形的性质画出图形,即可求解． 【详解】解：如图所示， ，，，，，， ， ， ，，，，， ， ， 综上所述，与相似（但不全等）的格点三角形的个数是2个 故选：B． 9．两千四百多年前，我国学者墨子就在《墨经》中记载了小孔成像实验的做法与成因．图1是小孔成像实验图，抽象为数学问题：如图2，是蜡烛火焰，是其通过小孔所成的像，与交于点，．若点到的距离为，点到的距离为，蜡烛火焰的高度是，则蜡烛火焰倒立的像的高度是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质解应用题，根据题意，作出图形，由相似三角形的判定得到，进而确定；再判定，由相似比代值求解即可得到答案．熟记相似三角形的判定与性质是解决问题的关键． 【详解】解：如图所示： 由题意可知，，， ， ， ， ，则； ， ， ， ，则， ， ，解得， 即蜡烛火焰倒立的像的高度是， 故选：D． 10．一组对边平行且另一组对边不平行的四边形称为梯形．若梯形中不平行的两边相等，则称这样的梯形为等腰梯形．如图，点，，，分别是等腰梯形各边的中点，顺次连接，，，得到四边形．点，，，分别是四边形各边的中点，顺次连接，，，得到四边形．以下四个结论： ①四边形是菱形； ②连接，则； ③四边形的面积等于四边形面积的倍； ④四边形周长的平方不小于梯形面积的倍． 上述结论中，所有正确结论的序号是（   ） A．①④ B．②③ C．①②④ D．①②③④ 【答案】C 【分析】本题主要研究等腰梯形各边中点连线所构成的四边形的性质．运用三角形中位线定理来推导四边形和的边、角、面积等相关性质，进而判断四个结论的正确性． 【详解】解：连接等腰梯形的对角线、． ∵点，，，分别是等腰梯形各边的中点， ∴， ， ∵等腰梯形的对角线相等， ∴， ∴． 同理， ∴四边形是菱形，结论①正确． 取的中点，连接，， ∵，分别是，的中点， ∴ ∵ ∴ ∴点，，三点共线， ∴即，结论②正确． 连接、， ∵四边形是菱形， ∴， ∴ ∵点，，，分别是四边形各边的中点， ∴， ∴，，四边形是平行四边形， ∴，四边形是矩形， 同理可得， ∴ ∴，即四边形的面积等于四边形面积的倍，不是倍，结论③错误． 同理可得四边形的面积等于四边形面积的倍， ∴四边形的面积等于四边形面积的倍， 设梯形的高为，上底，下底， ∴梯形面积 ． ∵点，，，分别是四边形各边的中点， ∴， ∴ ∴四边形是平行四边形，设其相邻两边分别为、，周长 ， ． ∵（当且仅当时取等号），四边形的面积 ，且， ∴ ∴ ∵ ∴ ，即四边形周长的平方不小于梯形面积的倍，结论④正确， 故选：C． 2、 填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．已知，则 ． 【答案】// 【分析】本题主要考查了比例的基本性质、代数式求值等知识点，掌握等式的基本性质是解题的关键． 设可得，然后代入计算即可． 【详解】解：设，则， ∴． 故答案为：． 12．如图，点分别是的边的中点，若的面积为，则的面积是 ． 【答案】20 【分析】本题考查的是三角形中位线定理、相似三角形的判定和性质．根据三角形中位线定理得到，，证明，根据相似三角形的性质计算，得到答案． 【详解】解：∵D，E分别是的边的中点， ∴是的中位线， ∴，， ∴， ∴， ∵的面积为， ∴的面积为， 故答案为：20． 13．如图，中，是上一点，连接．请你补充一个条件 ，使． 【答案】（或或或）（答案不唯一） 【分析】本题考查两个相似三角形的判定定理，涉及两角分别相等的两个三角形相似、两边成比例且夹角相等的两个三角形相似判定即可得到答案．熟记两个相似三角形的判定定理是解决问题的关键． 【详解】解：在和中，， 是的一个外角， ， 即，且， ， 当时，；或当时，；或当时，； 故答案为：（或或或）（答案不唯一）． 14．如图，现有测试距离为的一张视力表，表上一个的高为，要制作测试距离为的视力表，其对应位置的的高为 ． 【答案】 【分析】本题考查了相似三角形的应用，由题意得，，，，可证明，然后根据相似三角形的性质即可求解，掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 【详解】解：由题意得：，，，， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 15．在中，在边上取一点D，如图，根据下列作图过程：①以B点为圆心，以合适的长为半径作弧，分别与边交于点M，N；②以D点为圆心、长为半径向内作弧，交于P点；③以P点为圆心、为半径作弧，与前弧在内交于一点Q；④过Q点作射线交于E点．若，则 ． 【答案】/0.5 【分析】本题考查了作图——作等角，相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定和性质是解题关键．由作法可知，，证明出，进而得到，即可求解． 【详解】解：由作法可知，， ， ， ， ， ， 故答案为： 16．如图，△ABC中，AB＝8cm，AC＝16cm，点P从A出发，以每秒1厘米的速度向B运动，点Q从C同时出发，以每秒2厘米的速度向A运动．其中一个动点到达端点时，另一个也相应停止运动．那么，当以A、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似时，运动时间是 ． 【答案】秒或4秒 【分析】分两种情况讨论，利用相似三角形的性质求解即可. 【详解】设运动时间是秒 ∵点P从A出发，以每秒1厘米的速度向B运动，点Q从C同时出发，以每秒2厘米的速度向A运动 由题意可得：当时，点P运动到端点B，此时点Q正好运动到端点A，均停止运动 则要使A、P、Q三点能构成三角形，t的取值范围为 ，且以A、P、Q为顶点的三角形与相似 ∴或 即或 ∴或 故答案为：秒或4秒. 三、解答题（共7小题，共52分） 17．（6分）如图是由边长为1的小正方形组成的的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，三个顶点都是格点．仅用无刻度的直尺在给定网格中完成两个画图任务． (1)在图1中，画，使点E在格点上，且与相似；（只需画出一个即可） (2)在图2中，线段上找一点D，使． 【答案】(1)见解析； (2)见解析． 【分析】本题主要考查了作图-相似变换，相似三角形的判定和性质等知识点，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定方法． (1)根据两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，进行画图即可； (2)取格点，连接，交于点，则点即为所求作的点． 【详解】（1）解：如图，，点即为所求作的点（任需画出一个即可）， ，， ， ，， ； （2）解：如图， ， ， ， ， 点即为所求作的点． 18．（6分）如图，在矩形中，为上的一点，把沿翻折，使点恰好落在边上的点． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见详解 (2)2 【分析】（1）由矩形的性质可得，由翻折的性质可得，进而推出，即可得证； （2）由题意可知，，勾股定理得出，根据相似三角形的性质可得，再根据勾股定理计算即可得到答案． 【详解】（1）解：∵四边形是矩形 ∴． 由折叠易得， ∴， ， ∴， ∴． （2）解：在矩形中，． 在中，， ∴． ∵， ∴，即， 解得，． 19.（7分）如图，在正方形中，点是边上一点，连接，以为对角线作正方形，连接、，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了正方形的性质，相似三角形的判定，等腰直角三角形的性质， 先根据正方形的性质得和都是等腰直角三角形，再根据等腰直角三角形的性质得，，然后根据两边成比例且夹角相等的两个三角形相似. 【详解】证明：∵，分别是正方形和正方形的对角线， ∴和都是等腰直角三角形，     ∴，， ∴， ∴， ∴． 20.（7分）如图，为了测量一池塘的宽，在岸边找一点，连接，，测得，在的延长线上找一点，测得，过点作，交的延长线于，测得，求池塘的宽． 【答案】 【分析】本题考查的是相似三角形的应用，熟知相似三角形的对应边成比例是解答此题的关键． 先根据得出，再由相似三角形的对应边成比例即可求出的长． 【详解】解：∵， ， ∴， 即， 解得． 答：池塘的宽为． 21．（8分）如图，在平面直角坐标系中，． (1)在图中作出关于轴对称的． (2)写出点的坐标（直接写答案）． _________；_________；_________； (3)求的面积． 【答案】(1)见解析 (2)，， (3) 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—轴对称，坐标与图形，熟知关于轴对称的点的坐标特点是解题的关键． （1）关于关于轴对称的点横坐标互为相反数，纵坐标相同，据此得到A、B、C对应点的坐标，描出，并顺次连接即可； （2）根据（1）所求即可得到答案； （3）利用割补法求解即可． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； （2）解：∵与关于y轴对称，， ∴； （3）解： 22.（8分）如图，在纸片中，，是斜边上一点，将沿折叠，使点落在点处，线段与相交于点，已知． (1)求证：． (2)若是斜边的中点，求证：四边形是菱形． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，全等三角形的判定和性质，菱形的判定，折叠的性质等知识，灵活运用所学是解题的关键． （1）利用同角的余角相等可证明，由折叠的性质结合等量代换得到，结合对顶角相等即可得证； （2）利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到，则，由可知，继而得到，证明得到，再根据折叠的性质可知，从而证明，从而得证． 【详解】（1）证明：， ． ． ． 又由折叠可知， ． 又， ． （2）是斜边的中点， ． ． 又 ， ， 又∵，， ∴， ． 又，由折叠可知， ． 四边形是菱形． 23.（10分）如图，的两条直角边，，，点D沿从A向B运动，速度是 /秒，同时，点E沿从B向C运动，速度为/秒．动点E到达点C时运动终止．连接、、．设运动的时间为t秒，解答下列问题： (1) ___________，___________．（用含t的代数式表示） (2)求当动点运动时间t为多少秒时，与相似； (3)在运动过程中，当时，求t的值． 【答案】(1)， (2)秒或秒 (3) 【分析】本题考查了三角形相似的判定与性质：两组角对应相等的两三角形相似；相似三角形的对应边的比相等．也考查了勾股定理以及分类讨论思想的运用． （1）设运动的时间为t秒，根据题意可得出、含t的代数式； （2）分类：当，即时，；当，即时，，然后分别根据三角形相似的性质得到比例线段求出的值； （3）先计算出，若，则易证得，然后根据三角形相似的性质得到比例线段求出． 【详解】（1）解：∵的两条直角边，，， ∴， ∵点D沿从A向B运动，速度是 /秒，同时，点E沿从B向C运动，速度为/秒， ∴， ， ∴，， 故答案为：， （2）解：当，即时，， ， ， ； 当，即时，， ， ， ； 所以当动点运动秒或秒时，与相似； （3）解： 如图，过点作于， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得，， ∴， ， ， ， ， ， ， ∴， ∴， ∴， （秒）． 学科网（北京）股份有限公司1 / 21 学科网（北京）股份有限公司 $$………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025-2026学年九年级上册数学单元检测卷 第三章图形的相似·基础通关 建议用时：90分钟，满分：100分 1、 选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．用2，3，4，6四个数组成比例，正确的是（    ） A． B． C． D． 2．已知，则下列比例式成立的是（　　） A． B． C． D． 3．地图上，图上距离与它所表示的实际距离的比通常称为比例尺，已知一张地图的比例尺为，在此地图上测得某地到太原理工大学（明向校区）的直线距离为，则实际距离为（    ） A．33 B．330 C．550 D．600 4．两个相似多边形的相似比为，则它们的面积比为（   ） A． B． C． D． 5．下列图形中一定是相似图形的是（    ） A．两个矩形 B．两个菱形 C．两个直角三角形 D．两个正五边形 6．如图，在中，是上一点，且平分，．若，，则的值为（    ） A． B． C． D． 7．如图，在中，D，E分别是边，上的点，，且相似比为，则（    ） A． B． C． D． 8．如图，下列网格由大小相同的小正方形组成，点，，都在正方形网格的格点上．在图中以线段为一边，另一个顶点在格点上，且与相似（但不全等）的格点三角形的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 9．两千四百多年前，我国学者墨子就在《墨经》中记载了小孔成像实验的做法与成因．图1是小孔成像实验图，抽象为数学问题：如图2，是蜡烛火焰，是其通过小孔所成的像，与交于点，．若点到的距离为，点到的距离为，蜡烛火焰的高度是，则蜡烛火焰倒立的像的高度是（   ） A． B． C． D． 10．一组对边平行且另一组对边不平行的四边形称为梯形．若梯形中不平行的两边相等，则称这样的梯形为等腰梯形．如图，点，，，分别是等腰梯形各边的中点，顺次连接，，，得到四边形．点，，，分别是四边形各边的中点，顺次连接，，，得到四边形．以下四个结论： ①四边形是菱形； ②连接，则； ③四边形的面积等于四边形面积的倍； ④四边形周长的平方不小于梯形面积的倍． 上述结论中，所有正确结论的序号是（   ） A．①④ B．②③ C．①②④ D．①②③④ 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．已知，则 ． 12．如图，点分别是的边的中点，若的面积为，则的面积是 ． 13．如图，中，是上一点，连接．请你补充一个条件 ，使． 14．如图，现有测试距离为的一张视力表，表上一个的高为，要制作测试距离为的视力表，其对应位置的的高为 ． 15．在中，在边上取一点D，如图，根据下列作图过程：①以B点为圆心，以合适的长为半径作弧，分别与边交于点M，N；②以D点为圆心、长为半径向内作弧，交于P点；③以P点为圆心、为半径作弧，与前弧在内交于一点Q；④过Q点作射线交于E点．若，则 ． 16．如图，△ABC中，AB＝8cm，AC＝16cm，点P从A出发，以每秒1厘米的速度向B运动，点Q从C同时出发，以每秒2厘米的速度向A运动．其中一个动点到达端点时，另一个也相应停止运动．那么，当以A、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似时，运动时间是 ． 三、解答题（共7小题，共52分） 17．（6分）如图是由边长为1的小正方形组成的的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，三个顶点都是格点．仅用无刻度的直尺在给定网格中完成两个画图任务． (1)在图1中，画，使点E在格点上，且与相似；（只需画出一个即可） (2)在图2中，线段上找一点D，使． 18．（6分）如图，在矩形中，为上的一点，把沿翻折，使点恰好落在边上的点． (1)求证：； (2)若，，求的长． 19．（7分）如图，在正方形中，点是边上一点，连接，以为对角线作正方形，连接、，求证：． 20．（7分）如图，为了测量一池塘的宽，在岸边找一点，连接，，测得，在的延长线上找一点，测得，过点作，交的延长线于，测得，求池塘的宽． 21．（8分）如图，在平面直角坐标系中，． (1)在图中作出关于轴对称的． (2)写出点的坐标（直接写答案）． _________；_________；_________； (3)求的面积． 22．（8分）如图，在纸片中，，是斜边上一点，将沿折叠，使点落在点处，线段与相交于点，已知． (1)求证：． (2)若是斜边的中点，求证：四边形是菱形． 23.（10分）如图，的两条直角边，，，点D沿从A向B运动，速度是 /秒，同时，点E沿从B向C运动，速度为/秒．动点E到达点C时运动终止．连接、、．设运动的时间为t秒，解答下列问题： (1) ___________，___________．（用含t的代数式表示） (2)求当动点运动时间t为多少秒时，与相似； (3)在运动过程中，当时，求t的值． 试题 第3页（共8页） 试题 第4页（共8页） 试题 第1页（共8页） 试题 第2页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025-2026学年九年级上册数学单元检测卷 第三章图形的相似·基础通关 建议用时：90分钟，满分：100分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．用2，3，4，6四个数组成比例，正确的是（    ） A． B． C． D． 2．已知，则下列比例式成立的是（　　） A． B． C． D． 3．地图上，图上距离与它所表示的实际距离的比通常称为比例尺，已知一张地图的比例尺为，在此地图上测得某地到太原理工大学（明向校区）的直线距离为，则实际距离为（    ） A．33 B．330 C．550 D．600 4．两个相似多边形的相似比为，则它们的面积比为（   ） A． B． C． D． 5．下列图形中一定是相似图形的是（    ） A．两个矩形 B．两个菱形 C．两个直角三角形 D．两个正五边形 6．如图，在中，是上一点，且平分，．若，，则的值为（    ） A． B． C． D． 7．如图，在中，D，E分别是边，上的点，，且相似比为，则（    ） A． B． C． D． 8．如图，下列网格由大小相同的小正方形组成，点，，都在正方形网格的格点上．在图中以线段为一边，另一个顶点在格点上，且与相似（但不全等）的格点三角形的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 9．两千四百多年前，我国学者墨子就在《墨经》中记载了小孔成像实验的做法与成因．图1是小孔成像实验图，抽象为数学问题：如图2，是蜡烛火焰，是其通过小孔所成的像，与交于点，．若点到的距离为，点到的距离为，蜡烛火焰的高度是，则蜡烛火焰倒立的像的高度是（   ） A． B． C． D． 10．一组对边平行且另一组对边不平行的四边形称为梯形．若梯形中不平行的两边相等，则称这样的梯形为等腰梯形．如图，点，，，分别是等腰梯形各边的中点，顺次连接，，，得到四边形．点，，，分别是四边形各边的中点，顺次连接，，，得到四边形．以下四个结论： ①四边形是菱形； ②连接，则； ③四边形的面积等于四边形面积的倍； ④四边形周长的平方不小于梯形面积的倍． 上述结论中，所有正确结论的序号是（   ） A．①④ B．②③ C．①②④ D．①②③④ 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．已知，则 ． 12．如图，点分别是的边的中点，若的面积为，则的面积是 ． 13．如图，中，是上一点，连接．请你补充一个条件 ，使． 14．如图，现有测试距离为的一张视力表，表上一个的高为，要制作测试距离为的视力表，其对应位置的的高为 ． 15．在中，在边上取一点D，如图，根据下列作图过程：①以B点为圆心，以合适的长为半径作弧，分别与边交于点M，N；②以D点为圆心、长为半径向内作弧，交于P点；③以P点为圆心、为半径作弧，与前弧在内交于一点Q；④过Q点作射线交于E点．若，则 ． 16．如图，△ABC中，AB＝8cm，AC＝16cm，点P从A出发，以每秒1厘米的速度向B运动，点Q从C同时出发，以每秒2厘米的速度向A运动．其中一个动点到达端点时，另一个也相应停止运动．那么，当以A、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似时，运动时间是 ． 三、解答题（共7小题，共52分） 17．（6分）如图是由边长为1的小正方形组成的的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，三个顶点都是格点．仅用无刻度的直尺在给定网格中完成两个画图任务． (1)在图1中，画，使点E在格点上，且与相似；（只需画出一个即可） (2)在图2中，线段上找一点D，使． 18．（6分）如图，在矩形中，为上的一点，把沿翻折，使点恰好落在边上的点． (1)求证：； (2)若，，求的长． 19．（7分）如图，在正方形中，点是边上一点，连接，以为对角线作正方形，连接、，求证：． 20．如图，为了测量一池塘的宽，在岸边找一点，连接，，测得，在的延长线上找一点，测得，过点作，交的延长线于，测得，求池塘的宽． 21．（8分）如图，在平面直角坐标系中，． (1)在图中作出关于轴对称的． (2)写出点的坐标（直接写答案）． _________；_________；_________； (3)求的面积． 22．（8分）如图，在纸片中，，是斜边上一点，将沿折叠，使点落在点处，线段与相交于点，已知． (1)求证：． (2)若是斜边的中点，求证：四边形是菱形． 23.（10分）如图，的两条直角边，，，点D沿从A向B运动，速度是 /秒，同时，点E沿从B向C运动，速度为/秒．动点E到达点C时运动终止．连接、、．设运动的时间为t秒，解答下列问题： (1) ___________，___________．（用含t的代数式表示） (2)求当动点运动时间t为多少秒时，与相似； (3)在运动过程中，当时，求t的值． 6 / 6 学科网（北京）股份有限公 学科网（北京）股份有限公司 $$