福建省莆田市2024-2025学年高一下学期期末质量调研数学试卷

莆田市2024-2025学年下学期期末质量调研试卷 高一数学试题参考解答及评分标准 评分说明： 1.本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主 要考查内容比照评分标准制定相应的评分细则. 2.对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容 和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应给分数的 一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分。 3.解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数 4.只给整数分数.单项选择题和单空填空题不给中间分， 一、选择题：每小题5分，满分40分 1.C 2.A3.D 4.D 5.B6.B 7.C 8.C 二、选择题：每小题6分，满分18分. (本题为多项选择题，每小题中，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9.BC 10.ACD 11.ACD 三、填空题：每小题5分，满分15分. B名 . 14.3:16(第一空2分，第二空3分) 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤， 15.本小题主要考查随机抽样、统计图表、平均数、百分位数等基础知识：考查运算求解能力、 推理论证能力、应用意识等：考查统计与概率思想、化归与转化思想等：考查数据分析、数 学运算等核心素养，体现综合性、应用性.满分13分 解：(1)由4×(0.005+0.04+0.085+a+0.05)=1,…2分 解得=007.……3分 平均数x=12×4×0.005+16×4×0.04+20×4×0.085+24×4×0.07+28×4×0.05 =12×0.02+16×0.16+20×0.34+24×0.28+28×0.2…5分 =21.92,…6分 (2)依题意知所求时长为这组数据的第66百分位数， …7分 因为4×(0.005+0.04+0.085)=0.52<0.66，……8分 4×(0.005+0.04+0.085+0.07=0.8>0.66,…9分 高一数学试题参考答案第1页（共8页） 所以第66百分位数y位于[22,26内，…10分 所以0.52+0y-22)×0.07=0.66, 解很0.66-0.52+22=24，…12分 0.07 所以至少需要参加24个小时的志愿活动方可获得本次“优秀志愿之星”的称号”.·13分 16.本小题主要考查空间直线与直线、直线与平面的位置关系、异面直线所成的角等基础知识： 考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力等；考查化归与转化思想、数形结合思想 等：考查直观想象、逻辑推理、数学运算等核心素养，体现基础性、综合性.满分15分 (1)证明：连接AB交AB于E,连接DE,… …1分 侧面ABBA为平行四边形，.E为AB的中点.… …2分 又点D为BC的中点，DE∥AC,… 4分 又DEc平面ABD,ACC平面ABD, …6分 C∥平面ABD.…7分 (2)解：由(1)得DE∥4C,·∠BED为异面直线AB与AC所成的角或其补角.…9分 在棱长均为2的正三棱柱ABC-4B,C中， BD=5, 868=5, DE-4C …11分 在△BDE中，由余弦定理得 COSZBED=BE2+DE2-B D2 2+2-5 2x√2×V2 ……13分 2BE·DE 、1 …14分 ∴异面直线48，与4C所成的角的余弦值为} …15分 17.本小题主要考查正弦定理、余弦定理、三角形的面积公式、平面向量、不等式等基础知识： 考查推理论证能力、运算求解能力等：考查化归与转化思想、函数与方程思想等：考查数学 运算、逻辑推理等核心素养，体现基础性、综合性.满分15分 高一数学试题参考答案第2页（共8页） 解：(1)由题意得asin B-V3 bcosA=0, …1分 由正弦定理得sin Asin B-√3 sin Bcos A=0, 2分 因为B∈(0，)，所以sinB+≠0， …3分 所以sinA-V3cosA=0, …4分 所以tanA=√5， 5分 又A∈(0，四，所以A= 3 …6分 (2)解法一：由(I)知4=行，因为点E为△ABC的内心， 所以∠EBC+∠ECB2∠ABC+2ACB………7分 =2(∠ABC+∠ACB) =3 …8分 由三角形内角和定理得∠BEC=元-（∠EBC+∠EC8)= 3 …9分 在△BCE中，由余弦定理得a2=EB2+EC2-2EB·EC·cos∠BEC,又a=2√5， 所以EB2+EC2+EB.EC=12,…10分 由基本不等式得EB2+EC2+EB.EC之3EB.EC,…11分 所以EB·EC≤4，当且仅当EB=EC=2等号成立. …12分 所以△BCE的面积SACE=)EB.BC-Sin∠BBC…13分 2 5EB-EC5 …14分 4 ×4=5, 所以△BCE的面积的最大值为√3.… …15分 解法二：设△ABC的内切圆半径为r, 所以△Bc的面积5ac=a+b+cdr5+b+c少， 又aBc=bcmA=5 bc …7分 2 4 高一数学试题参考答案第3页（共8页） 所以r= bc …8分 2(2W3+b+c) 因为点E为△ABC的内心， 2=×25 11 所以S△BCE= 3be 3bc 2 …9分 2(25+b+c2b+c+25) 在△ABC中，由余弦定理得a2=b2+c2-2 bccosA, …10分 即b2+c2-bc=12,所以(b+c2-3bc=12,即3bc=(b+c2-12,…11分 由基本不等式得cb+e, 解得b+c≤45，当且仅当b=c=2√5等号成立.…12分 4 所以S△BCE= 3bc (b+c)2-12b+c-25 …13分 2b+c+252b+c+2W5 2 ≤45-2)=5， …14分 所以△BCE的面积的最大值为√5.…15分 18.本小题主要考查空间直线与平面、平面与平面的位置关系、直线与平面所成的角、二面角等 基础知识；考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力等：考查化归与转化思想、数 形结合思想等；考查直观想象、逻辑推理、数学运算等核心素养，体现基础性、综合性.满 分17分. (1)证明：，四边形ABCD为正方形，AD⊥CD,…1分 又平面ABCD⊥平面CDEF,平面ABCD∩平面CDEF=CD,ADc平面ABCD, AD⊥平面CDEF,…2分 又DFC平面CDEF,.AD⊥DF. …3分 取EF中点G,连接DG,由已知得DG=EG=2,DG⊥EG,…4分 DE=DF=22,又EF=4, .DE2+DF2=EF2, DE⊥DF, …5分 高一数学试题参考答案第4页（共8页） 又ADC平面ADE,DEC平面ADE,AD∩DE=D,…6分 DF⊥平面ADE,… …7分 又DFC平面PDF,.平面PDF⊥平面ADE.…8分 (2)解：连接CE,过点P作PO⊥CE于点O,过O作OH⊥CF于点H,连接DO,PH. 由(1)得AD⊥平面ABCD,又AD∥BC,∴.BC⊥平面CDEF,…9分 又CEc平面CDEF,.BC⊥CE,∴.PO∥BC,.PO⊥平面CDEF,…10分 六∠Pp0为直线DP与平面CDEF所成的角.an∠PD0=O=V反.…11分 DO 解法一：设0-E0=元，则有P0=元BC=2元，D0=0-2DE+DC,…12分 BC EC 则D62=0-)}DE2+2DC2+21-)DE.DC =81-2)2+422-81-20=2022-242+8,… …13分 tan2∠PDo=Po2 412 2 =2,解得入= …14分 D022022-242+8 3 4 ,PO⊥平面CDEF,CFc平面CDEF, ∴.PO⊥CF, 又CF⊥OH,POc平面POH,OHc平面POH,PO∩OH=O, C℉⊥平面POH.……15分 又PHc平面POH,∴CF⊥PH,∴.∠PHO为二面角P-CF-D的平面角.…16分 m∠P0=01,三面角P-CF-D的大小为 OH .…17分 解法二：设 CE配=元，则有P0=BC=2元，D0=P PO EO 2, …12分 又CE=VEF2+CF2=2√5，.E0=1EC=2W51. 由余弦定理得cos∠DBC=DE2+CE2-CD2_DE2+E02-D02 ,…13分 2DE·CE 2DE·EO 2×22x25222x25a,解得元 8+20-48+2022-222 3 …14分 高一数学试题参考答案第5页（共8页） =3’ PO⊥平面CDEF,CFc平面CDEF,.PO⊥CF, 又CF⊥OH,POc平面POH,OHc平面POH,PO∩OH=O, .C℉⊥平面POH,………15分 又PHc平面POH,∴CF⊥PH,∴∠PHO为二面角P-CF-D的平面角.…16分 tan∠PHO= PO =1,二面角P-CF-D的大小为牙 …17分 OH 19.本小题主要考查古典概型、概率的基本性质、事件的相互独立性等基础知识：考查运算求解 能力、推理论证能力、应用意识、创新意识等：考查统计与概率思想、化归与转化思想等： 考查数据分析、数学运算等核心素养，体现综合性、应用性.满分17分， 解：(1)解法一：记事件4=“甲第i次掷出正面”，B,=“乙第i次掷出正面”=1,2,3，…，)， …1分 则以上事件都相互独立，且P4)=P8)之P④=P国克 ……2分 设事件A=“黑棋离开原点”，则 P(A)=1-P(4AA)=1-P(A)P(4)P(4) 3分 4分 解法二：用1表示硬币“正面朝上”，0表示硬币“反面朝上”， 则甲抛掷3次硬币的样本空间 2={0,0,0),(0,0,10,(0,1,0),(0,1,10,(1,0,0),1,0,1),1,1,0),,1,10}，…1分 且各个样本点出现的可能性相等，n()=8,…2分 设事件A=“黑棋离开原点”， 则A={0,0,10,(0,10,(0,1,1,,0,0,,0,1),L,1,0),1,1}，所以n(4)=7,…3分 所以p(A到==名. …4分 n(2)8 (2)设事件B=“黑棋比白棋向右移动更远”， 则由题意知B=“甲掷出正面的次数大于乙掷出正面的次数”.…5分 解法一：事件B包含AABB2，A4BB2，A42BB2,44BB2,442BB2, 高一数学试题参考答案第6页（共8页） 且它们两两互斥，… 7分 P(B)=P(A 4 B B2+A 4 B B2+44 B B2+44BB2+44 B B2) =P(4ABB2)+P(44BB2)+P(442BB2)+P(44BB2)+P(4ABB2) + 11分 16 解法二：事件B包含“甲掷出1次正面，乙掷出0次正面”和“甲掷出2次正面，乙掷 出0次或1次正面”，…7分 甲掷出1次正面，乙掷出0次正面的概率为 2 周后 …8分 甲掷出2次正面，乙掷出0次或1次正面的格 -品 …10分 2+35 所以P(B)=16+616 …11分 (3)解法一：设事件C=“最终黑棋不落后于白棋”， 甲抛掷10次掷出正面的次数为X,乙抛掷9次掷出正面的次数为Y,…12分 则P(C)=P(X>Y)… …13分 =P(9-X<9-Y) =P(10-X≤9-Y）…14分 =P(甲掷出反面的次数≤乙掷出反面的次数） =P(甲掷出正面的次数≤乙掷出正面的次数） =P(C), 即P(C)=P(C, …15分 又P(C)+P(C)=1, …16分 所以P(C)= …17分 高一数学试题参考答案第7页（共8页） 解法二：设事件C=“最终黑棋不落后于白棋”， 则由题意知C=“甲抛掷10次掷出正面的次数大于乙抛掷9次掷出正面的次数”， …12分 设事件M=“各抛掷9次甲掷出正面的次数>乙掷出正面的次数”， 事件N=“各抛掷9次甲掷出正面的次数<乙掷出正面的次数”， 事件D=“各抛掷9次甲掷出正面的次数=乙掷出正面的次数”，…13分 则P(N=P(M0,且P(N)+PM0+PD)=1, …14分 则P(C)=P(M+DA0)=PM)+P(DA0)…15分 PM)P() …16分 =PM)+2-2Pw01- …17分 高一数学试题参考答案第8页（共8页）莆田市2024-2025学年下学期期末质量调研试卷 高一 数学 本试卷共4页，19小题，满分150分.考试时间120分钟. 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动， 用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷 上无效 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的. 1.已知复数z=1-√5i,则z= A.√2 B.√5 C.2 D.4 2.现有男志愿者120人，女志愿者80人，按性别进行分层，采用比例分配的分层随机抽样方法 抽取一个容量为15的样本，则女志愿者应抽取的人数是 A.6 B.7 C.8 D.9 3.设m,n是两条不同的直线，a,B,y是三个不同的平面，则下列命题为真命题的是 A.若m∥a,n∥a,则m∥n B.若a⊥y,B⊥y,则a∥B C.若m∥a,m∥B,则a∥B D.若m⊥a,n⊥a,则m∥n 4.若向量a,b满足a⊥b,a=V5,=2,且a+b与a-b垂直，则实数元的值为 A C.v 2 D 5.若P(AUB)=0.9,P(4)=0.7,P(B)=0.5,则PAnB A.0.5 B.0.4 C.0.3 D.0.2 数学试题第1页（供4页） 6.为了测量某建筑物CD的高度，选取与该建筑物底部C在同一水平面内的两个测量点A,B. 现测得∠BAC=30°，∠ABC=105°，AB=90米，在点B处测得该建筑物顶部D的仰角为30°， 则该建筑物CD的高度为 A.15W2米 B.156米 C.30W2米 D.30√6米 7.一个袋子中有标号分别为1,2,3,4的4个球，除标号外没有其他差异.从中不放回地依 次随机摸出2个球.设事件A=“第一次摸出球的标号小于3”，事件B=“第二次摸出球的标 号为奇数”，则 A.A与B对立 B.A与B互斥但不对立 C.A与B相互独立 D.A与B既不互斥也不独立 8.已知三棱锥P-ABC的底面ABC与侧面PAB均是边长为2的正三角形，且平面PAB⊥平面 ABC,则该三棱锥外接球的表面积是 8”, C.20 元 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目 要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9.若向量a=(2,0),b=(-1,V5),则 A.a+=4 B.ab=-2 C6在a上的投影向量为0 D.a与8的夹角为普 10.若复数满足（名+2-i)1-i)=1+i,复数z2的虚部为1，且2是实数，则 A.31的实部是-2 B.在复平面上对应的点位于第四象限 C.z2的共轭复数是1-i D.复数z满足z-=1,则z的最大值是√2+1 数学试题第2页（共4页） 11.在棱长为4的正方体ABCD-4B,C,D,中，点E在棱CC上，且C匝=CC,点F在正方形 4BCD内（含边界）运动，则 A.当1=】时，平面AD,E截该正方体所得的截面面积为18 B.当元=时，点D到平面ADE的距离为25 C当A=行且BF∥平面40E时，点F的轨迹长度为5 D.当=子，且BF1E时，点F的轨迹长度为3 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.在四边形ABCD中，AD∥BC,AB⊥BC,BC=2AD=2AB=2,以AB所在直线为轴， 其他三边旋转一周形成的面围成的几何体的体积为 13.已知一组数据x,2,…,x10的平均数和方差均为1.若y=2x-1(i=1,2,3,,10),则数据 ,2,…,0片，y2,…,0的方差为 14.已知点G是△ABC的重心，过点G的直线分别交边AB,AC于点E,F,设AB=mA正， AC=nA正，则m+n=:若AB=6,BC=8,B=花，则A正.A正的最小值是 3 (第一空2分，第二空3分) 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.(13分) 寒假期间某学校团委组织学生开展志愿服务活动， 频率 组距 0.085 假期过后对学生的志愿服务时长（单位：小时）作 次随机抽样调查，画出频率分布直方图如图所示.0.05 0.040 根据志愿服务时长从长到短，时长在前34%的学生 0.005 可获得“优秀志愿之星”的称号 101418222630志愿服务时长 (1)求α的值，并估计该校学生志愿服务时长的平均数（同一组数中的数据用该组区间的中 点值作为代表)： (2)试估计至少需要参加多少小时的志愿服务活动方可获得本次“优秀志愿之星”的称号. 数学试题第3页（共4页） 16.(15分) 如图，在棱长均为2的正三棱柱ABC-4BC中，点D为棱BC的中点. (1)证明：AC∥平面AB,D: (2)求异面直线AB与A,C所成的角的余弦值. 17.(15分) 记△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,向量m=(a,√3b),n=(cosA,sinB), 且mlln. (1)求角A: (2)若a=2√3，点E为△ABC的内心，求△BCE面积的最大值. 18.(17分) 如图，正方形ABCD所在的平面与直角梯形CDEF所在的平面互相垂直，己知CD∥EF, CD⊥CF,EF=2CD=2CF=4,点P在线段BE上. B (1)求证：平面PDF⊥平面ADE; (2)当直线DP与平面CDEF所成的角的正切值为√2时， 求二面角P-CF-D的大小 19.(17分) 黑棋和白棋从数轴的原点出发.每次移动由甲和乙各抛掷一枚质地均匀的硬币决定： 若甲掷出正面，则黑棋向右移动一个单位；若甲掷出反面，则黑棋不移动 若乙掷出正面，则白棋向右移动一个单位：若乙掷出反面，则白棋不移动 (1)若甲抛掷3次，求黑棋离开原点的概率； (2)若甲乙各抛掷2次，求黑棋比白棋向右移动更远的概率： (3)现黑棋落后白棋一个单位，若甲再抛掷10次，乙再抛掷9次，求最终黑棋不落后于白棋 的概率。 数学试题第4页（供4页）