广东省广州市荔湾区2024—2025学年下学期八年级期末数学试卷

2024-2025学年广东省广州市荔湾区八年级（下）期末数学试卷 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.下列二次根式中是最简二次根式的是(    ) A. B. C. D. 2.下列计算正确的是(    ) A. B. C. D. 3.一组数据的方差为，则该组数据的总和是(    ) A. B. C. D. 4.的三条边分别记为，，，三个内角分别记为，，，则由下列条件能判定为直角三角形的是 A. B. C. D. ，， 5.某校篮球社团共有名球员，如表是该社团成员的年龄分布统计表，对于不同的，下列关于年龄的统计量不会发生改变的是(    ) 年龄单位：岁 频数单位：名 A. 平均数，中位数 B. 众数，中位数 C. 众数，方差 D. 平均数，方差 6.如图，在中，，，，分别以点，为圆心，以长为半径画弧，两弧相交于点，连接，，则的周长为(    ) A. B. C. D. 7.如图，菱形的对角线交于点，点为的中点，连接若，，则的长为(    ) A. B. C. D. 8.甲无人机从地面起飞，乙无人机从距离地面高的楼顶起飞，两架无人机同时匀速上升甲、乙两架无人机所在的位置距离地面的高度单位：与无人机上升的时间单位：之间的关系如图所示下列说法正确的是(    ) A. 时，两架无人机都上升了 B. 时，两架无人机的高度差为 C. 乙无人机上升的速度为 D. 时，甲无人机距离地面的高度是 9.在平面直角坐标系中，已知点，，动点在直线上，当的值最小时，点的坐标是(    ) A. B. C. D. 10.如图，正方形和正方形的顶点，，在同一直线上，且，，给出下列结论：平分；；；，其中正确的是(    ) A. B. C. D. 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 11.若在实数范围内有意义，则实数的取值范围是______． 12.某班体育老师为了解同学们一周参加课外体育锻炼的时长，随机调查了位同学，得到如表数据：则这位同学一周参加课外体育锻炼时长的平均数是______小时． 时长小时 人数 13.若平行四边形中相邻的两个内角的度数比为：，则其中较小内角的度数是______． 14.如图，一次函数为常数且与正比例函数为常数且的图象交于点，则关于的方程的解是______． 15.一次函数，当时，函数的取值范围是，那么代数式的值是______． 16.如图，在边长为的正方形中，的顶点，分别在，边上，且，连接分别交，于点，其中，则 ______． 三、解答题：本题共9小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 17.本小题分 计算：． 18.本小题分 如图，在中，，点是的中点，过点作平行于，且，连接求证：四边形是矩形． 19.本小题分 某超市打算购进一批苹果，现从甲、乙两个供应商供应的苹果中各随机抽取个苹果并编号为号到号，测得它们的直径单位：，并制作统计图如图： 统计量供应商 平均数 中位数 众数 甲 乙 根据以上信息，解答下列问题： 则______，______，______； 苹果直径的方差越小，苹果的大小越整齐，据此判断，______供应商供应的苹果大小更为整齐；填“甲”或“乙” 超市规定直径含以上的苹果为大果，超市打算购进甲供应商的苹果个，那么大果约有多少个？ 20.本小题分 某学校开设了智能机器人编程的校本课程，为了更好地教学，学校准备购买，两种型号的机器人模型，且两种机器人模型都要购买其中，型机器人模型单价比型机器人模型单价多元，购买台型机器人模型和购买台型机器人模型的费用相同． 求型、型机器人模型的单价分别是多少元？ 学校准备购买型和型机器人模型共台，且购买型机器人模型的数量不超过型机器人模型数量的倍设购买型机器人模型台，购买，两种型号机器人模型共花费元，求出关于的表达式，并求出购买多少台型机器人模型时，取值最小？最小是多少？ 21.本小题分 在矩形的边上取一点，将沿翻折，使点恰好落在边上点处，其中． 如图，若，求的长； 如图，若，求的长． 22.本小题分 已知点，及第一象限的动点，且，设，的面积分别为，． 分别求出，关于的函数解析式，以及相应的取值范围； 请判断是否成立？如果成立，求此时点坐标；如果不成立，请说明理由； 画出的函数图象，并根据图象回答时，的取值范围． 23.本小题分 如图，在矩形中，，，点在上，，动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿折线向点运动，到点停止，设点运动的时间为秒． 当四边形是平行四边形时，求的值； 请用含有的代数式表示出线段的长； 当为何值时，为直角三角形？请说明理由． 24.本小题分 如图，直线分别交轴，轴于点和点，直线：分别交轴，轴于点和点，和交于点，已知． 求直线的解析式； 如图，连接，将绕点顺时针旋转得到，边所在直线交轴于点，求出点的坐标； 在的条件下，将直线平移经过点，得直线，将沿直线平移得到，其中边所在直线与轴交于点，点是直线上的一个动点，当以、、、为顶点的四边形是以为边的平行四边形时，求出此时点的坐标． 25.本小题分 如图，平行四边形中，，点是线段的中点，过点作交于点，的延长线交于点，且． 如图，若，求的值； 如图，连接，求证：； 如图，延长交于点，求的值． 答案和解析 1.【答案】  【解析】解：、是最简二次根式，故此选项符合题意； B、被开方数含有能开得尽方的因数，不是最简二次根式，故此选项不符合题意； C、被开方数含有能开得尽方的因数，不是最简二次根式，故此选项不符合题意； D、被开方数含有能开得尽方的因数，不是最简二次根式，故此选项不符合题意； 故选：． 满足以下两个条件：被开方数不含分母；被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，像这样的二次根式叫做最简二次根式，由此判断即可． 本题考查了最简二次根式，熟练掌握这个概念是解题的关键． 2.【答案】  【解析】解：．，故本选项不符合题意； B.和不是同类二次根式，不能合并，故本选项不符合题意； C.，故本选项不符合题意； D.，故本选项符合题意； 故选：． 根据二次根式的性质，二次根式的加法法则，二次根式的除法法则逐个判断即可． 本题考查了二次根式的混合运算，能正确根据二次根式的运算法则进行计算是解此题的关键． 3.【答案】  【解析】解：一组数据的方差为，则该组数据的总和是：． 故选：． 样本方差，其中是这个样本的容量，是样本的平均数．利用此公式直接求解． 本题主要考查方差，解题的关键是掌握方差的计算公式及公式中的字母所表示的意义． 4.【答案】  【解析】解：、：：：：， 设，，， ，， ， 不是直角三角形， 故A不符合题意； B、， ， ， 是直角三角形， 故B符合题意； C、，， ， ， ， 不是直角三角形， 故C不符合题意； D、，， ， 不是直角三角形， 故，不符合题意； 故选：． 根据勾股定理的逆定理，三角形内角和定理进行计算，逐一判断即可解答． 本题考查了勾股定理的逆定理，三角形内角和定理，准确熟练地进行计算是解题的关键． 5.【答案】  【解析】解：由表可知，年龄为岁与年龄为岁的频数和为， 则总人数为：， 故该组数据的众数为岁，中位数为：岁， 即对于不同的，关于年龄的统计量不会发生改变的是众数和中位数； 故选：． 由频数分布表可知后两组的频数和为，即可得知总人数，结合前两组的频数知出现次数最多的数据及第、个数据的平均数，可得答案． 本题主要考查频数分布表及统计量的选择．解题的关键是仔细读表并从中整理出进一步解题的信息，难度不大． 6.【答案】  【解析】解：由勾股定理得，， 分别以点，为圆心，以长为半径画弧，两弧相交于点， ， 的周长为． 故选：． 根据勾股定理求出的长，再根据作图得出，即可推出结果． 本题考查了勾股定理，熟记勾股定理是解题的关键． 7.【答案】  【解析】解：四边形是菱形，，， ，，， ， ， 点为的中点， 是的中位线， ， 故选：． 先根据已知条件和菱形的性质，证明，求出和，再用勾股定理求出，最后利用三角形中位线定理求出即可． 本题主要考查了菱形的性质和三角形中位线定理，解题关键是正确识别图形，熟练掌握菱形的性质、勾股定理和三角形中位线定理． 8.【答案】  【解析】解：由图象可得， A.时，甲无人机上升了，乙无人机上升了，故错误； B.时，两架无人机的高度差为：，故正确； C.甲无人机的速度为：，乙无人机的速度为：，故错误； D.时，甲无人机距离地面的高度是，故错误； 故选：． 根据题意和函数图象中的数据，可以计算出甲、乙两架无人机的速度，然后即可判断各个选项中的说法是否正确，本题得以解决． 本题考查函数图象的应用，计算出甲、乙两架无人机的速度是解答本题的关键． 9.【答案】  【解析】解：如图：点为点关于的对称点，则，连接交直线于点，此时点就是的值最小时的位置， 设直线的解析式为，代入点坐标得： ，解得， ， 当时，，解得， ， 故选：． 根据一次函数图象上点的坐标特征及将军饮马求最值即可． 本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握将军饮马求最值是关键． 10.【答案】  【解析】解：在正方形中，，， 点，，在同一直线上， ， 在正方形中，，， ， ， 平分， 故结论正确； 连接交于点，的延长线交的延长线于点，如图所示： 在正方形中，，，，， 在中，由勾股定理得：， ，， 在正方形中，，， ， 四边形是矩形， ，， ，，， 在中，由勾股定理得：， 在中，由勾股定理得：， ， 故结论不正确； ，， ， 故结论正确； 设与交于点，于交于点，如图所示： ， ， ， 在和中， ， ≌， ， 在中，， 在中，， 又， ， ， 故结论正确， 综上所述：正确的结论是． 故选：． 在根据正方形性质得，，进而得，由此可对结论进行判断； 连接交于点，的延长线交的延长线于点，先求出，进而得，，证明四边形是矩形得，，则，，，再由勾股定理得可求出，，由此可对结论进行判断； 根据，得，由此可对结论进行判断； 设与交于点，于交于点，证明和全等得，再由三角形内角和定理得，由此可对结论进行判断， 综上所述即可得出答案． 此题主要考查了正方形的性质，全等三角形的性质，理解正方形的性质，熟练掌握全等三角形的性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理是解决问题的关键． 11.【答案】  【解析】解：若在实数范围内有意义， 则， 解得， 故答案为：． 二次根式有意义即被开方数为非负数，由此计算即可． 本题考查了二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式有意义的条件是解题的关键． 12.【答案】  【解析】解：这位同学一周参加课外体育锻炼时长的平均数是小时， 故答案为：． 根据加权平均数的定义列式计算即可． 本题主要考查加权平均数，解题的关键是掌握加权平均数的定义． 13.【答案】  【解析】解：设相邻两个内角分别为，． 由平行四边形的相邻内角互补，可得， ， 其中较小的内角为． 故答案为：． 设相邻的两个内角的度数，，构建方程求解． 本题考查平行四边形的性质，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题． 14.【答案】  【解析】解：一次函数为常数且与正比例函数为常数且的图象交于点， 关于的方程的解是． 故答案为：． 根据一次函数与一元一次方程的关系解答即可． 本题考查了一次函数与一元一次方程的关系，熟练掌握该知识点是关键． 15.【答案】  【解析】解：一次函数中， 随的增大而减小， 当时，函数的取值范围是， ，在一次函数图象上， ，， ， ， 故答案为：． 根据一次函数图象上点的坐标特征解答即可． 本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握该知识点是关键． 16.【答案】  【解析】解：过点作交的延长线于点，过点作交于点，连接，如图所示： ，， 在正方形中，，，， ，， ， ， 在和中， ， ≌， ，， ， ， ， 在和中， ， ≌， ， ，， ， ， 在和中， ， ≌， ，， 在和中， ， ≌， ， 在中，， 由勾股定理得：， 设，则， ， 在中，由勾股定理得：， ， 解得：， ． 故答案为：． 过点作交的延长线于点，过点作交于点，连接，证明和全等得，，再根据得，由此依据“”判定和全等得，再证明和全等得，，证明和全等得，再求出，设，则，，在中，由勾股定理得，即，由此解出即可得出的长． 此题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，理解正方形的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质，勾股定理是解决问题的关键． 17.【答案】．  【解析】解：原式 ． 先根据平方差公式计算，然后把化简后合并即可． 本题考查了二次根式的混合运算：熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法法则和乘法公式是解决问题的关键． 18.【答案】见解析．  【解析】证明：点是的中点， ， 又， ， ，， 四边形是平行四边形， ，是的中点， ， ， 四边形是矩形． 由点是的中点，得到根据平行四边形的判定定理得到四边形是平行四边形，求得，根据矩形的判定定理得到四边形是矩形． 本题考查了矩形的判定，等腰三角形的性质，熟练掌握矩形的判定定理是解题的关键． 19.【答案】，，；   甲；   个．  【解析】通过观察甲的数据可知出现的次数最多，故众数， 对乙的个数据进行排序为：，，，，，，，，，， 所以，中位数为，众数， 故答案为：，，； ， ， ，， ， 则甲的方差比乙的方差小， 故答案为：甲； 个， 答：大果约个． 分别根据算术平均数，中位数和众数的定义解答即可； 根据方差的意义解答即可； 利用样本估计总体，即用  乘样本中直径含以上所占比例即可． 本题主要考查了平均数、中位数、众数、方差以及用样本估计总体等知识点，掌握相关统计量的计算方法是解题的关键． 20.【答案】型机器人模型的单价是元，型机器人模型的单价是元；   购买台型机器人模型时，取值最小，最小是元．  【解析】设型机器人模型的单价是元，则型机器人模型的单价是元， 根据题意得：， 解得：， ， 答：型机器人模型的单价是元，型机器人模型的单价是元； 设购买型机器人模型台，则购买型机器人模型台， 根据题意得：， 解得：， ， 根据题意得：， ， 随着的增大而增大， 时，最小，， 答：购买台型机器人模型时，取值最小，最小是元． 设型机器人模型的单价是元，则型机器人模型的单价是元，根据购买台型机器人模型和购买台型机器人模型的费用相同，列出一元一次方程，解方程即可； 设购买型机器人模型台，则购买型机器人模型台，根据购买型机器人模型的数量不超过型机器人模型数量的倍，列出一元一次不等式，解得，则，再求出与的一次函数关系式，然后由一次函数的性质即可解决问题． 本题考查了一元一次不等式的应用、一元一次方程的应用、一次函数的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出一元一次方程；找出数量关系，正确列出一元一次不等式． 21.【答案】；  ．  【解析】由题知：， ， 中，，， ． 由题知中，，， ， ， 设则， 中 ， ， 的长是． 根据含角直角三角形的性质解答； 根据折叠性质利用勾股定理解答． 此题考查矩形的性质、轴对称的性质、等腰三角形的“三线合一”、勾股定理等知识，熟练掌握折叠的性质及矩形的性质是解题的关键． 22.【答案】，；   成立，；   ．  【解析】， ； 成立，理由如下： 当时，， ； ． 根据三角形面积公式求解即可； 当时求出点坐标即可； 画出函数图象，直接可得取值范围． 本题考查一次函数的图象及性质，熟练掌握一次函数的图象及性质，正确的求出面积解析式是解题的关键． 23.【答案】； ；  当为秒或秒或秒时，为直角三角形．理由见解析．  【解析】四边形为矩形， ，，， 在中， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， ， ； 当点在边上时，， ，， ； 当点在边上时，， 点运动的距离为， ； 当点在边上时，，如图， 则， ． 综上，； 当时，如图，当点位于边上， 四边形为矩形， ， ， 四边形为矩形， ， ， 秒； 当时，如图，当点位于边上， 此时点与点重合， ， 秒； 当时，则点位于边上，如图， 由知：，则． 在中，， 在中，， 在中， ， ， 秒． 综上，当为秒或秒或秒时，为直角三角形． 利用矩形的性质和勾股定理求得，则，利用平行四边形的性质得到关于的方程，解方程即可得出结论； 利用分类讨论的思想方法分三种情况讨论解答：当点在边上时，，求得，则；当点在边上时，，点运动的距离；当点在边上时，，利用勾股定理解答即可； 利用分类讨论的思想方法分三种情况讨论解答：当时，如图，当点位于边上，利用矩形的判定与性质解答即可；当时，如图，当点位于边上，此时点与点重合，利用时间距离速度的关系式解答即可；当时，则点位于边上，利用勾股定理解答即可． 本题主要考查了矩形的性质，平行四边形的性质，直角三角形的性质，勾股定理，分类讨论的思想方法，本题是动点问题，利用的代数式表示出相应线段的长度是解题的关键． 24.【答案】；  ；   或  【解析】令，则，即， ， ， ， 令，则，即， 在直线上， ， 直线：分别过点和点， ； 作轴交于点， ≌， ，， ， ，， ， 直线， ； 直线平移得直线， 设的解析式为， 将点代入，可得， 解得， ， 设，直线与直线平行， 直线的解析式为， ， 设， 当与分别为对角线时， ， ， ， ； 当与分别为对角线时， ， ， ， ； 综上所述：点坐标为或 用待定系数法求函数的解析式即可； 作轴交于点，字母≌，求出，即可求直线的解析式，则点可求； 求出直线的解析式，设，求出直线的解析式为，可知，设，根据题意分两种情况讨论：当与分别为对角线时，当与分别为对角线时，分别求出点坐标为或 本题考查一次函数的图象及性质，熟练掌握一次函数的图象及性质，三角形全等的判定及性质，旋转图形的性质，平行四边形的性质是解题的关键． 25.【答案】   证明见解答．  ．  【解析】四边形是平行四边形， ，，， ， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， 在和中，， ≌． ，， ， ， ， ； 证明：如图，过点作于，交的延长线于过点作交的延长线于，连接，设交于． ， 四边形是矩形， ． ， ， 在和中，， ≌， ． ，， 平分， ． ，， ， ， 在和，， ≌． ，， ， ， ， ，， ， ． 如图，过点作于，于设，则， 则由勾股定理可得． 由可知，， ，， ． ． 根据可得：， 在中，由勾股定理得： ， ． ， ． 在中，由勾股定理得：． ． 先证明≌得出，，然后由平行四边形对边相等推出，再由等腰三角形的性质得出，即可由求解； 通过构造正方形及≌推出，再由等腰直角可得，即可由得出结论． 设，先三角形等积法及勾股定理求出，的长度，然后由求出，进而求出，再由勾股定理求出，最后求出的值． 本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形和等腰三角形的性质，勾股定理等知识点．通过构造全等三角形得到关键边角的关系是解答本题的关键． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$