精品解析：广东省广州市荔湾区2023-2024学年八年级下学期期末数学试卷

2023-2024学年广东省广州市荔湾区八年级（下）期末数学试卷 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列各式中，属于最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了最简二次根式的定义，根据最简二次根式的定义：二次根式的被开方式中不含分母，并且不含有能开得尽方的因式，进行判断即可． 【详解】解：A、，是最简二次根式，符合题意； B、，不是最简二次根式，不符合题意； C、，不是最简二次根式，不符合题意； D、，不是最简二次根式，不符合题意． 故选：A． 2. 下列计算中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了二次根式的计算，正确掌握二次根式的混合法则是解题的关键． 根据二次根式的混合运算法则依次判断即可． 【详解】解：A、，错误，故不符合题意； B、不能再计算，错误，故不符合题意； C、，正确，符合题意； D、，错误，故不符合题意； 故选：C． 3. 下列各组数据中，是勾股数的是（ ） A. ，， B. 6，7，8 C. 1，2，3 D. 9，12，15 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查勾股定理逆定理，两条较短线段的平方和等于较长线段的平方． 根据勾股定理逆定理判断即可． 【详解】解：A、，不能组成直角三角形，不符合题意； B、，不能组成直角三角形，不符合题意； C、，不能组成三角形，不符合题意； D、，能组成直角三角形，符合题意； 故选：D． 4. 甲、乙、丙、丁四人参加射击比赛，经过几轮初赛后，他们的平均数相同，方差分别为：．如果要从这四人中选取成绩稳定的一人参加决赛，你认为最应该派去参加决赛的是（ ） A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查方差，解题的关键是掌握方差的意义，根据方差的定义进行判断即可得出答案． 【详解】解：∵， ， ∴乙的成绩更加稳定， 故选：B． 5. 如图，平行四边形的顶点O，A，C的坐标分别为，那么顶点B的坐标为( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，点坐标平移的性质，解题的关键是熟练掌握平行四边形的性质． 根据平行四边形的性质，以及点的平移性质，即可求出点的坐标． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴点的纵坐标为3， ∵点向右平移1个单位，向上平移3个单位得到点， ∴点向右平移1个单位，向上平移3个单位得到点， ∴点的坐标为：； 故选：B． 6. 某地冬季一周每日的气温记录如下表，那么这周的平均气温为（ ） 温度 天数 2 1 3 1 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了平均数的求解，准确计算是解题的关键． 根据平均数求解公式计算即可； 【详解】解：平均气温； 故选：D． 7. 下列命题的逆命题成立的是（ ） A. 如果两个实数相等，那么它们的绝对值相等 B. 菱形的对角线互相垂直 C. 平行四边形的对角线互相平分 D. 矩形的对角线相等 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了命题与定理的知识，特殊四边形的判定和性质及绝对值的性质，解题的关键是会写出一个命题的逆命题． 写出原命题的逆命题后判断正误即可． 【详解】解：A、逆命题为：如果两个实数的绝对值相等，那么它们相等，不成立，不符合题意； B、逆命题为：对角线互相垂直的四边形是菱形，不成立，不符合题意； C、逆命题为： 对角线互相平分的四边形是平行四边形，成立，符合题意； D、逆命题为：对角线相等的四边形是矩形，不成立，不符合题意， 故选：C． 8. 若函数的图象经过第二、三、四象限，下列关于函数的描述正确的是（ ） A. y随x的增大而增大 B. 图象不经过第三象限 C. 必过定点 D. 与轴的交点坐标为 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征以及一次函数的性质，熟练掌握一次函数的性质是解题的关键． 根据函数的图象经过第二、三、四象限，得出k的取值范围，进而解答即可． 【详解】解：因为函数的图象经过第二、三、四象限， 所以， 所以函数，随的增大而减小，图象不经过第一象限，必过定点，与轴的交点坐标为， 故选项C符合题意． 故选：C 9. 在平面直角坐标系中，以方程组的解为坐标的点位于第三象限，则m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查了解不等式组、解二元一次方程组，利用了消去的思想，消去的方法有：加减消去法与代入消元法，还考查了点的坐标． 先求出方程组的解．根据以方程组的解为坐标的点位于第三象限列出不等式组求解即可； 【详解】解：解方程组得：， ∵以方程组的解为坐标的点位于第三象限， ∴， 解得：， 故选：A． 10. 如图，已知正方形，E为边上的一点，连接，过点E作且，连接，以为边作正方形，设正方形的面积为S，则S的最小值为（ ） A. 25 B. 50 C. 75 D. 100 【答案】B 【解析】 【分析】过点F作交的延长线于点H，证明，得出，证明是等腰直角三角形，即可得，故当时，最小，即最小，此时根据勾股定理求出，即可确定最小值． 【详解】解：过点F作交的延长线于点H， ∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， 当时，最小，即最小， 此时， ∴， ∴最小值． 故选：B． 【点睛】该题主要考查了正方形的性质，全等三角形的性质和判定，等腰直角三角形的性质和判定，勾股定理，垂线段最短等知识点，解题的关键是确定当时，最小，以及正确作出辅助线． 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 11. 若有意义，则的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，解一元一次不等式等知识点，熟练掌握二次根式有意义的条件是解题的关键． 根据二次根式有意义的条件是被开方数大于等于得出一元一次不等式，解不等式即可求出的取值范围． 【详解】解：∵有意义， ∴， 解得：， 故答案为：． 12. 若一组数据2，3，x，5，6，8的众数是3，则这组数据的中位数是______． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查众数与中位数的意义．中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数．根据众数的定义可得x的值，再依据中位数的定义即可得答案． 【详解】解：∵数据2，3，x，5，6，8的众数为3， ∴， 把这组数据从小到大排列为：， 中位数为3．即 故答案为：4． 13. 如图，函数y＝2x和y＝ax＋4的图象相交于点A（m，3），则不等式2x＜ax＋4的解集是_____________． 【答案】x＜ 【解析】 【分析】先根据函数y=2x和y=ax+4的图象相交于点A（m，3），求出m的值，从而得出点A的坐标，再根据函数的图象即可得出不等式2x＜ax+4的解集． 【详解】解：∵函数y=2x和y=ax+4的图象相交于点A（m，3）， ∴3=2m， 解得m， ∴点A的坐标是（，3）， ∴不等式2x＜ax+4的解集为x＜ 【点睛】此题考查了一次函数与一元一次不等式的关系：从函数的角度看，就是寻求使一次函数y=kx+b的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线y=kx+b在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合． 14. 已知，，则_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次根式和混合运算，先分解因式，再代入计算即可． 【详解】解：． 故答案为：． 15. 平行四边形一边长为m，对角线长分别为6和10，化简的结果为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的性质，二次根式的乘除法，关键是掌握平行四边形的对角线互相平分，三角形三边关系定理，二次根式的性质． 由平行四边形的对角线互相平分，三角形三边关系定理得，因此，，即可化简． 【详解】解：由平行四边形的对角线互相平分，三角形三边关系定理得：， ， ， 故答案：． 16. 如图，菱形中，对角线交于点O，，点P在上，E为的中点，连接与，M和N分别是的中点．连接，则点P从B向A运动的过程中，线段所扫过的图形面积是______． 【答案】#### 【解析】 【分析】本题考查的是菱形的性质，三角形中位线定理，三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半．分别取的中点F，G，并连接，根据三角形中位线定理易证点三点共线，再证明四边形是平行四边形，根据所扫过的图形面积为由平移到，构成的平行四边形的面积，等于，利用三角形中线的性质求解即可． 【详解】解：分别取的中点F，G，并连接， 菱形中，对角线交于点O，， ， E为的中点，点F，G为的中点，M和N分别是的中点， 是的中位线，是的中位线， ， ， 四边形是平行四边形， 扫过的面积为由平移到，构成的平行四边形的面积，如图所示， 此时，点重合，点重合， ， 同理：， 扫过的面积为， 故答案为：． 三、解答题：本题共9小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17. 计算：． 【答案】0 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算，解题的关键是熟练掌握二次根式混合运算法则，准确计算． 先算乘除法和零次幂，并化简二次根式，最后合并同类二次根式即可． 【详解】解： ． 18. 如图，在四边形中，，E和F为对角线上的两点，．求证：四边形为平行四边形． 【答案】见详解 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的判定，三角形全等的性质与判定，证明三角形全等是解题的关键． 证明，推出，即可证明； 【详解】证明：∵， ， 又，， ， ， ∵， ∴四边形是平行四边形． 19. 某中学七、八年级各选派10名选手参加学校举办的知识竞赛，计分采用10分制，选手得分均为整数，成绩达到6分或6分以上为合格，达到9分或10分为优秀．现对两支代表队选手的成绩进行统计，绘制的成绩条形统计图和成绩统计分析表如下图所示，其中七年级代表队得6分，10分的选手人数分别为a，b． 成绩统计分析表 队别 平均分 中位数 方差 合格率 优秀率 七年级 m 八年级 n 请根据图表中的信息，解答下列问题： （1）填空：______，______，______，______； （2）小荔说七年级队的合格率、优秀率均高于八年级，所以七年级队成绩比八年级队好，但小湾说八年级队成绩比七年级队好．请你给出两条支持八年级队成绩好的理由． 【答案】（1） （2）见详解 【解析】 【分析】此题考查了条形统计图，统计表，以及中位数，平均数，以及方差，弄清题意是解本题的关键． （1）根据题中七年级的平均数和优秀率数据求出，根据中位数和加权平均数定义算出的值即可； （2）从方差，平均分角度考虑，给出两条支持八年级队成绩好的理由即可． 【小问1详解】 解：根据题意得：， 且， 解得：， 七年级成绩为，中位数为6，即， 八年级成绩为，平均数； 故答案为：． 【小问2详解】 解：①八年级平均分高于七年级；②方差小于七年级，成绩比较稳定，故八年级队比七年级队成绩好． 20. 如图为甲工厂生产的某零件结构简化示意图．在中，边上的垂直平分线与、分别交于点D，E，．根据安全标准，该零件需满足． （1）请判断该零件是否符合标准，并说明理由： （2）若测量出，求的长． 【答案】（1）该零件符合安全标准 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理及逆定理的应用，线段垂直平分线的性质，灵活应用勾股定理及逆定理是解决问题的关键． （1）由线段垂直平分线的性质得到，结合已知条件得到，根据勾股定理的逆定理即可证得结论； （2）在中，根据勾股定理即可求出． 【小问1详解】 解：该零件符合安全标准，理由如下： 连接， ∵是线段的垂直平分线， ∴， ∵， ∴， 即， ∴， ∴该零件符合安全标准； 【小问2详解】 解：在中，， ∴， 解得：． 21. 如图，在平面直角坐标中，直线与x轴相交于点B，与直线相交于点A． （1）求的面积； （2）点P为y轴上一点，当取最小值时，求点P的坐标， 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查两直线相交问题，一次函数的性质以及轴对称最短线路问题，解题的关键是掌握待定系数法． （1）先求出点B的坐标，联立两直线解析式构成方程组，得，解方程组求出即可求解； （2）直线与轴的交点，作点关于轴的对称点，连接，交轴于点，利用待定系数法求出的解析式并令函数值为0即可求出点的坐标． 【小问1详解】 解：， ，即， 联立， 解得：， 点的坐标为， 的面积为：； 【小问2详解】 解：作点关于轴的对称点，连接，交y轴于点， ， ， 此时，三点共线，有最小值， ，， 设直线解析式为， 代入，，的坐标得， 解得：， 直线的解析式为， 令，得， 点使最小． 22. 如图，在矩形中，，动点P从点A出发，沿以每秒1个单位的速度向终点B运动，动点Q从点C出发，沿以每秒2个单位的速度向终点D运动，设点Q的运动时间为． （1）若P，Q两点同时出发，当四边形是矩形时，求t的值； （2）若点P先出发，随后点Q再出发，是否存在t，使得四边形为菱形，若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）秒 （2）存在秒，使得四边形为菱形 【解析】 【分析】该题主要考查了矩形的性质，菱形的性质和判定，勾股定理等知识点，解题的关键是掌握以上知识点． （1）根据四边形是矩形，即可得出，表示出， ，当四边形是矩形时，列出方程求解即可； （2）当点Q的运动时，表示出，当时，解出秒，此时得出，即可得四边形为菱形，故存在，使得四边形为菱形． 【小问1详解】 解：∵四边形是矩形， ∴， 当点Q运动时，， 则， 当四边形是矩形时，则， 即， 解得：秒； 【小问2详解】 解：当点Q的运动时，， 当时， 即，解得：秒， 此时，， ∴， ∴， ∴四边形平行四边形， 又， ∴四边形为菱形， 故存在秒，使得四边形为菱形． 23. 如图，在平面直角坐标系中，已知点，，． （1）请用无刻度的直尺和圆规，作出平行四边形，并写出点C的坐标；（要求：不写作法，保留作图痕迹） （2）P为x轴上的一点，当为直角三角形时，请求出点P的坐标． 【答案】（1）作图见详解； （2）或 【解析】 【分析】该题主要考查了平行四边形的性质，直角三角形的定义，勾股定理，尺规作图-作相等线段等知识点，解题的关键是掌握以上知识点． （1）以点D为圆心，为半径画弧，再以点B为圆心，为半径画弧交于一点即为所求；根据平行四边形性质即可求解； （2）设，根据，，得出，分为①当为直角三角形，且时，②当为直角三角形，且时，③当为直角三角形，且时，分别求解即可； 【小问1详解】 解：如图，点C即为所求； ∵四边形是平行四边形， ∴，与平行， 又， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：设， ∵，， ∴， ①当为直角三角形，且时， ， 解得：，此时：； ②当为直角三角形，且时， ， 解得：（舍去，与点B重合了）； ③当直角三角形，且时， ， 解得：（舍去，与点B重合了）或2，此时：； 综上，或． 24. 正方形的边长为6，E，F分别为边上的点，连接，将沿折叠，C对应的点为． （1）当点F与点B重合时， ①如图1，，M为的中点，连接，， 求证：四边形为菱形； ②如图2，延长交于点N，连接，，与分别交于点P，Q，猜想线段，，满足的数量关系，并加以证明： （2）当点F与点B不重合时，如图3，E为的中点，连接，求四边形面积的最大值． 【答案】（1）①见详解；②，证明见详解 （2） 【解析】 【分析】（1）①由折叠性质知，根据四边形是正方形，得出．当点F与点B重合，时，，根据直角三角形的性质和折叠性质得出，即可得为等边三角形，根据等边三角形性质得出，即可证明四边形为菱形； ②根据四边形是正方形，得出．结合折叠可得，，证明，得出，，过点作且，连接，证明，得出，再证明，得出，在中，得出，根据勾股定理即可求解； （2）如图，连接，根据题意得出，即可求出，在中，根据勾股定理算出，过作，得出，根据，得出当时，最大，最大为3，即可得，再根据，即可求解． 【小问1详解】 ①证明：由折叠性质知， ∵四边形是正方形， ∴． 当点F与点B重合，时，， ∵为中点， ∴中，， ∴为等边三角形， ∴， ∴四边形为菱形； ②， 证明：如图，∵四边形是正方形， ∴． 结合折叠可得，， ， ， ， ， ， 过点作且，连接， ， ， ， ， ， ， 且， ， ， 在中，， ， 即； 【小问2详解】 解：如图，连接， ∵为中点． ∴， ， 在中，， 过作， ， ， ∴当时，最大，最大为3， ∴， ∵， ∴． 【点睛】该题主要考查了菱形的判定，正方形的性质，全等三角形的性质和判定，等边三角形的性质和判定，折叠的性质，勾股定理等知识点，解题的关键是掌握以上知识点，正确作出辅助线． 25. 在平面直角坐标系中，矩形的边与x轴正半轴重合，点B的坐标为，且满足，与相交于点D，E为的中点，点P为线段上的一点，连接，点A关于直线的对称点为点，连接． （1）请直接写出点B的坐标，并求出直线的解析式； （2）求线段长度的取值范围； （3）若直线与相交于点Q，在x轴负半轴有一动点，在y轴正半轴上有一动点，分别连接，且，请求出m与n之间的函数关系式． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据二次根式的性质和绝对值非负性算出，从而得出，根据四边形为矩形，即可求出，根据待定系数法即可求出 ； （2）如图，连接，得出，勾股定理算出，根据对称可知，根据图象可得，当点P在点A 时，点在点A处，此时最大，最大为，即可求解； （3）联立解析式求出，根据，运用勾股定理即可求解 【小问1详解】 解：∵， ∴， ， ∵四边形为矩形， ， ， 设， ∴，解得：， ； 【小问2详解】 解：如图，连接， ∵为中点， 则， ， 则对称可知， ， 当点P在点A 时，点在点A处， 此时最大，最大为， ； 【小问3详解】 解：如图， 联立 ，得， ， 令， ， ， ， ， ． 【点睛】该题主要考查了一次函数的图象和性质，一次函数解析式求解，一次函数与正比例函数交点，勾股定理，折叠的性质，矩形的性质以及绝对值的非负性等知识点，解题的关键是掌握以上知识点，正确作出图象． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2023-2024学年广东省广州市荔湾区八年级（下）期末数学试卷 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列各式中，属于最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列计算中正确是（ ） A. B. C. D. 3. 下列各组数据中，是勾股数的是（ ） A. ，， B. 6，7，8 C. 1，2，3 D. 9，12，15 4. 甲、乙、丙、丁四人参加射击比赛，经过几轮初赛后，他们的平均数相同，方差分别为：．如果要从这四人中选取成绩稳定的一人参加决赛，你认为最应该派去参加决赛的是（ ） A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 5. 如图，平行四边形的顶点O，A，C的坐标分别为，那么顶点B的坐标为( ) A. B. C. D. 6. 某地冬季一周每日的气温记录如下表，那么这周的平均气温为（ ） 温度 天数 2 1 3 1 A. B. C. D. 7. 下列命题的逆命题成立的是（ ） A. 如果两个实数相等，那么它们的绝对值相等 B. 菱形的对角线互相垂直 C. 平行四边形的对角线互相平分 D. 矩形的对角线相等 8. 若函数的图象经过第二、三、四象限，下列关于函数的描述正确的是（ ） A. y随x的增大而增大 B. 图象不经过第三象限 C. 必过定点 D. 与轴的交点坐标为 9. 在平面直角坐标系中，以方程组的解为坐标的点位于第三象限，则m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，已知正方形，E为边上的一点，连接，过点E作且，连接，以为边作正方形，设正方形的面积为S，则S的最小值为（ ） A. 25 B. 50 C. 75 D. 100 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 11. 若有意义，则的取值范围是________． 12. 若一组数据2，3，x，5，6，8的众数是3，则这组数据的中位数是______． 13. 如图，函数y＝2x和y＝ax＋4的图象相交于点A（m，3），则不等式2x＜ax＋4的解集是_____________． 14. 已知，，则_____． 15. 平行四边形一边长为m，对角线长分别为6和10，化简的结果为______． 16. 如图，菱形中，对角线交于点O，，点P在上，E为的中点，连接与，M和N分别是的中点．连接，则点P从B向A运动的过程中，线段所扫过的图形面积是______． 三、解答题：本题共9小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17. 计算：． 18. 如图，在四边形中，，E和F为对角线上的两点，．求证：四边形为平行四边形． 19. 某中学七、八年级各选派10名选手参加学校举办的知识竞赛，计分采用10分制，选手得分均为整数，成绩达到6分或6分以上为合格，达到9分或10分为优秀．现对两支代表队选手的成绩进行统计，绘制的成绩条形统计图和成绩统计分析表如下图所示，其中七年级代表队得6分，10分的选手人数分别为a，b． 成绩统计分析表 队别 平均分 中位数 方差 合格率 优秀率 七年级 m 八年级 n 请根据图表中的信息，解答下列问题： （1）填空：______，______，______，______； （2）小荔说七年级队的合格率、优秀率均高于八年级，所以七年级队成绩比八年级队好，但小湾说八年级队成绩比七年级队好．请你给出两条支持八年级队成绩好的理由． 20. 如图为甲工厂生产的某零件结构简化示意图．在中，边上的垂直平分线与、分别交于点D，E，．根据安全标准，该零件需满足． （1）请判断该零件是否符合标准，并说明理由： （2）若测量出，求的长． 21. 如图，在平面直角坐标中，直线与x轴相交于点B，与直线相交于点A． （1）求面积； （2）点P为y轴上一点，当取最小值时，求点P坐标， 22. 如图，在矩形中，，动点P从点A出发，沿以每秒1个单位的速度向终点B运动，动点Q从点C出发，沿以每秒2个单位的速度向终点D运动，设点Q的运动时间为． （1）若P，Q两点同时出发，当四边形是矩形时，求t的值； （2）若点P先出发，随后点Q再出发，是否存在t，使得四边形为菱形，若存在，请求出t值；若不存在，请说明理由． 23. 如图，在平面直角坐标系中，已知点，，． （1）请用无刻度的直尺和圆规，作出平行四边形，并写出点C的坐标；（要求：不写作法，保留作图痕迹） （2）P为x轴上的一点，当为直角三角形时，请求出点P的坐标． 24. 正方形的边长为6，E，F分别为边上的点，连接，将沿折叠，C对应的点为． （1）当点F与点B重合时， ①如图1，，M为的中点，连接，， 求证：四边形为菱形； ②如图2，延长交于点N，连接，，与分别交于点P，Q，猜想线段，，满足的数量关系，并加以证明： （2）当点F与点B不重合时，如图3，E为的中点，连接，求四边形面积的最大值． 25. 在平面直角坐标系中，矩形的边与x轴正半轴重合，点B的坐标为，且满足，与相交于点D，E为的中点，点P为线段上的一点，连接，点A关于直线的对称点为点，连接． （1）请直接写出点B的坐标，并求出直线的解析式； （2）求线段长度取值范围； （3）若直线与相交于点Q，在x轴负半轴有一动点，在y轴正半轴上有一动点，分别连接，且，请求出m与n之间的函数关系式． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$