河南省郑州市第八十二中学2024-2025学年八年级下学期第一次月考数学试卷

2024-2025学年河南省郑州八十二中八年级（下）第一次月考数学试卷 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.的三边为、、，不能判断为直角三角形的是 A. B. ：：：： C. D. ：：：： 2.如图，将等边的边向两边延长，使，则的度数为(    ) A. B. C. D. 3.若是关于的一元一次不等式，则的值为(    ) A. B. C. D. 4.若，且为实数，则下列不等式正确的是(    ) A. B. C. D. 5.如图，在中，，根据尺规作图的痕迹，判断以下结论错误的是(    ) A. B. C. D. 6.下列各命题中，其逆命题是假命题的是(    ) A. 全等三角形的三个角分别对应相等 B. 三个角都是的三角形是等边三角形 C. 等腰三角形的两个底角相等 D. 线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等 7.如图，已知，点在边上，，点，在边上，，若，则的长度是(    ) A. B. C. D. 8.如图，在中，，的垂直平分线分别交，于点、，，则的度数为(    ) A. B. C. D. 9.政务区银泰百货商场促销，真真将促销信息告诉了妈妈，现假设某一商品的定价为元，真真妈妈根据信息列出了不等式，那么真真告诉妈妈的信息是(    ) A. 买两件等值的商品可减元，再打八折，最后不超过元 B. 买两件等值的商品可打八折，再减元，最后不超过元 C. 买两件等值的商品可减元，再打八折，最后不到元 D. 买两件等值的商品可打八折，再减元，最后不到元 10.如图，在平面直角坐标系中，点在第一象限，与轴的夹角为，点是轴上一动点，若以，，为顶点的三角形是等腰三角形，则满足条件的点共有(    ) A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。 11.如图，于点，于点，若要用“”判定≌，则需要添加的条件为______． 12.已知关于的一元一次不等式的解集如图所示，则被墨水“”覆盖的数为______． 13.如图，平分，于点，，，则的面积为______． 14.如图，工匠们用这个工具检测屋梁是否水平当重垂线经过等腰三角尺底边的中点时，可以确定三角形的底边与梁是水平的，否则梁就不是水平的，这样测量利用的几何性质是______． 15.如图，在中，，，动点在内，且使得的面积为，点为动点，则的最小值为______． 三、解答题：本题共8小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 16.本小题分 解下列不等式，分别将其解集表示在数轴上： ； ． 17.本小题分 推理填空如图，已知，作的平分线，将直角尺如图所示摆放，使边与边重合，顶点落在边上，边与交于点猜想是等腰三角形；图在上面 证明：平分已知 ______ ____________ ______ ____________ 是等腰三角形； 18.本小题分 如图，，是两条笔直交叉的公路，，是两个社区，政府现准备在所在区域内建一个社区集体充电桩，要求充电桩到两个社区的距离相等，并且到两条公路的距离也相等，请在图中画出充电桩的位置． 19.本小题分 如图，正方形网格中的，若小方格边长为． 判断是否为直角三角形． 求最长边上的高． 20.本小题分 如图，是上一点，于点，于点，，分别是，上的点，且，． 求证：≌； 求证：是的角平分线． 21.本小题分 已知，． 计算：当时， ______， ______；当时， ______， ______；当时， ______， ______； 猜想：无论为何值， ______始终成立填“”，“”或“”； 请说明中猜想的合理性． 22.本小题分 为了提高学生的中考体育跳绳成绩，某校计划购买，两种跳绳经市场调查，种跳绳每根元，种跳绳每根元．若学校准备购买，两种跳绳共根，且购买种跳绳的数量不少于种跳绳数量的倍． 设购买种跳绳为根，实际付款总金额为元，请求出与之间的函数关系式；不需要写的取值范围 在的条件下，请设计出一种购买跳绳的方案，使实际所花费用最省，并求出最省的费用． 23.本小题分 请认真完成下列数学活动． 【例题再现】 如图，是等边三角形，，分别交，于点，求证：是等边三角形； 【探究延伸】 如图，和为等边三角形，点，，在同一直线上，连接． 求的度数； 试探究线段与，之间的数量关系，并说明理由． 【类比探究】 如图，和为等腰直角三角形，且，点，，在同一直线上，于点，连接则么的度数为______；线段与，之间的数量关系为______直接写出答案，不需要说明理由 答案和解析 1.【答案】  【解析】解：、设，则，， ，， ． 是直角三角形． 故A不符合题意； B、设，则，． ，， ． 是直角三角形， 故B不符合题意； C、，， ， ， 是直角三角形， 故C不符合题意； D、：：：：， 设，则，， ， ，解得， ， 不是直角三角形， 故D符合题意， 故选：． 根据勾股定理的逆定理及三角形内角和定理对各选项进行逐一判断即可． 本题考查的是勾股定理的逆定理及三角形内角和定理，熟知以上知识是解答此题的关键． 2.【答案】  【解析】解：为等边三角形， ，， ， ， ，， ，， ， ． 故选：． 根据等边三角形的性质得到其三个内角都为，，根据等腰三角形的性质、三角形外角性质求出，然后利用三个角相加即可求出所求角的度数． 此题主要考查等边三角形的性质，熟记等边三角形的性质是解题的关键． 3.【答案】  【解析】解：是关于的一元一次不等式， 且， 解得：． 故选：． 根据一元一次不等式的定义，即可求解． 本题主要考查了一元一次不等式，熟练掌握只含有一个未知数，且未知数的最高次数是的不等式是一元一次不等式是解题的关键． 4.【答案】  【解析】解：、， 或或，原选项不符合题意； B、， ，原选项不符合题意； C、， 或或，原选项不符合题意； D、，， ，原选项符合题意； 故选：． 根据不等式的性质逐项求解即可， 本题考查了不等式的性质，解题的关键是正确理解不等式的两边都加或减同一个数，不等号的方向不变，不等式的两边都乘以或除以同一个正数，不等号的方向不变；不等式的两边都乘以或除以同一个负数，不等号的方向改变． 5.【答案】  【解析】解：根据尺规作图的痕迹可得， 可以理解成是平角的角平分线， ，是的平分线， ， ，， ， 在和中， ， ≌， ， 不是的垂直平分线，故不能证明， 综上所述：，，不符合题意，符合题意， 故选：． 由尺规作图的痕迹可得，，是的平分线，根据同角的余角相等可判断，根据角平分线的性质可判断，证得≌可判定，由于不是的垂直平分线，不能证明． 本题考查作图基本作图，全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，直角三角形的性质，解题的关键是根据尺规作图的痕迹可判断出，是的平分线． 6.【答案】  【解析】解：、逆命题为：三个角对应相等的两个三角形全等， 故选项A的逆命题是假命题，符合题意； B、逆命题为：等边三角形的三个角都是， 故选项B的逆命题是真命题，不符合题意； C、逆命题为：有两个角相等的三角形是等腰三角形， 故选项C的逆命题是真命题，不符合题意； D、逆命题为：到这条线段两个端点的距离相等的点在线段的垂直平分线上， 故选项D的逆命题是真命题，不符合题意； 故选：． 先写出各个命题的逆命题，根据等腰三角形的判定、全等三角形的判定定理、等边三角形的性质、线段垂直平分线的判定定理判断即可． 本题考查命题与定理，全等三角形的性质，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，等边三角形的性质，正确写出命题的逆命题是解题的关键． 7.【答案】  【解析】解：过作， ， ，， ， ， ， ， ， 则． 故选：． 过作，利用三线合一得到为中点，求出的长，在中，利用度所对的直角边等于斜边的一半求出的长，由线段的和差即可求出的长． 本题考查了勾股定理，等腰三角形的性质，以及含度直角三角形的性质，熟练掌握勾股定理是解本题的关键． 8.【答案】  【解析】解：设，则， 是的垂直平分线， ， ， ， ， ， 解得：， ， 故选：． 根据题意设，则，根据垂直平分的性质可得，则，进而根据三角形内角和定理可得，得出，根据，即可求解． 本题考查了垂直平分线的性质，三角形内角和定理的应用，等边对等角，熟练掌握以上知识是解题的关键． 9.【答案】  【解析】解：由关系式可知： ， 由，得出两件商品减元，以及由得出买两件打折， 故可以理解为：买两件等值的商品可减元，再打折，最后不到元． 故选：． 根据，可以理解为买两件减元，再打折得出总价小于元． 此题主要考查了由实际问题抽象出一元一次不等式，根据已知得出最后打折是解题关键． 10.【答案】  【解析】解：如图： 由题意得：， 是等腰三角形， 是等边三角形， 分三种情况： 当时，以点为圆心，以长为半径作圆，交轴于点，； 当时，以点为圆心，以长为半径作圆，交轴于点； 当时，作的垂直平分线，交轴于点； 综上所述：以，，为顶点的三角形是等腰三角形，则满足条件的点共有个， 故选：． 由题意得：，从而利用等边三角形的判定可得是等边三角形，然后分三种情况：当时，当时，当时，即可解答． 本题考查了等腰三角形的判定，坐标与图形的性质，分三种情况讨论是解题的关键． 11.【答案】  【解析】解：， ， ， ，， ， 在和中， ， ≌， 需要添加的条件为， 故答案为：． 斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等，由此即可得到答案． 本题考查直角三角形全等的判定，关键是掌握直角三角形全等的判定方法：． 12.【答案】  【解析】解：设“”表示的数为， 由题意得， 解得， 由数轴得到不等式的解集为解集在界点的左边，且界点为实心点， 故， 解得． 则“”表示的数为， 故答案为：． 先求出不等式的解集，然后根据数轴得到不等式的解集，故可列式求解． 本题考查了在数轴上表示不等式的解集，不等式的解集在数轴上表示出来向右画；，向左画，在表示解集时“”，“”要用实心圆点表示；“”，“”要用空心圆点表示． 13.【答案】  【解析】解：过作于， 平分，于点， ， 的面积． 故答案为：． 由角平分线的性质推出，由三角形面积公式即可求出的面积． 本题考查角平分线的性质，三角形的面积，关键是由角平分线的性质推出． 14.【答案】等腰三角形“三线合一”  【解析】解：根据等腰三角形“三线合一”的性质得此线也为底边上的高，由于垂线是垂直的，所以房梁就是水平的， 故答案为：等腰三角形“三线合一”． 因为等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合，座椅如果重物的线恰好经过三角板底边的中点，则房梁就与竖直的线垂直，因而可以判断此房梁是水平的． 此题主要考查学生对等腰三角形“三线合一”的性质，熟练掌握等腰三角形“三线合一”的性质是解答本题的关键． 15.【答案】  【解析】解：如图，作于， ， 的面积为， ， ， 作直线，距离为，则点在直线上运动且在内，点到直线的距离为，作关于直线的对称点， ，， ， 作于，交于，连接， 当点、、在同一直线上，且垂直于时，的值最小，为， 在中，，， ， 为等腰直角三角形， ， ， ， 的最小值为， 故答案为：． 作于，先由三角形面积公式得出，作直线，距离为，则点在直线上运动且在内，点到直线的距离为，作关于直线的对称点，则，作于，交于，连接，当点、、在同一直线上，且垂直于时，的值最小，为，再由等腰直角三角形的性质结合勾股定理即可得出答案． 本题考查了轴对称的性质、垂线段最短、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 16.【答案】．   ．  【解析】， ， ， ， 解得， 在数轴上表示为： ． ， ， ， ， 解得， 在数轴上表示：， ． 按照去括号、移项、合并同类项、系数化为的步骤解一元一次不等式，然后在数轴上表示不等式的解集即可求解； 按照去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为的步骤解一元一次不等式，然后在数轴上表示不等式的解集即可求解． 本题考查解一元一次不等式，在数轴上表示不等式的解集是关键． 17.【答案】角平分线的定义    两直线平行，内错角相等      等量代换  【解析】证明：平分， 角平分线的定义 两直线平行，内错角相等， 等量代换， ， 是等腰三角形． 故答案为：角平分线的定义；；两直线平行，内错角相等；；；等量代换． 利用角平分线的定义、平行线的性质来求解即可． 本题考查了角平分线的定义、平行线的性质，等腰三角形的判定．理解相关知识是解答关键． 18.【答案】解：如图所示，的平分线与线段的垂直平分线的交点即为充电桩的位置． ．  【解析】作出的平分线与线段的垂直平分线的交点即为塔的位置． 本题考查了作图应用与设计作图，角平分线的性质和垂直平分线的性质，综合考虑这两个性质是解答本题的关键． 19.【答案】是，理由见解析；   ．  【解析】为直角三角形， 由勾股定理得，， ， ， ， 为直角三角形； 设最长边上的高为， 由题意得，， ． 根据勾股定理和勾股定理的逆定理可直接判断； 根据三角形的面积公式可求解． 本题主要考查了勾股定理和勾股定理的逆定理，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解． 20.【答案】证明见详解；   证明见详解．  【解析】证明：，， ， 在与中， ，， ≌； 证明：由题意可得：， 在与中， ，， ≌， 根据三角形全等的性质可得：， 是的角平分线． 根据直接证明即可； 根据得到，结合判定证明≌即可得到结论． 本题考查了全等三角形的判定和性质，准确识图，熟练运用相关知识是解题的关键． 21.【答案】，，，，，；   ；   见解析．  【解析】解：当时， ， ； 当时， ， ； 当时， ， ； 故答案为：，，，，， 由可得，当时，；当时，；当时，； 猜想：无论为何值，始终成立． 故答案为：； ， ， ， ， ． 分别将，，代入，的代数式求解即可； 观察中结果即可解答； 利用作差的方法比较，的大小． 本题考查的是求解代数式的值，利用作差法比较代数式的值的大小，熟练掌握整式的加减运算法则是解本题的关键． 22.【答案】解：设购买种跳绳为根，则购买种跳绳为根． ， ． 由条件可知， 解得． ， 由条件可知随的增大而增大， 当时，取得最小值，为， 此时， 当购买种跳绳根，种跳绳根时，实际所花费用最省，最省的费用为元．  【解析】设购买种跳绳为根，实际付款总金额为元，根据总金额等于两种跳绳的费用之和列函数关系式即可； 根据购买种跳绳的数量不少于种跳绳数量的倍，求解，再利用一次函数的性质解题即可． 本题考查的是一次函数的实际应用，一元一次不等式的应用，熟练掌握以上知识点是关键． 23.【答案】证明见解答过程；   ；；   ；．  【解析】证明：是等边三角形， ， ， ，， ， 是等边三角形； 解：和为等边三角形， ，，， ， 即， 在和中， ， ≌， ， ； ，理由如下： ≌， ， 为等边三角形， ， ； 解：和为等腰直角三角形，且， ，，， ，， ， 在和中， ， ≌， ，， ， ，，， ， ， ， ， 故答案为：；． 根据为等边三角形，则，由得到，然后根据等边三角形的判定方法得到是等边三角形； 根据等边三角形的性质得到，，，得到，证明≌，根据全等三角形的性质证明结论； 根据全等三角形的性质、等边三角形的性质及线段的和差得出结论； 由“”可证≌，可得，，根据角的和差、等腰直角三角形的性质即可求解． 本题是三角形综合题，考查了等边三角形的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$