上海市浦东新区上南中学东校2024-2025学年七年级下学期期末数学试卷

2024-2025学年上海市浦东新区上南中学东校七年级（下）期末数学试卷 一、选择题：本题共6小题，每小题3分，共18分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.如果，那么下列不等式正确的是 A. B. C. D. 2.下图中，与是同位角的有(    ) A. B. C. D. 3.在下列生活、生产现象中，可以用基本事实“垂线段最短”来解释的是(    ) A. 平板弹墨线 B. 建筑工人砌墙 C. 弯河道改直 D. 测量跳远成绩 4.如图，点在的延长线上，下列条件中能判断的是(    ) A. B. C. D. 5.已知下列命题中： 有两条边分别相等的两个直角三角形全等； 顶角与底边分别对应相等的两个等腰三角形全等； 如果，那么； 两个三角形中，两边与及其中一边的对角对应相等，则这两个三角形全等． 其中假命题的个数是(    ) A. B. C. D. 6.如图，中，、分别平分和，过点作交于点，交于点，那么下列结论： ； 为等腰三角形； 的周长等于的周长； 其中正确的是(    ) A. B. C. D. 二、填空题：本题共12小题，每小题2分，共24分。 7.不等式组的解集是______． 8.命题“等边三角形的每个内角都等于，其逆命题是______． 9.当光线从空气中射入某种液体中时，光线的传播方向发生了变化，在物理学中这种现象叫做光的折射如图，为液面，于点，一束光线沿射入液面，在点处发生折射，折射光线为，点为的延长线上一点，若入射角，折射角，则的度数为______． 10.如图，≌，点在边上，若，，则 ______． 11.如图，在中，，平分交于点，，，则的面积为______． 12.如图，已知，若要使得≌，则可添加的条件是______只需填写一个条件． 13.若关于的不等式组只有一个整数解，则实数的取值范围是______． 14.如图，已知直线，点是线段上的动点，若，，则 ______度 15.定义：一个三角形的一边长是另一边长的倍，这样的三角形叫做“倍长三角形”若等腰是“倍长三角形”，腰的长为，则的周长为______． 16.若一个等腰三角形有一个内角为，则它的底角为______． 17.如图，在中，，，，将沿射线的方向平移个单位后，得到，连接，则线段的长为______． 18.如图，将含有锐角的三角板绕的锐角顶点逆时针旋转一个角度到，若、相交于点，，则旋转角是______． 三、解答题：本题共9小题，共58分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 19.本小题分 解不等式：，并把它的解集表示在数轴上． 20.本小题分 解不等式组：，并求它的非负整数解． 21.本小题分 尺规作图：如图，直线和相交于点，是上的一点， 过点画出直线的垂线，垂足为点． 过点画出直线的平行线． 22.本小题分 完成下列证明： 已知：，，求证：． 证明：______， 又， ____________ ____________ 已知， ． ______ 23.本小题分 命题：全等三角形的对应角的平分线相等． 请将此命题改写成“如果，那么”的形式为______． 结合图形，补全此命题的已知和求证． 已知：如图，______， 平分交于点， ______． 求证：______． 此命题是______命题填“真”或“假” 24.本小题分 如图，为边延长线上一点，且，是的中点，平分交于点求证：． 25.本小题分 年度“涟商大会”在国家级地质公园湄江举行，为迎接此次盛会，某初中举办了“湄江焕彩，涟商倾情”的绘画比赛，并购买、两种徽章作为奖品已知购买个种徽章和个种徽章需元；购买个种徽章和个种徽章需元． 每个种徽章与每个种徽章的价格分别为多少元？ 学校计划购进、两种徽章共个，已知购进的种徽章数不少于种徽章数的倍，且总费用不超过元，那么购进种徽章的个数是多少？ 26.本小题分 如图，在中，，，、分别平分，， 求的度数； 试说明：． 27.本小题分 综合与实践 【问题情境】课外数学社团开展活动时，指导老师提出了如下问题：如图，在中，若，，为边上的中点，试求中线长的取值范围． 【探究方法】小明同学在组内和同学们合作交流后，得到了如下解决方法：如图，延长到点，使，连接请根据小明同学的方法思考： 由已知条件和作辅助线，能得到≌，理由是______． A. B. C. D. 求中线长的取值范围直接写出答案 【解决问题】 老师赞赏了他们的探索精神，并鼓励他们运用这个知识来解决问题：如图，和都是等腰直角三角形，是的中线，若，求的长． 答案和解析 1.【答案】  【解析】解：、，，故A选项正确； B、，，故B选项错误； C、，，故C选项错误； D、由判断不出和的大小关系，故D选项错误． 故选：． 根据不等式的性质，逐个进行判断即可． 本题考查了不等式的性质，熟练掌握其性质是解题的关键． 2.【答案】  【解析】解：、与是内错角，故该选项不符合题意； B、与不是同位角，故该选项不符合题意； C、与是同位角，故该选项符合题意； D、与不是同位角，故该选项不符合题意； 故选：． 两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的同侧，并且在第三条直线截线的同旁，则这样一对角叫做同位角，由此即可判断． 本题考查了同位角、内错角、同旁内角，掌握同位角的边构成““形，内错角的边构成““形，同旁内角的边构成“”形是解题的关键． 3.【答案】  【解析】解：、平板弹墨线，用基本事实“两点确定一条直线”来解释，不符合题意； B、建筑工人砌墙，用基本事实“两点确定一条直线”来解释，不符合题意； C、弯河道改直，用基本事实“两点之间，线段最短”来解释，不符合题意； D、测量跳远成绩，用基本事实“垂线段最短”来解释，符合题意； 故选：． 根据垂线段最短解答即可． 本题考查的是垂线段最短，垂线段最短，指的是从直线外一点到这条直线所作的垂线段最短． 4.【答案】  【解析】解：、由可判断，故此选项错误； B、由可判断，故此选项错误； C、由可判断，故此选项错误； D、由内错角相等可判断，故此选项正确， 故选：． 根据平行线的判定分别进行分析即可． 此题主要考查了平行线的判定，关键是掌握同位角相等，两直线平行．内错角相等，两直线平行．同旁内角互补，两直线平行． 5.【答案】  【解析】解：有两条边分别相等的两个直角三角形不一定全等，故本选项命题是假命题； 顶角与底边分别对应相等的两个等腰三角形全等，是真命题； 如果，那么，故本选项命题是假命题； 两个三角形中，两边与及其中一边的对角对应相等，这两个三角形不一定全等， 如图，在和中，，，，而和不全等， 故本选项命题是假命题； 故选：． 根据全等三角形的判定、实数的平方判断即可． 本题考查的是命题与定理，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理． 6.【答案】  【解析】解：是的角平分线， ， 又， ， ， 故正确； 同理， ， 为等腰三角形， 故正确； 假设为等边三角形，则，如图，连接， ，， ，， 的周长， 是，的平分线的交点， 第三条平分线必过其点， 即平分， 为等边三角形， ， ， ， ， ， ， ， 即的周长的周长， 故错误； 在中，， 在中，， 即， 得，， 故正确； 故选：． 根据平分线的性质、平行线的性质，借助于等量代换可求出； 同理可得，则为等腰三角形； 用特殊值法，当为等边三角形时，连接，根据等边三角形的性质，角平分线定义和等腰三角形的判定便可得出，进而得，便可得出的周长不等于的周长； 利用两次三角形的内角和，以及平分线的性质，进行等量代换，可求的和之间的关系式． 本题考查了等腰三角形的性质及角平分线的性质，以及三角形内角和定理解答，涉及面较广，需同学们仔细解答．尤其是第小题在常规方法不能判断正误时，可采用的特殊值法进行判断，也即是举反例的方法． 7.【答案】  【解析】解：根据题意可知，不等式组的解集为：． 故答案为：． 根据“同小取小”即可得到答案． 本题考查了不等式组的解集，掌握确定不等式组的解集的方法是关键． 8.【答案】每个内角都等于的三角形是等边三角形  【解析】解：命题“等边三角形的每个内角都等于，其逆命题是每个内角都等于的三角形是等边三角形， 故答案为：每个内角都等于的三角形是等边三角形． 交换原命题的题设和结论后即可写出原命题的逆命题． 本题主要考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解如何写出一个命题的逆命题，难度不大． 9.【答案】  【解析】解：点为的延长线上一点， ， ， 即的度数为， 故答案为：． 根据对顶角相等求出，再计算角的差即可． 本题考查了平行线的性质，垂线，关键是平行线性质的熟练掌握． 10.【答案】  【解析】解：≌， ，， ． 故答案为：． 由全等三角形的性质推出，，即可求出的长． 本题考查全等三角形的性质，关键是掌握全等三角形的对应边相等． 11.【答案】  【解析】解：在中，，平分交于点， ，， ， ， 即的面积为， 故答案为：． 由等腰三角形的性质可得，，最后根据，即可求解． 本题考查了等腰三角形的性质，角平分线的性质，解题的关键是掌握等腰三角形的性质． 12.【答案】答案不唯一  【解析】解：可添加的条件是， 在和中， ， ≌， 故答案为：答案不唯一． 添加条件，利用证明≌即可． 此题考查了全等三角形的判定，关键是全等三角形判定定理的应用． 13.【答案】  【解析】解：， 解不等式，得：， 解不等式，得：， 关于的不等式组只有一个整数解， ， 故答案为：． 先解出不等式组中每个不等式的解集，再根据关于的不等式组只有一个整数解，即可得到的取值范围． 本题考查一元一次不等式组的整数解，解答本题的关键是明确解一元一次不等式的方法． 14.【答案】  【解析】解：如图，过点作， ， 平行于同一条直线的两条直线相互平行， ，两直线平行，内错角相等， ， ，， ， 即的度数为． 故答案为：． 过点作，由得，进而得，，再根据进行求解即可． 本题考查了平行线的性质，关键是平行线性质的熟练掌握． 15.【答案】  【解析】解：分两种情况： 当等腰三角形的底边长是腰长的倍时， 腰长， 底边的长为， ， 不能组成三角形； 当等腰三角形的腰长是底边长的倍时， 腰长， 底边的长为， 的周长为：， 综上所述：的周长为， 故答案为：． 分两种情况：当等腰三角形的底边长是腰长的倍时，当等腰三角形的腰长是底边长的倍时，然后分别进行计算即可解答． 本题考查了等腰三角形的性质，分两种情况讨论是解题的关键． 16.【答案】或  【解析】解：分两种情况讨论： 是等腰三角形的底角； 当是顶角时， 底角：． 故答案为：或． 分是等腰三角形的底角或顶角两种情况，利用三角形内角和定理求解． 本题考查等腰三角形的定义、三角形内角和定理，解题的关键是注意分情况讨论，避免漏解． 17.【答案】  【解析】解：由题意，得， ． 由平移性质，可知，， ，且， 为等边三角形， ， 故答案为：． 根据平移性质，判定为等边三角形，然后求解． 本题考查的是平移的性质，熟知图形平移后新图形与原图形的形状和大小完全相同是解答此题的关键． 18.【答案】  【解析】解：设旋转角为， 由题意可得：， 根据旋转的性质可得，， ， ， ， ， 由可得：， 解得：． 故答案为：． 设旋转角为，根据旋转的性质可得，则，由可得，则，所以，进而完成解答． 本题主要考查了旋转的性质、等腰三角形的性质、三角形内角和定理等知识点，熟练掌握三角形内角和定理是解题的关键． 19.【答案】．  【解析】解：， ， ， ， ， 则， 表示在数轴上如下： 根据解一元一次不等式基本步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为可得． 本题主要考查解一元一次不等式的基本能力，严格遵循解不等式的基本步骤是关键，尤其需要注意不等式两边都乘以或除以同一个负数不等号方向要改变． 20.【答案】，非负整数解为，，．  【解析】解：， 解不等式得：， 解不等式得：， 不等式组的解集为， 不等式组的非负整数解为，，． 先分别解不等式，求出不等式组的解集，然后找出非负整数解． 本题考查了解一元一次不等式组，解题关键是求不等式的公共解，要遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小无解了． 21.【答案】见解析．  【解析】如图，直线即为所求； 如图，直线即为所求． 根据垂线的定义画出图形； 根据平行线的定义画出图形． 本题考查作图复杂作图，垂线，平行线的判定和性质，解题的关键是理解题意，正确画出图形． 22.【答案】对顶角相等    同位角相等，两直线平行    两直线平行，同旁内角互补  内错角相等，两直线平行  【解析】证明：对顶角相等， 又， ， 同位角相等，两直线平行， 两直线平行，同旁内角互补， 已知， ， 内错角相等，两直线平行． 故答案为：对顶角相等；；同位角相等，两直线平行； ；两直线平行，同旁内角互补；内错角相等，两直线平行． 根据平行线的判定和性质，补齐各步骤的结论和推理依据即可． 本题考查了平行线的判定和性质，熟练掌握平行线的判定方法是解题的关键． 23.【答案】如果两个三角形全等，那么这两个三角形的对应角的平分线相等．   ≌，平分交于，．   真，证明见解析．  【解析】将此命题改写成“如果，那么”的形式为：如果两个三角形全等，那么这两个三角形的对应角的平分线相等． 故答案为：如果两个三角形全等，那么这两个三角形的对应角的平分线相等． 已知：如图，≌， 平分交于点， 平分交于， 求证：． 故答案为：≌，平分交于，． 此命题是真命题，理由如下： ≌， ，，， 平分，平分， ，， ， ，， ≌， ， 全等三角形的对应角的平分线相等． 故答案为：真． 分清命题的题设和结论，即可得到答案； 由题意和图形，即可写出已知和求证； 由全等三角形的性质推出，，，由角平分线定义得到，判定≌，推出． 本题考查命题与定理，全等三角形的判定和性质关键是判定≌． 24.【答案】证明：，是的中点， ． 平分， ． ， ． 即． ．  【解析】根据三线合一定理证明平分，然后根据平分，根据邻补角的定义即可证得． 本题考查了等腰三角形的性质，顶角的平分线、底边上的中线和高线、三线合一． 25.【答案】解：设每个种徽章的价格为元，每个种徽章的价格为元， 由题意得：， 解得：， 答：每个种价格为元，每个种价格分别为元； 设购进个种徽章，则： ， ， ， 答：购进种徽章的个数是．  【解析】设每个种徽章的价格为元，每个种徽章的价格为元，根据题意列出二元一次方程组并求解即可； 设购进个种徽章，则购进个种徽章，再根据题意列出不等式组并求解即可． 本题主要考查了二元一次方程组的应用及一元一次不等式组应用，理解题意并列出方程和不等式组是解题的关键． 26.【答案】解：在中，，， ， 、分别平分，， ，， ． 如图，在上截取，连接 平分， ， 在和中 ， ≌， ， ， 在和中， ， ≌ ， ．  【解析】本题主要考查了全等三角形的判定及性质，根据在上截取得出≌是解题关键． 根据三角形内角和定理和角平分线的定义解答； 通过角之间的转化可得出≌，进而可得出线段之间的关系，即可得出结论． 27.【答案】；   ；   ．  【解析】为边上的中点， ， 在和中， ， ≌， ≌的理由是， 故答案为：； ≌， ， ， ， 即； 延长至，使，连接， 是的中线， ， 在和中， ， ≌， ，， ， ， ， ， ， ， 即， 和都是等腰直角三角形， ，， ， ≌， ， 即的长为． 根据全等三角形的判定即可求解； 由全等三角形的性质可得，再根据三角形的三边关系解答即可求解； 延长至，使，连接，可证≌，可得，，再证明≌，得到，即可求解． 本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，正确添加辅助线是解题的关键． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$