精品解析：湖南省长沙市华益中学2024-2025九年级下学期期中考试数学试卷

2024-2025：华益中学九年级下学期期中考试数学试卷 分值：120分 时量：120分钟 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分） 1. 下面几种图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念，根据中心对称图形与轴对称图形的概念进行判断即可，熟练掌握轴对称图形的关键是寻找对称轴，对称轴两侧部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，绕对称中心旋转度后与自身重合是解决此题的关键． 【详解】解：A．不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意； B．是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； C．是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； D．是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意； 故选：D． 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了有理数的乘方，算术平方根，根据运算法则及定义逐一计算判断即可． 【详解】解：A、，计算错误，不符合题意； B、，计算正确，符合题意； C、，计算错误，不符合题意； D、∵， ，计算错误，不符合题意． 故选：B． 3. 年的春节档影片《哪吒》，以“我命由我不由天”的精神内核和全新的中国风审美，结合现代科技手段，诠释了中华文化的创新活力与独特魅力．截止到年月日，该片票房已超过元．其中用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了科学记数法的表示方法，根据科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数即可求解，确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值时，是正整数；当原数的绝对值时，是负整数，解题的关键要正确确定的值以及的值． 【详解】解：， 故选：． 4. 若点和点关于轴对称，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了关于轴对称的点的坐标特征，根据关于轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数解答即可求解，掌握关于轴对称的点的坐标特征是解题的关键． 【详解】解：∵点和点关于轴对称， ∴， ∴， 故选：． 5. 如图，已知直线，现将含角的直角三角板放入平行线之间，两个锐角顶点分别落在两条直线上．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线的性质，解题的关键是熟练掌握平行线的性质，两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补．根据已知条件得出 ，根据两直线平行，内错角相等即可得出答案． 【详解】解：如图： ∵，， ∴， ∵， ∴． 6. 将一次函数的图象向下平移2个单位长度，若平移后的一次函数图象经过点，则b的值为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】此题主要考查了一次函数图象平移，直接利用一次函数平移规律得出平移后解析式，再将代入求出答案，熟练掌握一次函数平移规律是解题关键． 【详解】解：将一次函数的图象向下平移2个单位长度，得到， 将代入得：， 解得：， 故选：B． 7. 国际数学日之所以定在月日，是因为“”是与圆周率数值最接近的数字，下列关于圆周率说法中正确的是（ ） A. 圆周率的值等于 B. 圆周率的值是圆周长与半径的比值 C. 圆周率的值与圆的大小无关 D. 圆周率是一个无限循环小数 【答案】C 【解析】 【详解】本题考查了无理数的定义，数学文化常识，根据圆周率的定义和性质逐一分析选项，解题的关键是熟练掌握圆周率． 【分析】解：、圆周率是一个无限不循环小数，仅是近似值而非精确值，属于无理数，故错误，不符合题意； 、圆周率是圆周长与直径的比值，而非半径，故错误，不符合题意； 、无论圆的大小如何，周长与直径的比值始终为，说明的值与圆的大小无关，故正确，符合题意； 、是无限不循环小数（无理数），而非无限循环小数，故错误，不符合题意； 故选：． 8. 如图，，以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交于点，再分别以点为圆心，大于长为半径画弧，两弧相交于点，画射线交于点．若，则的大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了尺规作角平分线，平行线的性质，掌握以上知识，数形结合分析是关键． 根据作图可得是角平分，由平行可得，在中有内角和定理即可求解． 【详解】解：根据题意可得是角平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：A ． 9. 铈元素属于稀土元素，稀土元素被称为“21世纪黄金”，广泛应用于电子、军事、石油化工等领域，如图是硫酸铈和硝酸钾两种固体物质在不同温度时的溶解度曲线图象，下列说法正确的是（ ） A. 时，硫酸铈的溶解度随温度的升高逐渐增大 B. 硫酸铈的溶解度小于硝酸钾的溶解度 C. 时，硫酸铈的溶解度大于硝酸钾的溶解度 D. 当温度为时，硫酸铈与硝酸钾的溶解度相同 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了从函数图象获取信息，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先理解纵横坐标表示的意义，然后分析两种物质的溶解度曲线的走势，再结合交点的位置进行分析，即可作答． 【详解】解：A、时，硫酸铈的溶解度随温度的升高逐渐减小，故该选项不符合题意； B、时，硫酸铈的溶解度大于硝酸钾的溶解度，故该选项不符合题意； C、时，硫酸铈的溶解度小于硝酸钾的溶解度，故该选项不符合题意； D、当温度为时，硫酸铈与硝酸钾的溶解度相同，故该选项符合题意； 故选：D． 10. 三堆西瓜共120个，先从第一堆中拿出与第二堆个数相等的西瓜放入第二堆；再从第二堆中拿出与第三堆个数相等的西瓜放入第三堆；最后又从第三堆中拿出与这时第一堆个数相等的西瓜放入第一堆，这时三堆西瓜的个数恰好相等，则第一堆原有西瓜（ ）个． A. 30 B. 35 C. 50 D. 55 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了列三元一次方程组和解三元一次方程组的方法．设原来第1堆有x个西瓜，第2堆有y个西瓜，第3堆有z个西瓜．根据最后每堆有个西瓜列方程组求解． 【详解】解：设原来第1堆有x个西瓜，第2堆有y个西瓜，第3堆有z个西瓜，根据题意，得： ， 解得：． 即原来第1堆有55个西瓜． 故选：D． 二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分） 11. 若代数式有意义，则实数的取值范围是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了分式有意义的条件，分式有意义的条件是分母不为0，据此可得答案． 【详解】解：∵代数式有意义， ∴， ∴， 故答案为：． 12. 分式方程的解是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解分式方程，根据解分式方程的步骤解答即可求解，掌握解分式方程的步骤是解题的关键． 【详解】解：方程两边乘以，得， 整理得，， ∴， 检验：当时，， ∴是原分式方程的解， 故答案为：． 13. 甲、乙两名射击运动员进行射击测试，每人10次射击成绩的平均数都是9（单位：环），方差分别是1.6和1.8（单位：环），要从中选择一名成绩好且发挥稳定的运动员参加比赛，应选择________． 【答案】甲 【解析】 【分析】本题考查的是方差和算术平均数，掌握方差反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，方差越小，数据越稳定是解题的关键．根据平均环数比较成绩的优劣，根据方差比较数据的稳定程度． 【详解】解：由题意知甲、乙两名射击成绩的平均数相等， ∴甲的方差较小， ∴甲发挥最稳定， ∴选择甲参加比赛． 故答案为：甲． 14. 在平面直角坐标系中，若函数的图象经过点和，则的值为_____． 【答案】 【解析】 【分析】此题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征，理解反比例函数图象上的点满足反比例函数的表达式是解决问题的关键．将点和代入之中得，，由此可得的值． 【详解】解：函数的图象经过点和， ，， ，， ． 故答案为：． 15. 关于x的方程的一个根为，则该方程的另一个根是________ 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查根与系数的关系，设方程的另一个根为，根据两根之和为，列出方程进行求解即可． 【详解】解：∵关于x的方程有两个根， ∴， ∴方程为一元二次方程， 设方程的另一个根为，则：， ∴； 故答案为：3． 16. 如图，四边形是正方形，是上的一点，于点，，且交于点，若，，则的长为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质，勾股定理，平行线的性质，三角形的面积，余角性质，全等三角形的判定和性质，根据正方形的性质以及勾股定理，可求的长，利用平行线的性质可得，根据等积法可求出的值，在直角中根据勾股定理可得的值，再证，根据全等三角形的性质可得，进一步即可求出的值，证明是解题的关键． 【详解】解：在正方形中， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， ∴， 在直角中，， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 三、解答题（本大题共9个小题，第17、18、19题每小题6分，第20、21题每小题8分，第22、23题每小题9分，第24、25题每小题10分，共72分） 17. 计算： 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了特殊角三角函数值，实数的混合运算．先分别计算特殊角三角函数值、零次幂、二次根式以及负整数指数幂，最后再进行加减运算即可． 【详解】解： ． 18. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】先计算括号里，再将除法转换成乘法，最后相乘化简，化简后将a的值代入计算即可． 【详解】 = = =． 把a=代入原式=． 【点睛】考查了分式化简求值，涉及知识点有分式的加减法则、乘除法则，约分等知识点，关键是考查学生的运算能力，培养学生的解决问题的能力． 19. 如图，在热气球上A处测得塔顶B的仰角为，测得塔底C的俯角为，已知A处距地面为96米，求塔高．（结果精确到1米）（参考数据：，，） 【答案】塔高约为221米 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用、矩形的判定与性质，熟练掌握解直角三角形的方法是解题关键．过点作于点，先根据矩形的判定与性质可得米，再解直角三角形求出的长，然后根据求解即可得． 【详解】解：如图，过点作于点， 则四边形是矩形， ∴米， 由题意得：， ∴在中，米， 在中，（米）， ∴（米）， 答：塔高约为221米． 20. 为贯彻五育并举方针，将劳动教育纳入必修课程，某校劳技中心开设了多门劳动综合课．开设一段时间后，为了解对课程的喜爱情况，中心对下列课程进行了抽样调查：A家庭电路；B简单烹饪；C布艺手缝；D收纳整理；E编织．收回所有的问卷后，将有关数据进行整理，绘制了如下两幅不完整的统计图．根据图中信息，回答下面问题： （1）本次调查的学生人数为_____；并将条形统计图补充完整； （2）在一个学期中，全校共有1080名学生参加综合课程的培训，估计喜欢“简单烹饪”的学生人数 （3）小明同学从A，B，D三门课程中选择一门参加劳动实践，小红同学从B，D，E三门课程中随机选择一门参加劳动实践，用表格或树状图求他们选择相同课程的概率． 【答案】（1）200； 补全统计图如下所示： ； （2）估计喜欢“简单烹饪”的学生人数为108人； （3） 【解析】 【分析】本题考查列表法或树状图法求解概率，条形统计图以及扇形统计图，用样本估计总体，正确读懂统计图是解题的关键． （1）根据A家庭电路总人数为30人，占，用30除以即可得总人数，再求出D和B的人数，即可补全统计图； （2）用总人数乘以喜欢“简单烹饪”的百分比即可得出喜欢“简单烹饪”的人数； （3）列表，共有9种等可能结果，其中选课相同的结果一共有2种，再由概率公式求解即可． 【小问1详解】 解：（人），即本次调查的学生人数为200人， ∴喜欢收纳整理的人数为（人）， ∴喜欢简单烹饪的人数为（人） 【小问2详解】 解：（人）， 答：估计喜欢“简单烹饪”的学生人数为108人； 【小问3详解】 解：列表如下： 小明 小红 A B D B D E 由表格可知，两名同学选课一共有9种等可能结果，其中选课相同的结果一共有2种， ∴他们选择相同课程的概率． 21. 如图，在平行四边形中，E，F是对角线上的两点，． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）当时，，，，求的长． 【答案】（1） 证明：如图，连接，交于点， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴，即， ∴互相平分， ∴四边形是平行四边形． （2）3 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质、勾股定理等知识，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题关键． （1）连接，交于点，先根据平行四边形的性质可得，从而可得，再根据平行四边形的判定即可得证； （2）先利用勾股定理可得，则可得，再根据求解即可得． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵，，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 22. “买新能源车到底省不省钱？”是消费者最为关心的话题之一．某校数学小组对市场上两款售价相同的燃油车和新能源车做了对比调查，所得信息如表所示： 燃油车 新能源车 油箱容积： 电池容量： 油价：8元/ 电价：元/ 续航里程：a千米 续航里程：a千米 根据调查，燃油车每千米的行驶费用比新能源车多元． （1）求a的值． （2）填空：燃油车每千米的行驶费用为______元，新能源车每千米的行驶费用为_____元； （3）若燃油车和新能源车每年的其它费用分别为4000元和7300元，则每年行驶里程在什么范围时，新能源车的年费用更低？（年费用年行驶费用年其它费用） 【答案】（1） （2）； （3）每年行驶里程大于6000千米时，新能源车的年费用更低． 【解析】 【分析】本题主要考查了分式方程的实际应用，一元一次不等式的实际应用，有理数乘除法的实际应用，正确理解题意列出方程，不等式和算式是解题的关键． （1）燃油车一箱油的费用除以其续航里程可得燃油车每千米的费用，新能源车充满电的费用除以其续航里程可得新能源车每千米的费用，再根据燃油车每千米的行驶费用比新能源车多元建立方程求解即可； （2）根据（1）所求列式求解即可； （3）设每年行驶的里程为m千米，根据新能源车的年费用更低建立不等式求解即可． 【小问1详解】 解：由题意得，， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意； 【小问2详解】 解：元，元， ∴燃油车每千米的行驶费用为元，新能源车每千米的行驶费用为元； 【小问3详解】 解：设每年行驶的里程为m千米， 由题意得，， 解得， 答：每年行驶里程大于6000千米时，新能源车的年费用更低． 23. 如图，沿折叠矩形纸片，使点D落在边的点F处； （1）求证：； （2）若是中点，求的值． 【答案】（1） 证明：∵四边形是矩形， ∴， ∴， 由折叠的性质得：， ∴， ∴， 在和中， ， ∴． （2） 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定、矩形与折叠问题、勾股定理，熟练掌握相似三角形的判定和折叠的性质是解题关键． （1）先根据矩形的性质可得，再根据折叠的性质可得，从而可得，然后根据相似三角形的判定即可得证； （2）设，则，再根据折叠的性质可得，然后利用勾股定理可得，由此即可得． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵四边形是矩形， ∴，， 设， ∵是中点， ∴， 由折叠的性质得：， 在中，， ∴． 24. 如图，半径为5，直径互相垂直，点P为上一点，连接，过点C作垂线交于点M，连接，设直线与直线相交于点Q． （1）当点P位于中点时，则_______． （2）①如图1，当时，求点P到的距离； ②如图2，当时，求的长度； （3）记的面积为，的面积为； ①求证：为定值； ②当时，求的长． 【答案】（1） （2）①；② （3） ①如图，当点P在点A下方时， 过点P作于H，连接， ∵， ∴， ∴是的直径， ∴， 又∵， ∴， ∴； 同理可证明， ∴， ∵， ∴， 在中，由勾股定理可得， ∴， ∴为定值； 如图，当点P在点A上方时，过点P作于H，连接， 同理可证明， ∴； 同理可证明， ∴， ∵， ∴， 在中，由勾股定理可得， ∴， ∴为定值； 综上所述，为定值； ②或 【解析】 【分析】（1）连接，由垂线的定义可得，由弧与圆心角之间的关系可得，则由圆周角定理可得； （2）①过点P作于E，证明，利用相似三角形的性质列出比例式求出的长即可得到答案；②可证明点P是的中点，则由直角三角形的性质得到，进而可证明是等边三角形，得到，则可求出，再利用弧长公式求解即可； （3）①当点P在点A下方时，过点P作于H，连接，可证明是的直径，则可证明，得到；求出，，则，由勾股定理可得，则，即为定值；同理可证明当点P在点A上方时，即为定值； ②当点P在点A下方时，过点P作于H，连接，根据，可推出；由勾股定理可得，则，，证明，推出，，则，再由勾股定理可得答案；当点P在点A上方时，过点P作于H，于T，则四边形是矩形，同理可得，则，即可得到． 【小问1详解】 解：如图所示，连接， ∵直径互相垂直， ∴， ∵点P为的中点， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：①如图所示，过点P作于E， ∵直径互相垂直，， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∴点P到的距离为； ②∵， ∴点P是的中点， ∵直径互相垂直， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴的长为； 【小问3详解】 解： ① ②如图，当点P在点A下方时，过点P作于H，连接， ∵， ∴， ∴， ∴； 在中，由勾股定理可得， ∴， 解得或（舍去）， ∴， 同理可证明， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴； 如图所示，当点P在点A上方时，过点P作于H，于T，则四边形是矩形， ∴， 同理可得， ∴， ∴； 综上所述，的长为或． 【点睛】本题主要考查了圆的综合，相似三角形的性质与判定，矩形的性质与判定，勾股定理，全等三角形的性质与判定，等边三角形的性质与判定等等，利用分类讨论的思想求解是解题的关键． 25. 2022年10月23日，习近平总书记在二十届中共中央政治局常委同中外记者见面时讲到：我们要始终与人民风雨同舟，与人民心心相印，想人民之所想，行人民之所瞩，不断把人民对美好生活的向往变成现实．在数学上，我们不妨约定：若两个二次函数图象关于原点对称，我们称这两个函数互为“心心相印”函数． （1）已知二次函数和互为“心心相印”函数，将下列各式的值写在横线上． ①________；②若，则________；③________； （2）若二次函数的顶点在正比例函数上，其“心心相印”函数的顶点在反比例函数上，且互为“心心相印”函数的两个函数有且只有一个交点，求二次函数的解析式； （3）已知二次函数与互为“心心相印”函数，的顶点为M，与y轴交于点N，轴，直线与交于A、B两点，与的图象交于C、D两点，若线段可构成以为斜边的直角三角形，且当时，二次函数的最小值为，求a、b的值． 【答案】（1）①；1；0； （2） （3），或， 【解析】 【分析】（1）设是函数的图象上一点，则点是函数的图象上一点，据此可求出，则可推出，据此可得答案； （2）解：设二次函数的解析式为，则二次函数的“心心相印”函数的解析式为，根据题意可得，解得或；再分，和，两种情况，联立两个二次函数解析式得到一个一元二次方程，根据两二次函数只有一个交点推出该一元二次方程有两个相等的实数根，据此利用判别式求解即可； （3）设二次函数的解析式为，则的解析式为，则二次函数的顶点M的坐标为，，根据轴，得到，，则，，；联立得，则，可求出；同理可得；由勾股定理可得，则，解得；据此根据增减性求解即可． 【小问1详解】 解：设是函数的图象上一点， ∵二次函数和互为“心心相印”函数， ∴点是函数的图象上一点， ∴， ∴， ∴二次函数的解析式为， ∴， ∴①；②若，则；③； 【小问2详解】 解：设二次函数的解析式为，则二次函数的“心心相印”函数的解析式为， ∵二次函数的顶点在正比例函数上，其“心心相印”函数的顶点在反比例函数上， ∴， 解得或， 当时，， ∴二次函数的解析式为，其“心心相印”函数的解析式为， 联立得， ∵互为“心心相印”函数的两个函数有且只有一个交点， ∴方程有两个相等的实数根， ∴， ∴（舍去）或（舍去）； 当时，则， ∴二次函数的解析式为，其“心心相印”函数的解析式为， 联立得， ∵互为“心心相印”函数的两个函数有且只有一个交点， ∴方程有两个相等的实数根， ∴， ∴（舍去）或； ∴二次函数的解析式为； 【小问3详解】 解：设二次函数的解析式为，则的解析式为，则二次函数的顶点M的坐标为， 在中，当时，， ∴， ∵轴， ∴，， ∴， ∴， 联立得， ∴， ∴； 联立得， ∴， ∴； ∵线段可构成以为斜边的直角三角形， ∴， ∴， ∴； 当时，， ∴此时抛物线的对称轴为直线， 又∵， ∴抛物线开口向上， ∵当时，二次函数的最小值为， ∴， ∴， ∴此时， ∴； 当时，， ∴此时抛物线的对称轴为直线， 又∵， ∴抛物线开口向上， ∵当时，二次函数的最小值为， ∴， ∴， ∴此时， ∴； 综上所述，，或，． 【点睛】本题主要考查了二次函数综合，一次函数与几何综合，反比例函数图象上的点的坐标特点，一元二次方程根与系数的关系，根的判别式，勾股定理等等，利用分类讨论的思想求解是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025：华益中学九年级下学期期中考试数学试卷 分值：120分 时量：120分钟 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分） 1. 下面几种图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 年的春节档影片《哪吒》，以“我命由我不由天”的精神内核和全新的中国风审美，结合现代科技手段，诠释了中华文化的创新活力与独特魅力．截止到年月日，该片票房已超过元．其中用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 4. 若点和点关于轴对称，则的值为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，已知直线，现将含角的直角三角板放入平行线之间，两个锐角顶点分别落在两条直线上．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 6. 将一次函数的图象向下平移2个单位长度，若平移后的一次函数图象经过点，则b的值为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 7. 国际数学日之所以定在月日，是因为“”是与圆周率数值最接近的数字，下列关于圆周率说法中正确的是（ ） A. 圆周率的值等于 B. 圆周率的值是圆周长与半径的比值 C. 圆周率的值与圆的大小无关 D. 圆周率是一个无限循环小数 8. 如图，，以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交于点，再分别以点为圆心，大于长为半径画弧，两弧相交于点，画射线交于点．若，则的大小为（ ） A. B. C. D. 9. 铈元素属于稀土元素，稀土元素被称为“21世纪黄金”，广泛应用于电子、军事、石油化工等领域，如图是硫酸铈和硝酸钾两种固体物质在不同温度时的溶解度曲线图象，下列说法正确的是（ ） A. 时，硫酸铈的溶解度随温度的升高逐渐增大 B. 硫酸铈的溶解度小于硝酸钾的溶解度 C. 时，硫酸铈的溶解度大于硝酸钾的溶解度 D. 当温度为时，硫酸铈与硝酸钾的溶解度相同 10. 三堆西瓜共120个，先从第一堆中拿出与第二堆个数相等的西瓜放入第二堆；再从第二堆中拿出与第三堆个数相等的西瓜放入第三堆；最后又从第三堆中拿出与这时第一堆个数相等的西瓜放入第一堆，这时三堆西瓜的个数恰好相等，则第一堆原有西瓜（ ）个． A. 30 B. 35 C. 50 D. 55 二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分） 11. 若代数式有意义，则实数的取值范围是_____． 12. 分式方程的解是______． 13. 甲、乙两名射击运动员进行射击测试，每人10次射击成绩的平均数都是9（单位：环），方差分别是1.6和1.8（单位：环），要从中选择一名成绩好且发挥稳定的运动员参加比赛，应选择________． 14. 在平面直角坐标系中，若函数的图象经过点和，则的值为_____． 15. 关于x的方程的一个根为，则该方程的另一个根是________ 16. 如图，四边形是正方形，是上的一点，于点，，且交于点，若，，则的长为_____． 三、解答题（本大题共9个小题，第17、18、19题每小题6分，第20、21题每小题8分，第22、23题每小题9分，第24、25题每小题10分，共72分） 17. 计算： 18. 先化简，再求值：，其中． 19. 如图，在热气球上A处测得塔顶B的仰角为，测得塔底C的俯角为，已知A处距地面为96米，求塔高．（结果精确到1米）（参考数据：，，） 20. 为贯彻五育并举方针，将劳动教育纳入必修课程，某校劳技中心开设了多门劳动综合课．开设一段时间后，为了解对课程的喜爱情况，中心对下列课程进行了抽样调查：A家庭电路；B简单烹饪；C布艺手缝；D收纳整理；E编织．收回所有的问卷后，将有关数据进行整理，绘制了如下两幅不完整的统计图．根据图中信息，回答下面问题： （1）本次调查的学生人数为_____；并将条形统计图补充完整； （2）在一个学期中，全校共有1080名学生参加综合课程的培训，估计喜欢“简单烹饪”的学生人数 （3）小明同学从A，B，D三门课程中选择一门参加劳动实践，小红同学从B，D，E三门课程中随机选择一门参加劳动实践，用表格或树状图求他们选择相同课程的概率． 21. 如图，在平行四边形中，E，F是对角线上的两点，． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）当时，，，，求的长． 22. “买新能源车到底省不省钱？”是消费者最为关心的话题之一．某校数学小组对市场上两款售价相同的燃油车和新能源车做了对比调查，所得信息如表所示： 燃油车 新能源车 油箱容积： 电池容量： 油价：8元/ 电价：元/ 续航里程：a千米 续航里程：a千米 根据调查，燃油车每千米的行驶费用比新能源车多元． （1）求a的值． （2）填空：燃油车每千米的行驶费用为______元，新能源车每千米的行驶费用为_____元； （3）若燃油车和新能源车每年的其它费用分别为4000元和7300元，则每年行驶里程在什么范围时，新能源车的年费用更低？（年费用年行驶费用年其它费用） 23. 如图，沿折叠矩形纸片，使点D落在边的点F处； （1）求证：； （2）若是中点，求的值． 24. 如图，半径为5，直径互相垂直，点P为上一点，连接，过点C作垂线交于点M，连接，设直线与直线相交于点Q． （1）当点P位于中点时，则_______． （2）①如图1，当时，求点P到的距离； ②如图2，当时，求的长度； （3）记的面积为，的面积为； ①求证：为定值； ②当时，求的长． 25. 2022年10月23日，习近平总书记在二十届中共中央政治局常委同中外记者见面时讲到：我们要始终与人民风雨同舟，与人民心心相印，想人民之所想，行人民之所瞩，不断把人民对美好生活的向往变成现实．在数学上，我们不妨约定：若两个二次函数图象关于原点对称，我们称这两个函数互为“心心相印”函数． （1）已知二次函数和互为“心心相印”函数，将下列各式的值写在横线上． ①________；②若，则________；③________； （2）若二次函数的顶点在正比例函数上，其“心心相印”函数的顶点在反比例函数上，且互为“心心相印”函数的两个函数有且只有一个交点，求二次函数的解析式； （3）已知二次函数与互为“心心相印”函数，的顶点为M，与y轴交于点N，轴，直线与交于A、B两点，与的图象交于C、D两点，若线段可构成以为斜边的直角三角形，且当时，二次函数的最小值为，求a、b的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $