广东省广州外国语学校2024-2025学年高二下学期期末考试数学试卷

绝密★启用前 广东省广州市外国语学校2024—2025学年度高二下数学期末考试试卷 数学试题 本试卷共4 页，满分150分，考试时间120分钟。 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、班级、准考证号码等信息填写在答题卡上。 2. 作答时，务必将答案写在答题卡上，写在本试卷及草稿纸上无效。 3. 考试结束后，将答题卡交回。 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知向量=(1,2),向量=(m,3),若向量⊥(-),则实数m= A. - 2 B. 2 C. - 1 D. 1 2. 已知角α∈R, 则“α为第二象限角”是“cosα<0”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 3.某次高二数学调研测试中，考生成绩X服从正态分布N(75，σ²).若 则从参加这次考试的考生中任意选取1名考生，该考生的成绩高于90的概率为 A. B. c. D. 4.我国新能源汽车的卓越性能赢得全球人民的信赖，某品牌新能源汽车凭借科研创新、广告宣传和可靠的售后保障，在全球赢得了很好的营销局面.下表为该品牌新能源汽车的科研经费投入和全球市场规模统计. 科研经费x₁(单位：百亿元) 2 4 6 12 16 市场规模y₁(单位：百万辆) 1 1.5 2 3 3.5 如此得到y关于x的经验回归方程： 估计当该品牌新能源汽车的科研经费投入20(百亿元)时，全球市场规模将达到 ( )百万辆. A. 4 B. 4.14 C. 4.36 D. 4.58 5.用0，1，2，3组成没有重复数字的四位偶数有 ( )个 A. 8 B. 10 C. 12 D. 16 6.“端午节”是我国四大传统节日之一，吃粽子、赛龙舟、挂艾草等均是端午节的习俗.今年端午节，兄妹两人一起去超市购买粽子，若他们分别从“鲜肉粽、腊肉粽、蛋黄粽、原味粽、赤豆粽、八宝粽”六种粽子里各自挑选三种并各购买一个，则购买的6个粽子中至多有一种相同的概率是 A. B. C. 7. 已知F 是双曲线 的右焦点,直线4x-3y=0与C交于P,Q 两点,若以 PQ 为直径的圆经过点F，则C 的离心率为 A. 2 B. .5 C. 3 8. 已知函数 在 R上单调递增，则ab的最小值为 C. - 1 D. 1 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.关于 的二项展开式，下列说法正确的是 A.展开式在合并同类项之后共有7项 B.展开式中常数项为15 C.展开式的系数之和为1 D.展开式的最后一项的系数最大 10.图2是函数f(x)=2sin(3x+φ)的部分图象, 下列说法正确的是 A.点A的坐标为 B.φ的一个可能值是 C.将函数f(x)的图象向右平移. 个单位长度后，所得图象对应的函数是奇函数 11.在一个不透明的盒子中装有材质、大小完全相同的n个小球，将它们分别编号为1，2，3，…，n.每次从盒子中随机抽取一个小球，记录编号后放回，直至取遍所有小球后停止摸球，记总的摸球次数为 Xn.下列结论正确的是 其中k>3 三、填空题：本题共3 小题，每小题5分，共15分. 13. 已知直线y=x+1与曲线y= lnx+a相切, 则a= . 14. 一只蚂蚁从正四面体A-BCD 的顶点A 出发，每次只沿着棱爬行并爬到另一个顶点，若它选择三个方向爬行的概率相等，则蚂蚁爬行5次后走遍四个顶点(初始顶点 A 视为已走过)的概率为 . 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. (13分) 知正项数列{an}满足 (Ⅰ)求a₂; (Ⅱ)求| an|的通项公式; (Ⅲ)求数列 的前n项和 Sn. 16. (15分) DeepSeek是由中国杭州的DeepSeek公司开发的人工智能模型，其技术在多领域有着普惠应用.为提高DeepSeek的应用能力，某公司组织全体员工参加DeepSeek 培训.培训结束之后.公司举行了一次DeepSeek专业知识比赛，比赛分为预赛与决赛，预赛通过后才能参加决赛.预赛从8道题中随机抽取4道作答，答对3道及以上则进入决赛，否则被淘汰。 (1)若这8道题中甲能答对其中5道，计算甲进入决赛的概率： (2)已知甲进入了决赛，决赛需要回答3道题目，若全部答对则获得一等奖，奖励300元；若答对2道题目则获得二等奖.奖励150元；若答对1道题目则获得三等奖.奖励50元；若全部答错则没有奖励.若甲答对每道题目的概率均为 ，且每次答题相互独立.设甲获得奖金为ε.求ε的分布列及数学期望. 17. (15分) 已知函数 (1)若a=2,求函数 f(x)在(1,f(1))处的切线方程: (2)若对任意 恒成立，求实数a的取值范围. 18. (17分)某工厂员工每天选择坐班车或开私家车去上班.统计可知，该工厂员工若前一天坐班车，则第二天仍坐班车的概率为 ，第二天改开私家车的概率为 ；若前一天开私家车，则第二天仍开私家车的概率为 ，第二天改坐班车的概率为 若该工厂员工上班第一天坐班车和开私家车的概率均为 该工厂某员工第n天坐班车的概率为 Pn. (Ⅰ)设该工厂某3位员工中第二天坐班车的人数为X，求X的分布列与数学期望； (Ⅱ)求 Pn; (Ⅲ)为缓解交通压力，工厂决定每天抽调10人到班车停车场和私家车停车场参加安保工作，请合理分配每天去班车停车场和私家车停车场参加安保工作的人数，并说明理由. 19. (17分) 已知椭圆 过点 右焦点 F(1.0). (1)求椭圆E 的方程： (2)设直线. 与椭圆E 交于P，A两点，过点 作 轴，垂足为点C.直线AC 交椭圆E 于另一点B. ( )证明: (Ⅱ)求 面积的最大值. 参考答案 广州市外国语学校2024—2025学年度高二下期末考试试卷 数学 参考答案 一、单项选择题： 每小题5分， 共40分。 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 C A B A B A B A 二、多项选择题：每小题6分， 共18分。 题号 9 10 11 答案 AC BC AC 说明：第10题全部选对得6分，选对一个得3分，有选错得0分；第9，11题全部选对得6分，选对一个得2分， 有选错得0分. 三、填空题：每小题5分，共15分。 12. 4051; 1. C【详解】由题意，向量 则 因为 可得1×(m-1)+2×1=0,解得m=-1. 2. B【详解】由二项式定理的通项公式得 令 解得k=4,所以x³的系数为 3. A【详解】由题意, y关于x的回归直线方程为 所以 解得m=4.4, 所以当x=4时,y=0.5×4+2.3=4.3, 则ê=m-y=4.4-4.3=0.1. 4. D【详解】根据三角函数定义，可得 则 5. C【详解】设该等差数列首项为a₁，公差为d，则( 所以4d=9, S₆-S₄=S₄-S₂+4d=12+9=21, S₈-S₆=S₆-S₄+4d=21+9=30,所以 6. A【详解】购买的6个粽子种类各不相同的概率为 购买的6个粽子种类恰有一个相同 学科网（北京）股份有限公司 的概率为 所以总概率为 7. B【详解】不妨设点 P在第一象限,连接FP,FQ,PF₁,如图.由题意可得. 易知P，Q两点关于坐标原点O对称，所以O为线段PQ的中点， 所以 故△PF₁F 为直角三角形，由题意， 设 则 解得 或-2 (舍) , 所以 8. A【详解】由题意， 函数 的定义域为R，导函数为 因为函数f(x)在R上单调递增，所以 在R上恒成立,若b≥0, 则x<-a时f'(x)<0矛盾, 所以b<0, (x+a)与( 同号,所以-a= ln(-b), 即 故 令 则 令g'(a)>0,则a>1,令g'(a)<0, 则a<1, 所以g(a)在(-∞,1)上单调递减, 在(1,+∞)上单调递增, 所以 ab的最小值为 9. ABC【详解】对于A中,数据从小到大排列为1,1,2,3,3,4,4,5,6, 共有9个数据, 因为9×25%=2.25,所以数据的下四分位数为第3个数据，即为2，所以A 正确；对于B中，数据x₁，x₂，…，xₙ的标准差为s，由数据方差的性质，可得数据2x₁,2x₂,…,2xₙ的标准差为 所以B正确；对于C中，随机变量X 服从正态分布N(1,σ²), 且. 根据正态分布曲线的对称性，可得 P(0<X<2)=1-2P(X≤0)=2P(X>0)-1= 所以C 正确；对于D中，随机变量X 服从二项分布B(4，p)，且 可得 解得 或 当 时，可得 当 时，可得 所以D错误. 10. BC【详解】对于 A中, 由抛物线C 可得.p=2, 所以 且焦点在x轴正半轴上，则焦点F(1，0)，所以A 错误；对于 B中， 由抛物线的方程得 由定义可得 所以B 学科网（北京）股份有限公司 正确；对于 C 中，直线MO、MF 的方程分别为 分别与/联立得 所以 所以C 正确；对于D中，联立MF和C得. 解得 所以 由 所以D错误. 11. ABD【详解】对于A中，与20不互质的是2的倍数(10个)以及5的倍数(4个)，减去重复计数的10的倍数(2个),总共12个,φ(20)=20-12=8;与25不互质的只有5的倍数(5个),所以φ(25)=25-5=20,所以φ(20)+φ(25)=28, 故A 正确;对于B中, 设P为质数(p≥2), 则小于等于p”的正整数中与p"不互质的数只有P 的倍数，所以互质的数的数目为 故 所以 为常数，所以数列{φ(p")}为等比数列，故B正确；对于 C 中，根据选项B可知， 数列 的前5项和为 故C错误；对于D中， 4不是质数， 即判断是否存在n使得 观察得到n=3时等式成立， 故D 正确. 12. 4051 【详解】n≥2时, 与原式相减得 则 经检验， n=1时也成立，故 即 详解】设直线y=kx+b与函数. 图象的切点为(x₁,y₁), 又. 所以 设直线y= kx+b与函数. 图象的切点为(x₂,y₂), 又. 所以 由 可得 由 可得 又 所以 由 得 所以 则 详解】因为每次爬行有 3 种选择，故5 次爬行共有 种情况，考虑5 次爬行之后仍未走遍 学科网（北京）股份有限公司 所有顶点，有以下两种情况：①走了2个顶点，即只在顶点A与另一个顶点来回走，总共只有3种情况；②走了3个顶点，即沿着一个正三角形的边走， 以A为顶点的正三角形共有三个，选定其中 一个，蚂蚁每次路径有2种选法，再去掉仅在2个顶点来回走的情况，有 种，故三个三角形共有3×30=90种，所以蚂蚁爬行 5次后走遍所有顶点的概率为 15. (13分) 解： (1)由正弦定理及二倍角公式，得 因为B∈(0,π),sinB>0, 所以 ……………………………3 分即 sin CcosB+cosCsinB= sin(B+C)=1. 又A+B+C=π, 所以sinA=1. 又A∈(0,π), 所以 ·6分 (2) 由 知 ··7分 由角平分线得 因为 所以 ··11分 即 解得 ···13分 16. (15分) 解： (1)记X 为甲在预赛答对的题数，则X的取值为1，2，3，4，……………………………1分 记甲进入决赛为事件A，………………………………………………………………………4分 则甲进入决赛的概率为 ·6分 (2) 由题可知ξ的取值为0,50,150,300, …………………………………………………7分 所以 …11分 所以的分布列如下： 学科网（北京）股份有限公司 13分 (元), 即甲获得奖金的数学期望为 元.………………………………………………………15 分 17. (15分) 解: (1) a=2时, … …3 分 所以函数f(x)在(1，f(1))处的切线方程为 即x-2y+1=0.…5分 (2)由任意 知 恒成立. 因为x>0, 所以x+1>0, 故 在.x∈(0,+∞) 上恒成立.…7 分 设 则 …9分 令 贝 ………11分 所以h(x)在(0,+∞)上单调递增, 又h(1)=0, 所以当x∈(0,1)时, g'(x)=h(x)<h(1)=0, g(x)单调递减; 当x∈(1,+∞)时, g'(x)=h(x)>h(1)=0, g(x)单调递增; ……………………………13分 故当x=1时，g(x)取得极小值，也是最小值，且. 所以若a≤g(x)在x∈(0,+∞)上恒成立, 则( 故实数a的取值范围是(-∞,2].……………………………………………………………………15分 18. (17分) (1) 证明: 连接BD, 由菱形ABCD和等边三角形BCE 有公共边BC, 可知∠ABC=120°,且AB=BC=CD=AD=CE=BE, AB∥CD, 即CD∥BE, 则四边形 BDCE 为菱形,…………………………………………………………………………1分 所以BC⊥DE, 故翻折后BC⊥DO,BC⊥PO, 因为DO∩PO=O, 且都在平面POD 内, 所以BC⊥平面POD, 学科网（北京）股份有限公司 又BC⊂平面PBC, 所以平面PBC⊥平面POD………………………………………………4分 (2) 解: 由(1) 知BC⊥平面POD, BC⊂平面ABCD, 则平面POD⊥平面ABCD, 如图, 在平面POD 中过点O作O₂⊥OD, 又平面POD∩平面ABCD=OD, 所以Oz⊥平面ABCD,故OD,OB, Oz两两垂直, 以O为原点，直线OD，OB，Oz分别为x，y，²轴建立空间直角坐标系， 则D( ,0,0),A( ,2,0),B(0,1,0),C(0,-1,0), 因为 所以△POD 为等边三角形, ∠POD=60°, 则 …………………………………………………7分 设平面PAB与平面PBC夹角为 法向量分别为 则 取 得 …8分 取 得 …9分 所以 即平面PAB与平面PBC 夹角的余弦值为 ………………………………………………11分 (3) 解: 由(2) 知P在平面xOz上且( 可设 ……12 分 则 设平面PBC法向量为 则 取 得 …13 分 学科网（北京）股份有限公司 设AP与平面PBC 夹角为( 则 分 令t=10-6cosα∈(4,16), 则 当且仅当t=8， 即 时成立， 所以直线PA与平面PBC 夹角正弦值的最大值为 …………………………………17分 19. (17分) (1) 解: 由题意椭圆右焦点F(1,0)可得c=1, 过点 可得 由 整理得 得b=1, 所以 椭圆E的方程为 …4 分 (2) (i)证明: ∵直线l:y= kx(k≠0)与椭圆E交于P, A两点, 设 P为第一象限点, P(x₀,y₀), PC⊥x轴, 如图, ∴点A的坐标为 点C的坐标为(x₀,0), 设B(x,y), 则有 两式相减得： 又 ……7分 又 又 因此, AP⊥BP .…9分 (ii)解: 由对称性不妨设k>0, P(x₀,kx₀)在第 一象限， 学科网（北京）股份有限公司 由AP:y= kx与椭圆联立得( 所以 则 11分 设直线AP 与AB 倾斜角分别为θ₁,θ₂,则 所以 12分 由(i), …… …14分 令 则 …15分 当k∈(0,1)时f'(k)>0, 当k∈(1,+∞)时f'(k)<0, 即f(k)在(0,1)上单调递增, 在(1,+∞)上单调递减, 因此 即S△ABP的最大值为 .…………17 分 学科网（北京）股份有限公司 $$