精品解析：福建省泉州第五中学2024～2025学年下学期七年级期末考试数学试卷

泉州五中2024～2025学年下学期初一年期末考试数学试卷 （满分：150分，考试时间：120分钟） 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求．在答题卡的相应位置内作答． 1. 方程的解是（ ） A. B. C. D. 2. 不等式的解集是（　　　） A. B. C. D. 3. 三个内角之比是，是（ ）． A. 等腰三角形 B. 锐角三角形 C. 钝角三角形 D. 直角三角形 4. 在下列图形中，是轴对称图形的为（　　） A. B. C. D. 5. 用下列多边形不能单独铺满地面的是（ ） A. 正三角形 B. 正四边形 C. 正六边形 D. 正八边形 6. 正边形的每个内角都是，则为（ ） A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 7. 如图，在△ABC中，∠BAC＝55°，∠C＝20°，将△ABC绕点A逆时针旋转α角度（0α180°）得到△ADE，若DEAB，则α的值为（　　） A. 65° B. 75° C. 85° D. 130° 8. 某书店把一本新书按标价的八折出售，仍可获利10%，若该书的进价为24元，则标价为（　　） A. 30元 B. 31元 C. 32元 D. 33元 9. 若，且，则的值可能是（　） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 10. 已知是关于，的方程组，则无论取何值，，恒有关系式是（ ） A. B. C. D. 二、填空题：本大题共6小题，共24分．请在答题卡的相应位罾内作答． 11. 已知关于x的方程4x﹣a＝3的解是x＝2，则a＝_____． 12. “的倍与的差不小于”用不等式表示：______． 13. 等腰三角形的两条边的长分别是和，则其周长是______． 14. 如图，，∠C＝90°，点D在线段AC上，点E在线段CB延长线上，则∠1+∠E＝_____°． 15. 如图，10块相同的小长方形墙砖拼成一个大长方形，设小长方形墙砖的长和宽分别为x厘米和y厘米，则列出的方程组为________． 16. 在中，点是边上一点，且，连接，点为中点，连接并延长，交于点．若，则____． 三、解答题：本大题共9小题，共86分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17. 解方程：． 18. 解不等式组，并把它的解集在数轴上表示出来． 19. 如图，，，.请写出与的数量关系，并证明你的结论. 20. 对于有理数a、b定义一种新运算，规定． （1）求的值； （2）若，求x的值． 21. 如图，在三角形中，，将沿方向平移的长度得到，已知，，． （1）______； （2）求图中阴影部分的面积， 22. 如图，在8×5的方格图（每个小正方形边长为1个单位长度）中，点A、B、C均在格点上．请按下面要求画出图形，（不写画法，但应保留画图痕迹） （1）将△ABC向右平移2个单位长度，得到△A1B1C1，并写出线段AA1和CC1的关系； （2）在线段A1C1上找到一点M，使得△B1MC的周长最小． 23. 根据以下素材，探索完成任务．如何确定木板分配方案？ 素材1：我校开展爱心义卖活动，小明和同学们打算制作自己的手工制品，他们买了100张长方形木板，每块木板长和宽分别是，． 素材2：现将部分木板按图1虚线裁剪，剪去四个边长相同的小正方形（阴影）．把剩余五个矩形拼制成无盖长方体收纳盒，使其底面长与宽之比为．其余木板按图2虚线裁剪出三块大小一样的木板（作为盖子），给部分盒子配上盖子． 问题解决： （1）求出长方体收纳盒的高度． （2）若按图1方式裁剪的木板不少于块且制成的有盖收纳盒个数大于无盖收纳盒个数，则木板该如何分配？请给出分配方案． 24. 定义：如果一元一次方程的解也是一元一次不等式组的解，那么称该一元一次方程为该不等式组的“相伴方程”，例如：方程的解为，不等式组的解集为，因为，所以称方程是不等式组的相伴方程． （1）问方程是不是不等式组的相伴方程？请说明理由； （2）若关于的方程是不等式组的相伴方程，求的取值范围； （3）若方程和至少有一个是关于的不等式组的相伴方程，求的取值范围． 25. 如图1，在中，点、在边上，连接、，满足，且，点在上，连接交于点． （1）①线段与的位置关系是______； ②若平分，，求的度数； （2）如图2，若，连接，过点作交于点．证明：； （3）在（2）的条件下，如图3，于点，点，在边上，且，连接，，已知，，，，请直接写出的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 泉州五中2024～2025学年下学期初一年期末考试数学试卷 （满分：150分，考试时间：120分钟） 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求．在答题卡的相应位置内作答． 1. 方程的解是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，熟练掌握等式性质，是解本题的关键．通过移项将方程两边同时除以未知数的系数，即可求解． 【详解】解：， 解得： 故选：B． 2. 不等式的解集是（　　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】不等式的两边同时除以2即得答案． 【详解】解：不等式的两边同时除以2，得． 故选：D． 【点睛】本题考查了简单的一元一次不等式的解法，属于基础题型，熟练掌握基本知识是关键． 3. 三个内角之比是，是（ ）． A. 等腰三角形 B. 锐角三角形 C. 钝角三角形 D. 直角三角形 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，根据三角形的三个内角的度数之和为180度求出最大的内角的度数即可得到答案． 【详解】解：∵三个内角之比是， ∴三个内角中，最大的内角的度数为， ∴是直角三角形， 故选：D． 4. 在下列图形中，是轴对称图形的为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称图形的定义，如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形．根据轴对称图形的定义进行逐一判断即可． 【详解】解：A．不是轴对称图形，故A不符合题意； B．不是轴对称图形，故B不符合题意； C．是轴对称图形，故C符合题意； D．不是轴对称图形，故D不符合题意． 故选：C． 5. 用下列多边形不能单独铺满地面的是（ ） A. 正三角形 B. 正四边形 C. 正六边形 D. 正八边形 【答案】D 【解析】 【分析】由镶嵌的条件知，在一个顶点处各个内角和为． 【详解】∵正三角形的内角，，即6个正三角形可以铺满地面一个点， ∴正三角形可以铺满地面； ∵正四边形的内角，，即4个正方形可以铺满地面一个点， ∴正四边形可以铺满地面； ∵正六边形的内角，，即3个正六边形可以铺满地面一个点， ∴正六边形可以铺满地面； ∵正八边形的内角，， ∴正八边形不能铺满地面． 故选：D． 【点睛】几何图形镶嵌成平面的关键是：围绕一点拼在一起的多边形的内角加在一起恰好组成一个周角． 6. 正边形的每个内角都是，则为（ ） A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了多边形的外角于和内角的关系，多边形外角和定理． 先求得正多边形的一个外角，然后根据正多边形的边数每一个外角的度数，进行计算即可得解． 【详解】解：∵正边形的每个内角都是， ∴每一个外角为 ． 故选：C． 7. 如图，在△ABC中，∠BAC＝55°，∠C＝20°，将△ABC绕点A逆时针旋转α角度（0α180°）得到△ADE，若DEAB，则α的值为（　　） A. 65° B. 75° C. 85° D. 130° 【答案】B 【解析】 【分析】根据旋转的性质及题意易得∠EAB的度数，然后直接进行求解即可． 【详解】解：∵在△ABC中，∠BAC＝55°，∠C＝20°， ∴∠ABC＝180°﹣∠BAC﹣∠C═180°﹣55°﹣20°＝105°， ∵将△ABC绕点A逆时针旋转α角度（0＜α＜180°）得到△ADE， ∴∠ADE＝∠ABC＝105°， ∵DE∥AB， ∴∠ADE+∠DAB＝180°， ∴∠DAB＝180°﹣∠ADE＝75° ∴旋转角α的度数是75°， 故选：B． 【点睛】本题主要考查平行线的性质及旋转的性质，关键是根据旋转得到角的关系，然后由平行线的性质即可求解． 8. 某书店把一本新书按标价的八折出售，仍可获利10%，若该书的进价为24元，则标价为（　　） A. 30元 B. 31元 C. 32元 D. 33元 【答案】D 【解析】 【分析】设这本新书的标价为x元，根据利润=售价-进价，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】设这本新书的标价为x元， 依题意得：0.8x﹣24＝24×10%， 解得：x＝33． 故选：D． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 9. 若，且，则的值可能是（　） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】由题意可得m－2＜0，进而可得m的范围，进一步即得答案． 【详解】解：∵，且， ∴m－2＜0，解得：m＜2， 纵观各选项，m可能为1． 故选：A． 【点睛】本题考查了不等式的性质和简单的一元一次不等式的解法，属于基础题型，熟练掌握上述基本知识是解题的关键． 10. 已知是关于，的方程组，则无论取何值，，恒有关系式是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了加减消元法解二元一次方程组，①+②，得出，即可求解．通过消去参数，得到与之间的直接关系，是解题的关键． 【详解】解： ①②得： 即： 故选：C． 二、填空题：本大题共6小题，共24分．请在答题卡的相应位罾内作答． 11. 已知关于x的方程4x﹣a＝3的解是x＝2，则a＝_____． 【答案】5 【解析】 【分析】直接把x的值进而代入求出答案． 【详解】∵关于x的方程4x﹣a＝3的解是x＝2， ∴8﹣a＝3， 解得：a＝5． 故答案为：5． 【点睛】此题主要考查了一元一次方程的解，正确解方程是解题的关键． 12. “的倍与的差不小于”用不等式表示：______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查列不等式，解决本题的关键是要理解题意用不等式表示．根据语句“的倍与的差不小于”，可以用不等式表示出来，本题得以解决． 【详解】解：“的倍与的差不小于”用不等式表示是， 故答案为：． 13. 等腰三角形的两条边的长分别是和，则其周长是______． 【答案】 【解析】 【分析】此题主要考查等腰三角形的性质及三角形三边关系，题中没有指明哪个是底哪个是腰，故应该分两种情况进行分析，注意利用三角形三边关系进行检验，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：当为腰时，，不能构成三角形， 当为腰时，由三角形的三边关系可以构成三角形， ∴周长为：， 故答案为：． 14. 如图，，∠C＝90°，点D在线段AC上，点E在线段CB延长线上，则∠1+∠E＝_____°． 【答案】90 【解析】 【分析】根据全等三角形的对应角相等得到∠1＝∠EDC，根据直角三角形的两锐角互余得到∠EDC+∠E＝90°，进而得出结论． 【详解】解：∵△ABC≌△EDC， ∴∠1＝∠EDC， ∵∠C＝90°， ∴∠EDC+∠E＝90°， ∴∠1+∠E＝90°， 故填：90． 【点睛】本题考查全等三角形的性质，直角三角形的性质，掌握全等三角形的对应角相等是解题关键． 15. 如图，10块相同的小长方形墙砖拼成一个大长方形，设小长方形墙砖的长和宽分别为x厘米和y厘米，则列出的方程组为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据图示可得：大长方形的长可以表示为x+2y，长又是75厘米，故x+2y=75，长方形的宽可以表示为2x，或x+3y，故2x=3y+x，整理得x=3y，联立两个方程即可． 【详解】解：根据图示可得大长方形的长可以表示为x+2y，长又是75厘米，故x+2y=75，长方形的宽可以表示为2x，或x+3y，故2x=3y+x，整理得x=3y，联立两个方程得到： ， 故答案为： 【点睛】此题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，关键是看懂图示，分别表示出长方形的长和宽． 16. 在中，点是边上一点，且，连接，点为中点，连接并延长，交于点．若，则____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查三角形的中线，连接，利用三角形的中线平分面积，同高三角形的面积比等于底边比，进行求解即可． 【详解】解：连接， ∵点F为中点， ∴，， 设， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴，即：， ∴， ∴， ∴； 故答案为：． 三、解答题：本大题共9小题，共86分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17. 解方程：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解一元一次方程，根据解一元一次方程的步骤解答即可求解，掌握解一元一次方程的步骤是解题的关键． 【详解】解：移项，得， 合并同类项，得， 系数化为，得． 18. 解不等式组，并把它的解集在数轴上表示出来． 【答案】解集为：，数轴上表示如下： 【解析】 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集，并在数轴上表示出来即可． 【详解】解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴不等式组的解集为：， 19. 如图，，，.请写出与的数量关系，并证明你的结论. 【答案】 结论： 理由：∵AB∥CD， ∴∠C=∠B， ∵CE=BF， ∴CF=BE， ∵CD=AB， ∴△CDF≌△BAE， ∴DF=AE． 【解析】 【详解】分析：证明△CDF≌△BAE，即可证明. 详解：略 点睛：考查全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键. 20. 对于有理数a、b定义一种新运算，规定． （1）求的值； （2）若，求x的值． 【答案】（1）10； （2）． 【解析】 【分析】本题考查的是新定义运算的含义，含乘方的有理数的混合运算，一元一次方程的应用，理解新定义运算的含义是解本题的关键； （1）根据新定义运算的含义列式计算即可； （2）根据新定义运算的含义，可得，再解方程即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 ∵☆， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得： 21. 如图，在三角形中，，将沿方向平移的长度得到，已知，，． （1）______； （2）求图中阴影部分的面积， 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】本题考查了平移的性质，梯形面积，掌握平移的性质是解题的关键． （）由平移性质可得，，然后通过线段和差即可求解； （）由（）得，通过平移性质可得，，然后通过，即，再代入求解即可． 【小问1详解】 解：∵将沿方向平移的长度得到， ∴，， ∴， 故答案为：； 【小问2详解】 解：由（）得：， ∵将沿方向平移的长度得到， ∴，， ∴， ∴， ∴ ． 22. 如图，在8×5的方格图（每个小正方形边长为1个单位长度）中，点A、B、C均在格点上．请按下面要求画出图形，（不写画法，但应保留画图痕迹） （1）将△ABC向右平移2个单位长度，得到△A1B1C1，并写出线段AA1和CC1的关系； （2）在线段A1C1上找到一点M，使得△B1MC的周长最小． 【答案】 （1）如图所示：△A1B1C1即为所求，AA1平行且等于CC1； （2）点M即为所求 【解析】 【分析】（1）首先确定A、B、C三点平移后的位置，再连接即可得解； （2）首先确定C关于A1C1的对称点C′，再连接B1C，与交A1C1的交点就是M点． 【详解】（1）略 （2）首先确定C关于A1C1的对称点C′，再连接B1C，交A1C1的点M． 【点睛】此题主要考查了作图--平移变换，解题的关键是确定组成图形的关键点平移后的位置． 23. 根据以下素材，探索完成任务．如何确定木板分配方案？ 素材1：我校开展爱心义卖活动，小明和同学们打算制作自己的手工制品，他们买了100张长方形木板，每块木板长和宽分别是，． 素材2：现将部分木板按图1虚线裁剪，剪去四个边长相同的小正方形（阴影）．把剩余五个矩形拼制成无盖长方体收纳盒，使其底面长与宽之比为．其余木板按图2虚线裁剪出三块大小一样的木板（作为盖子），给部分盒子配上盖子． 问题解决： （1）求出长方体收纳盒的高度． （2）若按图1方式裁剪的木板不少于块且制成的有盖收纳盒个数大于无盖收纳盒个数，则木板该如何分配？请给出分配方案． 【答案】（1）长方体的高度为 （2） 共有4种方案： ①图1方式需要裁剪张木板，图2方式需要裁剪张木板 用54张木板制作有盖收纳盒，28张木板制作无盖的收纳盒 ②图1方式需要裁剪张木板，图2方式需要裁剪张木板 用51张木板制作有盖收纳盒，32张木板制作无盖的收纳盒 ③图1方式需要裁剪张木板，图2方式需要裁剪张木板 用48张木板制作有盖收纳盒，34张木板制作无盖的收纳盒 ④图1方式需要裁剪张木板，图2方式需要裁剪张木板 用45张木板制作有盖收纳盒，40张木板制作无盖的收纳盒 【解析】 【分析】本题主要考查了一元一次方程及不等式组的应用，找出相等关系或不等关系是解题的关键． （1）根据“底面长与宽之比为”列方程求解； （2）根据“按图1方式裁剪的木板不少于块且制成的有盖收纳盒个数大于无盖收纳盒个数”列不等式组求解． 【小问1详解】 解：设长方体的高度为， 则：， 解得：， 答：长方体的高度为； 【小问2详解】 设图1方式需要裁剪x张木板，图2方式需要裁剪张木板， ∴， ∴， ∴x的整数解有：，，，， ∴共有4种方案： ①图1方式需要裁剪张木板，图2方式需要裁剪张木板 用张木板制作有盖收纳盒，张木板制作无盖的收纳盒 ②图1方式需要裁剪张木板，图2方式需要裁剪张木板 用张木板制作有盖收纳盒，张木板制作无盖的收纳盒 ③图1方式需要裁剪张木板，图2方式需要裁剪张木板 用张木板制作有盖收纳盒，张木板制作无盖的收纳盒 ④图1方式需要裁剪张木板，图2方式需要裁剪张木板 用张木板制作有盖收纳盒，张木板制作无盖的收纳盒 24. 定义：如果一元一次方程的解也是一元一次不等式组的解，那么称该一元一次方程为该不等式组的“相伴方程”，例如：方程的解为，不等式组的解集为，因为，所以称方程是不等式组的相伴方程． （1）问方程是不是不等式组的相伴方程？请说明理由； （2）若关于的方程是不等式组的相伴方程，求的取值范围； （3）若方程和至少有一个是关于的不等式组的相伴方程，求的取值范围． 【答案】（1） 解：方程是不等式组的相伴方程，理由如下： 解方程，得， 解不等式组，得， ∵， ∴方程是不等式组的相伴方程； （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了解一元一次方程，解一元一次不等式组，理解“相伴方程”的定义是解题的关键． （）求出方程的解和不等式组的解集，进而根据“相伴方程”的定义判断即可； （）求出方程的解和不等式组的解集，根据“相伴方程”的定义得到关于的不等式，解不等式即可求解； （）求出两个方程的解，再分、和三种情况，根据“相伴方程”的定义解答即可求解； 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：解方程，得， 解不等式组，得， ∵方程是不等式组的相伴方程， ∴， 解得； 【小问3详解】 解：解方程，得， 解方程，得， 当时，解不等式组，得， ∵方程和至少有一个是关于的不等式组的相伴方程， ∴或， 解得或， ∴； 当时，解不等式组，得， 此时两个方程都不是不等式组的相伴方程； 当时，不等式组无解，不合题意； 综上，的取值范围为． 25. 如图1，在中，点、在边上，连接、，满足，且，点在上，连接交于点． （1）①线段与的位置关系是______； ②若平分，，求的度数； （2）如图2，若，连接，过点作交于点．证明：； （3）在（2）的条件下，如图3，于点，点，在边上，且，连接，，已知，，，，请直接写出的最小值． 【答案】（1）①② （2） 解：作，交于点， ∵，， ∴，， 又∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴, （3） 【解析】 【分析】（1）①由，根据三角形内角和定理，得到，即可得出 ②由，在中，根据三角形内角和定理，求出，，由平分，在中，根据三角形内角和定理，即可求解， （2）， 由，，根据平行线的性质，得到，，结合，得到，，结合，，得到，，在和根据三角形内角和定理，得到，，即可求解， （3）作，，作，由，，得到，结合，，得到，，根据，，，，得到，由（2）得，，，由，得到，由，得到，在中，根据三边关系得到，即可求解， 【小问1详解】 解：①∵，， ∴， ∴， ∴； 故答案为：． ②∵， ∴设，则， ∴， 即：， 解得：， ∴，， ∵平分， ∴， ∴， 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：作，，连接，作 交延长线于点， ∵，， ∴，， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∵，，，， ∴，解得：， 由（2）得，， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了，角平分线，三角形内角和定理，平行线的性质，全等三角形的性质与判定，三角形三边关系，解题的关键是：连接辅助线，构造全等三角形． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $